1、2014 年山东省菏泽市中考真题数学 一、选择题 (本大共 8 小题，每小题 3分，共 24分。在每小题给出的四个选项 A、 B、 C、 D中。只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。 ) 1.(3 分 )比 -1 大的数是 ( ) A. -3 B. - C. 0 D. -1 解析 ： -3、 - 、 0、 -1 四个数中比 -1 大的数是 0. 答案： C. 2.(3 分 )如图，直线 lmn ，等边 ABC 的顶点 B、 C 分别在直线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n所夹的角为 25 ，则 的度数为 ( ) A. 25 B. 45 C. 35 D. 30 解析 ： 如图， mn ，
2、1=25 ， ABC 是等边三角形， ACB=60 ， 2=60 -25=35 ， lm ， =2=35 . 答案： C. 3.(3 分 )下列计算中，正确的是 ( ) A. a3 a2=a6 B. ( -3.14)0=1 C. ( )-1=-3 D. =3 解析 ： A、 a3 a2=a3+2=a5，故本选项错误； B、 ( -3.14)0=1，故本选项正确； C、 ( )-1=3，故本选项错误； D、 =3，故本选项错误 . 答案： B. 4.(3 分 )2014 年 4 月 8 日我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表： 该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是 ( ) A. 0
3、.15 和 0.14 B. 0.18 和 0.15 C. 0.18 和 0.14 D. 0.15 和 0.15 解析 ： 将题干中十个数据按从小到大排列为： 0.13， 0.13， 0.14， 0.14， 0.15， 0.15， 0.15，0.15， 0.18， 0.18. 众数为 0.15，中位数为 (0.15+0.15)2=0.15 . 答案： D. 5.(3 分 )过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 选项 A、 C、 D 折叠后都不符合题意，只有选项 B 折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个
4、顶点， 与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合 . 答案： B. 6.(3 分 )已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 -b，则 a-b的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 解析 ： 关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 -b， b 2-ab+b=0， -b0 ， b0 ，方程两边同时除以 b，得 b-a+1=0， a -b=1. 答案： A. 7.(3 分 )若点 M(x， y)满足 (x+y)2=x2+y2-2，则点 M 所在象限是 ( ) A. 第一象限或第三象限 B. 第二象限或第四象限 C. 第一象限或第二象限 D
5、. 不能确定 解析 ： (x+y)2=x2+2xy+y2， 原式可化为 xy=-1， x 、 y 异号， 点 M(x， y)在第二象限或第四象限 . 答案： B. 8.(3 分 )如图， RtABC 中， AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、 F 分别在 AC、 BC边上， C、 D两点不重合，设 CD 的长度为 x， ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 0 x1 时， y=x2， 当 1 x2 时， ED 交 AB 于 M， EF 交 AB 于 N，如图， CD=x，则
6、AD=2-x， RtABC 中， AC=BC=2， ADM 为等腰直角三角形， DM=2 -x， EM=x -(2-x)=2x-2， S ENM = (2x-2)2=2(x-1)2， y=x 2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2， y= ， 答案： A. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分 ) 9.(3 分 )2014 年 “ 原创新春祝福微博大赛 ” 作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福电信作品 62800 条，将 62800 用科学记数法表示为 . 解析 ： 62 800=6.2810 4.
