1、2014 年山东省日照市中考真题数学 一、选择题 (共大题共 12 小题，其中 1-8题每小题 3 分， 9-12题每小题 3 分，满分 40分 .每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 )在已知实数： -1， 0， ， -2 中，最小的一个实数是 ( ) A. -1 B. 0 C. D. -2 解析 ： -2、 -1、 0、 1 中，最小的实数是 -2. 答案： D. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 3a3 2a2=6a6 B. (a2)3=a6 C. a8a 2=a4 D. x3+x3=2x6 解析 ： A、 3a3 2a2=6a5，故 A 选
2、项错误； B、 (a2)3=a6，故 B 选项正确； C、 a8a 2=a6，故 C 选项错误； D、 x3+x3=2x3，故 D 选项错误 . 答案： B. 3.(3 分 )在下列图案中，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是中心对称图形 .故 A 选项错误； B、不是中心对称图形 .故 B 选项错误； C、是中心对称图形 .故 C 选项正确； D、不是中心对称图形 .故 D 选项错误 . 答案： C. 4.(3 分 )某养殖场 2013 年底的生猪出栏价格是每千克 a 元，受市场影响， 2014 年第一季度出栏价格平均每千克下降了 15%，到了第二季度平均每
3、千克比第一季度又上升了 20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克 ( ) A. (1-15%)(1+20%)a 元 B. (1-15%)20%a 元 C. (1+15%)(1-20%)a 元 D. (1+20%)15%a 元 解析 ： 第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克 (1-15%)(1+20%)a 元 . 答案： A. 5.(3 分 )已知 ABC 的周长为 13，且各边长均为整数，那么这样的等腰 ABC 有 ( ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 解析 ： 周长为 13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为： 3， 5， 5；或 4， 4， 5；
4、或 6， 6，1，共 3 个 . 答案： C. 6.(3 分 )李大伯在承包的果园里种植了 100 棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了 6 棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量 (单位：千克 )如下表： 这组数据的中位数为 m，樱桃的总产量约为 n，则 m， n 分别是 ( ) A. 18， 2000 B. 19， 1900 C. 18.5， 1900 D. 19， 1850 解析 ： 先对这组数据按从小到大的顺序重新排序： 17， 18， 19， 19， 20， 21. 位于最中间的数是 19， 19，所以这组数的中位数是 m=(19+19)2=19 ； 从 100 棵樱桃中
5、抽样 6 棵，每颗的平均产量为 (17+18+19+19+20+21)=19(千克 )， 所以估计樱桃的总产量 n=19100=1900 (千克 )； 答案： B. 7.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的两个实根 x1， x2，满足 x1+x2-x1x2 -1，则 k的取值范围在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 有两个实根， 0 ， 4 -4(k+1)0 ， 解得 k0 ， x 1+x2=-2， x1 x2=k+1， -2-(k+1) -1，解得 k -2， 不等式组的解集为 -2 k0 ，在
6、数轴上表示为： 答案： D. 8.(3 分 )如图，正六边形 ABCDEF 是边长为 2cm 的螺母，点 P 是 FA 延长线上的点，在 A、 P之间拉一条长为 12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点 A，握住另一端点 P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上 (缠绕时螺母不动 )，则点 P 运动的路径长为 ( ) A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 16cm 解析 ： 点 P 运动的路径长为： + + + + += (12+10+8+6+4+2)=14 (cm). 答案： B. 9.(4 分 )当 k 时，直线 kx-y=k 与直线 ky+x=2k 的交点在 ( ) A. 第
7、一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： 解方程组 得， 两直线的交点坐标为 ( ， )， k ， 0， = 0，所以交点在第一象限 . 答案： A. 10.(4 分 )如图，已知 ABC 的面积是 12，点 E、 I 分别在边 AB、 AC 上，在 BC 边上依次作了n 个全等的小正方形 DEFG， GFMN， ， KHIJ，则每个小正方形的边长为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 过 C 作 CMAB ，垂足为 M，交 GH 于点 N.CMB=90 ， 四边形 EFGH 是正方形， GHAB ， GH=GF， GFAB ， CGH=A ， CNH=CMB=9
8、0 . GCH=ACB ， CGHCAB . ， GF=MN=GH ，设 GH=x，三角形 ABC 的底为 a，高为 h， CN=CM -MN=CM-GH=CM-x. ， 以此类推，由此，当为 n 个正方形时以 x= ， 答案： D. 11.(4 分 )如图，是抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )图象的一部分 .已知抛物线的对称轴为 x=2，与x 轴的一个交点是 (-1， 0).有下列结论： abc 0； 4a -2b+c 0； 4a+b=0 ； 抛物线与 x 轴的另一个交点是 (5， 0)； 点 (-3，y1)， (6， y2)都在抛物线上，则有 y1 y2. 其中正确的是 ( ) A.
