2014年山东省青岛市中考真题数学.docx

1、2014 年山东省青岛市中考真题数学 一、选择题 (本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分 )下列每小题都给出标号为 A、 B、C、 D 的四个结论，其中只有一个是正确的 .每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 . 1.(3 分 )-7 的绝对值是 ( ) A. -7 B. 7 C. - D. 解析： |-7|=7， 答案： B. 2.(3 分 )下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、 此图形旋转 180

2、后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 . 答案： D. 3.(3 分 )据统计，我国 2013 年全年完成造林面积约 6090000 公顷 .6090000 用科学记数法可表示为 ( ) A. 6.0910 6 B. 6.0910 4 C. 60910 4 D. 60.910 5 解析： 将 6090000 用科学记数法表示为： 6.0910 6. 答案： A. 4.

3、(3 分 )在一个有 15 万人的小镇，随机调查了 3000 人，其中有 300 人看中央电视台的早间新闻 .据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有 ( ) A. 2.5 万人 B. 2 万人 C. 1.5 万人 D. 1 万人 解析： 该镇看中央电视台早间新闻的约有 15 =1.5 万， 答案： C. 5.(3 分 )已知 O 1与 O 2的半径分别是 2 和 4， O1O2=5，则 O 1与 O 2的位置关系是 ( ) A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 解析： O 1、 O 2的半径分别是 2、 4， 半径和为： 2+4=6，半径差为： 4-2=2， O 1O2=5， 2

4、6 6， O 1与 O 2的位置关系是：相交 . 答案： C. 6.(3 分 )某工程队准备修建一条长 1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快 20%，结果提前 2 天完成任务 .若设原计划每天修建道路 xm，则根据题意可列方程为 ( ) A. - =2 B. - =2 C. - =2 D. - =2 解析： 设原计划每天修建道路 xm，则实际每天修建道路为 (1+20%)xm， 由题意得， - =2. 答案： D. 7.(3分 )如图，将矩形 ABCD沿 EF 折叠，使顶点 C恰好落在 AB边的中点 C 上 .若 AB=6， BC=9，则 BF 的长为 (

5、 ) A. 4 B. 3 C. 4.5 D. 5 解析： 点 C 是 AB 边的中点， AB=6， BC=3 ， 由图形折叠特性知， CF=CF=BC -BF=9-BF， 在直角三角形 CBF 中， BF2+BC 2=CF 2， BF 2+9=(9-BF)2，解得， BF=4， 答案： A. 8.(3 分 )函数 y= 与 y=-kx2+k(k0 )在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由解析式 y=-kx2+k 可得：抛物线对称轴 x=0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得 k 0，则 -k 0，抛物线开口方向向上、抛物线与 y 轴的交点为 y 轴

6、的负半轴上；本图象与 k 的取值相矛盾，错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k 0，则 -k 0，物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象符合题意，正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k 0，则 -k 0，物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k 0，则 -k 0，物线开口方向 向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，错误 . 答案： B. 二、填空题 (本题满分 18 分，共有 6道小题，每小

7、题 3 分 ) 9.(3 分 )计算： = . 解析： 原式 = + =2 +1. 答案： 2 +1. 10.(3 分 )某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶 (每袋茶叶的标准质量为 200g).为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了 50 袋，测得它们的实际质量分析如下： 则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 (填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ). 解析： =16.23， =5.84， ， 这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙 . 答案： 乙 . 11.(3 分 )如图， ABC 的顶点都在方格线的交点 (格点 )上，如果将 ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转 9

8、0 ，那么点 B 的对应点 B 的坐标是 . 解析： 如图，将 ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转 90 ，点 B 的对应点 B 的坐标为 (1， 0). 答案： (1， 0). 12.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， BD， CD 分别是过 O 上点 B， C 的切线，且 BDC=110 .连接 AC，则 A 的度数是 . 解析： 连接 OC， BD ， CD 分别是过 O 上点 B， C 的切线， OCCD ， OBBD ， OCD=OBD=90 ， BDC=110 ， BOC=360 -OCD -BDC -OBD=70 ， A= BOC=35 . 答案： 35. 13.(3 分

