1、2014 年广东省揭阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题 10 小题，每小题 3分，共 30分 ) 1.(3 分 )在 1， 0， 2， -3 这四个数中，最大的数是 ( ) A. 1 B. 0 C. 2 D. -3 解析 ： -3 0 1 2， 答案： C. 2.(3 分 )在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 .故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误 .
2、 答案： C. 3.(3 分 )计算 3a-2a 的结果正确的是 ( ) A. 1 B. a C. -a D. -5a 解析 ： 原式 =(3-2)a=a， 答案： B. 4.(3 分 )把 x3-9x 分解因式，结果正确的是 ( ) A. x(x2-9) B. x(x-3)2 C. x(x+3)2 D. x(x+3)(x-3) 解析 ： x3-9x， =x(x2-9)， =x(x+3)(x-3). 答案： D. 5.(3 分 )一个多边形的内角和是 900 ，这个多边形的边数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析 ： 设这个多边形是 n 边形，根据题意得， (n-2) 18
3、0=900 ，解得 n=7. 答案： D. 6.(3 分 )一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 4 个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率 = . 答案： B. 7.(3 分 )如图， ABCD 中，下列说法一定正确的是 ( ) A. AC=BD B. ACBD C. AB=CD D. AB=BC 解析 ： A、 ACBD ，故此选项错误； B、 AC 不垂直 BD，故此选项错误； C、 AB=CD，利用平行四
4、边形的对边相等，故此选项正确； D、 ABBC ，故此选项错误； 答案： C. 8.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意得 = (-3)2-4m 0，解得 m . 答案： B. 9.(3 分 )一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为 ( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13 或 17 解析 ： 当等腰三角形的腰为 3，底为 7 时， 3+3 7 不能构成三角形； 当等腰三角形的腰为 7，底为 3 时，周长为 3+7+7=17. 故这个等腰三角形的周长
5、是 17. 答案： A. 10.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 ( ) A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线 x= C. 当 x ， y 随 x 的增大而减小 D. 当 -1 x 2 时， y 0 解析 ： A、由抛物线的开口向下，可知 a 0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为 x= ，正确，故本选项不符合题意； C、因为 a 0，所以，当 x 时， y 随 x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； D、由图象可知，当 -1 x 2 时， y 0，错误，故本选项符合题意 . 答案： D
6、. 二、填空题 (本大题 6 小题，每小题 4分，共 24分 ) 11.(4 分 )计算 2x3x= . 解析 ： 2x3x=2x 2. 答案 ： 2x2. 12.(4 分 )据报道，截止 2013年 12 月我国网民规模达 618 000 000 人 .将 618 000 000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 618 000 000 用科学记数法表示为： 6.1810 8. 答案： 6.1810 8. 13.(4 分 )如图，在 ABC 中， D， E 分别是边 AB， AC 的中点，若 BC=6，则 DE= . 解析 ： D 、 E 是 AB、 AC 中点， DE 为 ABC 的中
7、位线， ED= BC=3. 答案： 3. 14.(4 分 )如图，在 O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O到 AB 的距离为 . 解析 ： 作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB ， AC=BC= AB= 8=4 ， 在 RtAOC 中， OA=5， OC= = =3，即圆心 O 到 AB 的距离为 3. 答案： 3. 15.(4 分 )不等式组 的解集是 1 . 解析 ： ， 由 得： x 4；由 得： x 1， 则不等式组的解集为 1 x 4. 答案： 1 x 4. 16.(4分 )如图， ABC 绕点 A顺时针旋转 45 得到 ABC ，若 BAC=90
8、 ， AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于 . 解析 ： ABC 绕点 A 顺时针旋转 45 得到 ABC ， BAC=90 ， AB=AC= ， BC=2 ， C=B=CAC=C=45 ， ADBC ， BCAB ， AD= BC=1， AF=FC= AC=1 ， 图中阴影部分的面积等于： SAFC -SDEC = 11 - ( -1)2= -1. 答案： -1. 三、解答题 (一 )(本大题 3 小题，每小题 6分，共 18 分 ) 17.(6 分 )计算： +|-4|+(-1)0-( )-1. 解析 ： 本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简 3 个考点 .在计算时，需要针对每个考
