1、2014 年山东省济南市中考真题数学 一、选择题 (共 15 小题，每小题 3 分，共 45分 ) 1.(3 分 )4 的算术平方根是 ( ) A. 2 B. -2 C. 2 D. 16 解析 ： 2 2=4， =2， 答案： A. 2.(3 分 )如图，点 O 在直线 AB 上，若 1=40 ，则 2 的度数是 ( ) A. 50 B. 60 C. 140 D. 150 解析 ： 1=40 ， 2=180 -1=140 . 答案： C. 3.(3 分 )下列运算中，结果是 a5的是 ( ) A. a2 a3 B. a10a 2 C. (a2)3 D. (-a)5 解析 ： A、 a2 a3=
2、a5，故 A 选项正确； B、 a10a 2=a8，故 B 选项错误； C、 (a2)3=a6，故 C 选项错误； D、 (-a)5=-a5，故 D 选项错误 . 答案： A. 4.(3 分 )我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家，嫦娥三号探测器的发射总质量约为 3700 千克， 3700 用科学记数法表示为 ( ) A. 3.710 2 B. 3.710 3 C. 3710 2 D. 0.3710 4 解析 ： 3 700=3.710 3. 答案： B. 5.(3 分 )下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析
3、 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形 .答案： 项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形 .答案： 项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 .答案： 项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形 .答案： 项正确 . 答案： D. 6.(3 分 )如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是 ( ) A. 主视图的面积为 5 B. 左视图的面积为 3 C. 俯视图的面积为 3 D. 三种视图的面积都是 4 解析 ： A、从正面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故本选项错误； B、从左面看，可以看到 3 个正方形，面积为
4、 3，故本选项正确； C、从上面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故本选项错误； D、三种视图的面积不相同，故本选项错误 . 答案： B. 7.(3 分 )化简 的结果是 ( ) A. m B. C. m-1 D. 解析 ： 原式 = =m. 答案： A. 8.(3 分 )下列命题中，真命题是 ( ) A. 两对角线相等的四边形是矩形 B.两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两对角线相等的四边形是等腰梯形 解析 ： A、两对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项错误； B、两对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以 B 选项正确； C、两
5、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项错误； D、两对角线相等的梯形是等腰梯形，所以 D 选项错误 . 答案： B. 9.(3 分 )若一次函数 y=(m-3)x+5 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则 ( ) A. m 0 B. m 0 C. m 3 D. m 3 解析 ： 一次函数 y=(m-3)x+5 中， y 随着 x 的增大而增大， m -3 0，解得： m 3. 答案： C. 10.(3 分 )如图，在 ABCD 中，延长 AB 到点 E，使 BE=AB，连接 DE交 BC 于点 F，则下列结论不一定成立的是 ( ) A. E=CDF B. EF=DF C. AD=2
6、BF D. BE=2CF 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB ， E=CDF ，故 A 成立； 四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB ， CDBE ， C=CBE ， BE=AB ， CD=EB ， 在 CDF 和 BEF 中， ， DCFEBF (AAS)， EF=DF ，故 B 成立； DCFEBF ， CF=BF= BC， AD=BC ， AD=2BF ，故 C 成立； ADBE ， 2CFBE ，故 D 不成立； 答案： D. 11.(3 分 )学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团
7、的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有 3 种情况， 征征和舟舟选到同一社团的概率是： = . 答案： C. 12.(3 分 )如图，直线 y=- x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，把 AOB 沿直线 AB 翻折后得到 AOB ，则点 O 的坐标是 ( ) A. ( ， 3) B. ( ， ) C. (2， 2 ) D. (2 ， 4) 解析 ： 如图，作 OMy 轴，交 y 于点 M， ONx 轴，交 x于点 N， 直线 y=- x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， A (0
