1、2014 年广东省珠海市中考真题数学 一、选择题 (本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 )在毎小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应題目所选的选项涂黑 . 1.(3 分 )- 的相反数是 ( ) A. 2 B. C. -2 D. - 解析 ：与 - 符号相反的数是 ，所以 - 的相反数是 ； 答案： B. 2.(3 分 )边长为 3cm 的菱形的周长是 ( ) A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 15cm 解析 ： 菱形的各边长相等， 边长为 3cm 的菱形的周长是： 34=12 (cm). 答案： C. 3.(3 分 )下列计算中，正确的是 ( )
2、 A. 2a+3b=5ab B. (3a3)2=6a6 C. a6+a2=a3 D. -3a+2a=-a 解析 ： A、不是同类二次根式，不能加减，故本选项错误； B、 (3a3)2=9a66a 6，故本选项错误； C、不是同类二次根式，不能加减，故本选项错误； D、 -3a+2a=-a 正确 答案： D. 4.(3 分 )已知圆柱体的底面半径为 3cm，髙为 4cm，则圆柱体的侧面积为 ( ) A. 24cm 2 B. 36cm 2 C. 12cm2 D. 24cm2 解析 ：圆柱的侧面积 =234=24 . 答案： A. 5.(3 分 )如图，线段 AB 是 O 的直径，弦 CD 丄 AB
3、， CAB=20 ，则 AOD 等于 ( ) A.160 B.150 C.140 D.120 解析 ： 线段 AB 是 O 的直径，弦 CD 丄 AB， = ， CAB=20 ， BOD=40 ， AOD=140 . 答案： C. 二、填空题 (本大题 5 小题，毎小题 4 分，共 20 分 )请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上 . 6.(4 分 )比较大小： -2 -3. 解析 ： 在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出 -2 -3. 答案： 7.(4 分 )填空： x2-4x+3=(x- )2-1. 解析 ： x2-4x+3=(x-2)2-1. 答案： 2 8.(4 分 )桶里
4、原有质地均匀、形状大小完全一样的 6 个红球和 4 个白球，小红不慎遗失了其中 2 个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为 . 解析 ： 桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的 6 个红球和 4 个白球，小红不慎遗失了其中 2 个红球， 现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为： = . 答案： . 9.(4 分 )如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于 (1， 0)， (3， 0)两点，則它的对称轴为 . 解析 ： 点 (1， 0)， (3， 0)的纵坐标相同， 这两点一定关于对称轴对称， 对称轴是： x= =2. 答案： 直线 x=2. 10.(4 分 )如图，在
5、等腰 RtOAA 1中， OAA 1=90 ， OA=1，以 OA1为直角边作等腰 RtOA 1A2，以 OA2为直角边作等腰 RtOA 2A3， 则 OA4的长度为 . 解析 ： OAA 1为等腰直角三角形， OA=1， AA 1=OA=1， OA1= OA= ； OA 1A2为等腰直角三角形， A 1A2=OA1= ， OA2= OA1=2； OA 2A3为等腰直角三角形， A 2A3=OA2=2， OA3= OA2=2 ； OA 3A4为等腰直角三角形， A 3A4=OA3=2 ， OA4= OA3=4. 答案： 4. 三、解答题 (一 )(本大题 5 小题，毎小题 6分，共 30 分
6、) 11.(6 分 )计算： ( )-1-( -2)0-|-3|+ . 解析 ：本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ：原式 = -1-3+2=2-1-3+2=0. 12.(6 分 )解不等式组： . 解析 ：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 . 答案 ： ，由 得， x -2，由 得， x -1， 故此不等式组的解集为： -2 x -1. 13.(6 分 )化简： (a2+3a) . 解析 ：原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果 . 答案 ：原式 =a(a+3) =a(a+3) =a