9、B. C. D. 解析 ： 二次函数的图象开口向上， a 0， 二次函数的图象交 y 轴的负半轴于一点， c 0， 对称轴是直线 x=2， - =2， b= -4a 0， abc 0.故 正确； 把 x=-2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a-2b+c， 由图象可知，当 x=-2 时， y 0，即 4a-2b+c 0.故 错误； b= -4a， 4a+b=0 .故 正确； 抛物线的对称轴为 x=2，与 x 轴的一个交点是 (-1， 0)， 抛物线与 x 轴的另一个交点是 (5， 0).故 正确； (-3， y1)关于直线 x=2 的对称点的坐标是 (7， y1)， 又 当 x 2 时
10、， y 随 x 的增大而增大， 7 6， y 1 y2.故 错误； 综上所述，正确的结论是 . 答案： C. 12.(4 分 )下面是按照一定规律排列的一列数： 第 1 个数： -(1+ )； 第 2 个数： -(1+ ) (1+ ) (1+ )； 第 3 个数： -(1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+)； 依此规律，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13个数中，最大的数是 ( ) A. 第 10 个数 B. 第 11 个数 C. 第 12 个数 D. 第 13 个数 解析 ： 第 1 个数： -(1+ )； 第 2 个数： -(1+ ) (1+ ) (1
11、+ )； 第 3 个数： -(1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+)； 第 n个数为 -(1+ )1+ 1+ 1+ =- ， 第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13个数分别为 - ， - ， - ， - ，其中最大的数为 - ，即第 10 个数最大 . 答案： A. 二、填空题 (共 4 小题，每小题 4 分，满分 16分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应的位置上 ) 13.(4 分 )分解因式： x3-xy2= . 解析 ： x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y). 答案： x(x+y)(x-y). 14.(4 分 )小明从市环境
12、监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进行统计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，可知扇形统计图中表示空气质量为优的扇形的圆心角的度数为 . 解析 ： 根据题意得：随机查阅的总天数是： =30(天 )， 优的天数是： 30-18-3=9(天 )， 则空气质量为优的扇形的圆心角的度数为： 360=108 ； 答案： 108 . 15.(4 分 )已知 a b，如果 + = ， ab=2，那么 a-b 的值为 . 解析 ： + = = ，将 ab=2 代入得： a+b=3， (a-b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1， a b， a -b 0，则 a-b=1.
13、答案： 1 16.(4 分 )如图，在 RtOAB 中， OA=4， AB=5，点 C在 OA 上， AC=1， P 的圆心 P 在线段 BC上，且 P 与边 AB， AO 都相切 .若反比例函数 y= (k0 )的图象经过圆心 P，则 k= . 解析 ： 设 P 与边 AB， AO 分别相切于点 E、 D，连接 PE、 PD、 PA，如图所示 . 则有 PDOA ， PEAB .设 P 的半径为 r， AB=5 ， AC=1， S APB = AB PE= r， SAPC = AC PD= r. OAB=90 ， OA=4， AB=5， OB=3 .S ABC = AC OB= 13= .