8、， 2)， B(2 ， 0)， BAO=30 ， 由折叠的特性得， OB=OB=2 ， ABO=ABO=60 ， MB=1 ， MO= ， OM=3 ， ON=OM= ， O ( ， 3)， 答案： A. 13.(3 分 )如图， O 的半径为 1， ABC 是 O 的内接等边三角形，点 D、 E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是 ( ) A. 2 B. C. D. 解析 ： 连结 BD、 OC，如图， 四边形 BCDE 为矩形， BCD=90 ， BD 为 O 的直径， BD=2 ， ABC 为等边三角形， A=60 ， BOC=2A=120 ， 而 OB=OC， CBD=3
9、0 ， 在 RtBCD 中， CD= BD=1， BC= CD= ， 矩形 BCDE 的面积 =BCCD= . 答案： B. 14.(3 分 )现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成该数在 S0中出现的次数，可得到一个新序列 S1，例如序列 S0： (4， 2， 3， 4， 2)，通过变换可生成新序列 S1： (2， 2， 1， 2， 2)，若 S0可以为任意序列，则下面的序列可作为 S1的是 ( ) A. (1， 2， 1， 2， 2) B. (2， 2， 2， 3， 3) C. (1， 1， 2， 2， 3) D. (1， 2， 1， 1， 2) 解析 ：
10、A、 2 有 3 个， 不可以作为 S1， 答案： 项错误； B、 2 有 3 个， 不可以作为 S1， 答案： 项错误； C、 3 只有 1 个， 不可以作为 S1， 答案： 项错误 D、符合定义的一种变换， 答案： 项正确 . 答案： D. 15.(3 分 )二次函数 y=x2+bx 的图象如图，对称轴为直线 x=1，若关于 x 的一元二次方程x2+bx-t=0(t 为实数 )在 -1 x 4 的范围内有解，则 t 的取值范围是 ( ) A. t -1 B. -1t 3 C. -1 t 8 D. 3 t 8 解析 ： 对称轴为直线 x=- =1，解得 b=-2， 所以 二次函数解析式为 y
11、=x2-2x， =(x-1)2-1， x=-1 时， y=1+2=3， x=4 时， y=16-24=8 ， x 2+bx-t=0 相当于 y=x2+bx 与直线 y=t 的交点的横坐标， 当 -1 t 8 时，在 -1 x 4 的范围内有解 . 答案： C. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，共 18分 ) 16.(3 分 )|-7-3|= . 解析 ： |-7-3|=|-10|=10. 答案 ： 10. 17.(3 分 )分解因式： x2+2x+1= . 解析 ： x2+2x+1=(x+1)2. 答案： (x+1)2 18.(3 分 )在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其
12、余都相同的球，如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为 . 解析 ： 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3 个红球且摸到红球的概率为 ， 口袋中球的总个数为： 3 =15. 答案： 15. 19.(3 分 )若代数式 和 的值相等，则 x= . 解析 ： 根据题意得： = ， 去分母得： 2x+1=3x-6， 解得： x=7， 经检验 x=7 是分式方程的解 . 答案： x=7. 20.(3 分 )如图，将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把 ABC 沿着 AD 方向平移，得到 ABC ，当两个三角形
13、重叠部分的面积为 32 时，它移动的距离 AA 等于 . 解析 ： 设 AC 交 AB 于 H， A=45 ， D=90AHA 是等腰直角三角形 设 AA=x ，则阴影部分的底长为 x，高 AD=12 -x， x (12-x)=32 x=4 或 8，即 AA=4 或 8cm. 答案： 4 或 8. 21.(3 分 )如图， OAC 和 BAD 都是等腰直角三角形， ACO=ADB=90 ，反比例函数 y=在第一象限的图象经过点 B.若 OA2-AB2=12，则 k 的值为 . 解析 ： 设 B 点坐标为 (a， b)， OAC 和 BAD 都是等腰直角三角形， OA= AC， AB= AD，
14、OC=AC， AD=BD， OA 2-AB2=12， 2AC 2-2AD2=12，即 AC2-AD2=6， (AC+AD)(AC-AD)=6， (OC+BD) CD=6， a b=6， k=6 . 答案： 6. 三、解答题 (共 7 小题，共 57 分 ) 22.(7 分 )(1)化简： (a+3)(a-3)+a(4-a) (2)解不等式组： . 解析 ： (1)原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； (2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 . 答案 ： (1)原式 =a2-9+4a-a2=4a-9； (2) ， 由
