1、2014 年广西桂林市中考真题数学 一、选择题 1.(3 分 )2014 的倒数是 ( ) A. B. - C. |2014| D. -2014 解析 ： 2014 的倒数是 . 答案： A. 2.(3 分 )如图，已知 ABCD ， 1=56 ，则 2 的度数是 ( ) A. 34 B. 56 C. 65 D. 124 解析 ： ABCD ， 1=56 ， 2=1=56 . 答案： B. 3.(3 分 )下列各式中，与 2a 的同类项的是 ( ) A. 3a B. 2ab C. -3a2 D. a2b 解析 ： 2a 中的字母是 a， a 的指数为 1， A、 3a 中的字母是 a， a 的
2、指数为 1，故 A 选项正确； B、 2ab 中字母为 a、 b，故 B 选项错误； C、中字母 a 的指数为 2，故 C 选项错误； D、字母与字母指数都不同，故 D 选项错误， 答案： A. 4.(3 分 )在下列的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视图相同的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，故 A 选项错误； B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故 B 选项错误； C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故 C 选项错误； D、球主视图、俯视图都是圆，
3、主视图与俯视图相同，故 D 选项正确 . 答案： D. 5.(3 分 )在平面直角坐标系中，已知点 A(2， 3)，则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为 ( ) A. (3， 2) B. (2， -3) C. (-2， 3) D. (-2， -3) 解析 ： 点 A(2， 3)， 点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为： (2， -3). 答案： B. 6.(3 分 )一次函数 y=kx+b(k0 )的图象如图，则下列结论正确的是 ( ) A. k=2 B. k=3 C. b=2 D. b=3 解析 ： 由函数图象可知函数图象过点 (2， 0)， (0， 3)， ，解得 . 答案： D. 7.
4、(3 分 )下列命题中，是真命题的是 ( ) A. 等腰三角形都相似 B. 等边三角形都相似 C. 锐角三角形都相似 D. 直角三角形都相似 解析 ： A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故 A 选项错误； B、等边三角形都相似，是真命题，故 B 选项正确； C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故 C 选项错误； D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故 D 选项错误 . 答案： B. 8.(3 分 )两圆的半径分别为 2 和 3，圆心距为 7，则这两个圆的位置关系为 ( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 解析 ： 两圆的半径分别为 2和 3，圆心距为 7，又 7 3+2，
5、 两圆的位置关系是：外离 . 答案： A. 9.(3 分 )下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故 A 选项错误； B、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故 B 选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故 C 选项正确； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故 D 选项错误 . 答案： C. 10.(3 分 )一个不透明的袋子中装有 5 个黑球和 3 个白球，这些球的大小、质点完全相同，随机从袋子中摸出 4 个球，则下列事件是必然事件的是 ( ) A. 摸出的四个球中至少有一
6、个球是白球 B. 摸出的四个球中至少有一个球是黑球 C. 摸出的四个球中至少有两个球是黑球 D. 摸出的四个球中至少有两个球是白球 解析 ： A、是随机事件，故 A 选项错误； B、是必然事件，故 B 选项正确； C、是随机事件，故 C 选项错误； D、是随机事件，故 D 选项错误 . 答案： B. 11.(3 分 )如图，在 ABC 中， CAB=70 ，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转到 ABC 的位置，使得 CCAB ，则 BAB 的度数是 ( ) A. 70 B. 35 C. 40 D. 50 解析 ： ABC 绕点 A 逆时针旋转到 ABC 的位置， AC=AC ， BAB=CAC