14、S ABC =SAPB +SAPC ， = r+ r.r= .PD= . PDOA ， AOB=90 ， PDC=BOC=90 .PDBO .PDCBOC . = . PD OC=CD BO. (4-1)=3CD.CD= .OD=OC -CD=3- = . 点 P 的坐标为 ( ， ). 反比例函数 y= (k0 )的图象经过圆心 P， k= = . 答案： . 三、解答题 (本大题共 6 小题，满分 64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(8 分 )为了进一步落实 “ 节能减排 ” 措施，冬季供暖来临前，某单位决定对 7200 平方米的
15、“ 外墙保温 ” 工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的 1.5 倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前 15 天完成任务 .问甲队每天完成多少平方米？ 解析 ： 设甲队每天完成 x 米 2，乙队每天完成 1.5 x 米 2，根据题意得 - =15， 解得 x=160， 经检验， x=160，是所列方程的解 . 答：甲队每天完成 160 米 2. 18.(8 分 )在某班 “ 讲故事 ” 比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会 .在如图所示的翻奖牌正面的 4 个数字中选一个数字
16、，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择数字了 . (1)请用树状图 (或列表 )的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率 . (2)有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说明理由 . 解析 ： (1)首先画树形图可知：一共有 24 种情况，甲、乙二人都得到计算器共有 4 种情况除以总情况数即为所求概率； (2)根据 (1)中的树形图，分别求出甲、乙、丙得到篮球的概率即可 . 解答 (1)所有获奖情况的树状图如下： 共有 24 种可能的情况，其中甲、乙二人都得到计算器共有 4 种情况， 所以，甲、乙二人都得计算器
17、的概率为： P= ； (2)这种说法是不正确的 .由上面的树状图可知共有 24 种可能情况： 甲得到篮球有六种可能情况： P(甲 )= = ， 乙得到篮球有六种可能情况： P(乙 )= = ， 丙得到篮球有六种可能情况： P(丙 )= = ， 所以甲、乙、丙三人不管谁先翻奖牌得到篮球的概率都相等 . 19.(10 分 )如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB=3，点 E(与 B， C 不重合 )是 BC 边上任意一点，把 EA 绕点 E 顺时针方向旋转 90 到 EF，连接 CF. (1)求证： CF 是正方形 ABCD 的外角平分线； (2)当 BAE=30 时，求 CF 的长 . 解析
18、： (1)过点 F作 FGBC 于点 G，易证 ABEEGF ，所以可得到 AB=EG， BE=FG，由此可得到 FCG=45 ，即 CF 平分 DCG ，所以 CF 是正方形 ABCD 外角的平分线； (2)首先可求出 BE 的长，即 FG 的长，再在 RtCFG 中，利用 cos45 即可求出 CF 的长 . 答案： (1)过点 F 作 FGBC 于点 G.AEF=B=90 ， 1=2 . 在 ABE 和 EGF 中， ABEEGF (AAS).AB=EG ， BE=FG. 又 AB=BC ， BE=CG ， FG=CG ， FCG=45 ，即 CF 平分 DCG ， CF 是正方形 AB
19、CD 外角的平分线 . (2)AB=3 ， BAE=30 ， tan30= ， BE=AB tan30=3 ，即 CG= . 在 RtCFG 中， cos45= ， CF= . 20.(10 分 )如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形 ABCDE 的草坪上建一个矩形花坛 PKDH.已知： PHAE ， PKBC ， DE=100 米， EA=60 米， BC=70 米， CD=80 米 .以 BC 所在直线为 x 轴， AE 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为 O. ( )求直线 AB 的解析式 . ( )若设点 P 的横坐标为 x，矩形 PKDH 的面积为 S. (1
