1、2014 年山东省淄博市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 4 分 ) 1.(4 分 )计算 (-3)2等于 ( ) A.-9 B -6 C .6 D.9 解析： 原式 =32=9. 答案： D. 2.(4 分 )方程 - =0 解是 ( ) A. x= B. x= C. x= D. x=-1 解析： 去分母得： 3x+3-7x=0，解得： x= ，经检验 x= 是分式方程的解 . 答案： B 3.(4 分 )如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速 (单位：千米 /时 )情况 .则这些车的车速的众数、中位数分别是 ( ) A. 8， 6 B. 8， 5 C. 52，
2、53 D. 52， 52 解析： 根据题意得：这些车的车速的众数 52 千米 /时， 车速分别为 50， 50， 51， 51， 51， 51， 51， 52， 52， 52， 52， 52， 52， 52， 52， 53， 53，53， 53， 53， 53， 54， 54， 54， 54， 55， 55， 中间的为 52，即中位数为 52 千米 /时，则这些车的车速的众数、中位数分别是 52， 52. 答案： D 4.(4 分 )如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长 .该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是 S1， S2， S3，则
3、S1， S2，S3的大小关系是 ( ) A. S1 S2 S3 B. S3 S2 S1 C. S2 S3 S1 D. S1 S3 S2 解析： 主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积， S1 S3 S2， 答案： D. 5.(4 分 )一元二次方程 x2+2 x-6=0 的根是 ( ) A. x1=x2= B. x1=0， x2=-2 C. x1= ， x2=-3 D. x1=- ， x2=3 解析： a=1 ， b=2 ， c=-6， x= = = =-2 ， x 1= ， x2=-3 ； 答案： C. 6.(4 分 )当 x=1 时，代数式 ax
4、3-3bx+4 的值是 7，则当 x=-1时，这个代数式的值是 ( ) A. 7 B. 3 C. 1 D. -7 解析： x=1 时， ax3-3bx+4= a-3b+4=7，解得 a-3b=3， 当 x=-1 时， ax3-3bx+4=- a+3b+4=-3+4=1. 答案： C. 7.(4 分 )如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC、 DB 相交于点 P， BAC=CDB=90 ， AB=AD=DC.则 cosDPC 的值是 ( ) A. B. C. D. 解析： 梯形 ABCD 是等腰梯形， DAB+BAC=180 ， ADBC ， DAP=ACB ， ADB=ABD ， AB=A
5、D=DC ， ABD=ADB ， DAP=ACD ， DAP=ABD=DBC ， BAC=CDB=90 ， 3ABD=90 ， ABD=30 ， 在 ABP 中， ABD=30 ， BAC=90 ， APB=60 ， DPC=60cosDPC=cos60=. 答案： A. 8.(4 分 )如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 B(0， -2).它与反比例函数 y=- 的图象交于点 A(m， 4)，则这个二次函数的解析式为 ( ) A. y=x2-x-2 B. y=x2-x+2 C. y=x2+x-2 D. y=x2+x+2 解析： 将 A(m， 4)代入反比例解析式得： 4=- ，即
6、 m=-2， A (-2， 4)， 将 A(-2， 4)， B(0， -2)代入二次函数解析式得： ，解得： b=-1， c=-2， 则二次函数解析式为 y=x2-x-2. 答案： A. 9.(4 分 )如图， ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上， AE与 BC 相交于点 F.有甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 A-B-F-C 的路径行走至 C，乙沿着 A-F-E-C-D 的路径行走至 D，丙沿着 A-F-C-D 的路径行走至 D.若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序 (由先至后 )是 ( ) A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D.
7、 丙甲乙 解析： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD ， B=90 ， 甲行走的距离是 AB+BF+CF=AB+BC=2AB； 乙行走的距离是 AF+EF+EC+CD； 丙行走的距离是 AF+FC+CD， B=ECF=90 ， AF AB， EF CF， AF+FC+CD 2AB， AF+FC+CD AF+EF+EC+CD， 甲比丙先到，丙比乙先到， 即顺序是甲丙乙， 答案： B. 10.(4 分 )如图，矩形纸片 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，且 AE=1， BE 的垂直平分线 MN 恰好过点 C.则矩形的一边 AB 的长度为 ( ) A. 1 B. C. D.
