1、2014 年山东省济宁市中考模拟数学 一、选择题 (各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题 3 分，共 30分 ) 1.(3 分 ) ( )0的相反数等于 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. - 解 析 ： ( )0=1， 1 的相反数是 -1. 答案 ： B. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x2+x3=x5 B. (x+y)2=x2+y2 C. x2 x3=x6 D. (x2)3=x6 解 析 ： A、 x2+x3x 5，故本选项错误； B、 (x+y)2=x2+y2+2xy，故本选项错误； C、 x2 x3=x5，故本选项错误； D、 (x2)3=x6，故
2、本选项正确 . 答案 ： D. 3.(3 分 )在图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误 . 答案 ： B. 4.(3 分 )若直线 y=2x+3 与 y=3x-2b 相交于 x 轴上，则 b 的值是 ( ) A. b=-3 B. b=- C. b=- D. b=6 解 析 ： 直线 y=2x+3 与直线 y=3x-2
3、b 相交于 x 轴上， 2x+3=0， x= ， 两直线的交点坐标为 ( ， 0)， 把此点坐标代入直线 y=3x-2b 得， 3 -2b=0， b=- . 答案 ： C. 5.(3 分 )如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， B=70 ， C=40 ， DE AB交 BC 于点 E.若 AD=3，BC=10，则 CD 的长是 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D. 14 解 析 ： DE AB， B=70 ， DEC= B=70 . 又 C=40 ， CDE=70 . CD=CE. AD BC， DE AB， 四边形 ABED 是平行四边形 . BE=AD=3. CD=CE=B
4、C-BE=BC-AD=10-3=7. 答案 ： A. 6.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 (a-1)x2-2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 解 析 ：根据题意得： =4-12(a-1)0 ，且 a-10 ， 解得： a ， a1 ， 则整数 a 的最大值为 0. 答案 ： C. 7.(3 分 )如图是 5 块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，其主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有两列：左边一列 2 个，右边一
5、列 2 个 . 答案 ： C. 8.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AD=2AB，点 M、 N 分别在边 AD、 BC 上，连接 BM、 DN.若四边形 MBND 是菱形，则 等于 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 四边形 MBND 是菱形， MD=MB. 四边形 ABCD 是矩形， A=90 . 设 AB=x， AM=y，则 MB=2x-y， (x、 y 均为正数 ). 在 Rt ABM 中， AB2+AM2=BM2，即 x2+y2=(2x-y)2， 解得 x= y， MD=MB=2x-y= y， = = . 答案 ： C. 9.(3 分 )如图，如果不等式组 的整数解仅
6、为 1， 2， 3，那么适合这个不等式组的整数 a， b 的有序数对 (a， b)共有 ( ) A. 12 个 B. 9 个 C. 16 个 D. 6 个 解 析 ：由原不等式组可得： x . 在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图 根据数轴可得： 0 1 ， 3 4 . 由 0 1 ，得 0 a4 ， a=1， 2， 3， 4，共 4 个 . 由 3 4 得 9 b12 ， b=10， 11， 12，共 3 个 . 43=12 (个 ). 故适合这个不等式组的整数 a， b 的有序数对 (a， b)共有 12 个 . 答案 ： A. 10.(3 分 )如图，线段 AB 的长为 1，点
7、 P 为线段 AB 上的一个动点 (P 不与 A， B 重合 )，以 AP，BP 为边在线段 AB 的同侧作正三角形 AEP 与正三角形 BFP.过 E作 EM AP于点 M，过 F 作 FN BP 于点 N.连接 EF.设 AP 的长度为 x，四边形 EMNF 的面积为 y，则能表示 y与 x 之间函数关系的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： AB=1， AP=x， PB=1-x， AEP 与 BFP 都是正三角形， EM AP， FN BP， EM= x、 MP= x、 FN= (1-x)、 PN= (1-x)， MN=MP+PN= x+ (1-x)= ， 四边形 EM
8、NF 的面积为 y= x+ (1-x) = ，为定值， 纵观各选项，只有 D 选项图形符合 . 答案 ： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 15 分 ) 11.(3 分 )若代数式 -4x6y3n-1与 x2my是同类项，则 mn的值为 . 解 析 ：由题意得， 解得 mn=3 =2， 答案 ： 2. 12.(3 分 ) 6tan45 -2cos60= . 解 析 ：原式 =61 -2 =5. 答案 ： 5. 13.(3 分 )在 12 的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是
9、 _ . 解 析 ：如图，第三枚棋子有 A， B， C， D 共 4 个位置可以选择，而以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的位置是 B， C， D， 故以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是： . 答案 ： . 14.(3 分 )如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米 . 解 析 ：根据题意，作出实际图形的上底， 如图： AC， CD 是上底面的两边 . 则 AC=602=30 (cm)， ACD=120 ， 作 CB AD 于点