9、 )如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD=2， BCD=60 ，对角线 AC 平分 BCD ， E， F 分别是底边 AD， BC 的中点，连接 EF.点 P 是 EF 上的任意一点，连接 PA， PB，则 PA+PB 的最小值为 . 解析： E ， F 分别是底边 AD， BC 的中点，四边形 ABCD 是等腰梯形， B 点关于 EF 的对称点 C 点， AC 即为 PA+PB的最小值， BCD=60 ，对角线 AC 平分 BCD ， ABC=60 ， BCA=30 ， BAC=90 ， AD=2 ， PA+PB 的最小值 =AB tan60= . 答案： 2 . 14.(3 分 )如图，

10、是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上 (不改变原几何体中小立方块的位置 )，继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块 . 解析： 由俯视图易得最底层有 7 个小立方体，第二层有 2 个小立方体，第三层有 1 个小立方体，那么共有 7+2+1=10 个几何体组成 . 若搭成一个大正方体，共需 444=64 个小立方体， 所以还需 64-10=54 个小立方体， 答案： 54. 三、作图题 (本题满分 4 分 )用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 . 15.(4 分 )已知：线段 a， . 求作： ABC ，使 AB=AC=a， B= .

11、 解析： 首先作 ABC= ，进而以 B 为圆心 a 的长为半径画弧，再以 A 为圆心 a 为半径画弧即可得出 C 的位置 . 答案 ：如图所示： ABC 即为所求 . 四、解答题 (本题满分 74 分，共有 9道小题 ) 16.(8 分 )(1)计算： ； (2)解不等式组： . 解析： (1)首先转化为乘法运算，然后进行约分即可； (2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集 . 答案 ： (1)原式 = = = ； (2)解不等式 ，得 x . 解不等式 ，得 x 3. 所以原不等式组的解集是 x 3. 17.(6 分 )空气质量状况已引起全社会的广泛

12、关注，某市统计了 2013 年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图 . 根据以上信息解答下列问题： (1)该市 2013 年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是 天，众数是 天； (2)求扇形统计图中扇形 A 的圆心角的度数； (3)根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况 (字数不超过 30 字 ). 解析： (1)利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数； (2)利用 (1)中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形 A 的圆心角 的度数； (3)结合空气质量进而得出答案 . 答案 ： (1)由题意可得，数据为： 8， 9， 12，

13、13， 13， 13， 15， 16， 17， 19， 21， 21， 最中间的是： 13， 15， 故该市 2013 年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是 14 天，众数是 13 天 故答案为： 14， 13； (2)由题意可得： 360 =60 . 答：扇形 A 的圆心角的度数是 60 . (3)该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可 . 18.(6分 )某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘 (如图，转盘被均匀分为 20份 )，并规定：顾客每购买 200 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会 .如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可

14、以分别获得 200 元、 100 元、 50 元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物 .如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 30 元 . (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 解析： (1)由转盘被均匀分为 20 份，转动一次转盘获得购物券的有 10 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案 . 答案 ： (1) 转盘被均匀分为 20 份，转动一次转盘获得购物券的有 10 种情况， P (转动一次转盘获得购物券 )= = .(2

15、 分 ) (2)P (红色 )= ， P(黄色 )= ， P(绿色 )= = ， (元 ) 40 元 30 元， 选择转转盘对顾客更合算 .(6 分 ) 19.(6 分 )甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑 10 米，甲再起跑 .图中 l1和 l2分别表示甲、乙两人跑步的路程 y(m)与甲跑步的时间 x(s)之间的函数关系，其中 l1的关系式为 y1=8x，问甲追上乙用了多长时间？ 解析： 设 l2表示乙跑步的路程 y(m)与甲跑步的时间 x(s)之间的函数关系为 y2=kx+b，代入(0， 10)， (2， 22)求得函数解析式，进一步与 l1的关系式为 y1=8x 联立方程解