8、2 解析： 如图，连接 EC. FC 垂直平分 BE， BC=EC (线段垂直平分线的性质 ) 又 点 E 是 AD 的中点， AE=1， AD=BC，故 EC=2 利用勾股定理可得 AB=CD= = . 答案： C. 11.(4 分 )如图，直线 AB 与 O 相切于点 A，弦 CDAB ， E， F 为圆上的两点，且 CDE=ADF .若 O 的半径为 ， CD=4，则弦 EF 的长为 ( ) A. 4 B. 2 C. 5 D. 6 解析： 连接 OA，并反向延长交 CD 于点 H，连接 OC， 直线 AB 与 O 相切于点 A， OAAB ， 弦 CDAB ， AHCD ， CH= CD
9、= 4=2 ， O 的半径为 ， OA=OC= ， OH= = ， AH=OA+OH= + =4， AC= =2 . CDE=ADF ， = ， = ， EF=AC=2 . 答案： B. 12.(4 分 )已知二次函数 y=a(x-h)2+k(a 0)，其图象过点 A(0， 2)， B(8， 3)，则 h 的值可以是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 抛物线的对称轴为直线 x=h， 当对称轴在 y 轴的右侧时， A(0， 2)到对称轴的距离比 B(8， 3)到对称轴的距离小， x=h 4. 答案： D. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分 ) 13.
10、(4 分 )分解因式： 8(a2+1)-16a= . 解析： 8(a2+1)-16a=8(a2+1-2a)=8(a-1)2. 答案： 8(a-1)2. 14.(4 分 )某实验中学九年级 (1)班全体同学的综合素质评价 “ 运动与健康 ” 方面的等级统计如图所示，其中评价为 “A” 所在扇形的圆心角是 度 . 解析： A 所占百分比： 100%-15%-20%-35%=30%，圆心角： 36030%=108 ， 答案： 108. 15.(4 分 )已知 ABCD，对角线 AC， BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是 . 解析： 邻边相等的平行四
11、边形是菱形， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，试添加一个条件：可以为： AD=DC； 答案： AD=DC. 16.(4 分 )关于 x 的反比例函数 y= 的图象如图， A、 P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称 .PAB 中， PBy 轴， ABx 轴， PB 与 AB 相交于点 B.若 PAB 的面积大于 12，则关于 x 的方程 (a-1)x2-x+ =0 的根的情况是 . 解析： 反比例函数 y= 的图象位于一、三象限， a+4 0， a -4， A 、 P 关于原点成中心对称， PBy 轴， ABx 轴， PAB 的面积大于 12， 2xy 12， 即
12、 a+4 6， a 2a 2.= (-1)2-4(a-1) =2-a 0， 关于 x 的方程 (a-1)x2-x+ =0没有实数根 . 答案： 没有实数根 . 17.(4 分 )如图，在正方形网格中有一边长为 4 的平行四边形 ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为 6 的矩形 .(要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可 ) 解析： 如图： 三、解答题 (共 7 小题，共 52 分 ) 18.(5 分 )计算： . 解析： 原式约分即可得到结果 . 答案： 原式 = = . 19.(5 分 )如图，直线 ab ，点 B 在直线上 b 上，且 ABBC ， 1=55 ，求 2 的度数 . 解析： 根据
13、垂直定义和邻补角求出 3 ，根据平行线的性质得出 2=3 ，代入求出即可 . 答案： ABBC ， ABC=90 ， 1+3=90 ， 1=55 ， 3=35 ， ab ， 2=3=35 . 20.(8 分 )节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于 8000 小时的节能灯是优等品，使用寿命小于 6000 小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品 .质检部门对某批次的一种节能灯 (共 200 个 )的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表 . (1)根据分布表中的数据，在答题卡上写出 a， b， c 的值； (2)某人从这 200 个节能灯中随机购买 1 个，求
14、这种节能灯恰好不是次品的概率 . 解析： (1)由频率分布表中的数据，根据频率 =频数 数据总数及频数 =数据总数 频率即可求出 a、 b、 c 的值； (2)根据频率分 布表中的数据，用不是次品的节能灯个数除以节能灯的总个数即可求解 . 答案： (1)根据频率分布表中的数据，得 a= =0.1， b=2000.15=30 ， c= =0.3； ( )设 “ 此人购买的节能灯恰好不是次品 ” 为事件 A. 由表可知：这批灯泡中优等品有 60 个，正品有 110 个，次品有 30 个， 所以此人购买的节能灯恰好不是次品的概率为 P(A)= =0.85. 21.(8 分 )为鼓励居民节约用电，某省