7、答案 ： 6.2810 4. 10.(3 分 )如图，在 ABC 中 A=25 ，以点 C 为圆心， BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC于点 E，则 的度数为 . 解析 ： 连接 CD， A=25 ， B=65 ， CB=CD ， B=CDB=65 ， BCD=50 ， 的度数为 50 . 答案 ： 50 . 11.(3 分 )分解因式： 2x3-4x2+2x= . 解析 ： 2x3-4x2+2x， =2x(x2-2x+1)， =2x(x-1)2. 答案 ： 2x(x-1)2. 12.(3 分 )如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1=x2(x0 )与 y2= (x0
8、)于 B、 C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 y1于点 D，直线 DEAC ，交 y2于点 E，则 = . 解析 ： 设设 A 点坐标为 (0， a)， (a 0)， 则 x2=a，解得 x= ， 点 B( ， a)， =a，则 x= ， 点 C( ， a)， CDy 轴， 点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ， y 1= 2=3a， 点 D 的坐标为 ( ， 3a)， DEAC ， 点 E 的纵坐标为 3a， =3a， x=3 ， 点 E 的坐标为 (3 ， 3a)， DE=3 - ， = =3- . 答案 ： 3- . 13.(3 分 )如图， RtABO 中， AOB=9
9、0 ，点 A 在第一象限、点 B 在第四象限，且 AO： BO=1：，若点 A(x0， y0)的坐标 x0， y0满足 y0= ，则点 B(x， y)的坐标 x， y所满足的关系式为 . 解析 ： 设点 B 在反比例函数 y= (k 0)上，分别过点 A、 B作 AC， BD 分别垂直 y 轴于点 C、D， ACO=BDO=90 ， AOC+BOD=90 ， AOC+OAC=90 ， OAC=BOD ， AOCOBD ， =( )2=( )2= ， 点 A(x0， y0)的坐标 x0， y0满足 y0= ， S AOC = ， S BOD =1， k= -2， 点 B(x， y)的坐标 x，
10、y 所满足的关系式为 y=- . 答案 ： y=- . 14.(3 分 )下面是一个某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第 n(n 是整数，且 n3 )行从左到右数第 n-2 个数是 (用含n 的代数式表示 ) 解析 ： 前 (n-1)行的数据的个数为 2+4+6+2 (n-1)=n(n-1)， 所以 第 n(n 是整数，且 n3 )行从左到右数第 n-2 个数的被开方数是 n(n-1)+n-2=n2-2， 所以 第 n(n 是整数，且 n3 )行从左到右数第 n-2 个数是 . 答案 ： . 三、解答题 (共大题共 7 小题，共 78 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
11、15.(12 分 )(1)计算： 2-1-3tan30+ (2- )0+ (2)解不等式组 ，并判断 x= 是否为该不等式组的解 . 解析 ： (1)分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 (2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而可得出结论 . 答案 ： (1)原式 = -3 +1+2 = + ； (2) ， 由 得， x -3， 由 得， x1 ， 故此不等式组的解集为： -3 x1 ， 1， x= 不是该不等式组的解 . 16.(12 分 )(1)在 ABC 中， AD 平分 BAC ， BDAD
12、 ，垂足为 D，过 D 作 DEAC ，交 AB于 E，若 AB=5，求线段 DE 的长 . (2)已知 x2-4x+1=0，求 - 的值 . 解析 ： (1)求出 CAD=BAD=EDA ，推出 AE=DE，求出 ABD=EDB ，推出 BE=DE，求出 AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 . (2)化简以后，用整体思想代入即可得到答案 . 答案 ： (1)AD 平分 BAC ， BAD=CAD ， DEAC ， CAD=ADE ， BAD=ADE ， AE=DE ， ADDB ， ADB=90 ， EAD+ABD=90 ， ADE+BDE=ADB=90 ， ABD=BDE ，
13、 DE=BE ， AB=5 ， DE=BE=AE= =2.5. (2)原式 = = x 2-4x+1=0， x 2-4x=-1，原式 = 17.(14 分 )(1)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的 A、 B 两种饮料均需加入同种添加剂， A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克， B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克，已知 270克该添加剂恰好生产了 A、 B 两种饮料共 100 瓶，问 A、 B 两种饮料各生产了多少瓶？ (2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A
