1、2014 年山东省烟台市中考真题数学 一、选择题 (本题共 12 小题，每小题 3分，满分 36 分 ) 1.(3 分 )-3 的绝对值等于 ( ) A. -3 B. 3 C. 3 D. - 解析： |-3|=3. 答案： B. 2.(3 分 )下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180 后不能与原图形重合，此图形
2、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 . 答案： D. 3.(3 分 )烟台市通过扩消费、促投资、稳外需的协同发力，激发了区域发展活力，实现了经济平稳较快发展 .2013 年全市生产总值 (GDP)达 5613 亿元 .该数据用科学记数法表示为( ) A. 5.61310 11元 B. 5.61310 12元 C. 56.1310 10元 D. 0.561310 12元 解析： 将 5613 亿元用科学记数法表示为： 5.61310 11元 . 答案： A. 4.(3 分 )如图是一个正
3、方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从正面看，主视图为 . 答案： C. 5.(3 分 )按如图的运算程序，能使输出结果为 3 的 x， y 的值是 ( )A. x=5， y=-2 B. x=3， y=-3 C. x=-4， y=2 D. x=-3， y=-9 解析： 由题意得， 2x-y=3， A、 x=5 时， y=7，故本选项错误； B、 x=3 时， y=3，故本选项错误； C、 x=-4 时， y=-11，故本选项错误； D、 x=-3 时， y=-9，故本选项正确 . 答案： D. 6.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中， M， N
4、 分别在 AB， CD 上，且 AM=CN， MN与 AC交于点 O，连接 BO.若 DAC=28 ，则 OBC 的度数为 ( ) A. 28 B. 52 C. 62 D. 72 解析： 四边形 ABCD 为菱形， ABCD ， AB=BC， MAO=NCO ， AMO=CNO ， 在 AMO 和 CNO 中， ， AMOCNO(ASA) ， AO=CO ， AB=BC ， BOAC ， BOC=90 ， DAC=28 ， BCA=DAC=28 ， OBC=90 -28=62. 答案： C. 7.(3 分 )如图，已知等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=CD=AD=3，梯形中位线 E
5、F 与对角线 BD相交于点 M，且 BDCD ，则 MF 的长为 ( ) A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5 解析： 已知等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=CD=AD=3， ABC=C ， ABD=ADB ， ADB=BDC. ABD=CBD ， C=2DBC. BDCD ， BDC=90 ， DBC= C=30 ， BC=2DC=23=6. EF 是梯形中位线， MF 是三角形 BCD 的中位线， MF= BC= 6=3， 答案： B. 8.(3 分 )关于 x 的方程 x2-ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是 ( ) A. -1 或 5 B.
6、1 C. 5 D. -1 解析： 设方程的两根为 x1， x2，则 x1+x2=a， x1x2=2a， x 12+x22=5， (x 1+x2)2-2x1x2=5， a 2-4a-5=0， a 1=5， a2=-1， =a 2-8a0 ， a= -1. 答案： D. 9.(3 分 )将一组数 ， ， 3， 2 ， ， ， 3 ，按下面的方式进行排列： ， ， 3， 2 ， ； 3 ， ， 2 ， 3 ， ； 若 2 的位置记为 (1， 4)， 2 的位置记为 (2， 3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A. (5， 2) B. (5， 3) C. (6， 2) D. (6， 5) 解
7、析： 3 = ， 3 得被开方数是 得被开方数的 30 倍， 在第六行的第 2 个，即 (6， 2)， 答案： C. 10.(3 分 )如图，将 ABC 绕点 P 顺时针旋转 90 得到 ABC ，则点 P 的坐标是 ( ) A. (1， 1) B. (1， 2) C. (1， 3) D. (1， 4) 解析： 将 ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转 90 得到 ABC ， 点 A 的对应点为点 A ，点 B 的对应点为点 B ， 作线段 AA 和 BB 的垂直平分线，它们的交点为 P(1， 2)， 旋转中心的坐标为 (1， 2). 答案： B. 11.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx
8、+c(a0 )的部分图象如图，图象过点 (-1， 0)，对称轴为直线 x=2，下列结论： 4a+b=0 ； 9a+c 3b； 8a+7b+2c 0； 当 x -1 时， y 的值随 x 值的增大而增大 .其中正确的结论有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析： 抛物线的对称轴为直线 x=- =2， b= -4a，即 4a+b=0，所以 正确； 当 x=-3 时， y 0， 9a -3b+c 0，即 9a+c 3b，所以 错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为 (-1， 0)， a -b+c=0， 而 b=-4a， a+4a+c=0 ，即 c=-5a， 8a+7b+
