1、2014 年广东省广州市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )a(a0 )的相反数是 ( ) A. -a B. a2 C. |a| D. 解析： a 的相反数为 -a. 答案： A. 2.(3 分 )下列图形中，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确； 答案： D. 3.(3 分 )如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA=(
2、) A. B. C. D. 解析： 在直角 ABC 中， ABC=90 ， tanA= = . 答案： D. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 5ab-ab=4 B. + = C. a6a 2=a4 D. (a2b)3=a5b3 解析： A、原式 =4ab，错误； B、原式 = ，错误； C、原式 =a4，正确； D、原式 =a6b3，错误， 答案： C 5.(3 分 )已知 O 1和 O 2的半径分别为 2cm和 3cm，若 O1O2=7cm，则 O 1和 O 2的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 解析： O 1与 O 2的半径分别为 3cm、
3、2cm，且圆心距 O1O2=7cm， 又 3+2 7， 两圆的位置关系是外离 . 答案： A. 6.(3 分 )计算 ，结果是 ( ) A.x-2 B.x+2 C. D. 解析： = =x+2， 答案： B. 7.(3 分 )在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩 (单位：分 )分别是 7， 10， 9，8， 7， 9， 9， 8，对这组数据，下列说法正确的是 ( ) A.中位数是 8 B.众数是 9 C.平均数是 8 D.极差是 7 解析： A、按从小到大排列为： 7， 7， 8， 8， 9， 9， 9， 10，中位数是： (8+9)2=8.5 ，故本选项错误； B、 9 出现了 3
4、 次，次数最多，所以众数是 9，故本选项正确； C、平均数 =(7+10+9+8+7+9+9+8)8=8.375 ，故本选项错误； D、极差 是： 10-7=3，故本选项错误 . 答案： B. 8.(3 分 )将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当 B=90 时，如图 1，测得 AC=2，当 B=60 时，如图 2， AC=( ) A. B. 2 C. D. 2 解析： 如图 1， AB=BC=CD=DA ， B=90 ， 四边形 ABCD 是正方形， 连接 AC，则 AB2+BC2=AC2， AB=BC= = = ， 如图 2， B=60
5、 ，连接 AC， ABC 为等边三角形， AC=AB=BC= . 9.(3 分 )已知正比例函数 y=kx(k 0)的图象上两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，且 x1 x2，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A. y1+y2 0 B. y1+y2 0 C. y1-y2 0 D. y1-y2 0 解析： 直线 y=kx 的 k 0， 函数值 y 随 x 的增大而减小， x 1 x2， y 1 y2， y 1-y2 0. 答案： C. 10.(3 分 )如图，四边形 ABCD、 CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG、 DE， DE 和 FG相交于点 O，设 AB
6、=a， CG=b(a b).下列结论： BCGDCE ； BGDE ； = ； (a-b)2 SEFO =b2 SDGO .其中结论正确的个数是 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析： 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形， BC=DC ， CG=CE， BCD=ECG=90 ， BCG=DCE ， 在 BCG 和 DCE 中， ， BCGDCE(SAS) ， BCGDCE ， CBG=CDE ， 又 CBG+BGC=90 ， CDE+DGH=90 ， DHG=90 ， BHDE ； 四边形 GCEF 是正方形， GFCE ， = ， = 是错误的 .