15、试行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 例如：一户居民七月份用电 420 度，则需缴电费 4200.85=357 (元 ). 某户居民五、六月份共用电 500 度，缴电费 290.5 元 .已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于 400 度 .问该户居民五、六月份各月电多少度？ 解析： 某户居民五、六月份共用电 500 度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当 5 月份用电量为 x 度 200 度， 6 月份用电 (500-x)度，当 5 月份用电量为 x 度200 度，六月份用电量为 (500-x)度 x 度，分别建立方程求出其解即可 . 答案： 当 5
16、 月份用电量为 x 度 200 度， 6 月份用电 (500-x)度，由题意，得 0.55x+0.6(500-x)=290.5，解得： x=190， 6 月份用电 500-x=310 度 . 当 5 月份用电量为 x 度 200 度，六月份用电量为 (500-x)度，由题意，得 0.6x+0.6(500-x)=290.5， 300=290.5，原方程无解 .5 月份用电量为 190 度， 6 月份用电 310 度 . 22.(8 分 )如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标是 (0.3)，点 C是 x 轴上的一个动点，点 C 在x 轴上移动时，始终保持 ACP 是等边三角形 .当点 C 移动到点
17、 O 时，得到等边三角形 AOB(此时点 P 与点 B 重合 ). (1)点 C 在移动的过程中，当等边三角形 ACP 的顶点 P 在第三象限时 (如图 )，求证：AOCABP ；由此你发现什么结论？ (2)求点 C 在 x 轴上移动时，点 P 所在函数图象的解析式 . 解析： (1)由等边三角形的性质易证 AO=AB， AC=AP， CAP=OAB=60 ；然后由图示知CAP+PAO=OAB+PAO ，即 CAO=PAB .所以根据 SAS 证得结论； (2)利用 (1)中的结论 PBAB .根据等边三角形的性质易求点 B 的坐标为 B( ， ).再由旋转的性质得到当点 P 移动到 y 轴上
18、的坐标是 (0， -3)，所以根据点 B、 P 的坐标易求直线BP 的解析式 . 答案： (1)AOB 与 ACP 都是等边三角形， AO=AB ， AC=AP， CAP=OAB=60 ， CAP+PAO=OAB+PAO ， CAO=PAB ， 在 AOC 与 ABP 中， AOCABP (SAS).COA=PBA=90 ， 点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上或 PBAB 或 ABP=90 . 故结论是：点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上或 PBAB 或 ABP=90 ； (2)点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上 . AOB 是等边三 角形， A(0， 3)， B
19、 ( ， ). 当点 C 移动到点 P 在 y 轴上时，得 P(0， -3). 设点 P 所在的直线方程为： y=kx+b(k0 ).把点 B、 P 的坐标分别代入，得 ，解得 ， 所以点 P 所在的函数图象的解析式为： y= x-3. 23.(9 分 )如图，四边形 ABCD 中， ACBD 交 BD 于点 E，点 F， M 分别是 AB， BC 的中点， BN平分 ABE 交 AM 于点 N， AB=AC=BD.连接 MF， NF. (1)判断 BMN 的形状，并证明你的结论； (2)判断 MFN 与 BDC 之间的关系，并说明理由 . 解析： (1)根据等腰三角形的性质，可得 AM 是高
20、线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得 EAB+EBA=90 ，根据三角形外角的性质，可得答案； (2)根据三角形中位线的性质，可得 MF与 AC 的关系，根据等量代换，可得 MF 与 BD 的关系，根据等腰直角三角形，可得 BM 与 NM 的关系，根据等量代换，可得 NM与 BC 的关系，根据同角的余角相等，可得 CBD 与 NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案 . 答案： (1)BMN 是等腰直角三角形 . 证明： AB=AC ，点 M 是 BC 的中点， AMBC ， AM 平分 BAC . BN 平分 ABE ， ACBD ， AEB=90 ，