9、2c=8a -28a-10a=-30a， 抛物线开口向下， a 0， 8a+7b+2c 0，所以 正确； 对称轴为直线 x=2， 当 -1 x 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，当 x 2 时， y随 x的增大而减小，所以 错误 . 答案： B. 12.(3 分 )如图，点 P 是 ABCD 边上一动点，沿 ADCB 的路径移动，设 P点经过的路径长为 x， BAP 的面积是 y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析： 点 P 沿 AD 运动， BAP 的面积逐渐变大； 点 P 沿 DC 移动， BAP 的面积不变； 点 P 沿 CB
10、的路径移动， BAP 的面积逐渐减小 . 答案： A. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，满分 18 分 ) 13.(3 分 )( -1)0+( )-1= . 解析： 原式 =1+2014=2015. 答案： 2015. 14.(3 分 )在函数 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析： 根据二次根式有意义，分式有意义得： 1-x0 且 x+20 ，解得： x1 且 x -2. 答案： x1 且 x -2 15.(3 分 )在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有 3个白球，且摸出白球的概率是 ，那么袋子中共有球 个 . 解析： 设袋中共有球 x 个
11、， 有 3 个白球，且摸出白球的概率是 ， = ，解得 x=12(个 ). 答案： 12. 16.(3 分 )如图，已知函数 y=2x+b 与函数 y=kx-3 的图象交于点 P，则不等式 kx-3 2x+b的解集是 . 解析： 把 P(4， -6)代入 y=2x+b， 得 -6=24+b ， 解得 b=-14. 把 P(4， -6)代入 y=kx-3， 解得 k=- . 把 b=-14， k=- 代入 kx-3 2x+b， 得 - x-3 2x-14， 解得 x 4. 答案： x 4. 点评： 本题主要考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是求出 k， b 的值求解集 . 17.(3分 )
12、如图，正六边形 ABCDEF内接于 O ，若 O 的半径为 4，则阴影部分的面积等于 . 解析： 连接 OC、 OD、 OE， OC 交 BD 于 M， OE 交 DF于 N，过 O 作 OZCD 于 Z， 六边形 ABCDEF 是正六边形， BC=CD=DE=EF ， BOC=COD=DOE=EOF=60 ， 由垂径定理得： OCBD ， OEDF ， BM=DM， FN=DN， 在 RtBMO 中， OB=4， BOM=60 ， BM=OBsin60=2 ， OM=OB cos60=2 ， BD=2BM=4 ， BDO 的面积是 BDOM= 4 2=4 ， 同理 FDO 的面积是 4 ；
13、COD=60 ， OC=OD=4， COD 是等边三角形， OCD=ODC=60 ， 在 RtCZO 中， OC=4， OZ=OCsin60=2 ， S 扇形 OCD-SCOD = - 42 = -4 ， 阴影部分的面积是： 4 +4 + -4 + -4 = . 答案： . 18.(3 分 )如图， AOB=45 ，点 O1在 OA 上， OO1=7， O 1的半径为 2，点 O2在射线 OB上运动，且 O 2始终与 OA 相切，当 O 2和 O 1相切时， O 2的半径等于 . 解析： 如图，作 O2COA 于点 C，连接 O1O2， 设 O2C=r， AOB=45 ， OC=O 2C=r，
14、 O 1的半径为 2， OO1=7， O 1O2=r+2， O1C=7-r， (7 -r)2+r2=(r+2)2， 解得： r=3 或 15， 答案： 3 或 15. 三、解答题 (本大题共 8 个小题，满分 66分 ) 19.(6 分 )先化简，再求值： (x- )，其中 x 为数据 0， -1， -3， 1， 2 的极差 . 答案： 原式 = = = ， 当 x=2-(-3)=5 时，原式 = = . 20.(7 分 )2014 年世界杯足球赛 6 月 12 日 -7月 13 日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400 名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了 2
15、00 名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图 (图 1)和扇形统计图 (图 2). (1)四个年级被调查人数的中位数是多少？ (2)如果把 “ 特别关注 ” 、 “ 一般关注 ” 、 “ 偶尔关注 ” 都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？ (3)在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人 “ 特别关注 ” 本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率 . 解析： (1)根据条形统计图中的数据，找出中位数即可； (2)根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比，乘以 2400 即可得到结果； (