9、点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ：原式 =3+4+1-2=6. 18.(6 分 )先化简，再求值： ( + )(x2-1)，其中 x= . 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = (x2-1)=2x+2+x-1=3x+1， 当 x= 时，原式 = . 19.(6 分 )如图，点 D 在 ABC 的 AB 边上，且 ACD=A . (1)作 BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法 )； (2)在 (1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系 (不
10、要求证明 ). 解析 ： (1)根据角平分线基本作图的作法作图即可； (2)根据角平分线的性质可得 BDE= BDC ，根据三角形内角与外角的性质可得 A=BDE ，再根据同位角相等两直线平行可得结论 . 答案 ： (1)如图所示： (2)DEAC ， DE 平分 BDC ， BDE= BDC ， ACD=A ， ACD+A=BDC ， A= BDC ， A=BDE ， DEAC . 四、解答题 (二 )(本大题 3 小题，每小题 7分，共 21 分 ) 20.(7 分 )如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30 ，然后沿 AD 方向前行
11、10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60 (A、B、 D 三点在同一直线上 ).请你根据他们测量数据计算这棵树 CD 的高度 (结果精确到0.1m).(参考数据： 1.414 ， 1.732 ) 解析 ： 首先利用三角形的外角的性质求得 ABC 的度数，得到 BC 的长度，然后在直角 BDC中，利用三角函数即可求解 . 答案 ： CBD=A+ACB ， ACB=CBD -A=60 -30=30 ， A=ACB ， BC=AB=10 (米 ). 在直角 BCD 中， CD=BC sinCBD=10 =5 51.732=8.7 (米 ). 答：这棵树 CD 的高度为 8.7
12、 米 . 21.(7 分 )某商场销售的一款空调机每台的标价是 1635 元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利 9%. (1)求这款空调每台的进价 (利润率 = = ). (2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机 100 台，问盈利多少元？ 解析 ： (1)利用利润率 = = 这一隐藏的等量关系列出方程即可； (2)用销售量乘以每台的销售利润即可 . 答案 ： (1)设这款空调每台的进价为 x 元，根据题意得： =9%， 解得： x=1200， 经检验： x=1200 是原方程的解 . 答：这款空调每台的进价为 1200 元； (2)商场销售这款空调机 100 台的盈利为： 1
13、0012009%=10800 元 . 22.(7 分 )某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“ 光盘行动 ” ，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图 . (1)这次被调查的同学共有 名； (2)把条形统计图补充完整； (3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用一餐 .据此估算，该校 18 000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 解析 ： (1)用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； (2
14、)用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； (3)根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用一餐，再根据全校的总人数是 18000 人，列式计算即可 . 答案 ： (1)这次被调查的同学共有 40040%=1000 (名 )； 故答案为： 1000； (2)剩少量的人数是； 1000-400-250-150=200，补图如下； (3)18000 =3600(人 ). 答：该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供 3600 人食用一餐 . 五、解答题 (三 )(本大题 3 小题，每小题 9分，共 27 分 ) 23.(9 分 )如图，已知 A(-4， )， B(-1，
15、 2)是一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= (m0 ， m 0)图象的两个交点， ACx 轴于 C， BDy 轴于 D. (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ (2)求一次函数解析式及 m 的值； (3)P 是线段 AB 上的一点，连接 PC， PD，若 PCA 和 PDB 面积相等，求点 P坐标 . 解析 ： (1)根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案； (2)根据待定系数法，可得函数解析式； (3)根据三角形面积相等，可得答案 . 答案 ： (1)由图象得一次函数图象在上的部分， -4 x -1， 当 -4 x
