1、 2014 年山东省高考模拟数学（四）（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.（ 5 分）已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x2=n， n A，则 AB= （ ） A.1， 4 B. 1， 1 C.1， 2 D. 解：根据 x2=n， n A，求出 x 的值 ，确定 B， 集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x2=n， n A， x=1 ， ， ， 2 ， 即 B= 1， 1， ， ， ， ， 2， 2， 则 AB=1 ， 2. 答案： C 2.（ 5 分）复数 z=i（ 2 i）
2、（ i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解 析 ：化简可得复数 z=i（ 2 i） = 2i i2=1 2i， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为（ 1， 2）在第四象限， 答案： D. 3.（ 5 分）已知命题： p： “ x 1， 2， x2 a0” ，命题 q： “ x R， x2+2ax+2 a=0” ，若命题 “ p 且 q” 是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） A.a 1 或 a=1 B.a 1 或 1a2 C.a1 D.a 1 解 析 ： 因为 命题 “ p 且 q” 是真命题， 因此 p 且 q，均为真命题
3、， 命题 p： “ x 1， 2， x2 a0” ，为真命题，则 a1 ， 所以 p 为真命题时， a 1； 命题 q： “ x R， x2+2ax+2 a=0” ，为真命题，则 =4a2 4（ 2 a） 0 ， 所以 a 2 或a1 ， 所以 a 1， 答案： D. 4.（ 5 分） “ （ 2x 1） x=0” 是 “x=0” 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解 析 ：若（ 2x 1） x=0 则 x=0 或 1x = x = 0 .2 ， 不 一 定 推 出x= 若 x=0，则（ 2x 1） x=0，即 x=0 推出（ 2x
4、1） x=0 所以 “ （ 2x 1） x=0” 是 “x=0” 的 必要不充分条件 . 答案： B 5.（ 5 分）若曲线 C1： x2+y2 2x=0 与曲线 C2： y（ y mx m） =0 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A.（ ， ） B.（ ， 0） （ 0， ） C. ， D.（ ， ） （ ， + ） 解 析 ： 可知 曲线 C1表示一个圆 ， 曲线 C2表示两条直线 y=0 和 y mx m=0， 曲线 C1： x2+y2 2x=0 化为标准方程得：（ x 1） 2+y2=1，所以圆心坐标为（ 1， 0），半径 r=1； 曲线 C2： y（ y mx m）
5、=0 表示两条直线 y=0 和 y mx m=0， 由直线 y mx m=0 可知：此直线过定点（ 1， 0）， 在平面直角坐标系中画出图象如图所示： 当直线 y mx m=0 与圆相切时，圆心到直线的距离 d= =r=1， 化简得： m2= ，解得 m= ， 而 m=0 时，直线方程为 y=0，即为 x 轴，不合题意， 则直线 y mx m=0 与圆相交时， m （ ， 0） （ 0， ） . 答案： B 6.（ 5 分）已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A. B.1 C. D. 解 析 ：因为正方体的
6、棱长为 1，俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图： 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为： . 答案： D. 7.（ 5 分）将函数 f（ x） =2sin（ 2x+ ）的图象向右平移 个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍，所得图象关于直线 x= 对称，则 的最小正值为（ ） A. B. C. D. 解 析 ： 根据三角函数图象的变换规律 .将函数 的图象向右平移 个单位所得图象的解析式 = ， 再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍所得图象的解析式 f（ x）= 因为
7、所得图象关于直线 对称，所以当 时函数取得最值，所以=k+ ， k Z 整理得出 = ， k Z 当 k=0 时， 取得最小正值为 . 答案： B. 8.（ 5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（ x+2） = f（ x），当 0x1时， ，则使 的 x 的值是（ ） A.2n（ n Z） B.2n 1（ n Z） C.4n+1（ n Z） D.4n 1（ n Z） 解 析 ： 因为 f（ x）是奇函数且 f（ x+2） = f（ x）， 那么 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x） ，即函数 f（ x）的周期 T=4. 因为 当 0x1 时， f（ x）