14、(1， 0)，与反比例函数 y= (x 0)的图象相交于点 B(2， 1). 求 m 的值和一次函数的解析式； 结合图象直接写出：当 x 0 时，不等式 kx+b 的解集 . 解析 ： (1)设 A 饮料生产了 x 瓶，则 B 饮料生产了 (100-x)瓶，根据 270 克该添加剂恰好生产了 A、 B 两种饮料共 100 瓶，列方程求解； (2) 将 B 点坐标代入，求出 m 的值，将点 A 和点 B的坐标代入求出 k和 b的值，继而可求得解析式； 根据图象，写出解集即可 . 答案 ： (1)设 A 饮料生产了 x 瓶，则 B 饮料生产了 (100-x)瓶， 由题意得， 2x+3(100-x)
15、=270， 解得： x=30， 100-x=70， 答： A 饮料生产了 30 瓶，则 B 饮料生产了 70 瓶； (2) 反比例函数 y= (x 0)的图象经过点 B(2， 1)， m=12=2 ， 一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(1， 0)，点 B(2， 1)， ，解得： ， 一次函数的解析式为： y=x-1； 由图象可得： x 2. 18.(10 分 )如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，连接 BC， AC，作 ODBC 与过点 A 的切线交于点 D，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 E. (1)求证： DE 是 O 的切线； (2)若 = ，求 cosA
16、BC 的值 . 解析 ： (1)如图，连接 OC.欲证 DE 是 O 的切线，只需证得 OCDE ； (2)由 = ，可设 CE=2k(k 0)，则 DE=3k，在 RtDAE 中，由勾股定理求得 AE=2 k.则 tanE= = .所以在 RtOCE 中， tanE= = . 在 RtAOD 中，由勾股定理得到 OD= = k，故 cosABC=cosAOD= = . 答案： (1)如图，连接 OC. AD 是过点 A 的切线， AB 是 O 的直径， ADAB ， DAB=90 . ODBC ， 1=2 ， 3=4 . OC=OB ， 2=4 .1=3 . 在 COD 和 AOD 中， ，
17、 CODAOD (SAS) OCD=DAB=90 ，即 OCDE 于点 C. OC 是 O 的半径， DE 是 O 的切线； (2)由 = ，可设 CE=2k(k 0)，则 DE=3k， AD=DC=k . 在 RtDAE 中， AE= =2 k.tanE= = . 在 RtOCE 中， tanE= = . = ， OC=OA= . 在 RtAOD 中， OD= = k， cosABC=cosAOD= = . 19.(10 分 )李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类， A：很好； B：较好； C：一般； D：较差
18、.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)李老师一共调查了多少名同学？ (2)C 类女生有 3 名， D 类男生有 1 名，将上面条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，李老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位同学进行 “ 一帮一 ” 互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的 概率 . 解析 ： (1)根据 B 类有 6+4=10 人，所占的比例是 50%，据此即可求得总人数； (2)利用 (1)中求得的总人数乘以对应的比例即可求得 C类的人数，然后求得 C类中女生人数，同理求得 D 类男生的人数
19、； (3)利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解 . 答案 ： (1)(6+4)50%=20 .所以李老师一共调查了 20 名学生 . (2)C 类女生有 3 名， D 类男生有 1 名；补充条形统计图 . (3)由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6 种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有 3 种 . 所以 P(所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学 )= = . 20.(10分 )已知：如图，正方形 ABCD， BM、 DN分别平分正方形的两个外角，且满足 MAN=45 ，连结 MN. (1)若正方形的
20、边长为 a，求 BM DN 的值 . (2)若以 BM， DN， MN 为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论 . 解析 ： (1)根据角平分线的定义求出 CBM=CDN=45 ，再求出 ABM=ADN=135 ，然后根据正方形的每一个角都是 90 求出 BAM+NAD=45 ，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 BAM+AMB=45 ，从而得到 NAD=AMB ，再求出 ABM 和 NDA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可； (2)过点 A 作 AFAN 并截取 AF=AN，连接 BF、 FM，根据同角的余角相等求出 1=3 ，然后利用 “ 边角边 ” 证