7、 DCEF ， GDO=OEF ， GOD=FOE ， OGDOFE ， =( )2=( )2= ， (a -b)2 SEFO =b2 SDGO. 故应选 B 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 11.(3 分 )ABC 中，已知 A=60 ， B=80 ，则 C 的外角的度数是 . 解析： A=60 ， B=80 ， C 的外角 =A+B=60+80=140. 答案： 140. 12.(3 分 )已知 OC 是 AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PDOA ， PEOB ，垂足分别为点 D、 E，PD=10，则 PE 的长度为 . 解析： OC 是 AOB 的
8、平分线， PDOA ， PEOB ， PE=PD=10. 答案： 10. 13.(3 分 )代数式 有意义时， x 应满足的条件为 . 解析： 由题意得， |x|-10 ，解得 x1. 答案： x1. 14.(3 分 )一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 .(结果保留 ) 解析： 如图所示可知，圆锥的高为 4，底面圆的直径为 6， 圆锥的母线为： 5， 根据圆锥的侧面积公式： rl=35=15 ， 底面圆的面积为： r 2=9 ， 该几何体的表面积为 24. 故答案为： 24. 15.(3 分 )已知命题： “ 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 .” 写
9、成它的逆命题： ，该逆命题是 命题 (填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ). 解析： “ 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 .” 写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题， 答案： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，假 . 16.(3 分 )若关于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有两个实数根 x1、 x2，则 x1(x2+x1)+x22的最小值为 . 解析： 由题意知，方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有两个实数根， 则 =b 2-4ac=4m2-4(m2+3m-2)=8-12m0 ， m ， x 1(x2
10、+x1)+x22=(x2+x1)2-x1x2=(-2m)2-(m2+3m-2)=3m2-3m+2=3(m2-m+ + )+2=3(m- )2 + ； 当 m= 时，有最小值 ； ， m= 成立； 最小值为 ； 答案： . 三、解答题 (共 9 小题，满分 102 分 ) 17.(9 分 )解不等式： 5x-23x ，并在数轴上表示解集 . 解析： 移项，合并同类项，系数化成 1 即可 . 答案 ： 5x-23x ， 5x-3x2 ， 2x2 ， x1 ， 在数轴上表示为： . 18.(9 分 )如图， ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， EF 过点 O 且与 AB， CD 分别相
11、交于点 E、F，求证： AOECOF . 解析： 根据平行四边形的性质得出 OA=OC， ABCD ，推出 EAO=FCO ，证出 AOECOF即可 . 答案 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC ， ABCD ， EAO=FCO ， 在 AOE 和 COF 中， ， AOECOF(ASA). 19.(10 分 )已知多项式 A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3. (1)化简多项式 A； (2)若 (x+1)2=6，求 A 的值 . 解析： (1)先算乘法，再合并同类项即可； (2)求出 x+1 的值，再整体代入求出即可 . 答案 ： (1)A=(x+2)2+(1-x)(2+
12、x)-3=x2+4x+4+2+x-2x-x2-3=3x+3； (2)(x+1) 2=6， x+1= ， A=3x+3=3(x+1)=3 .A=3 . 20.(10 分 )某校初三 (1)班 50 名学生需要参加体育 “ 五选一 ” 自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下： (1)求 a， b 的值； (2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求 “ 一分钟跳绳 ” 对应扇形的圆心角的度数； (3)在选报 “ 推铅球 ” 的学生中，有 3 名男生， 2 名女生，为了了解学生的训练效果，从这 5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生 中至多 有一名女生的概