21、 EAB+EBA=90 ， MNB=NAB+ABN= (BAE+ABE )=45 .BMN 是等腰直角三角形； (2)MFNBDC . 证明： 点 F， M 分别是 AB， BC 的中点， FMAC ， FM= AC. AC=BD ， FM= BD，即 . BMN 是等腰直角三角形， NM=BM= BC，即 ， . AMBC ， NMF+FMB=90 . FMAC ， ACB=FMB . CEB=90 ， ACB+CBD=90 .CBD+FMB=90 ，NMF=CBD .MFNBDC . 24.(9 分 )如图，点 A 与点 B 的坐标分别是 (1， 0)， (5， 0)，点 P 是该直角坐标
22、系内的一个动点 . (1)使 APB=30 的点 P 有 个； (2)若点 P 在 y 轴上，且 APB=30 ，求满足条件的点 P 的坐标； (3)当点 P 在 y 轴上移动时， APB 是否有最大值？若有，求点 P 的坐标，并说明此时 APB最大的理由；若没有，也请说明理由 . 解析： (1)已知点 A、点 B 是定点，要使 APB=30 ，只需点 P 在过点 A、点 B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为 60 即可，显然符合条件的点 P 有无数个 . (2)结合 (1)中的分析可知：当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 是 (1)中的圆与 y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质
23、、勾股定理等知识即可求出符合条件的点 P 的坐标；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点 P 的坐标 . (3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角 .要 APB 最大，只需构造过点 A、点 B 且与 y 轴相切的圆，切点就是 使得 APB 最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题 . 答案： (1)以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形 ABC， 以点 C 为圆心， AC 为半径作 C ，交 y 轴于点 P1、 P2. 在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1， 则 APB=
24、 ACB= 60=30 . 使 APB=30 的点 P 有无数个 . 故答案为：无数 . (2) 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 过点 C 作 CGAB ，垂足为 G，如图 1. 点 A(1， 0)，点 B(5， 0)， OA=1 ， OB=5.AB=4 . 点 C 为圆心， CGAB ， AG=BG= AB=2.OG=OA+AG=3 . ABC 是等边三角形， AC=BC=AB=4 . CG= = =2 . 点 C 的坐标为 (3， 2 ). 过点 C 作 CDy 轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1， 点 C 的坐标为 (3， 2 )， CD=3 ， OD=2 . P 1、 P2是
25、C 与 y 轴的交点， AP 1B=AP 2B=30 . CP 2=CA=4， CD=3， DP 2= = . 点 C 为圆心， CDP 1P2， P 1D=P2D= . P 2(0， 2 - ).P1(0， 2 + ). 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P3(0， -2 - ).P4(0， -2 + ). 综上所述：满足条件的点 P 的坐标有： (0， 2 - )、 (0， 2 + )、 (0， -2 - )、 (0， -2 + ). (3)当过点 A、 B 的 E 与 y 轴相切于点 P 时， APB 最大 . 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 连接 EA，作 EHx 轴
26、，垂足为 H，如图 2. E 与 y 轴相切于点 P， PEOP . EHAB ， OPOH ， EPO=POH=EHO=90 . 四边形 OPEH 是矩形 . OP=EH ， PE=OH=3.EA=3 . EHA=90 ， AH=2， EA=3， EH= = = OP= P (0， ). 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P(0， - ). 理由： 若点 P 在 y 轴的正半轴上， 在 y 轴的正半轴上任取一点 M(不与点 P 重合 )， 连接 MA， MB，交 E 于点 N，连接 NA，如图 2 所示 . ANB 是 AMN 的外角， ANB AMB . APB=ANB ， APB AMB . 若点 P 在 y 轴的负半轴上， 同理可证得： APB AMB . 综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时， APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为 (0， )和 (0， - ).