16、决问题 . 答案 ：设 y2=kx+b(k0 )， 代入 (0， 10)， (2， 22)得 解这个方程组，得 所以 y2=6x+10. 当 y1=y2时， 8x=6x+10，解这个方程，得 x=5. 答：甲追上乙用了 5s. 20.(8 分 )如图，小明想测山高和索道的长度 .他在 B 处仰望山顶 A，测得仰角 B=31 ，再往山的方向 (水平方向 )前进 80m 至索道口 C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角 ACE=39 . (1)求这座山的高度 (小明的身高忽略不计 )； (2)求索道 AC 的长 (结果精确到 0.1m). (参考数据： tan31 ， sin31 ， tan39 ，

17、 sin39 ) 解析： (1)过点 A 作 ADBE 于 D，设山 AD 的高度为 xm，在 RtABD 和 RtACD 中分别表示出 BD 和 CD 的长度，然后根据 BD-CD=80m，列出方程，求出 x 的值； (2)在 RtACD 中，利用 sinACD= ，代入数值求出 AC 的长度 . 答案 ： (1)过点 A 作 ADBE 于 D，设山 AD 的高度为 xm， 在 RtABD 中， ADB=90 ， tan31= ， BD= = x， 在 RtACD 中， ADC=90 ， tan39= ， CD= = x， BC=BD -CD， x- x=80，解得： x=180.即山的高度

18、为 180 米； (2)在 RtACD 中， ADC=90 ， sin39= ， AC= = 282.9 (m). 答：索道 AC 长约为 282.9 米 . 21.(8 分 )已知：如图， ABCD 中， O 是 CD 的中点，连接 AO 并延长，交 BC 的延长线于点 E. (1)求证： AODEOC ； (2)连接 AC， DE，当 B=AEB= 时，四边形 ACED 是正方形？请说明理由 . 解析： (1)根据平行线的性质可得 D=OCE ， DAO=E ，再根据中点定义可得 DO=CO，然后可利用 AAS 证明 AODEOC ； (2)当 B=AEB=45 时，四边形 ACED 是正

19、方形，首先证明四边形 ACED 是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形 ACED 是正方形 . 答案 ： (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC . D=OCE ， DAO=E . O 是 CD 的中点， OC=OD ， 在 ADO 和 ECO 中， ， AODEOC (AAS)； (2)当 B=AEB=45 时，四边形 ACED 是正方形 . AODEOC ， OA=OE . 又 OC=OD ， 四边形 ACED 是平行四边形 . B=AEB=45 ， AB=AE ， BAE=90 . 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD ， AB=CD. COE=BAE=90

20、. ACED 是菱形 . AB=AE ， AB=CD， AE=CD . 菱形 ACED 是正方形 . 故答案为： 45. 22.(10 分 )某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销 .据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 . (1)求出每天的销售利润 y(元 )与销售单价 x(元 )之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 700

21、0 元，那么销售单价应控制在什么范围内？ (每天的总成本 =每件的成本 每天的销售量 ) 解析： (1)根据 “ 利润 =(售价 -成本 ) 销售量 ” 列出方程； (2)把 (1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； (3)把 y=4000 代入函数解析式，求得相应的 x 值；然后由 “ 每天的总成本不超过 7000 元 ”列出关于 x 的不等式 50(-5x+550)7000 ，通过解不等式来求 x 的取值范围 . 答案 ： (1)y=(x-50)50+5(100-x)=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27500. y= -5x2+800

22、x-27500(50x100 ). (2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500 a= -5 0， 抛物线开口向下 . 50x100 ，对称轴是直线 x=80， 当 x=80 时， y 最大值 =4500； (3)当 y=4000 时， -5(x-80)2+4500=4000， 解得 x1=70， x2=90. 当 70x90 时，每天的销售利润不低于 4000 元 . 由每天的总成本不超过 7000 元，得 50(-5x+550)7000 ， 解得 x82 .82x90 ， 50x100 ， 销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间 . 23.(10 分 )数学

23、问题：计算 + + + (其中 m， n 都是正整数，且 m2 ， n1 ). 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 1 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究 . 探究一：计算 + + + . 第 1 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第 2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 + ； 第 3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， ； 第 n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 + + ，最后空白