10、 B， 那么 AB=ACsin60=15 (cm)， 所以 AD=2AB=30 (cm)， 胶带的长至少 =30 6+206431.76 (cm). 答案 ： 431.76. 15.(3 分 )函数 y= 和 y= 在第一象限内的图象如图，点 P 是 y= 的图象上一动点， PC x 轴于点 C，交 y= 的图象于点 B.给出如下结论： ODB 与 OCA 的面积相等； PA 与 PB 始终相等； 四边形 PAOB 的面积大小不会发生变化； CA= AP. 其中所有正确结论的序号是 . 解 析 ： 因点 A和 B都在反比例函数 y= 的图象上，根据反比例函数 k的几何意义可知， ODB与 OC
11、A 的面积都等于 ，正确； 由图的直观性可知， P 点至上而下运动时， PB 在逐渐增大，而 PA 在逐渐减小，错误； 因 ODB 与 OCA 的面积都等于 ，它们面积之和始终等于 1，而矩形 OCPD 面积始终等于4，所以四边形 PAOB 的面积始终等于 3，即大小不会发生变化，正确； 连接 OP， OPC 面积始终等于 2， OCA 的面积都等于 ，因它们同底 (OC 作底 )，所以它们面积的比等于高 AC 与 PC 的比，即 AC： PC=1： 4，所以 CA= AP，正确 . 答案 ： . 三、解答题 (共 55 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 ) 16.(6 分 )解方程
12、： (2x-1)2=x(3x+2)-7. 解 析 ：根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案 . 答案 ： (2x-1)2=x(3x+2)-7， 4x2-4x+1=3x2+2x-7， x2-6x=-8， (x-3)2=1， x-3=1 ， x1=2， x2=4. 17.(7 分 )某中学九年级组织了一次期中考试，先把某班的数学成绩进行了统计，并列出了频数分布表： (1)分数在 110x120 范围的同学占全班同学的 20%，完成上表并补充频数分布直方图； (2)写出考试成绩的中位数分布在哪一组？ (3)若全年级有 600 名学生，请你估计分数在 110 分 (含 110
13、分 )以上的大约有多少人？ 解 析 ： (1)根据分数在 110x120 范围的同学数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它分数段的人数，求出 100x 110 的频数，从而补全统计图； (2)根据中位数的定义即可求出答案； (3)用总人数乘以分数在 110 分 (含 110 分 )以上的人数所占的百分比，即可求出答案 . 答案 ： (1)总人数为： 1020%=50 (人 )， 在 100x 110 的人数为： 50-10-7-14-10=9(人 )； 补图如下： . (2)因为共有 5 讴歌数，中位数是第 25、 26 个数的平均数，则中位数分布在 90x 100这一组； (3)由统
14、计结果知分数在 110x120 的人数占所调查总人数的百分比为： 100%=20% ， 则全年级分数在 1(10 分 )(含 110 分 )以上的大约有： 60020%=120 (人 ). 18.(7 分 )如图，四边形 ABCD 是矩形，用直尺和圆规作出 A 的平分线与 BC 边的垂直平分线的交点 Q(不写作法，保留作图痕迹 ).连结 QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条 . 解 析 ： 根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出 Q 点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可 . 答案 ： 如图所示：发现： DQ=AQ 或者 QAD= QDA 等等 . 19.(8 分 )我市某
15、校为了创建书香校园，去年购进一批图书 .经了解，科普书的单价比文学书的单价多 4 元，用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等 . (1)文学书和科普书的单价各多少钱？ (2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书？ 解 析 ： (1)设文学书的单价为每本 x 元，则科普书的单价为每本 (x+4)元，根据用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等建立方程求出其解就可以了； (2)设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书，根
16、据购书总价不超过 10000 元建立不等式求出其解即可 . 答案 ： (1)设文学书的单价为每本 x 元，则科普书的单价为每本 (x+4)元，依题意得： ， 解得： x=8， 经检验 x=8 是方程的解，并且符合题意 . x+4=12. 购进的文学书和科普书的单价分别是 8 元和 12 元 . 设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书 .依题意得 5508+12y10000 ， 解得 ， y 为整数， y 的最大值为 466 至多还能购进 466 本科普书 . 20.(8 分 )如图，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC， AB 是 O 的直径， O 交 BC 于点 D，
17、 DE AC 于点 E， BE 交 O 于点 F，连接 AF， AF 的延长线交 DE 于点 P. (1)求证： DE 是 O 的切线； (2)求 tan ABE 的值； (3)若 OA=2，求线段 AP 的长 . 解 析 ： (1)连接 AD、 OD，根据圆周角定理得 ADB=90 ，由 AB=AC，根据等腰三角形的直线得 DC=DB，所以 OD 为 BAC 的中位线，则 OD AC，然后利用 DE AC 得到 OD DE， 这样根据切线的判定定理即可得到结论； (2)易得四边形 OAED 为正方形，然后根据正切的定义计算 tan ABE 的值； (3)由 AB 是 O 的直径得 AFB=9