21、明 ABF 和 AND 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=DN，FBA= NDA=135 ，再求出 FAM=MAN=45 ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 AFM 和 ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得 FM=NM，再求出 FBM 是直角三角形，然后利用勾股定理判断即可 . 答案 ： (1)BM 、 DN 分别平分正方形的两个外角， CBM=CDN=45 ， ABM=ADN=135 ， MAN=45 ， BAM+NAD=45 ， 在 ABM 中， BAM+AMB=MBP=45 ， NAD=AMB ， 在 ABM 和 NDA 中， ， ABMNDA ， = ， BM DN=AB A
22、D=a2； (2)以 BM， DN， MN 为三边围成的三角形为直角三角形 . 证明如下：如图，过点 A 作 AFAN 并截取 AF=AN，连接 BF、 FM， 1+BAN=90 ， 3+BAN=90 ， 1=3 ， 在 ABF 和 AND 中， ， ABFAND (SAS)， BF=DN ， FBA=NDA=135 ， FAN=90 ， MAN=45 ， 1+2=FAM=MAN=45 ， 在 AFM 和 ANM 中， ， AFMANM (SAS)， FM=NM ， FBP=180 -FBA=180 -135=45 ， FBP+FBM=45+45=90 ， FB 是直角三角形， FB=DN ，
23、 FM=MN， 以 BM， DN， MN 为三边围成的三角形为直角三角形 . 21.(10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2-2mx+m2-9. (1)求证：无论 m 为何值，该抛物线与 x 轴总有两个交点； (2)该抛物线与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 在点 B的左侧，且 OA OB，与 y 轴的交点坐标为(0， -5)，求此抛物线的解析式； (3)在 (2)的条件下，抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 N，若点 M 是线段 AN 上的任意一点，过点 M 作直线 MCx 轴，交抛物线于点 C，记点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 D，点 P是线段 MC 上一点，
24、且满足 MP= MC，连结 CD， PD，作 PEPD 交 x 轴于点 E，问是否存在这样的点 E，使得 PE=PD？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)令 y=0，则 x2-2mx+m2-9=0，根据根的判别式 b2-4ac=(-2m)2-4(m2-9)=36 0，所以无论 m 为何值，该抛物线与 x 轴总有两个交点 . (2)直接将 C 点 (0， -5)代入 y=x2-2mx+m2-9 根据抛物线与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B的左侧，且 OA OB)，求出 m 的值即可； (3)假设 E 点存在由直角三角形的性质可以得出 MEP=CPD
25、 .再根据条件可以得出EPMPDC 就有 PM=DC， EM=PC，设 C(x0， y0)，则 D(4-x0， y0)， P(x0， y0).根据 PM=DC就有 2x0-4=- y0，由 C 点在抛物线上有 2x0-4=- ( x02-4x0-5)，求出 x0的值就可以得出结论 . 答案 ： (1)令 y=0，则 x2-2mx+m2-9=0， = (-2m)2-4m2+36 0， 无论 m 为何值时方程 x2-2mx+m2-9=0 总有两个不相等的实数根， 抛物线 y=x2-2mx+m2-9 的开口向上，顶点在 x 轴的下方， 该抛物线与 x 轴总有两个交点 . (2) 抛物线 y=x2-2
26、mx+m2-9 与 y 轴交点坐标为 (0， -5)， -5=m2-9.解得： m=2 . 当 m=-2， y=0 时， x2+4x-5=0 解得： x1=-5， x2=1， 抛物线 y=x2-2mx+m2-9 与 x 轴交于 A， B两点 (点 A在点 B 的左侧，且 OA OB)， m= -2 不符合题意，舍去 .m=2 . 抛物线的解析式为 y=x2-4x-5； (3)如图 2，假设 E 点存在， MCEM ， CDMC ， EMP=PCD=90 .MEP+MPE=90 PEPD ， EPD=90 ， MPE+DPC=90 MEP=CPD . 在 EMP 和 PCD 中， ， EPMPDC (AAS).PM=DC ， EM=PC. 设 C(x0， y0)，则 D(4-x0， y0)， P(x0， y0).2x0 -4=- y0. 点 C 在抛物线 y=x2-4x-5 上； y 0=x02-4x0-52x0 -4=- (x02-4x0-5). 解得： x01=1， x02=11(舍去 )， P (1， -2).PC=6 .ME=PC=6 .E (7， 0).
