1、2014 年山东省济宁市中考真题数学 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1.(3 分 )实数 1， -1， - ， 0，四个数中，最小的数是 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. - 解析： 根据正数 0负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小， 可得 1 0 - -1，所以在 1， -1， - ， 0 中，最小的数是 -1. 答案： C. 2.(3 分 )化简 -5ab+4ab 的结果是 ( ) A. -1 B. a C. b D. -ab 解析： -5ab+4ab=(-5+4)ab=-ab 答
2、案： D. 3.(3 分 )把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程 .用几何知识解释其道理正确的是( ) A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 解析： 要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短 . 答案： C. 4.(3 分 )函数 y= 中的自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x0 B. x -1 C. x 0 D. x0 且 x -1 解析： 根据题意得： x0 且 x+10 ，解得 x0 ， 答案： A. 5.(3 分 )如果圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 2cm，那么这个圆锥的侧面积为 (
3、) A. 10cm2 B. 10cm 2 C. 20cm2 D. 20cm 2 解析： 圆锥的侧面积 =2252=10 . 答案： B. 6.(3 分 )从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性 .下面叙述正确的是( ) A. 样本容量越大，样本平均数就越大 B. 样本容量越大，样本的方差就越大 C. 样本容量越大，样本的极差就越大 D. 样本容量越大，对总体的估计就越准确 解析： 用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关， 只与样本容量在总体中所占的比例有关， 样本容量越大，估计的越准确 . 答案： D. 7.(3 分 )如果 ab 0， a+b 0，那么下面
4、各式： = ， =1， =-b，其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： ab 0， a+b 0， a 0， b 0 = ，被开方数应 0a ， b 不能做被开方数所以 是错误的， =1， = = =1 是正确的， =-b， = = =-b 是正确的 . 答案： B. 8.(3 分 )“ 如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 .” 请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、 n(m n)是关于 x 的方程 1-(x-a)(x-b)=0 的两根，且 a b，则 a、 b、 m、 n 的大小关系
5、是 ( ) A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b 解析： 依题意，画出函数 y=(x-a)(x-b)的图象，如图所示 . 函数图象为抛物线，开口向上，与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a， b(a b). 方程 1-(x-a)(x-b)=0 转化为 (x-a)(x-b)=1，方程的两根是抛物线 y=(x-a)(x-b)与直线 y=1的两个交点 . 由 m n，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n. 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧， y 随 x 增大而减少，则有 m a；在对称轴右侧， y 随x 增大而增大，则有 b n.综上所述，可知
6、m a b n. 答案： A. 9.(3 分 )如图，将 ABC 绕点 C(0， 1)旋转 180 得到 ABC ，设点 A 的坐标为 (a， b)，则点 A 的坐标为 ( ) A. (-a， -b) B. (-a， -b-1) C. (-a， -b+1) D. (-a， -b+2) 解析： 根据题意，点 A、 A 关于点 C 对称， 设点 A 的坐标是 (x， y)，则 =0， =1，解得 x=-a， y=-b+2， 点 A 的坐标是 (-a，-b+2). 答案： D. 10.(3 分 )如图，两个直径分别为 36cm 和 16cm 的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该
7、几何体的俯视图的圆心距是 ( ) A. 10cm. B. 24cm C. 26cm D. 52cm 解析： 球心距是 (36+16)2=26 ，两球半径之差是 (36-16)2=10 ，俯视图的圆心距是=24cm， 答案： B. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分 . 11.(3 分 )如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量为 a 克，再称得剩余电线的质量为 b 克，那么原来这卷电线的总长度是 米 . 解析： 根据 1 米长的电线，称得它的质量为 a 克，只需根据剩余电线的质量除以 a，即可知道剩余电线的长度 .故总长度是 ( +1)米 . 答案：
8、( +1) 12.(3 分 )如图，在 ABC 中， A=30 ， B=45 ， AC= ，则 AB 的长为 . 解析： 过 C 作 CDAB 于 D， ADC=BDC=90 ， B=45 ， BCD=B=45 ， CD=BD ， A=30 ， AC=2 ， CD= ， BD=CD= ， 由勾股定理得： AD= =3， AB=AD+BD=3+ . 答案： 3+ . 13.(3 分 )若一元二次方程 ax2=b(ab 0)的两个根分别是 m+1 与 2m-4，则 = . 解析： x 2= (ab 0)， x= ， 方程的两个根互为相反数， m+1+2m -4=0，解得 m=1， 一元二次方程 a