18、0 ，再根据等角的余角相等得 EAP= ABF，则 tanEAP=tan ABE= ，在 Rt EAP 中，利用正切的定义可计算出 EP，然后利用勾股定理可计算出 AP. 答案 ： (1)连接 AD、 OD，如图， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， AB=AC， AD 垂直平分 BC，即 DC=DB， OD 为 BAC 的中位线， OD AC， 而 DE AC， OD DE， DE 是 O 的切线； (2) OD DE， DE AC， 四边形 OAED 为矩形， 而 OD=OA， 四边形 OAED 为正方形， AE=AO， tan ABE= = ； (3) AB 是 O 的直径， AF
19、B=90 ， ABF+ FAB=90 ， 而 EAP+ FAB=90 ， EAP= ABF， tan EAP=tan ABE= ， 在 Rt EAP 中， AE=2， tan EAP= = ， EP=1， AP= = . 21.(9 分 )阅读材料： 如图， ABC 中， AB=AC， P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为 r1， r2，腰上的高为 h，连接 AP，则 S ARP+S ACP=S ABC，即： AB r1+ AC r2= AC h， r1+r2=h(定值 ). (1)理解与应用： 如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上的一点，
20、且 BE=BC， F为 CE 上一点，FM BC 于 M， FN BD 于 N，试利用上述结论求出 FM+FN 的长 . (2)类比与推理： 如果把 “ 等腰三角形 ” 改成 “ 等边三角形 ” ，那么 P 的位置可以由 “ 在底边上任一点 ” 放宽为 “ 在三角形内任一点 ” ，即： 已知等边 ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1， r2， r3，等边 ABC 的高为 h，试证明r1+r2+r3=h(定值 ). (3)拓展与延伸： 若正 n 边形 A1A2A n，内部任意一点 P 到各边的距离为 r1r2r n，请问 r1+r2+r n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值 .
21、 解 析 ： (1)已知 BE=BC，采用面积分割法， S BFE+S BCF=S BEC得出三角形高的数量关系 . (2)连接 PA， PB， PC，仿照面积的割补法，得出 S PBC+S PAC+S PAB=S ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系 . (3)问题转化为正 n 边形时，根据正 n 边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n 个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正 n 边形的面积，然后由 P 点向正n 多边形，又可把正 n 边形分割成 n 过三角形，以边长为底，以 r1r2r n为高表示面积，列出面积的等式，可求证 r1+r2+r n为定值 .
22、答案 ： (1)过 E 点作 EH BC，垂足为 H，连接 BF， BE=BC=3， EBH=45 ， EH= ， S BFE+S BCF=S BEC， BEFN+ BCFM= BCEH ， BE=BC， FN+FM=EH= . (2)连接 PA， PB， PC， S PBC+S PAC+S PAB=S ABC， BC r1+ AC r2+ AB r3= BC h， BC=AC=AB， r1+r2+r3=h. (3)设 n 边形的边心距为 r，则： r1+r2+r n=nr(定值 ). 22.(10 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象经过点 A(1， 0)， B(2， 0
23、)， C(0， -2)，直线 x=m(m 2)与 x 轴交于点 D. (1)求二次函数的解析式； (2)在直线 x=m(m 2)上有一点 E(点 E 在第四象限 )，使得 E、 D、 B 为顶点的三角形与以 A、O、 C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标 (用含 m 的代数式表示 )； (3)在 (2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)已知函数的图象经过 A， B， C 三点，把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组，就可以求出函数的解析式； (
24、2)E、 D、 B 为顶点的三角形与以 A、 O、 C 为顶点的三角形相似，这两个三角形都是直角三角形，因而应分 AOC EDB 和 AOC BDE 两种情况讨论 . AOC 的三边已知， BDE 中，BD=m-2，而 DE=-m.根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出 m 的值； (3)四边形 ABEF 是平行四边形，因而 EF=AB，且这两个点的纵坐标相同， E 点的纵坐标是 m，把 x=m 代入抛物线的解析式就可以求出点 F 的横坐标，则 EF 的长就可以求出 .根据 EF=AB就可以得到一个关于 m 的方程，解方程就可以求出 m 的值 .若 m 的值存在，就可以求出四边形的面积 .
25、 答案 ： (1)根据题意，得 解得 a=-1， b=3， c=-2. y=-x2+3x-2.(2 分 ) (2)当 EDB AOC 时， 得 或 ， AO=1， CO=2， BD=m-2， 当 时，得 ， ， 点 E 在第四象限， .(4 分 ) 当 时，得 ， ED=2m-4， 点 E 在第四象限， E2(m， 4-2m).(6 分 ) (3)假设抛物线上存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则 EF=AB=1，点 F 的横坐标为 m-1，当点 E1的坐标为 时，点 F1的坐标为 (m-1， )， 点 F1在抛物线的图象上， =-(m-1)2+3(m-1)-2， 2m2-11m+14=0， (2m-7)(m-2)=0， m= ， m=2(舍去 )， ， S 平行四边形 ABEF=1 .(9 分 ) 当点 E2的坐标为 (m， 4-2m)时，点 F2的坐标为 (m-1， 4-2m)， 点 F2在抛物线的图象上， 4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2， m2-7m+10=0， (m-2)(m-5)=0， m=2(舍去 )， m=5， F2(4， -6)， S 平行四边形 ABEF=16=6 .(12 分 )