7、， ACC=ACC ， CCAB ， ACC=CAB=70 ， ACC=ACC=70 ， CAC=180 -270=40 ， BAB=40 ， 答案： C. 12.(3 分 )如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， B=60 ， P、 Q 同时从 B 出发，以每秒 1 个单位长度分别沿 BADC 和 BCD 方向运动至相遇时停止 .设运动时间为 t(秒 )， BPQ 的面积为 S(平方单位 )， S 与 t 的函数图象如图 2，则下列结论错误的是 ( ) A. 当 t=4 秒时， S=4 B. AD=4 C. 当 4t8 时， S=2 t D. 当 t=9 秒时， BP 平分梯形 ABCD 的面
8、积 解析 ： 由答图 2 所示，动点运动过程分为三个阶段： (1)OE 段，函数图象为抛物线，运动图形如答图 1-1 所示 . 此时点 P 在线段 AB 上、点 Q 在线段 BC上运动 . BPQ 为等边三角形，其边长 BP=BQ=t，高 h= t， S= BQ h= t t= t2. 由函数图象可知，当 t=4 秒时， S=4 ， 答案： 项 A 正确 . (2)EF 段，函数图象为直线，运动图形如答图 1-2 所示 . 此时点 P 在线段 AD 上、点 Q 在线段 BC上运动 . 由函数图象可知，此阶段运动时间为 4s， AD=14=4 ， 答案： 项 B 正确 . 设直线 EF 的解析式
9、为： S=kt+b，将 E(4， 4 )、 F(8， 8 )代入得： ， 解得 ， S= t， 答案： 项 C 错误 . (3)FG 段，函数图象为直线，运动图形如答图 1-3 所示 . 此时点 P、 Q 均在线段 CD 上运动 . 设梯形高为 h，则 S 梯形 ABCD= (AD+BC) h= (4+8) h=6h； 当 t=9s 时， DP=1，则 CP=3， S BCP = SBCD = 8h=3h ， S BCP = S 梯形 ABCD，即 BP 平分梯形 ABCD的面积， 答案： 项 D正确 . 综上所述，错误的结论是 C. 答案： C. 二、填空题 13.(3 分 )分解因式： a
10、2+2a= . 解析 ： a2+2a=a(a+2). 答案： a(a+2). 14.(3 分 )震惊世界的 MH370 失联事件发生后第 30 天，中国 “ 海巡 01” 轮在南印度洋海域搜索过程中首次侦听到疑是飞机黑匣子的脉冲信号，探测到的信号所在海域水深 4500 米左右，其中 4500 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 4500 用科学记数法表示为 4.510 3. 答案： 4.510 3. 15.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB BC， AC， BD 相交于点 O，则图中等腰三角形的个数是 . 解析 ： 四边形 ABCD 是矩形， AC=BD ， OA=OC= AC，
11、 BO=DO= BD， OA=OC=OB=OD ， 等腰三角形有 OAB ， OAD ， OBC ， OCD ，共 4 个 . 答案： 4. 16.(3 分 )已知点 P(1， -4)在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值是 . 解析 ： 点 P(1， -4)在反比例函数 y= 的图象上， -4= ，解得 k=-4. 答案： -4. 17.(3分 )已知关于 x的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0的两根为 x1和 x2，且 (x1-2)(x1-x2)=0，则 k 的值是 . 解析 ： (x1-2)(x1-x2)=0， x 1-2=0 或 x1-x2=0. 如果 x1-2=0，
12、那么 x1=2， 将 x=2 代入 x2+(2k+1)x+k2-2=0， 得 4+2(2k+1)+k2-2=0， 整理，得 k2+4k+4=0，解得 k=-2； 如果 x1-x2=0， 那么 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-(2k+1)2-4(k2-2)=4k+9=0，解得 k=- . 又 = (2k+1)2-4(k2-2)0 .解得： k - .所以 k 的值为 -2 或 - . 答案： -2 或 - . 18.(3 分 )观察下列运算： 81=8， 82=64， 83=512， 84=4096， 85=32768， 86=262144， ，则81+82+83+84+8 2
13、014的和的个位数字是 . 解析 ： 20144=5032 ， 循环了 503 次，还有两个个位数字为 8， 4， 所以 81+82+83+84+8 2014的和的个位数字是 5030+8+4=12 ， 答案： 2. 三、解答题 19.(6 分 )计算： +(-1)2014-2sin45+| - |. 解析 ： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 =2+1-2 + =3. 20.(6 分 )解不等式： 4x-3 x+6，并把解集在数轴上表示出来 . 解析 ： 根据不等式的