7、. 14.(6 分 )某市体育中考共设跳绳、立定跳远、仰卧起坐三个项目，要求毎位学生必须且只需选考其中一项，该市东风中学初三 (2)班学生选考三个项目的人数分布的条形统计图和扇形统计图如图所示 . (1)求该班的学生人数； (2)若该校初三年级有 1000 人，估计该年级选考立定供远的人数 . 解析 ： (1)根据跳绳的人数除以占的百分比，得出学生总数即可； (2)求出立定跳远的人数占总人数的百分比，乘以 1000 即可得到结果 . 答案 ： (1)根据题意得： 3060%=50 (人 )，则该校学生人数为 50 人； (2)根据题意得： 1000 =100(人 )， 则估计该年级选考立定供远
8、的人数为 100 人 . 15.(6 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 . (1)用尺规在边 BC 上求作一点 P，使 PA=PB(不写作法，保留作图痕迹 ) (2)连结 AP，当 B 为 度时， AP 平分 CAB . 解析 ： (1)运用基本作图方法，中垂线的作法作图， (2)求出 PAB=PAC=B ，运用直角三角形解出 B . 答案 ： (1)如图， (2)如图， PA=PB ， PAB=B ， 如果 AP 是角平分线，则 PAB=PAC ， PAB=PAC=B ， ACB=90 ， PAB=PAC=B=30 ， B=30 时， AP 平分 CAB . 答案： 30. 四
9、、解答题 (二 )(本大题 4 小题，毎小题 7分，共 28 分 ) 16.(7 分 )为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案 .方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳 300 元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠 . (1)以 x(元 )表示商品价格， y(元 )表示支出金额，分别写出两种购物方案中 y 关于 x 的函数解析式； (2)若某人计划在商都购买价格为 5880 元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 解析 ： (1)根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可； (2)分别把 x=5880，代入 (1)中的函数求得数值，比较得出答案即可 .
10、答案 ： (1)方案一： y=0.95x； 方案二： y=0.9x+300； (2)当 x=5880 时， 方案一： y=0.95x=5586， 方案二： y=0.9x+300=5592， 5586 5592 所以选择方案一更省钱 . 17.(7 分 )如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45 方向、距离小岛 180 海里的 A处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60 方向的 B 处 . (1)求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离 (结果用根号表示 )； (2)若渔船以 20海里 /小时的速度从 B沿 BM方向行驶，求渔船从 B到达小岛 M
11、的航行时间 (结果精确到 0.1 小时 ).(参考数据： 1.41 ， 1.73 ， 2.45 ) 解析 ： (1)过点 M 作 MDAB 于点 D，根据 AME 的度数求出 AMD=MAD=45 ，再根据 AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案； (2)在 RtDMB 中，根据 BMF=60 ，得出 DMB=30 ，再根据 MD 的值求出 MB 的值，最后根据路程 速度 =时间，即可得出答案 . 答案 ： (1)过点 M 作 MDAB 于点 D， AME=45 ， AMD=MAD=45 ， AM=180 海里， MD=AM cos45=90 (海里 )， 答：渔船从 A 到 B 的航行
12、过程中与小岛 M 之间的最小距离是 90 海里； (2)在 RtDMB 中， BMF=60 ， DMB=30 ， MD=90 海里， MB= =60 ， 60 20=3 =32.45=7.357.4 (小时 )， 答：渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 7.4 小时 . 18.(7 分 )如图，在 RtABC 中， BAC=90 ， AB=4， AC=3，线段 AB 为半圆 O 的直径，将 RtABC沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得 DEF ， DF 与 BC交于点 H. (1)求 BE 的长； (2)求 RtABC 与 DEF 重叠 (阴影 )部分的面积 .