8、 = x，又 f（ x）是奇函数， 所以 当 1x0 时， f（ x） = x； 令 x= 解得： x= 1 而函数 f（ x）是以 4 为周期的周期函数， 所以 方程 f（ x） = 的 x 的值是： x=4k 1， k Z. 答案： D. 9.（ 5 分）设函数 f（ x） =ex+x 2， g（ x） =lnx+x2 3.若实数 a， b 满足 f（ a） =0， g（ b）=0，则（ ） A.g（ a） 0 f（ b） B.f（ b） 0 g（ a） C.0 g（ a） f（ b） D.f（ b） g（ a） 0 解 析 ： 判断函数的单调性，利用二分法 . 由于 y=ex及 y=x
9、2 关于 x 是单调递增函数， 因此 函数 f（ x） =ex+x 2 在 R 上单调递增， 分别作出 y=ex， y=2 x 的图象， f（ 0） =1+0 2 0， f（ 1） =e 1 0， f（ a） =0， 0 a 1. 同理 g（ x） =lnx+x2 3 在 R+上单调递增， g（ 1） =ln1+1 3= 2 0， g（ ）= ， g（ b） =0， . g（ a） =lna+a2 3 g（ 1） =ln1+1 3= 2 0， f（ b） =eb+b 2 f（ 1） =e+1 2=e 1 0. g（ a） 0 f（ b） . 答案： A. 10.（ 5 分）已知函数 ，且函数
10、y=f（ x） x 恰有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.（ 0， + ） B. 1， 0） C. 1， + ） D. 2， + ） 解 析 ：当 x0 时， f（ x） =f（ x 1）， 所以此时周期是 1， 当 x 1， 0）时， y= x2 2x+a=（ x+1） 2+1+a， 图象为开口向下的抛物线，对称轴 x= 1，顶点（ 1， 1+a）， （ 1）如果 a 1，函数 y=f（ x） x 至多有 2 个不同的零点； （ 2）如果 a= 1，则 y 有一个零点在区间（ 1， 0），有一个零点在（ ， 1），一个零点是原点； （ 3）如果 a 1，则有一个零点在（
11、 ， 1）， y 右边有两个零点， 综上可得：实数 a 的取值范围是 1， + ） 答案 ： C. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11.（ 5 分）观察等式： ， ，根据以上规律，写出第四个等式为： . 解 析 ： 类比推理 观察前面两个等式可得： 出第四个等式为： + + + + = ， 答案： + + + + = . 12.（ 5 分）在 ABC 中， ， ，则 AB 边的长度为 . 解 析 ： 将 向量 用 ， 表示 ，即 = = +| |=1+| |=2， 因此 | |=3. 答案： 3. 13.（ 5分）各项均为正数的等比数列 an满足 a1a7=4，
12、 a6=8，若函数 f（ x） =a1x+a2x2+a3x3+a 10x10的导数为 f （ x），则 f （ ） = . 解 析 ：等比数列 an，由已知，所以 ，解得 ， 所以 . 所以 f （ x） = + ， 因为 =n2 n 32 1 n= ， 所以 = = = . 答案 ： . 14.（ 5 分）设 m2 ，点 P（ x， y）为 所表示的平面区域内任意一点， M（ 0， 5），O 坐标原点， f（ m）为 的最小值，则 f（ m）的最大值为 . 解：易知 = 5y，设 z= = 5y， 作出不等式组对应的平面区域如图： 即当 y 取得最大值时， z 取得最小值，则由 ，解得 ，
13、f（ m） = 5 ， m2 ， 当 m=2 时， f（ m）取得最大值 f（ 2） = ， 答案： 15.（ 5 分）给出下列四个命题： 命题 “ x R， cosx 0” 的否定是 “ x R， cosx0” ； 若 0 a 1，则函数 f（ x） =x2+ax 3 只有一个零点； 函数 y=sin（ 2x ）的一个单调增区间是 ， ； 对于任意实数 x，有 f（ x） =f（ x），且当 x 0 时， f （ x） 0，则当 x 0 时， f （ x） 0. 若 m （ 0， 1，则函数 y=m+ 的最小值为 2 ； 其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上） . 解析： 命题 “
14、 x R， cosx 0” 的否定是 “ x R， cosx0” ，正确； 当 0 a 1 时， y=ax为减函数， y=3 x2为开口向下的二次函数，两曲线有两个交点，函数 f（ x） =x2+ax 3 有两个零点，故 错误； 由 2x 得： x ，即函数 y=sin（ 2x ）的一个单调增区间是 ， ，即 正确； f（ x） =f（ x），故 y=f（ x）为偶函数，又当 x 0 时， f （ x） 0， y=f（ x）在区间（ 0， + ）上单调递增， 由偶函数在对称区间上单调性相反知， y=f（ x）在区间（ ， 0）上单调递减，即当 x 0时， f （ x） 0，故 正确； y=m+