14、性质解答 . 答案： 移项，得 4x-x 6+3， 合并同类项，得 3x 9， 系数化为 1，得 x 3. 在数轴上表示为 . 21.(8 分 )在 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF 分别交线段 AD、 BC 于点 E、F. (1)根据题意，画出图形，并标上正确的字母； (2)求证： DE=BF. 解析 ： (1)根据题意直接画图即可； (2)由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC ， OB=OD，继而可利用 ASA，判定 DOEBOF ，继而证得 DE=BF. 答案： (1)如图所示： (2) 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， O
15、B=OD， EDO=OBF ， 在 DOE 和 BOF 中， ， DOEBOF (ASA)， DE=BF . 22.(8 分 )初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响 .针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对 “ 初中学生带手机上学 ” 现象的看法，统计整理并制作了如图的统计图： (1)这次调查的家长总人数为 人，表示 “ 无所谓 ” 的家长人数为 人； (2)随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到 “ 很赞同 ” 的家长的概率是 ； (3)求扇形统计图中表示 “ 不赞同 ” 的扇形的圆心角度数 . 解析 ： (1)用 “ 赞同 ” 的家长数除以
16、对应的百分比就是调查的家长总人数，用调查的家长总人数乘 “ 无所谓 ” 的家长百分比就是 “ 无所谓 ” 的家长人数 . (2)用总人数减去 “ 赞同 ”“ 不赞同 ”“ 无所谓 ” 的家长人数就是 )“ 很赞同 ” 的家长人数，“ 很赞同 ” 的家长人数除以总数就是概率 . (3)“ 不赞同 ” 的扇形的圆心角度数 =)“ 不赞同 ” 的扇形的百分比乘 360 . 答案： (1)这次调查的家长总人数为： 5025%=200 (人 ) 表示 “ 无所谓 ” 的家长人数为： 20020%=40 (人 ) 故答案为： 200， 40. (2)“ 很赞同 ” 的家长人数为： 200-90-50-40
17、=20(人 ) 抽到 “ 很赞同 ” 的家长的概率是 20200= ， 故答案为： . (3)“ 不赞同 ” 的扇形的圆心角度数为： 360=162 . 23.(8 分 )中国 “ 蛟龙 ” 号深潜器目前最大深潜极限为 7062.68 米 .某天该深潜器在海面下1800 米的 A 点处作业 (如图 )，测得正前方海底沉船 C 的俯角为 45 ，该深潜器在同一深度向正前方直线航行 2000 米到 B 点，此时测得海底沉船 C 的俯角为 60 . (1)沉船 C 是否在 “ 蛟龙 ” 号深潜极限范围内？并说明理由； (2)由于海流原因， “ 蛟龙 ” 号需在 B 点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为
18、 2000 米 /时，求 “ 蛟龙 ” 号上浮回到海面的时间 .(参考数据： 1.414 ， 1.732 ) 解析 ： (1)过点 C 作 CD 垂直 AB 延长线于点 D，设 CD 为 x 米，在 RtACD 和 RtBCD 中，分别表示出 AD 和 BD 的长度，然后根据 AB=2000 米，求出 x 的值，求出点 C 距离海面的距离，判断是否在极限范围内； (2)根据时间 =路程 速度，求出时间即可 . 答案： (1)过点 C 作 CD 垂直 AB 延长线于点 D， 设 CD=x 米，在 RtACD 中， DAC=45 ， AD=x ， 在 RtBCD 中， CBD=60 ， BD= x
19、， AB=AD -BD=x- x=2000，解得： x4732 ， 船 C 距离海平面为 4732+1800=6532 米 7062.68 米， 沉船 C 在 “ 蛟龙 ” 号深潜极限范围内； (2)t=18002000=0.9 (小时 ). 答： “ 蛟龙 ” 号从 B 处上浮回到海面的时间为 0.9 小时 . 24.(8分 )电动自动车已成为市民日常出行的首选工具 .据某市某品牌电动自行车经销商 1至3 月份统计，该品牌电动自行车 1 月份销售 150 辆， 3 月份销售 216辆 . (1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价为 2
20、800 元，则该经销商 1 至 3月共盈利多少元？ 解析 ： (1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x.等量关系为： 1 月份的销售量 (1+增长率 )2=3 月份的销售量，把相关数值代入求解即可 . (2)根据 (1)求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案 . 答案： (1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x， 根据题意列方程： 150(1+x)2=216， 解得 x1=-220%(不合题意，舍去 )， x2=20%. 答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20%. (2)二月份的销量是： 150 (1+20%)=180(辆 ). 所以该经销商 1 至 3 月共