13、解析 ： (1)连结 OG，先根据勾股定理计算出 BC=5，再根据平移的性质得 AD=BE， DF=AC=3，EF=BC=5， EDF=BAC=90 ，由于 EF 与半圆 O 相切于点 G，根据切线的性质得 OGEF ，然后证明 RtEOGRtEFD ，利用相似比可计算出 OE= ，所以 BE=OE-OB= ； (2)求出 BD 的长度，然后利用相似比例式求出 DH 的长度，从而求出 BDH ，即阴影部分的面积 . 答案 ： (1)连结 OG，如图， BAC=90 ， AB=4， AC=3， BC= =5， RtABC 沿射线 AB 方向平移，使斜边与半圆 O 相切于点 G，得 DEF ， A
14、D=BE ， DF=AC=3， EF=BC=5， EDF=BAC=90 ， EF 与半圆 O 相切于点 G， OGEF ， AB=4 ，线段 AB 为半圆 O 的直径， OB=OG=2 ， GEO=DEF ， RtEOGRtEFD ， = ，即 = ，解得 OE= ， BE=OE -OB= -2= ； (2)BD=DE-BE=4- = . DFAC ， ，即 ，解得： DH=2. S 阴影 =SBDH = BDDH= 2= ，即 RtABC 与 DEF 重叠 (阴影 )部分的面积为 . 19.(7 分 )如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边在 AD 在
15、 x轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y= 的图象交于点 B、 E. (1)求反比例函数及直线 BD 的解析式； (2)求点 E 的坐标 . 解析 ： (1)根据正方形的边长，正方形关于 y 轴对称，可得点 A、 B、 D 的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； (2)根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案 . 答案 ： (1)边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边在 AD在 x轴上，点 B在第四象限， A (1， 0)， D(-1， 0)， B(1， -2). 反比例函数 y= 的图象过点 B， ， m=-2， 反比例函数解析式为 y=- ，
16、 设一次函数解析式为 y=kx+b， y=kx+b 的图象过 B、 D 点， ，解得 .直线 BD 的解析式 y=-x-1； (2) 直线 BD 与反比例函数 y= 的图象交于点 E， ，解得 B (1， -2)， E (-2， 1). 五、解答题 (三 )(本大题 3 小题，毎小题 9分，共 27 分 ) 20.(9 分 )阅读下列材料： 解答 “ 已知 x-y=2，且 x 1， y 0，试确定 x+y 的取值范围 ” 有如下解法： 解 x -y=2， x=y+2 又 x 1， y+2 1.y -1. 又 y 0， -1 y 0. 同理得： 1 x 2. 由 + 得 -1+1 y+x 0+2
17、 x+y 的取值范围是 0 x+y 2 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知 x-y=3，且 x 2， y 1，则 x+y 的取值范围是 1 x+y 5 . (2)已知 y 1， x -1，若 x-y=a 成立，求 x+y 的取值范围 (结果用含 a 的式子表示 ). 解析 ： (1)根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可； (2)理解解题过程，按照解题思路求解 . 答案 ： (1)x -y=3， x=y+3 ， 又 x 2， y+3 2， y -1. 又 y 1， -1 y 1， 同理得： 2 x 4， 由 + 得 -1+2 y+x 1+4x+y 的取值范围是 1 x+y 5；
18、(2)x -y=a， x=y+a ， 又 x -1， y+a -1， y -a-1， 又 y 1， 1 y -a-1， 同理得： a+1 x -1， 由 + 得 1+a+1 y+x -a-1+(-1)， x+y 的取值范围是 a+2 x+y -a-2. 21.(9 分 )如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，连结 EF 与边 CD 相交于点 G，连结 BE 与对角线 AC 相交于点 H， AE=CF， BE=EG. (1)求证： EFAC ； (2)求 BEF 大小； (3)求证： = . 解析 ： (1)根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四