16、3)画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求概率 . 答案 ： (1)四个年级被抽出的人数由小到大排列为 30， 40， 50， 80， 中位数为 =45(人 )； (2)根据题意得： 2400(1 -45%)=1320(人 )，则该校关注本届世界杯的学生大约有 1320 人； (3)画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是甲与乙的情况有 2 种，则 P= = . 21.(7 分 )小明坐于堤边垂钓，如图，河堤 AC 的坡角为 30 ， AC 长 米，钓竿 AO 的倾斜角是 60 ，其长为 3 米，若 AO 与钓鱼线 OB 的夹角为 60 ，
17、求浮漂 B与河堤下端 C之间的距离 . 解析： 延长 OA 交 BC 于点 D.先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出CAD=180 -ODB -ACD=90 ，解 RtACD ，得出 AD=AC tanACD= 米， CD=2AD=3 米， 再证明 BOD 是等边三角形，得到 BD=OD=OA+AD=4.5 米，然后根据 BC=BD-CD 即可求出浮漂 B与河堤下端 C 之间的距离 . 答案 ：延长 OA 交 BC 于点 D. AO 的倾斜角是 60 ， ODB=60. ACD=30 ， CAD=180 -ODB -ACD=90. 在 RtACD 中， AD=AC tanACD= = (米 )
18、， CD=2AD=3 米， 又 O=60 ， BOD 是等边三角形， BD=OD=OA+AD=3+ =4.5(米 )， BC=BD -CD=4.5-3=1.5(米 ). 答：浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离为 1.5 米 . 22.(8 分 )如图，点 A(m， 6)， B(n， 1)在反比例函数图象上， ADx 轴于点 D， BCx 轴于点C， DC=5. (1)求 m， n 的值并写出反比例函数的表达式； (2)连接 AB，在线段 DC 上是否存在一点 E，使 ABE 的面积等于 5？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据题意列出关于 m 与 n 的方程
19、组，求出方程组的解得到 m 与 n的值，确定出 A与 B 坐标，设出反比例函数解析式，将 A 坐标代入即可确定出解析式； (2)存在，设 E(x， 0)，表示出 DE 与 CE，连接 AE， BE，三角形 ABE 面积 =四边形 ABCD 面积 -三角形 ADE 面积 -三角形 BCE 面积，求出即可 . 答案 ： (1)由题意得： ，解得： ， A(1 ， 6)， B(6， 1)， 设反比例函数解析式为 y= ，将 A(1， 6)代入得： k=6，则反比例解析式为 y= ； (2)存在，设 E(x， 0)，则 DE=x-1， CE=6-x， ADx 轴， BCx 轴， ADE=BCE=90
20、，连接 AE， BE， 则 SABE =S 四边形 ABCD-SADE -SBCE = (BC+AD) DC- DE AD- CE BC= (1+6)5 - (x-1)6 -(6-x)1= - x=5，解得： x=5，则 E(5， 0). 23.(8 分 )山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%. (1)今年 A 型车每辆售价多少元？ (用列方程的方法解答 ) (2)该车计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超
21、过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A， B 两种型号车的进货和销售价格如下表： 解析： (1)设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为 (x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； (2)设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车 (60-x)辆，获利 y元，由条件表示出 y与 a之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值 . 答案： (1)设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价 每辆为 (x+400)元， 由题意，得 ，解得： x=1600.经检验， x=1600 是元方程的根 . 答：今年 A 型车每辆售价 1600 元；
22、(2)设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车 (60-x)辆，获利 y元，由题意，得 y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a)， y=-100a+36000. B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60 -a2a ， a20. y= -100a+36000.k= -100 0， y 随 a 的增大而减小 .a=20 时， y 最大 =34000 元 . B 型车的数量为： 60-20=40 辆 . 当新进 A 型车 20 辆， B 型车 40 辆时，这批车获利最大 . 24.(8 分 )如图， AB 是 O 的直径，延长 AB 至 P，使 BP=OB， B
