1、2014 年广东省梅州市中考真题数学 一、选择题：每小题 3 分，共 15 分，每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的 . 1.(3 分 )下列各数中，最大的是 ( ) A. 0 B. 2 C. -2 D. - 解析 ：画一个数轴，将 A=0、 B=2、 C=-2、 D=- 标于数轴之上，可得： D 点位于数轴最右侧， B 选项数字最大 . 答案： B. 2.(3 分 )下列事件中是必然事件的是 ( ) A. 明天太阳从西边升起 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 实心铁球投入水中会沉入水底 D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上 解析 ： A.是不可能事件，故不符合题意； B.是随
2、机事件，故不符合题意； C.是必然事件，故符合题意； D.是随机事件，故不符合题意 . 答案： C. 3.(3 分 )下列电视台的台标，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，故此选项正确； B、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误； D、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误 . 答案： ； A. 4.(3 分 )若 x y，则下列式子
3、中错误的是 ( ) A. x-3 y-3 B. C. x+3 y+3 D. -3x -3y 解析 ： A、根据不等式的性质 1，可得 x-3 y-3，故 A 正确； B、根据不等式的性质 2，可得 ，故 B 正确； C、根据不等式的性质 1，可得 x+3 y+3，故 C 正确； D、根据不等式的性质 3，可得 -3x -3y，故 D 错误； 答案： D. 5.(3 分 )如图，把一块含有 45 的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上 .如果 1=20 ，那么 2 的度数是 ( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 解析 ： 直尺的两边平行， 1=20 ， 3=1=20 ， 2=4
4、5 -20=25 . 答案： C. 二、填空题：每小题 3 分，共 24 分 . 6.(3 分 )4 的平方根是 . 解析 ： (2 )2=4， 4 的平方根是 2 . 答案： 2 . 7.(3 分 )已知 a+b=4， a-b=3，则 a2-b2= . 解析 ： a2-b2=(a+b)(a-b)=43=12 . 答案： 12. 8.(3 分 )内角和与外角和相等的多边形的边数为 . 解析 ：设这个多边形是 n 边形，则 (n-2) 180=360 ，解得 n=4. 答案： 四 . 9.(3 分 )梅陇高速公路是广东梅州至福建龙岩的高速公路，总投资 59.57 亿元 .那么数据59570000
5、00 用科学记数法表示为 . 解析 ： 5 957 000 000=5.95710 9. 答案： 5.95710 9. 10.(3 分 )写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 . 解析 ：球的俯视图与主视图都为圆； 正方体的俯视图与主视图都为正方形 . 答案： 球或正方体 (答案不唯一 ). 11.(3 分 )如图，把 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35 ，得到 ABC ， AB 交 AC 于点 D.若 ADC=90 ，则 A= . 解析 ： 把 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35 ，得到 ABC ， AB 交 AC 于点 D，ADC=90 ， ACA=35 ，则 A=
6、90 -35=55 ，则 A=A=55 . 答案： 55 . 12.(3 分 )已知直线 y=kx+b，若 k+b=-5， kb=6，那么该直线不经过第 象限 . 解析 ： k+b= -5， kb=6， k 0， b 0， 直线 y=kx+b 经过二、三、四象限，即不经过第一象限 . 答案： 一 . 13.(3 分 )如图，弹性小球从点 P(0， 3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第 2 次碰到矩形的边时的点为 P2， ，第 n 次碰到矩形的边时的点为 Pn，则点 P3的坐标是 ；点 P2014
7、的坐标是 . 解析 ：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点 (0， 3)， 当点 P 第 3 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为： (8， 3)； 20146=3354 ， 当点 P 第 2014 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4次反弹， 点 P 的坐标为 (5， 0). 答案： (8， 3)， (5， 0). 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分，解答应写文字说明、推理过程或演算步骤 . 14.(7 分 )计算： ( -1)0+|2- |-( )-1+ . 解析 ：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，最后一
8、项化为最简二次根式，计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =1+2- -3+2 = . 15.(7 分 )已知反比例函数 y= 的图象经过点 M(2， 1) (1)求该函数的表达式； (2)当 2 x 4 时，求 y 的取值范围 (直接写出结果 ). 解析 ： (1)利用待定系数法把 (2， 1)代入反比例函数 y= 中可得 k 的值，进而得到解析式； (2)根据 y= 可得 x= ，再根据条件 2 x 4 可得 2 4，再解不等式即可 . 答案 ： (1) 反比例函数 y= 的图象经过点 M(2， 1)， k=21=2 ， 该函数的表达式为 y= ； (2)y= ， x= ， 2 x 4， 2