19、边形即可判定 . (2)先确定三角形 GCF是等腰直角三角形，得出 CG=AE，然后通过 BAEBCG ，得出 BE=BG=EG，即可求得 . (3)因为三角形 BEG 是等边三角形， ABC=90 ， ABE=CBG ，从而求得 ABE=15 ，然后通过求得 AHBFGB ，即可求得 . 答案 ： (1) 四边形 ABCD 是正方形， ADBF ， AE=CF ， 四边形 ACFE 是平行四边形， EFAC ， (2)连接 BG， EFAC ， F=ACB=45 ， GCF=90 ， CGF=F=45 ， CG=CF ， AE=CF ， AE=CG ， 在 BAE 与 BCG 中， ， BA
20、EBCG (SAS)BE=BG ， BE=EG ， BEG 是等边 三角形， BEF=60 ， (3)BAEBCG ， ABE=CBG ， BAC=F=45 ， AHBFGB ， = = = = = = ， EBG=60ABE=CBG ， ABC=90 ， ABE=15 ， = . 22.(9 分 )如图，矩形 OABC 的顶点 A(2， 0)、 C(0， 2 ).将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30 .得矩形 OEFG，线段 GE、 FO 相交于点 H，平行于 y 轴的直线 MN分别交线段 GF、 GH、 GO和 x轴于点 M、 P、 N、 D，连结 MH. (1)若抛物线 l： y
21、=ax2+bx+c 经过 G、 O、 E 三点，则它的解析式为： y= x2- x ； (2)如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的坐标； (3)在 (1)(2)的条件下，直线 MN 与抛物线 l 交于点 R，动点 Q 在抛物线 l 上且在 R、 E 两点之间 (不含点 R、 E)运动，设 PQH 的面积为 s，当 时，确定点 Q 的横坐标的取值范围 . 解析 ： (1)求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出 . (2)平行四边形对边平行且相等，恰得 MN 为 OF，即为中位线，进而横坐标易得， D为 x 轴上的点，所以纵坐标为 0. (3)已知 S 范围求横坐标的范
22、围，那么表示 S 是关键 .由 PH 不为平行于 x轴或 y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出 S，但要注意，当 Q 在 O 点右边时，所求三角形为两三角形的差 .得关系式再代入 ，求解不等式即可 .另要注意求解出结果后要考虑 Q 本身在 R、 E 之间的限制 . 答案 ： (1)如图 1，过 G 作 GICO 于 I，过 E作 EJCO 于 J， A (2， 0)、 C(0， 2 )， OE=OA=2 ， OG=OC=2 ， GOI=30 ， JOE=90 -GOI=90 -30=6
23、0 ， GI=sin30 GO= = ， IO=cos30 GO= =3， JO=cos30 OE= = ， JE=sin30 OE= =1， G (- ， 3)， E( ， 1)， 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c， 经过 G、 O、 E 三点， ，解得 ， y= x2- x. (2) 四边形 OHMN 为平行四边形， MNOH ， MN=OH， OH= OF， MN 为 OGF 的中位线， x D=xN= xG=- ， D (- ， 0). (3)设直线 GE 的解析式为 y=kx+b， G (- ， 3)， E( ， 1)， ，解得 ， y= - x+2. Q 在抛物线 y= x2
24、- x 上， 设 Q 的坐标为 (x， x2- x)， Q 在 R、 E 两点之间运动， - x . 当 - x 0 时， 如图 2，连接 PQ， HQ，过点 Q 作 QKy 轴，交 GE于 K，则 K(x， - x+2)， S PKQ = (yK-yQ) (xQ-xP)， SHKQ = (yK-yQ) (xH-xQ)， S PQH =SPKQ +SHKQ = (yK-yQ) (xQ-xP)+ (yK-yQ) (xH-xQ) = (yK-yQ) (xH-xP)= - x+2-( x2- x) 0-(- )=- x2+ . 当 0x 时， 如图 3，连接 PQ， HQ，过点 Q 作 QKy 轴，交 GE于 K，则 K(x， - x+2)， 同理 SPQH =SPKQ -SHKQ = (yK-yQ) (xQ-xP)- (yK-yQ) (xQ-xH)= (yK-yQ) (xH-xP)=-x2+ . 综上所述， SPQH =- x2+ . ， - x2+ ，解得 - x ， - x ， - x .