15、 ， y=1 ， 当 m （ 0， 1时， y 0，即函数 y=m+ 在区间（ 0， 1上单调递减， 当 x=1 时， ymin=1+3=4，故 错误； 综上所述，真命题的序号是 . 答案： . 三、解答题 本大题共 6 小题，共 75 分 . 16.（ 12 分）已知函数 . （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 . 解析：（ 1）将 x= 直接代入函数解析式求值 . （ 2）利用同角三角函数的基本关系求出 sin 的值，利用两角和与差公式求值 . 答案：（ 1） （ 2） ， ， . 17.（ 12 分）某校研究性学习小组，为了分析 2012 年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到
16、2011 年和 2012 年 1 5 月该国 CPI同比（即当年某月与前一年同月比）的增长数据（见下表），但 2012 年 3， 4， 5 三个月的数据（分别记为 x， y， z）没有查到，有的同学清楚记得 2012 年 1 5 月的 CPI 数据成等差数列 . （ ）求 x， y， z 的值； （ ）求 2012 年 1 5 月该国 CPI 数据的方差； （ ）一般认为，某月 CPI 达到或超过 3 个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过 5 个百分点则严重通货膨胀 .现随机的从下表 2011 年的 五个月和 2012 年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份 2011 年通货膨胀，并且
17、2012 年严重通货膨胀的概率 .附表： 2011 年和2012 年 1 5 月 CPI 数据（单位：百分点 注： 1 个百分点 =1%） 年份 月份 1 2 3 4 5 2011 2.7 2.4 2.8 3.1 2.9 2012 4.9 5.0 x y z 解析：（ ）因为呈现的等差数列，由图得该数列的公差为 0.1，可求 x、 y、 z 的值； （ ）求出 2012 年 1-5 月的平均数，再利用方差公式求方差 . （ ）用（ m， n）表示随机地从 2011 年的五个月和 2012 年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，列举抽取数据的情况，分析可得事件 “ 相同月份 2011 年通
18、货膨胀，并且 2012年严重通货膨胀 ” 包含的基本事件的数目，由古典概型公式，计算可得答案 . 答案：（ ）依题意得 4.9， 5.0， x， y， z 成等差数列，所以公差 d=5.0 4.9=0.1， 故 x=5.0+0.1=5.1， y=x+0.1=5.2， z=y+0.1=5.3； （ ）由（ ）知 2012 年 1 5 月该国 CPI 的数据为： 4.9， 5.0， 5.1， 5.2， 5.3， ， =0.02； （ ）根据题意，用 m 表示 2011 年的数据， n 表示 2012 年的数据，则（ m， n）表示随机地从 2011 年的五个月和 2012 年的五个月的数据中各抽取
19、一个数据的基本事件， 则所有基本事件有：（ 2.7， 4.9），（ 2.7， 5.0），（ 2.7， 5.1），（ 2.7， 5.2），（ 2.7， 5.3）， （ 2.4， 4.9），（ 2.4， 5.0），（ 2.4， 5.1），（ 2.4， 5.2），（ 2.4， 5.3）， （ 2.8， 4.9），（ 2.8， 5.0），（ 2.8， 5.1），（ 2.8， 5.2），（ 2.8， 5.3）， （ 3.1， 4.9），（ 3.1， 5.0），（ 3.1， 5.1），（ 3.1， 5.2），（ 3.1， 5.3）， （ 2.9， 4.9），（ 2.9， 5.0），（ 2.9， 5.1），
20、（ 2.9， 5.2），（ 2.9， 5.3）；共 25 个基本事件； 其中满足相同月份 2011 年通货膨胀，并且 2012 年严重通货膨胀的基本事件有（ 3.1， 5.0），（ 3.1， 5.1），（ 3.1， 5.2），（ 3.1， 5.3），有 4 个基本事件； P= =0.16，即相同月份 2011 年通货膨胀，并且 2012 年严重通货膨胀的概率为 0.16. 18.（ 12 分）如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D， E 分别是 AB， AC 边上的点， AD=AE，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点 G，将 ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所
21、示的三棱锥 A BCF，其中 BC= . （ 1）证明： DE 平面 BCF； （ 2）证明： CF 平面 ABF； （ 3）当 AD= 时，求三棱锥 F DEG 的体积 VF DEG. 分析： （ 1） 利用线面平行的判定定理，易知 DE BC，可证 DE 平面 BCF. （ 2） 可证得 AF CF ，利用勾股定理和已知数据 CF BF，利用线面垂直的判定定理可证 CF 平面 ABF. （ 3）利用等积法 ，运算求得结果 . 答案：（ 1）在等边三角形 ABC 中， AD=AE， ，在折叠后的三棱锥 A BCF 中也成立， DE BC. 又 DE平面 BCF， BC平面 BCF， DE 平