9、x2=b(ab 0)的两个根分别是 2 与 -2， =2， =4. 答案： 4. 14.(3 分 )如图，四边形 OABC 是矩形， ADEF 是正方形，点 A、 D 在 x轴的正半轴上，点 C在y 轴的正半轴上，点 F在 AB 上，点 B、 E 在反比例函数 y= 的图象上， OA=1， OC=6，则正方形 ADEF 的边长为 . 解析： OA=1 ， OB=6， B 点坐标为 (1， 6)， k=16=6 ， 反比例函数解析式为 y= ， 设 AD=t，则 OD=1+t， E 点坐标为 (1+t， t)， (1+t) t=6， 整理为 t2+t-6=0，解得 t1=-3(舍去 )， t2=
10、2， 正方形 ADEF 的边长为 2. 答案： 2. 15.(3 分 )如图 (1)，有两个全等的正三角形 ABC 和 ODE，点 O、 C 分别为 ABC 、 DEO 的重心；固定点 O，将 ODE 顺时针旋转，使得 OD 经过点 C，如图 (2)，则图 (2)中四边形 OGCF与 OCH 面积的比为 . 解析： 设三角形的边长是 x，则高长是 x. 图 1 中，阴影部分是一个内角是 60 的菱形， OC= x= x. 另一条对角线长是： FG=2GH=2 OC tan30=2 x tan30= x. 则四边形 OGCF 的面积是： x x= x2； 图 2 中， OC= x= x.是一个角
11、是 30 的直角三角形 . 则 OCH 的面积 = OC sin30 OC cos30= x x = x2. 四边形 OGCF 与 OCH 面积的比为： x2： x2=4： 3. 答案： 4： 3. 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分 . 16.(6 分 )已知 x+y=xy，求代数式 + -(1-x)(1-y)的值 . 解析： 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值 . 答案 ： x+y=xy ， + -(1-x)(1-y)= -(1-x-y+xy)= -1+x+y-xy=1-1+0=0. 17.(6 分 )如图，正方形 AEFG 的顶点 E、 G 在正方形 ABCD 的边
12、 AB、 AD 上，连接 BF、 DF. (1)求证： BF=DF； (2)连接 CF，请直接写出 BE： CF 的值 (不必写出计算过程 ). 解析： (1)根据正方形的性质得出 BE=DG，再利用 BEFDGF 求得 BF=DF， (2)由 BF=DF 得点 F 在对角线 AC 上，再运用平行线间线段的比求解 . 答案： (1) 四边形 ABCD和 AEFG 都是正方形， AB=AD ， AE=AG=EF=FG， BEF=DGF=90 ， BE=AB -AE， DG=AD-AG， BE=DG ， 在 BEF 和 DGF 中， ， BEFDGF (SAS)， BF=DF ； (2)BF=DF
13、 点 F 在对角线 AC 上 ， ADEFBC ， BE ： CF=AE： AF=AE： AE= ， BE ： CF= . 18.(7 分 )山东省第二十三届运动会将于 2014 年在济宁举行 .下图是某大学未制作完整的三个年级省运会志愿者的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题： (1)请你求出三年级有多少名省运会志愿者，并将两幅统计图补充完整； (2)要求从一年级、三年级志愿者中各推荐一名队长候选人，二年级志愿者中推荐两名队长候选人，四名候选人中选出两人任队长，用列表法或树形图，求出两名队长都是二年级志愿者的概率是多少？ 解析： (1)先利用二年级志愿者的人数和它所占的百分比计算出志愿者
14、的总人数为 60 人，再用 60 乘以 20%得到三年级志愿者的人数，然后用 100%分别减去二、三年级所占的百分比即可得到一年级志愿者的人数所占的百分比，再把两幅统计图补充完整； (2)用 A 表示一年级队长候选人， B、 C 表示二年级队长候选人， D 表示三年级队长候选人，利用树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出两人都是二年级志愿者的结果数，然后利用概率公式计算 . 答案 ： (1)三个年级省运会志愿者的总人数 =3050%=60 (人 )，所以三年级志愿者的人数=6020%=12 (人 )；一年级志愿者的人数所占的百分比 =1-50%-20%=30%；如图所示： (2)用 A
15、表示一年级队长候选人， B、 C 表示二年级队长候选人， D 表示三年级队长候选人，画树形图为： ， 共有 12 种等可能的结果，其中两人都是二年级志愿者的情况有两种， 所以 P(两名队长都是二年级志愿者 )= = . 19.(8 分 )济宁市 “ 五城同创 ” 活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担 .已知甲工程队单独完成这项工作需 120 天，甲工程队单独工作 30 天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了 36 天完成 . (1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ (2)因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了 x 天完成，乙做另一部分用了 y 天完成，其中 x、 y
16、 均为正整数，且 x 46， y 52，求甲、乙两队各做了多少天？ 解析： (1)设乙工程队单独完成这项工作需要 x 天，由题意列出分式方程，求出 x 的值即可； (2)首先根据题意列出 x 和 y 的关系式， 进而求出 x 的取值范围，结合 x和 y都是正整数，即可求出 x 和 y 的值 . 答案 ： (1)设乙工程队单独完成这项工作需要 x 天，由题意得 +36( )=1，解之得x=80，经检验 x=80 是原方程的解 . 答：乙工程队单独做需要 80 天完成； (2)因为甲队做其中一部分用了 x 天，乙队做另一部分用了 y 天， 所以 =1，即 y=80- x，又 x 46， y 52，