24、部分的面积是 . 根据第 n 次分割图可得等式： + + + =1- .探究二：计算 + + + . 第 1 次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ； 第 2 次分割，把上次分割图中空白部分 的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 + ； 第 3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， ； 第 n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 + + ，最后空白部分的面积是 . 根据第 n 次分割图可得等式： + + + =1- ， 两边同除以 2，得 + + + = - .探究三：计算 + + + . (仿照上述方法，只画出第 n 次分割图

25、，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程 ) 解决问题：计算 + + + . (只需画出第 n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空 ) 根据第 n 次分割图可得等式： + + + =1- ， 所以， + + + = - . 拓广应用：计算 + + + . 解析： 探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3 即可； 解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以 (m-1)即可得解； 拓广应用：先把每一个分数分成 1 减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解 . 答案 ：探究三：第 1 次分割，把正方形的面积四等分，

26、其中阴影部分的面积为 ； 第 2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为 ； 第 3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， ， 第 n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为： + + + ， 最后的空白部分的面积是 ， 根据第 n 次分割图可得等式： + + + =1- ， 两边同除以 3，得 + + + = - ； 解决问题： + + + =1- ， + + + = - ； 故答案为： + + + =1- ， - ； 拓广应用： + + + =1- +1- +1- +1 - =n-( + + + )=n-( -

27、 )=n- + . 24.(12 分 )已知：如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，且 AC=12cm， BD=16cm.点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，直线 EF 从点 D 出发，沿 DB方向匀速运动，速度为 1cm/s， EFBD ，且与 AD， BD， CD 分别交于点 E， Q， F；当直线 EF停止运动时，点 P 也停止运动 .连接 PF，设运动时间为 t(s)(0 t 8).解答下列问题： (1)当 t 为何值时，四边形 APFD 是平行四边形？ (2)设四边形 APFE 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t之间的

28、函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 APFE： S 菱形 ABCD=17： 40？若存在，求出 t 的值，并求出此时P， E 两点间的距离；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)由四边形 ABCD是菱形， OA= AC， OB= BD.在 RtAOB 中，运用勾股定理求出 AB=10.再由 DFQDCO .得出 = .求出 DF.由 AP=DF.求出 t. (2)过点 C 作 CGAB 于点 G，由 S 菱形 ABCD=AB CG= AC BD，求出 CG.据 S 梯形 APFD=(AP+DF) CG.SEFD = EF QD.得出 y 与 t 之间的函数关系式 . (

29、3)过点 C 作 CGAB 于点 G，由 S 菱形 ABCD=AB CG，求出 CG，由 S 四边形 APFE： S 菱形 ABCD=17： 40，求出 t，再由 PBNABO ，求得 PN， BN，据线段关系求出 EM， PM 再由勾股定理求出 PE. 答案 ： (1) 四边形 ABCD 是菱形， ABCD ， ACBD ， OA=OC= AC=6， OB=OD= BD=8. 在 RtAOB 中， AB= =10. EFBD ， FQD=COD=90 . 又 FDQ=CDO ， DFQDCO . = .即 = ， DF= t. 四边形 APFD 是平行四边形， AP=DF .即 10-t=

30、t， 解这个方程，得 t= . 当 t= s 时，四边形 APFD 是平行四边形 . (2)如图，过点 C 作 CGAB 于点 G， S 菱形 ABCD=AB CG= AC BD，即 10 CG= 1216 ， CG= . S 梯形 APFD= (AP+DF) CG= (10-t+ t) = t+48. DFQDCO ， = .即 = ， QF= t. 同理， EQ= t.EF=QF+EQ= t.S EFD = EF QD= tt= t2. y= ( t+48)- t2=- t2+ t+48. (3)如图，过点 P 作 PMEF 于点 M， PNBD 于点 N， 若 S 四边形 APFE： S 菱形 ABCD=17： 40，则 - t2+ t+48= 96 ，即 5t2-8t-48=0， 解这个方程，得 t1=4， t2=- (舍去 )， 过点 P 作 PMEF 于点 M， PNBD 于点 N， 当 t=4 时， PBNABO ， = = ，即 = = .PN= ， BN= . EM=EQ -MQ= = .PM=BD-BN-DQ= = . 在 RtPME 中， PE= = = (cm).