15、 得： x 4； 由 得： x2 ， 则不等式组的解集为 2x 4. 23.(7 分 )(1)如图 1，四边形 ABCD 是矩形，点 E 是边 AD的中点，求证： EB=EC. (2)如图 2， AB 与 O 相切于点 C， A=B ， O 的半径为 6， AB=16，求 OA的长 . 解析 ： (1)证明 ABEDCE ，根据全等三角形的对应边相等即可证得； (2)连接 OC，根据三线合一定理即可求得 AC 的长，然后在直角 OAC 中，利用勾股定理即可求得 OA 的长 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， A=D=90 ， AB=DC， 在 ABE 和 DCE 中， ， ABED
16、CE ， EB=EC ； (2)连接 OC， AB 与 O 相切于点 C， OCAB ， 又 A=B ， OA=OB ， AC= AB= 16=8 ， 在直角 AOC 中， OA= = =10. 24.(8 分 )2014 年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共 10 张，总价为 5800 元，其中小组赛球票每张 550 元，淘汰赛球票每张 700 元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？ 解析 ： 设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各 x 张， y 张，根据 10 张球票共 5800 元，列方程组求解 . 答案 ：设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各 x
17、张， y 张， 由题意得， ，解得： . 答：小李预定的小组赛和淘汰赛的球票各 8 张， 2 张 . 25.(8 分 )在济南开展 “ 美丽泉城，创卫我同行 ” 活动中，某校倡议七年级学生利用双 休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制不完整的统计图表，如图所示： (1)统计表中的 m= ， x= ， y= . (2)被调查同学劳动时间的中位数是 时； (3)请将频数分布直方图补充完整； (4)求所有被调查同学的平均劳动时间 . 解析 ： (1)根据劳动时间是 0.5 小时的频数是 12，所占的频率是 0.12，即可求得总人数，即m
18、 的值，然后根据频率公式即可求得 x， y 的值； (2)根据中位数的定义即可求解； (3)根据 (1)计算的结果，即可解答； (4)利用加权平均数公式即可求解 . 答案 ： (1)m=120.12=100 ， x=1000.4=40 ， y=18100=0.18 ； (2)中位数是： 1.5 小时； (3) (4)被调查同学的平均劳动时间是： =1.32(小时 ). 26.(9 分 )如图 1，反比例函数 y= (x 0)的图象经过点 A(2 ， 1)，射线 AB 与反比例函数图象交于另一点 B(1， a)，射线 AC 与 y 轴交于点 C， BAC=75 ， ADy 轴，垂足为 D. (1
19、)求 k 的值； (2)求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式； (3)如图 2， M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 lx 轴，与 AC相交于点 N，连接 CM，求 CMN 面积的最大值 . 解析 ： (1)根据反比例函数图象上点的坐标特征易得 k=2 ； (2)作 BHAD 于 H，如图 1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定 B点坐标为 (1， 2 )，则 AH=2 -1， BH=2 -1，可判断 ABH 为等腰直角三角形，所以 BAH=45 ，得到DAC=BAC -BAH=30 ，根据特殊角的三角函数值得 tanDAC= ；由于 ADy 轴，则OD=1
20、， AD=2 ，然后在 RtOAD 中利用正切的定义可计算出 CD=2，易得 C 点坐标为 (0， -1)，于是可根据待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y= x-1； (3)利用 M 点在反比例函数图象上，可设 M 点坐标为 (t， )(0 t 1)，由于直线 lx轴，与 AC 相交于点 N，得到 N 点的横坐标为 t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到 N点坐标为 (t， t-1)，则 MN= - t+1，根据三角形面积公式得到 SOMN = t( -t+1)，再进行配方得到 S=- (t- )2+ (0 t 1)，最后根据二次函数的最值问题求解 . 答案 ： (1)把 A(2 ， 1)
21、代入 y= 得 k=2 1=2 . (2)作 BHAD 于 H，如图 1， 把 B(1， a)代入反比例函数解析式 y= 得 a=2 ， B 点坐标为 (1， 2 )， AH=2 -1， BH=2 -1， ABH 为等腰直角三角形， BAH=45 ， BAC=75 ， DAC=BAC -BAH=30 ， tanDAC=tan30= ； ADy 轴， OD=1 ， AD=2 ， tanDAC= = ， CD=2 ， OC=1 ， C 点坐标为 (0， -1)， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 把 A(2 ， 1)、 C(0， -1)代入得 ，解 ， 直线 AC 的解析式为 y= x-1