21、盈利： (2800-2300) (150+180+216)=500546=273000 (元 ). 25.(10 分 )如图， ABC 为 O 的内接三角形， P为 BC 延长线上一点， PAC=B ， AD 为 O的直径，过 C 作 CGAD 交 AD 于 E，交 AB 于 F，交 O 于 G. (1)判断直线 PA 与 O 的位置关系，并说明理由； (2)求证： AG2=AF AB； (3)若 O 的直径为 10， AC=2 ， AB=4 ，求 AFG 的面积 . 解析 ： (1)首先连接 CD，由 AD为 O 的直径，可得 ACD=90 ，然后由圆周角定理，证得 B=D ，由已知 PAC
22、=B ，可证得 DAPA ，继而可证得 PA 与 O 相切 . (2)首先连接 BG，易证得 AFGAGB ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论； (3)首先连接 BD，由 AG2=AF AB，可求得 AF 的长，易证得 AEFABD ，即可求得 AE 的长，继而可求得 EF 与 EG 的长，则可求得答案 . 答案： (1)PA 与 O 相切 .理由：连接 CD， AD 为 O 的直径， ACD=90 ， D+CAD=90 ， B=D ， PAC=B ， PAC=D ， PAC+CAD=90 ，即 DAPA ， 点 A 在圆上， PA 与 O 相切 . (2)证明：如图 2，连接 BG，
23、 AD 为 O 的直径， CGAD ， = ， AGF=ABG ， GAF=BAG ， AGFABG ， AG ： AB=AF： AG， AG 2=AF AB； (3)如图 3，连接 BD， AD 是直径， ABD=90 ， AG 2=AF AB， AG=AC=2 ， AB=4 ， AF= = ， CGAD ， AEF=ABD=90 ， EAF=BAD ， AEFABD ， ，即 ，解得： AE=2， EF=1， EG= =4， FG=EG -EF=4-1=3， S AFG = FG AE= 32=3 . 26.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于 A(-2，
24、0)、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，其对称轴为直线 x=1. (1)直接写出抛物线的解析式： ； (2)把线段 AC 沿 x 轴向右平移，设平移后 A、 C 的对应点分别为 A 、 C ，当 C 落在抛物线上时，求 A 、 C 的坐标； (3)除 (2)中的点 A 、 C 外，在 x 轴和抛物线上是否还分别存在点 E、 F，使得以 A、 C、 E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 E、 F 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)先求得 B 点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式； (2)根据平移性质及抛物线的对称性，求出 A 、 C 的坐标； (3)以 A
25、、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形，可能存在 3 种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解 . 答案： (1)A (-2， 0)，对称轴为直线 x=1.B (4， 0)， 把 A(-2， 0)， B(4， 0)代入抛物线的表达式为： ，解得： ， 抛物线的解析式为： y=- x2+x+4； (2)由抛物线 y=- x2+x+4 可知 C(0， 4)， 抛物线的对称轴为直线 x=1，根据对称性， C (2， 4)， A (0， 0). (3)存在 .设 F(x， - x2+x+4).以 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形， 若 AC 为平行四边形的边，如答图 1-1 所
26、示，则 EFAC 且 EF=AC. 过点 F1作 F1Dx 轴于点 D，则易证 RtAOCRtE 1DF1， DE 1=2， DF1=4. - x2+x+4=-4， 解得： x1=1+ ， x2=1- . F 1(1+ ， -4)， F2(1- ， -4)； E 1(3+ ， 0)， E2(3- ， 0). 若 AC 为平行四边形的对角线，如答图 1-2 所示 . 点 E3在 x 轴上， CF 3x 轴， 点 C为点 A关于 x=1的对称点， F 3(2， 4)， CF3=2.AE 3=2， E 3(-4， 0). 综上所述，存在点 E、 F，使得以 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形； 点 E、 F 的坐标为： E1(3+ ， 0)， F1(1+ ， -4)； E2(3- ， 0)， F2(1- ， -4)；E3(-4， 0)， F3(2， 4).