16、 -1 时，一次函数大于反比例函数的值； (2)设一次函数的解析式为 y=kx+b， y=kx+b 的图象过点 (-4， )， (-1， 2)，则 ，解得 . 一次函数的解析式为 y= x+ ，反比例函数 y= 图象过点 (-1， 2)， m=-12= -2； (3)连接 PC、 PD，如图， 设 P(x， x+ ) 由 PCA 和 PDB 面积相等得 (x+4)= |-1| (2- x- )， x=- ， y= x+ = ， P 点坐标是 (- ， ). 24.(9 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆， AC 是直径，过点 O作 ODAB 于点 D，延长 DO 交 O于点 P，过点 P
17、作 PEAC 于点 E，作射线 DE交 BC的延长线于 F点，连接 PF. (1)若 POC=60 ， AC=12，求劣弧 PC 的长； (结果保留 ) (2)求证： OD=OE； (3)求证： PF 是 O 的切线 . 解析 ： (1)根据弧长计算公式 l= 进行计算即可； (2)证明 POEADO 可得 DO=EO； (3)连接 AP， PC，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用 CEPCAP 找出角的关系求解 . 答案： (1)AC=12 ， CO=6 ， = =2 ； (2)PEAC ， ODAB ， PEA=90 ， ADO=90 在 ADO 和 PEO 中， ， POEAOD (
18、AAS)， OD=EO ； (3)如图，连接 AP， PC， OA=OP ， OAP=OPA ， 由 (2)得 OD=EO， ODE=OED ， 又 AOP=EOD ， OPA=ODE ， APDF ， AC 是直径， APC=90 ， PQE=90PCEF ， 又 DPBF ， ODE=EFC ， OED=CEF ， CEF=EFC ， CE=CF ， PC 为 EF 的中垂线， EPQ=QPF ， CEPCAPEPQ=EAP ， QPF=EAP ， QPF=OPA ， OPA+OPC=90 ， QPF+OPC=90 ， OPPF ， PF 是 O 的切线 . 25.(9 分 )如图，在 A
19、BC 中， AB=AC， ADAB 于点 D， BC=10cm， AD=8cm.点 P 从点 B出发，在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD的直线 m从底边 BC出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、 AC、 AD于 E、 F、 H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t秒 (t 0). (1)当 t=2 时，连接 DE、 DF，求证：四边形 AEDF 为菱形； (2)在整个运动过程中，所形成的 PEF 的面积存在最大值，当 PEF 的面积最大时，求线段BP 的长； (3)是否存在某一时
20、刻 t，使 PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请 说明理由 . 解析 ： (1)如答图 1 所示，利用菱形的定义证明； (2)如答图 2 所示，首先求出 PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解； (3)如答图 3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解 . 答案： (1)当 t=2 时， DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1所示 . 又 EFAD ， EF 为 AD 的垂直平分线， AE=DE ， AF=DF. AB=AC ， ADBC 于点 D， ADBC ， B=C . EFBC ， AEF=B ， AFE=C ， AEF=AFE
21、 ， AE=AF ， AE=AF=DE=D F，即四边形 AEDF 为菱形 . (2)如答图 2 所示，由 (1)知 EFBC ， AEFABC ， ，即 ，解得： EF=10- t. SPEF = EF DH= (10- t) 2t=- t2+10t=- (t-2)2+10 当 t=2 秒时， SPEF 存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6. (3)存在 .理由如下： 若点 E 为直角顶点，如答图 3 所示， 此时 PEAD ， PE=DH=2t， BP=3t. PEAD ， ，即 ，此比例式不成立，故此种情形不存在； 若点 F 为直角顶点，如答图 3 所示， 此时 PEAD ，
22、 PF=DH=2t， BP=3t， CP=10-3t. PFAD ， ，即 ，解得 t= ； 若点 P 为直角顶点，如答图 3 所示 . 过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH=2t， EMFNAD . EMAD ， ，即 ，解得 BM= t， PM=BP -BM=3t- t= t. 在 RtEMP 中，由勾股定理得： PE2=EM2+PM2=(2t)2+( t)2= t2. FNAD ， ，即 ，解得 CN= t， PN=BC -BP-CN=10-3t- t=10- t. 在 RtFNP 中，由勾股定理得： PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10- t)2= t2-85t+100. 在 RtPEF 中，由勾股定理得： EF2=PE2+PF2， 即： (10- t)2=( t2)+( t2-85t+100)化简得： t2-35t=0， 解得： t= 或 t=0(舍去 )， t= . 综上所述，当 t= 秒或 t= 秒时， PEF 为直角三角形 .