9、 4，解得： y 1. 16.(7 分 )如图，在 RtABC 中， B=90 ，分别以 A、 C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、 N，连接 MN，与 AC、 BC 分别交于点 D、 E，连接 AE，则： (1)ADE= ； (2)AE EC； (填 “=”“ ” 或 “ ” ) (3)当 AB=3， AC=5 时， ABE 的周长 = . 解析 ： (1)由作图可知， MN 是线段 AC 的垂直平分线，故可得出结论； (2)根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； (3)先根据勾股定理求出 BC 的长，进而可得出结论 . 答案 ： (1) 由作图可知， MN 是线段 AC
10、 的垂直平分线， ADE=90 . 故答案为： 90 ； (2)MN 是线段 AC 的垂直平分线， AE=EC . 故答案为： =； (3) 在 RtABC 中， B=90 ， AB=3， AC=5， BC= =4， AE=CE ， ABE 的周长 =AB+BC=3+4=7. 故答案为： 7. 17.(7 分 )某县为了解七年级学生对篮球、羽毛球、乒乓球、足球 (以下分别用 A、 B、 C、 D表示 )这四种球类运动的喜爱情况 (每人只能选一种 )，对全县七年级学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图 (尚不完整 ). 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的学生有 人； (
11、2)若全县七年级学生有 4000 人，估计喜爱足球 (D)运动的人数是 人； (3)在全县七年级学生中随机抽查一位，那么该学生喜爱乒乓球 (C)运动的概率是 . 解析 ： (1)利用喜欢羽毛球的人数以及所占百分比，即可得出样本容量； (2)利用喜爱足球 (D)运动占样本总数的百分比，即可估计出喜爱足球 (D)运动的人数； (3)利用样本中喜爱乒乓球 (C)运动占样本总数的百分比，即可求出喜爱乒乓球 (C)运动的概率 . 答案 ： (1)本次参加抽样调查的学生有： 6010%=600 (人 )； 故答案为： 600； (2)若全县七年级学生有 4000 人，估计喜爱足球 (D)运动的人数是： 4
12、00040%=1600 (人 )， 故答案为： 1600； (3)样本中喜爱乒乓球 (C)运动的人数为： 600-180-60-240=120(人 )， 喜爱乒乓球 (C)运动所占百分比为： 100%=20% ， 在全县七年级学生中随机抽查一位，那么该学生喜爱乒乓球 (C)运动的概率是： 20%=0.2. 故答案为： 0.2. 18.(8 分 )如图，在 ABO 中， OA=OB， C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C. (1)求证： AB 与 O 相切； (2)若 AOB=120 ， AB=4 ，求 O 的面积 . 解析 ： (1)首先连接 OC，然后由 OA=OB， C 是边
13、 AB 的中点，根据三线合一的性质，可证得 AB与 O 相切； (2)首先求得 OC 的长，继而可求得 O 的面积 . 答案： (1)连接 OC， 在 ABO 中， OA=OB， C 是边 AB 的中点， OCAB ， 以 O 为圆心的圆过点 C， AB 与 O 相切； (2)OA=OB ， AOB=120 ， A=B=30 ， AB=4 ， C 是边 AB 的中点， AC= AB=2 ， OC=AC tanA=2 =2， O 的面积为： 2 2=4 . 19.(8 分 )已知关于 x 的方程 x2+ax+a-2=0 (1)若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； (2)求证：不
14、论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 . 解析 ： (1)将 x=1 代入方程 x2+ax+a-2=0 得到 a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根； (2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答 . 答案 ： (1)将 x=1 代入方程 x2+ax+a-2=0 得， 1+a+a-2=0，解得， a= ； 方程为 x2+ x- =0，即 2x2+x-3=0，设另一根为 x1，则 1x1=- ， x1=- . (2)=a 2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4 0， 不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 . 20.(8 分 )某校为
15、美化校园，计划对面积为 1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成 .已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天 . (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m2？ (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.25 万元，要使这次的绿化总费用不超过 8 万元，至少应安排甲队工作多少天？ 解析 ： (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2，根据在独立完成面积为 400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天，列出方程，求解即可； (2)设至少应安排甲队工
16、作 x 天，根据这次的绿化总费用不超过 8 万元，列出不等式，求解即可 . 答案 ： (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2，根据题意得： - =4， 解得： x=50经检验 x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 502=100 (m2)， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、 50m2； (2)设至少应安排甲队工作 y 天，根据题意得： 0.4y+ 0.258 ，解得： y10 ， 答：至少应安排甲队工作 10 天 . 21.(8 分 )如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE. (1)