23、D垂直于弦 BC，垂足为点 B，点 D 在 PC 上 .设 PCB= ， POC= .求证： tan tan = . 解析： 连接 AC 先求出 PBDPAC ，再求出 = ，最后得到 tantan = . 答案 ：连接 AC，则 A= POC= ， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， tan= ， BDAC ， PBD=A ， P=P ， PBDPAC ， = ， PB=0B=OA ， = ， tana tan = = = . 25.(10 分 )在正方形 ABCD 中，动点 E， F 分别从 D， C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC， CB 上移动 . (1)如图 ，当点 E
24、自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE与 DF 的位置关系，并说明理由； (2)如图 ，当 E， F 分别移动到边 DC， CB 的延长线上时，连接 AE和 DF， (1)中的结论还成立吗？ (请你直接回答 “ 是 ” 或 “ 否 ” ，不需证明 ) (3)如图 ，当 E， F 分别在边 CD， BC 的延长线上移动时，连接 AE， DF， (1)中的结论还成立吗？请说明理由； (4)如图 ，当 E， F 分别在边 DC， CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E， F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P
25、 运动路径的草图 .若 AD=2，试求出线段 CP 的最小值 . 解析： (1)AE=DF， AEDF. 先证得 ADEDCF. 由全等三角形的性质得 AE=DF， DAE=CDF ，再由等角的余角相等可得 AEDF ； (2)是 .四边形 ABCD 是正方形，所以 AD=DC， ADE=DCF=90 ， DE=CF，所以 ADEDCF ，于是 AE=DF， DAE=CDF ，因为 CDF+ADF=90 ， DAE+ ADF=90 ，所以 AEDF ； (3)成立 .由 (1)同理可证 AE=DF， DAE=CDF ，延长 FD 交 AE 于点 G，再由等角的余角相等可得 AEDF ； (4)
26、由于点 P 在运动中保持 APD=90 ，所以点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，再由勾股定理可得 OC 的长，再求 CP 即可 . 答案： (1)AE=DF， AEDF. 理由： 四边形 ABCD 是正方形， AD=DC ， ADC=C=90. DE=CF ， ADEDCF.AE=DF ， DAE=CDF ， 由于 CDF+ADF=90 ， DAE+ADF=90.AEDF ； (2)是； (3)成立 .理由：由 (1)同理可证 AE=DF， DAE=CDF ， 延长 FD 交 AE 于点 G， 则 CDF+ADG
27、=90 ， ADG+DAE=90.AEDF . (4)如图： 由于点 P 在运动中保持 APD=90 ， 点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧， 设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点 P，此时 CP的长度最小， 在 RtODC 中， OC= ， CP=OC -OP= . 26.(12分 )如图，在平面直角坐标系中， RtABC 的顶点 A， C分别在 y轴， x轴上， ACB=90 ，OA= ，抛物线 y=ax2-ax-a 经过点 B(2， )，与 y 轴交于点 D. (1)求抛物线的表达式； (2)点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由； (3)延长 BA 交
28、抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由 . 解析： (1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得 . (2)通过 AOCCFB 求得 OC 的值，通过 OCDFCB 得出 DC=CB， OCD=FCB ，然后得出结论 . (3)设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果 . 答案 ： (1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得 =a2 2-2a-a，解得 a= ， 抛物线的表达式为 y= x2- x- . (2)连接 CD，过点 B 作 BFx 轴于点 F，则 BCF+CBF=90 ACB=90 ， ACO+BCF=9
29、0 ， ACO=CBF ， AOC=CFB= 90 ， AOCCFB ， = ， 设 OC=m，则 CF=2-m，则有 = ，解得 m=m=1， OC=OF=1 ， 当 x=0 时 y=- ， OD= ， BF=OD ， DOC=BFC=90 ， OCDFCB ， DC=CB ， OCD=FCB ， 点 B、 C、 D 在同一直线上， 点 B 与点 D 关于直线 AC对称， 点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上 . (3)过点 E 作 EGy 轴于点 G，设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，则 ，解得 k=- ， y= - x+ ，代入抛物线的表达式 - x+ = x2- x- ， 解得 x=2 或 x=-2， 当 x=-2 时 y=- x+ =- ( -2)+ = ， 点 E 的坐标为 (-2， )， tanEDG= = = ， EDG=30 ， tanOAC= = = ， OAC=30 ， OAC=EDG ， EDAC.