22、； (3)设 M 点坐标为 (t， )(0 t 1)， 直线 lx 轴，与 AC 相交于点 N， N 点的横坐标为 t， N 点坐标为 (t， t-1)， MN= -( t-1)= - t+1， S OMN = t ( - t+1)=- t2+ t+ =- (t- )2+ (0 t 1)， a= - 0， 当 t= 时， S 有最大值，最大值为 . 27.(9 分 )如图 1，有一组平行线 l1l 2l 3l 4，正方形 ABCD 的第四个顶点分别在 l1， l2，l3， l4上， EG 过点 D 且垂直 l1于点 E，分别交 l2， l4于点 F1， G1， EF=DG=1， DF=2. (
23、1)AE= ，正方形 ABCD 的边长 = ； (2)如图 2，将 AEG 绕点 A 顺时针旋转得到 AED ，旋转角为 (0 90 )，点 D在直线 l3上，以 AD 为边在 ED 左侧作菱形 ABCD ，使 B ， C 分别在直线 l2，l4上 写出 BAD 与 的数量关系并给出证明； 若 =30 ，求菱形 ABCD 的边长 . 解析 ： (1)利用已知得出 AEDDGC (AAS)，即可得出 AE，以及正方形的边长； (2) 过点 B 作 BM 垂直于 l1于点 M，进而得出 RtAEDRtBMA (HL)，求出 BAD与 的数量关系即可； 首先过点 E 作 ON 垂直于 l1分别交 l
24、1， l2于点 O， N，若 =30 ，则 EDN=60 ，可求出 AE=1， EO， EN， ED 的长，进而由勾股定理可知菱形的边长 . 答案 ： (1)由题意可得： 1+3=90 ， 1+2=90 ， 2=3 ， 在 AED 和 DGC 中， ， AEDDGC (AAS)， AE=GD=1 ， 又 DE=1+2=3 ， 正方形 ABCD 的边长 = = ， 答案 ： 1， ； (2)BAD=90 - ； 理由：过点 B 作 BM 垂直于 l1于点 M， 在 RtAED 和 RtBMA 中， ， RtAEDRtBMA (HL)， DAE+BAM=90 ， BAD+=90 ， BAD=90
25、- ； 过点 E 作 ON 垂直于 l1分别交 l1， l2于点 O， N， 若 =30 ，则 EDN=60 ， AE=1，故 EO= ， EN= ， ED= ， 由勾股定理可知菱形的边长为： = = . 28.(9 分 )如图 1，抛物线 y=- x2平移后过点 A(8， 0)和原点，顶点为 B，对称轴与 x 轴相交于点 C，与原抛物线相交于点 D. (1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 S 阴影 ； (2)如图 2，直线 AB 与 y 轴相交于点 P，点 M为线段 OA上一动点， PMN 为直角，边 MN 与AP 相交于点 N，设 OM=t，试探究： t 为何值时 MAN
26、为等腰三角形； t 为何值时线段 PN 的长度最小，最小长度是多少 . 解析 ： (1)设平移后抛物线的解析式 y=- x2+bx，将点 A(8， 0)代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解； (2)作 NQ 垂直于 x 轴于点 Q. 分当 MN=AN 时，当 AM=AN 时，当 MN=MA 时，三种情况讨论可得 MAN 为等腰三角形时 t 的值； 方法一：作 PN 的中点 E，连接 EM，则 EM=PE= PN，当 EM 垂直于 x 轴且 M 为 OQ 中点时 PN最小，此时 t=3， PN 取最小值为 . 方法二：由 MN 所在直线方程为 y
27、= ，与直线 AB 的解析式 y=- x+6 联立，得 xN的最小值为 6，此时 t=3， PN 取最小值为 . 答案 ： (1)设平移后抛物线的解析式 y=- x2+bx， 将点 A(8， 0)代入，得 y=- ，顶点 B(4， 3)， S 阴影 =OCCB=12 . (2)直线 AB 的解析式为 y=- x+6，作 NQ 垂直于 x 轴于点 Q 当 MN=AN 时， N 点的横坐标为 ，纵坐标为 ， 由三角形 NQM 和三角形 MOP 相似可知 ， = ，解得 t1= ， t2=8(舍去 ). 当 AM=AN 时， AN=8-t，由三角形 ANQ 和三角形 APO 相似可知 NQ= (8-
28、t)， AQ= (8-t)， MQ= ， 由三角形 NQM 和三角形 MOP 相似可知 得： = ， 解得： t=18(舍去 ). 当 MN=MA 时， MNA=MAN 45 ，故 AMN 是钝角，显然不成立，故 t= . 方法一：作 PN 的中点 E，连接 EM，则 EM=PE= PN， 当 EM 垂直于 x 轴且 M 为 OQ中点时 PN最小， 此时 t=3，证明如下： 假设 t=3 时 M 记为 M0， E 记为 E0 若 M 不在 M0处，即 M 在 M0左侧或右侧， 若 E 在 E0左侧或者 E 在 E0处，则 EM一定大于 E0M0，而 PE 却小于 PE0，这与 EM=PE矛盾，
29、 故 E 在 E0右侧，则 PE 大于 PE0，相应 PN也会增大， 故若 M 不在 M0处时 PN 大于 M0处的 PN的值， 故当 t=3 时， MQ=3， NQ= ，根据勾股定理可求出 PM= 与 MN= ， PN= . 故当 t=3 时， PN 取最小值为 . 方法二：由 MN 所在直线方程为 y= ，与直线 AB 的解析式 y=- x+6 联立， 得点 N 的横坐标为 XN= ，即 t2-xNt+36- xN=0， 由判别式 =x 2N-4(36- )0 ，得 xN6 或 xN -14， 又因为 0 xN 8，所以 xN的最小值为 6，此时 t=3， 当 t=3 时， N 的坐标为 (6， )，此时 PN 取最小值为 .