22、面 BCF. （ 2）在等边三角形 ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AF BC，即 AF CF ，且 . 在三棱锥 A BCF 中， ， BC2=BF2+CF2， CF BF . 又 BFAF=F ， CF 平面 ABF. （ 3）由（ 1）可知 GE CF，结合（ 2）可得 GE 平面 DFG. = . 19.（ 12 分）已知等比数列 an的前 n 项和 a，数列 bn（ bn 0）的首项为b1=a，且其前 n 项和 Sn满足 Sn+Sn 1=1+2 （ n2 ， n N*） （ ）求数列 an和 bn的通项公式； （ ）若数列 的前 n 项和为 Pn. 解析： （ 1） 数列
23、an成等比数列， 可 得 = ，解得 a=1，设数列 an的公比为 q，则 .由 bn 0，得 ，数列 构成一个首项为 1，公差为 1 的等差数列，由此能求出数列 an和 bn的通项公式 . （ 2） = ，利用裂项相消求和法能求出数列 的前 n 项和为 Pn. 答案：（ 1）根据已知条件知： = ， 有数列 an成等比数列，得 ， 即 = ，解得 a=1， 设数列 an的公比为 q，则 ， 所以 （ 3 分） ，其中 n2 ， n N*， 又 bn 0，得 ， 数列 构成一个首项为 1，公差为 1 的等差数列， 所以 ， 所以 ，当 n2 ， n N*时 ， b1=1 也适合这个公式， 所以
24、 bn=2n 1（ n N*） （ 6 分） （ 2） 由（ 1）知 = ， 则 Pn= = . （ 12分） 20.（ 13 分）已知函数 f（ x） =mx ， g（ x） =2lnx （ 1）当 m=2 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）当 m=1 时，证明方程 f（ x） =g（ x）有且仅有一个实数根； （ 3）若 x （ 1， e时，不等式 f（ x） g（ x） 2 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 解析：（ 1）当 m=2 时，确定 f（ x），求导确定斜率，利用点斜式求出切线方程 . （ 2） 当 m=1 时，构造 h（ x） =f（
25、 x） -g（ x） ,求出 h（ x），判断在定义域上的单调性，判定 的符号，根据根的存在性定理可得结论； （ 3）即 恒成立，即 m（ x2 1） 2x+2xlnx 恒成立，利用分离变量法，研究右侧的最值，讨论 m 的取值范围 . 答案 ：（ 1） m=2 时， ， ， 切点坐标为（ 1， 0）， 切线方程为 y=4x 4 （ 2 分） （ 2） m=1 时，令 ， ， h（ x）在（ 0， + ）上为增函数 . （ 4 分） 又 ， y=h（ x）在（ 0， + ）内有且仅有一个零点 在（ 0， + ）内 f（ x） =g（ x）有且仅有一个实数根 （ 6 分） （或说明 h（ 1） =
26、0 也可以） （ 3） 恒成立，即 m（ x2 1） 2x+2xlnx 恒成立， 又 x2 1 0，则当 x （ 1， e时， 恒成立， 令 ，只需 m 小于 G（ x）的最小值， ， 1 xe ， lnx 0， 当 x （ 1， e时 G（ x） 0， G（ x）在（ 1， e上单调递减， G（ x）在（ 1， e的最小值为 ， 则 m 的取值范围是 . （ 12 分） 21.（ 14 分）椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率 ， a+b=3. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）如图， A， B， D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 DP交 x轴于点
27、N 直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k， MN 的斜率为 m，证明 2m k为定值 . 解析： （ 1）根据离心率及 a+b=3，结合条件 a2=b2+c2列式求出 a， b，确定椭圆方程 . （ 2） 需要求出 P， M， N 的坐标，利用两点求斜率 m，代入整理出 2m-k 是定值 . 答案：（ 1）因为 ，所以 ，即 a2=4b2， a=2b. 又 a+b=3，得 a=2， b=1. 所以椭圆 C 的方程为 ； （ 2）因为 B（ 2， 0）， P 不为椭圆顶点，则可设直线 BP 的方程为. 联立 ，得（ 4k2+1） x2 16k2x+16k2 4=0. 所以 ， . 则 . 所以 P（ ） . 又直线 AD 的方程为 . 联立 ，解得 M（ ） . 由三点 D（ 0， 1）， P（ ）， N（ x， 0）共线， 得 ，所以 N（ ） . 所以 MN 的斜率为 = . 则 . 所以 2m k 为定值 .