17、求证： CE=CF； (2)若点 G 在 AD 上，且 GCE=45 ，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？ 解析 ： (1)由 DF=BE，四边形 ABCD 为正方形可证 CEBCFD ，从而证出 CE=CF. (2)由 (1)得， CE=CF， BCE+ECD=DCF+ECD 即 ECF=BCD=90 又 GCE=45 所以可得 GCE=GCF ，故可证得 ECGFCG ，即 EG=FG=GD+DF.又因为 DF=BE，所以可证出GE=BE+GD 成立 . 答案： (1)在正方形 ABCD 中， BC=CD ， B=CDF ， BE=DF， CBECDF (SAS).CE=CF . (2
18、)GE=BE+GD 成立 . 理由是： 由 (1)得： CB ECDF ， BCE=DCF ， BCE+ECD=DCF+ECD ，即 ECF=BCD=90 ， 又 GCE=45 ， GCF=GCE=45 . CE=CF ， GCE=GCF ， GC=GC， ECGFCG (SAS).GE=GF .GE=DF+GD=BE+GD . 22.(10 分 )如图，在 RtABC 中， B=90 ， AC=60， AB=30.D是 AC 上的动点，过 D 作 DFBC于 F，过 F 作 FEAC ，交 AB 于 E.设 CD=x， DF=y. (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)当四边形 AEF
19、D 为菱形时，求 x 的值； (3)当 DEF 是直角三角形时，求 x 的值 . 解析 ： (1)由已知求出 C=30 ，列出 y 与 x 的函数关系式； (2)由四边形 AEFD 为菱形，列出方程 y=60-x 与 y= x 组成方程组求 x的值， (3)由 DEF 是直角三角形，列出方程 60-x=2y，与 y= x 组成方程组求 x 的值， 答案 ： (1) 在 RtABC 中， B=90 ， AC=60， AB=30， C=30 ， CD=x ， DF=y.y= x； (2) 四边形 AEFD 为菱形， AD=DF ， y=60 -x 方程组 ，解得 x=40， 当 x=40 时，四边
20、形 AEFD 为菱形； (3)DEF 是直角三角形， FDE=90 ， FEAC ， EFB=C=30 ， DFBC ， DEF+DFE=EFB+DFE ， DEF=EFB=30 ， EF=2DF ， 60 -x=2y， 与 y= x，组成方程组，得 解得 x=30， 当 DEF 是直角三角形时， x=30. 23.(11 分 )如图，已知抛物线 y= x2- x-3 与 x 轴的交点为 A、 D(A在 D 的右侧 )，与 y 轴的交点为 C. (1)直接写出 A、 D、 C 三点的坐标； (2)若点 M 在抛物线上，使得 MAD 的面积与 CAD 的面积相等，求点 M 的坐标； (3)设点
21、C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、 B、 C、 P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)令 y=0，解方程 x2- x-3=0 可得到 A 点和 D 点坐标；令 x=0，求出 y=-3，可确定C 点坐标； (2)根据抛物线的对称性，可知在在 x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在 x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到 x 轴的距离等于点 C到 x 轴的距离； (3)根据梯形定义确定点 P，如图所示： 若 BCAP 1，确定梯形 ABCP1.此时 P1与 D 点重合，
22、即可求得点 P1的坐标； 若 ABCP 2，确定梯形 ABCP2.先求出直线 CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点 P2的坐标 . 答案 ： (1)y= x2- x-3， 当 y=0 时， x2- x-3=0，解得 x1=-2， x2=4. 当 x=0， y=-3. A 点坐标为 (4， 0)， D 点坐标为 (-2， 0)， C 点坐标为 (0， -3)； (2)y= x2- x-3， 对称轴为直线 x= =1. AD 在 x 轴上，点 M 在抛物线上， 当 MAD 的面积与 CAD 的面积相等时，分两种情况： 点 M 在 x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点 M 与点 C关于
23、直线 x=1对称， C 点坐标为 (0， -3)， M 点坐标为 (2， -3)； 点 M 在 x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知 M 点到 x 轴的距离等于点 C到 x 轴的距离 3. 当 y=4 时， x2- x-3=3，解得 x1=1+ ， x2=1- ， M 点坐标为 (1+ ， 3)或 (1- ， 3). 综上所述，所求 M 点坐标为 (2， -3)或 (1+ ， 3)或 (1- ， 3)； (3)结论：存在 .如图所示，在抛物线上有两个点 P 满足题意： 若 BCAP 1，此时梯形为 ABCP1. 由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，可知 BCx 轴，则 P1与 D 点
24、重合， P 1(-2， 0). P 1A=6， BC=2， P 1ABC ， 四边形 ABCP1为梯形； 若 ABCP 2，此时梯形为 ABCP2. A 点坐标为 (4， 0)， B 点坐标为 (2， -3)， 直线 AB 的解析式为 y= x-6， 可设直线 CP2的解析式为 y= x+n， 将 C 点坐标 (0， -3)代入，得 b=-3， 直线 CP2的解析式为 y= x-3. 点 P2在抛物线 y= x2- x-3 上， x2- x-3= x-3，化简得： x2-6x=0， 解得 x1=0(舍去 )， x2=6， 点 P2横坐标为 6，代入直线 CP2解析式求得纵坐标为 6， P 2(6， 6). ABCP 2， ABCP 2， 四边形 ABCP2为梯形 . 综上所述，在抛物线上存在一点 P，使得以点 A、 B、 C、 P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点 P 的坐标为 (-2， 0)或 (6， 6).