17、 所以 ，解之得 42 x 46， 因为 x、 y 均为正整数，所以 x=45， y=50， 答：甲队做了 45 天，乙队做了 50 天 . 20.(8 分 )在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板，要求同学们： (1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分； (2)设计的整个图案是某种对称图形 . 王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告 . 解析： 根据圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形定义分别分析得出即可 . 答案 ： 21.(9 分 )阅读材料： 已知，如图 (1
18、)，在面积为 S 的 ABC 中， BC=a， AC=b， AB=c，内切圆 O 的半径为 r.连接 OA、OB、 OC， ABC 被划分为三个小三角形 .S=S OBC +SOAC +SOAB = BC r+ AC r+ AB r=(a+b+c)r.r= . (1)类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆 (与各边都相切的圆 )，如图 (2)，各边长分别为 AB=a， BC=b， CD=c， AD=d，求四边形的内切圆半径 r； (2)理解应用：如图 (3)，在等腰梯形 ABCD 中， ABDC ， AB=21， CD=11， AD=13， O 1与 O 2分别为 ABD 与
19、BCD 的内切圆，设它们的半径分别为 r1和 r2，求 的值 . 解析： (1)已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA， OB， OC， OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似 .仿照证明过程， r 易得 . (2)(1)中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果 .但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点 D 作 AB 垂线，进一步易得 BD 的长，则 r1、r2、 易得 . 答案 ： (1)如图 2，连接 OA、 OB、 OC、 OD. S=S AOB +SBOC +SCOD +SAOD = +
20、 + + = ， r= . (2)如图 3，过点 D 作 DEAB 于 E， 梯形 ABCD 为等腰梯形， AE= = =5， EB=AB -AE=21-5=16. 在 RtAED 中， AD=13 ， AE=5， DE=12 ， DB= =20. S ABD = = =126， SCDB = = =66， = = = . 22.(11 分 )如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A(5， 0)、 B(-1， 0)两点，过点 A 作直线ACx 轴，交直线 y=2x 于点 C； (1)求该抛物线的解析式； (2)求点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A 的坐标，判定点 A 是否在
21、抛物线上，并说明理由； (3)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 CA 于点 M，是否存在这样的点 P，使四边形 PACM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)首先求出对称点 A 的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点 A 是否在抛物线上 .本问关键在于求出 A 的坐标 .如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形RtAEARtOAC ，利用相似关系、对称性质、勾股定理 ，求出对称点 A 的坐标； (3)本问为存在型问题 .解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解 .如
22、 图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此 PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出 PM 的长度，然后列方程求解 . 答案 ： (1)y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A(5， 0)、 B(-1， 0)两点， ，解得 . 抛物线的解析式为 y= x2-x- . (2)如 图所示，过点 A 作 AEx 轴于 E， AA 与 OC 交于点 D， 点 C 在直线 y=2x 上， C (5， 10) 点 A 和 A 关于直线 y=2x 对称， OCAA ， AD=AD . OA=5 ， AC=10， OC= = = . SOAC= OCAD= OAAC， AD= .AA= ， 在 RtAEA
23、 和 RtOAC 中， AAE+AAC=90 ， ACD+AAC=90 ， AAE=ACD . 又 AEA=OAC=90 ， RtAEARtOAC . ，即 .AE=4 ， AE=8.OE=AE -OA=3. 点 A 的坐标为 (-3， 4)， 当 x=-3 时， y= (-3)2+3- =4.所以，点 A 在该抛物线上 . (3)存在 .理由：设直线 CA 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 直线 CA 的解析式为 y= x+ (9 分 ) 设点 P 的坐标为 (x， x2-x- )，则点 M 为 (x， x+ ). PMAC ， 要使四边形 PACM 是平行四边形，只需 PM=AC.又点 M 在点 P 的上方， ( x+ )-( x2-x- )=10.解得 x1=2， x2=5(不合题意，舍去 ) 当 x=2 时， y=- . 当点 P 运动到 (2， - )时，四边形 PACM 是平行四边形 .