20、)用 x 表示 S； (2)当 x 为何值时， S 取最大值，并求出这个最大值 . 解析 ： ( )根据题意易求 A、 B 的坐标为 (0， 20)、 (30， 0).利用待定系数法可以求得直线AB 的解析式； ( )(1)点 P 的坐标可以表示为 (x， - x+20)，则 PK=100-x， PH=80-(- x+20)=60+ x，所以根据矩形的面积公式可以求得函数解析式为： S=(100-x)(60+ x)； (2)利用 (1)中的二次函数的性质来求 S 的最大值 . 答案： ( )如图所示， OE=80 米， OC=ED=100 米， AE=60 米， BC=70 米， OA=20
21、米， OB=30米， 即 A、 B 的坐标为 (0， 20)、 (30， 0). 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k0 )，则 ，解得， ，则直线 AB 的解析式为 y=- x+20； ( )(1)设点 P 的坐标为 P(x， y). 点 P 在直线 AB 上，所以点 P 的坐标可以表示为 (x， - x+20)， PK=100 -x， PH=80-(- x+20)=60+ x， S= (100-x)(60+ x)； (2)由 S=(100-x)(60+ x)=-( x-10)2+ ， 所以 当 x=10 时，矩形面积的最大值为： S 最大 = 平方米 . 21.(14 分 )阅读资料
22、：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题： 如图 1，已知 PC 是 O 的切线， AB 是 O 的直径，延长 BA 交切线 PC与 P，连接 AC、 BC、 OC. 因为 PC 是 O 的切线， AB 是 O 的直径，所以 OCP=ACB=90 ，所以 B=2 . 在 PAC 与 PCB 中，又因为： P=P ，所以 PACPCB ，所以 = ，即 PC2=PA PB. 问题拓展： ( )如果 PB 不经过 O 的圆心 O(如图 2)等式 PC2=PA PB，还成立吗？请证明你的结论； 综 合应用： ( )如图 3， O 是 AB
23、C 的外接圆， PC 是 O 的切线， C 是切点， BA 的延长线交 PC 于点 P； (1)当 AB=PA，且 PC=12 时，求 PA 的值； (2)D 是 BC 的中点， PD 交 AC 于点 E.求证： = . 解析 ： ( )证法一：如图 2-1，连接 PO并延长交 O 于点 D， E，连接 BD、 AE，易证得 PBDPEA ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得 PA PB=PD PE，由图 1 知， PC 2=PD PE，即可证得结论； 证法二：如图 2-2，过点 C 作 O 的直径 CD，连接 AD， BC， AC，由 PC是 O 的切线，易证得 PBCPCA ，然后由相似
24、三角形的对应边成比例，证得结论； ( )(1)由 (1)得， PC 2=PA PB， PC=12， AB=PA，即可求得 PC 2=PA PB=PA(PA+AB)=2PA2，继而求得答案； (2)证法一：过点 A 作 AFBC ，交 PD 于点 F，由平行线分线段成比例定理即可求得 = ，= ，又由 PC 2=PA PB，即可证得结论； 证法二：过点 A 作 AGBC ，交 BC 于点 G，由平行线分线段成比例定理即可求得 = ，= ，又由 PC 2=PA PB，即可证得结论 . 答案： ( )当 PB 不经过 O 的圆心 O 时，等式 PC 2=PAPB 仍然成立 . 证法一：如图 2-1，
25、连接 PO 并延长交 O 于点 D， E，连接 BD、 AE， B=E ， BPD=APE ， PBDPEA ， ，即 PA PB=PD PE， 由图 1 知， PC2=PD PE， PC 2=PA PB. 证法二：如图 2-2，过点 C 作 O 的直径 CD，连接 AD， BC， AC， PC 是 O 的切线， PCCD ， CAD=PCD=90 ，即 1+2=90 ， D+1=90 ，D=2 . D=B ， B=2 ， P=P ， PBCPCA ，所以 ，即 PC 2=PA PB. ( )由 (1)得， PC2=PA PB， PC=12， AB=PA， PC 2=PA PB=PA(PA+A