13、率 . 解析： (1)根据表格求出 a 与 b 的值即可； (2)根据表示做出扇形统计图，求出 “ 一分钟跳绳 ” 对应扇形的圆心角的度数即可； (3)列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率 . 答案 ： (1)根据题意得： a=1-(0.18+0.16+0.32+0.10)=0.24； b= 0.32=16 ； (2)作出扇形统计图，如图所示： 根据题意得： 3600.16=57.6 ； (3)列表如下： 所有等可能的情况有 20 种，其中抽取的两名学生中至多有一名女生的情况有 18 种， 则 P= = . 21.(12 分 )已知一次函数 y
14、=kx-6 的图象与反比例函数 y=- 的图象交于 A、 B 两点，点 A的横坐标为 2. (1)求 k 的值和点 A 的坐标； (2)判断点 B 所在象限，并说明理由 . 解析： (1)先把 x=2 代入反比例函数解析式得到 y=-k，则 A 点坐标表示为 (2， -k)，再把 A(2，-k)代入 y=kx-6 可计算出 k，从而得到 A 点坐标； (2)由 (1)得到一次函数与反比例函数的解析式分别为 y=2x-6， y=- ，根据反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组 即可得到 B 点坐标 . 答案 ： (1)把 x=2 代入 y=- 得 y=-k， 把 A(2， -k)代入 y=kx
15、-6 得 2k-6=k，解得 k=2，所以 A 点坐标为 (2， -2)； (2)B 点在第四象限 .理由如下： 一次函数与反比例函数的解析式分别为 y=2x-6， y=- ， 解方程组 得 或 ， 所以 B 点坐标为 (1， -4)， 所以 B 点在第四象限 . 22.(12 分 )从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍 . (1)求普通列车的行驶路程； (2)若高铁的平均速度 (千米 /时 )是普通列车平均速度 (千米 /时 )的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平
16、均速度 . 解析： (1)根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3倍，两数相乘即可得出答案； (2)设普通列车平均速度是 x 千米 /时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3小时，列出分式方程，然后求解即可； 答案 ： (1)根据题意得： 4001.3=520( 千米 )， 答：普通列车的行驶路程是 520 千米； (2)设普通列车平均速度是 x 千米 /时，根据题意得： - =3，解得： x=120， 经检验 x=120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 1202.5=300( 千米 /时 )， 答：高铁的平均速度是 300 千米 /时 .
17、23.(12 分 )如图， ABC 中， AB=AC=4 ， cosC= . (1)动手操作：利用尺规作以 AC 为直径的 O ，并标出 O 与 AB 的交点 D，与 BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法 )； (2)综合应用：在你所作的图中， 求证： = ； 求点 D 到 BC 的距离 . 解析： (1)先作出 AC 的中垂线，再画圆 . (2)边接 AE， AE 是 BC 的中垂线， DAE=CAE ，得出 = ； (3)利用 BDEBCA 求出 BD，再利用余弦求出 BM，用勾股定理求出 DM. 答案 ： (1)如图 (2)如图，连接 AE， AC 为直径， AEC=90 ， AB=
18、AC ， DAE=CAE ， = ； (3)如图，连接 AE， DE，作 DMBC 交 BC 于点 M， AC 为直径， AEC=90 ， AB=AC=4 ， cosC= .EC=BE=4 ， BC=8 ， 点 A、 D、 E、 C 共圆 ADE+C=180 ， 又 ADE+BDE=180 ， BDE=C ， BDEBCA ， = ，即 BD BA=BE BC， BD4 =48 BD= ， B=C ， cosC=cosB= ， = ， BM= ， DM= = = . 24.(14 分 )已知平面直角坐标系中两定点 A(-1， 0)、 B(4， 0)，抛物线 y=ax2+bx-2(a0 )过点
19、A， B，顶点为 C，点 P(m， n)(n 0)为抛物线上一点 . (1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； (2)当 APB 为钝角时，求 m 的取值范围； (3)若 m ，当 APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t(0 t )个单位，点 C、 P平移后对应的点分别记为 C 、 P ，是否存在 t，使得首位依次连接 A、 B、 P 、 C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)待定系数法求解析式即可，求得解析式后 转换成顶点式即可 . (2)因为 AB 为直径，所以当抛物线上的点 P 在 C 的内部时，满足
20、APB 为钝角，所以 -1 m 0，或 3 m 4. (3)左右平移时，使 AD+DB 最短即可，那么作出点 C 关于 x 轴对称点的坐标为 C ，得到直线 PC 的解析式，然后把 A 点的坐标代入即可 . 答案 ： (1) 抛物线 y=ax2+bx-2(a0) 过点 A， B， ，解得： ， 抛物线的解析式为： y= x2- x-2； y= x2- x-2= (x- )2- ， C( ， - ). (2)如图 1，以 AB 为直径作圆 M，则抛物线在圆内的部分，能是 APB 为钝角， M( ， 0)， M 的半径 = . P 是抛物线与 y 轴的交点， OP=2 ， MP= = ， P 在
21、M 上， P 的对称点 (3， -2)， 当 -1 m 0 或 3 m 4 时， APB 为钝角 . (3)存在； 抛物线向左或向右平移，因为 AB、 PC 是定值，所以 A、 B、 P 、 C 所构成的多边形的周长最短，只要 AC+BP 最小； 第一种情况：抛物线向右平移， AC+BP AC+BP， 第二种情况：向左平移，如图 2 所示，由 (2)可知 P(3， -2)， 又 C( ， - )， C( -t， - )， P(3-t， -2)， AB=5 ， P( -2-t， -2)， 要使 AC+BP 最短，只要 AC+AP 最短即可， 点 C 关于 x 轴的对称点 C( -t， )， 设直
22、线 PC 的解析式为： y=kx+b， ，解得 ， 直线 y= x+ t+ ， 点 A 在直线上， - + t+ =0， t= . 故将抛物线向左平移 个单位连接 A、 B、 P 、 C 所构成的多边形的周长最短 . 25.(14 分 )如图，梯形 ABCD 中， ABCD ， ABC=90 ， AB=3， BC=4， CD=5.点 E 为线段 CD上一动点 (不与点 C 重合 )， BCE 关于 BE 的轴对称图形为 BFE ，连接 CF.设 CE=x， BCF的面积为 S1， CEF 的面积为 S2. (1)当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线上时，求 x 的值； (2)试用 x 表示
23、，并写出 x 的取值范围； (3)当 BFE 的外接圆与 AD 相切时，求 的值 . 解析： (1)利用梯形中位线的性质，证明 BCF 是等边三角形；然后解直角三角形求出 x 的值； (2)利用相似三角形 (或射影定理 )求出线段 EG 与 BE 的比，然后利用 = 求解； (3)依题意作出图形，当 BFE 的外接圆与 AD相切时，线段 BC的中点 O成为圆心 .作辅助线，如答图 3，构造一对相似三角形 OMPADH ，利用比例关系列方程求出 x 的值，进而求出的值 . 答案 ： (1)当点 F 落在梯形 ABCD 中位线上时， 如答图 1，过点 F 作出梯形中位线 MN，分别交 AD、 BC
24、 于点 M、 N. 由题意，可知 ABCD 为直角梯形，则 MNBC ，且 BN=CN= BC. 由轴对称性质，可知 BF=BC， BN= BF， BFN=30 ， FBC=60 ， BFC 为等边三角形 .CF=BC=4 ， FCB=60 ， ECF=30. 设 BE、 CF 交于点 G，由轴对称性质可知 CG= CF=2， CFBE. 在 RtCEG 中， x=CE= = = . 当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线上时， x 的值为 . (2)如答图 2，由轴对称性质，可知 BECF. GEC+ECG=90 ， GEC+CBE=90 ， GEC=CBE ，又 CGE=ECB=90 ，
25、RtBCERtCGE ， ， CE 2=EG BE ， 同理可得： BC2=BG BE ， 得： = = . = = = = . = (0 x5). (3)当 BFE 的外接圆与 AD 相切时，依题意画出图形，如答图 3 所示 . 设圆心为 O，半径为 r，则 r= BE= . 设切点为 P，连接 OP，则 OPAD ， OP=r= . 过点 O 作梯形中位线 MN，分别交 AD、 BC 于点 M、 N， 则 OM 为梯形 ABED 的中位线， OM= (AB+DE)= (3+5-x)= (8-x). 过点 A 作 AHCD 于点 H，则四边形 ABCH 为矩形， AH=BC=4 ， CH=AB=3， DH=CD -CH=2. 在 RtADH 中，由勾股定理得： AD= = =2 . MNCD ， ADH=OMP ，又 AHD=OPM=90 ， OMPADH ， ，即 ， 化简得： 16-2x= ，两边平方后，整理得： x2+64x-176=0， 解得： x1=-32+20 ， x2=-32-20 (舍去 )， x= -32+20 ， = =139-80 .