26、B)=2PA2， 2PA 2=144， PA=6 (负值无意义，舍去 ).PA=6 . (2)证法一：过点 A 作 AFBC ，交 PD 于点 F， = ， = . D 为 BC 的中点， BD=CD ， = ， = . PC 2=PA PB， = = = ，即 = . 证法二：过点 A 作 AGBC ，交 BC 于点 G， = ， = . D 为 BC 的中点， BD=CD ， = ， = . PC 2=PA PB， = = = ，即 = . 22.(14 分 )如图 1，在菱形 OABC 中，已知 OA=2 ， AOC=60 ，抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )经过 O， C， B 三
27、点 . ( )求出点 B、 C 的坐标并求抛物线的解析式 . ( )如图 2，点 E是 AC 的中点，点 F 是 AB 的中点，直线 AG 垂直 BC 于点 G，点 P 在直线 AG上 . (1)当 OP+PC 的最小值时，求出点 P 的坐标； (2)在 (1)的条件下，连接 PE、 PF、 EF 得 PEF ，问在抛物线上是否存在点 M，使得以 M， B，C 为顶点的三角形与 PEF 相似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： ( )作 CHOA 于点 H，通过解三角函数求得 A、 C 的坐标，由菱形的性质得出 B 点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式 . (
28、 )(1)先求得抛物线的顶点坐标和与 x 轴的另一个交点坐标，当 OP+PC 最小时，由对称性可知， OP+PC=OB.由于 OB 是菱形 ABCO 的对角线，即可求得 AOB=30 ，然后通过解直角三角函数即可求得 AP 的长，进而求得 P 点的坐标； (2)先求得 PEF 是底角为 30 的等腰三角形，根据 OC=BC=BD=2 ， BOC=BDC=30 ，求得 OBCBCDPEF ，又因为 AQ=4， AG=3， BC=2 ，所以 GQ=1， BG= ，所以， tanGBQ= ，即 GBQ=30 ，得出 BQC 也是底角为 30 的等腰三角形， 即可求得符合条件的点 M 的坐标 . 答案
29、： ( )如图 1，作 CHOA 于点 H， 四边形 OABC 是菱形， OA=2 ， AOC=60 ， OC=2 ， OH=sin602 = ， CH=cos602 =3， A 点坐标为 (2 ， 0)， C 点的坐标为 ( ， 3)， 由菱形的性质得 B 点的坐标为 (3 ， 3). 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意得 ， 解得 a=- ， b= ， c=0， 所以 y=- x2+ x. ( )(1)如图 2，由 ( )知抛物线的解析式为： y=- x2+ x， 所以对称轴为 x=2 ，顶点为 Q(2 ， 4). 设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，令 y=0，得， x
30、2-4 x=0， 解得 x1=0， x2=4 ，所以点 D 的坐标为 (4 ， 0)， 点 A 的坐标为 (2 ， 0)，对称轴为 x=2 ，且 AGBC ，直线 AG 为抛物线的对称轴 . B 、 C 两点关于直线 AG 对称， 当 OP+PC 最小时，由对称性可知， OP+PC=OB.即 OB， AG 的交点为点 P， AOC=60 ， OB 为菱形 OABC 的对角线， AOB=30 ， 即 AP=OAtan30=2 =2，所以点 P 的坐标为 (2 ， 2). (2)连接 OB， CD， CQ， BQ，由 (1)知直线 AG 为抛物线的对称轴， 则四边形 ODBC 是关于 AG 成轴对
31、称的图形 . 点 E 是 OB 中点，点 F 是 AB的中点，点 P在抛物 ， 线的对称轴上， PE=PF ， EFOD ， CQ=BQ， PEF=BOA=30 ， 即 PEF 是底角为 30 的等腰三角形 . 在 OBC 、 BCD 中， OC=BC=BD=2 ， BOC=BDC=30 ，所以 OBCBCDPEF ， 所以 符合条件的点的坐标为 (0， 0)， (4 ， 0). 又因为 AQ=4， AG=3， BC=2 ，所以 GQ=1， BG= ， 所以 tanGBQ= = ，即 GBQ=30 ， BQC 也是底角为 30 的等腰三角形， Q 点的 (2 ， 4)， 所以符合条件的点 M 的坐标为 (0， 0)， (4 ， 0)， (2 ， 4).
