1、2014 年广西省柳州市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分 ) 1.(3 分 )如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形， 答案： A. 2.(3 分 )在所给的 ， 0， -1， 3 这四个数中，最小的数是 ( ) A. B. 0 C. -1 D. 3 解析： -1 0 3. 答案： C. 3.(3 分 )下列选项中，属于无理数的是 ( ) A. 2 B. C. D. -2 解析： 是无限不循环小数， 答案： B. 4.(3 分 )如图，直线 lOB ，则 1
2、的度数是 ( ) A. 120 B. 30 C. 40 D. 60 解析： 直线 lOB ， 1=60 . 答案： D. 点评： 本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键 . 5.(3 分 )下列计算正确的选项是 ( ) A. -1= B. ( )2=5 C. 2a-b=ab D. = 解析： A、原式 =2-1=1，故 A 选项错误； B、原式 =5，故 B 选项正确； C、原式不能合并，故 C 选项错误； D、原式 = ，故 D 选项错误 . 答案： B. 6.(3 分 )如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第
3、四象限 解析： 如图所示，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限 . 答案： A. 7.(3 分 )学校 “ 清洁校园 ” 环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是( ) A. 12 岁 B. 13 岁 C. 14 岁 D. 15 岁 解析： 众数是 14 岁 . 答案： C. 8.(3 分 )如图，当半径分别是 5 和 r 的两圆 O 1和 O 2外切时，它们的圆心距 O1O2=8，则 O 2的半径 r 为 ( ) A. 12 B. 8 C. 5 D. 3 解析： 根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是 8-5=3. 答案： D. 9.(3 分 )
4、在下列所给出的 4 个图形中，对角线一定互相垂直的是 ( ) A. 长方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角梯形 解析： 菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直 . 答案： C. 10.(3 分 )如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角 的度数是 ( ) A. 240 B. 120 C. 60 D. 30 解析： 设这个正六边形的每一个内角的度数为 x， 则 6x=(6-2) 180 ，解得 x=120 . 故这个正六边形的每一个内角的度数为 120 . 答案： B. 11.(3分 )小兰画了一个函数 y=x2+ax+b的图象如图，则关于
5、x的方程 x2+ax+b=0的解是 ( ) A. 无解 B. x=1 C. x=-4 D. x=-1 或 x=4 解析： 如图， 函数 y=x2+ax+b 的图象与 x 轴交点坐标分别是 (-1， 0)， (4， 0)， 关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的解是 x=-1 或 x=4. 答案： D. 12.(3 分 )如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是 0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是 ( ) A. 0.25 B. 0.5 C. 0.75 D. 0.95 解析： 列表如下： 所有等可能的情况有 4 种，其中至少有一个灯泡发光的情况有 3 种，则 P= =0.75. 答案：
6、 C. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 13.(3 分 )3 的相反数是 . 解析： 3 的相反数就是 -3. 答案： -3. 14.(3 分 )如图，身高为 x cm 的 1 号同学与身高为 y cm 的 2 号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成 x y(用 “ ” 或 “ ” 填空 ). 解析： 如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成 x y， 答案： . 15.(3 分 )如图，等腰梯形 ABCD 的周长为 16， BC=4， CD=3，则 AB= 5 . 解析： 四边形 ABCD 为等腰梯形， A
7、D=BC ， BC=4 ， AD=4 ， CD=3 ，等腰梯形 ABCD 的周长为 16， AB=16 -3-4-4=5， 答案： 5. 16.(3 分 )方程 -1=0 的解是 x= . 解析： 去分母得： 2-x=0，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案： 2. 17.(3 分 )将直线 y= x 向上平移 个单位后得到直线 y= x+7. 解析： 由 “ 上加下减 ” 的原则可知，将直线 y= x 向上平移 7 个单位所得直线的解析式为：y= x+7. 答案： 7. 18.(3 分 )如图，在 ABC 中，分别以 AC， BC 为边作等边 ACD 和等边 BCE .设
8、 ACD 、 BCE 、ABC 的面积分别是 S1、 S2、 S3，现有如下结论： S 1： S2=AC2： BC2； 连接 AE， BD，则 BCDECA ； 若 ACBC ，则 S1 S2= S32. 其中结论正确的序号是 . 解析： S 1： S2=AC2： BC2正确， ADC 与 BCE 是等边三角形， ADCBCE ， S 1： S2=AC2： BC2. BCDECA 正确， 证明： ADC 与 BCE 是等边三角形， ACD=BCE=60ACD+ACB=BCE+ACD ， 即 ACE=DCB ， 在 ACE 与 DCB 中， ， BCDECA (SAS). 若 ACBC ，则 S
9、1 S2= S32正确， 设等边三角形 ADC 的边长 =a，等边三角形 BCE 边长 =b，则 ADC 的高 = a， BCE 的高 =b， S 1= a a= a2， S2= b b= b2， S 1 S2= a2 b2= a2b2， S 3= ab， S 32= a2b2， S 1 S2= S32. 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分 ) 19.(6 分 )计算： 2 (-5)+3. 解析： 根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答案 . 答案： 原式 =-10+3=-7. 20.(6 分 )一位射击运动员在 10 次射击训练中，命中靶的环数如图
10、. 请你根据图表，完成下列问题： (1)补充完成下面成绩表单的填写： (2)求该运动员这 10 次射击训练的平均成绩 . 解析： 根据折线统计图中提供的信息，补全统计表； (2)求出该运动员射击总环数除以 10 即可 . 答案： (1)由折线统计图得出第一次射击环数为： 8，第二次射击环数为： 9，第三次射击环数为： 7， 故答案为： 8， 9， 7. (2)运动员这 10 次射击训练的平均成绩： (8+9+7+8+10+7+9+10+7+10)10=8.5 (环 ). 21.(6 分 )小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示 .问：这两个苹果的重量分别为多少
11、 g？ 解析： 设大苹果的重量为 x(g)，小苹果的重量为 y(g)，根据图示可得：大苹果的重量 =小苹果 +50g，大苹果 +小苹果 =300g+50g，据此列方程组求解 . 答案： 设大苹果的重量为 x(g)，小苹果的重量为 y(g)， 由题意得， ，解得： . 答：大苹果的重量为 200g，小苹果的重量为 150g. 22.(8 分 )如图，在 ABC 中， BDAC ， AB=6， AC=5 ， A=30 . 求 BD 和 AD 的长； 求 tanC 的值 . 解析： (1)由 BDAC 得到 ADB=90 ，在 RtADB 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系先得到 BD= A
12、B=3，再得到 AD= BD=3 ； (2)先计算出 CD=2 ，然后在 RtADC 中，利用正切的定义求解 . 答案： (1)BDAC ， ADB=90 ， 在 RtADB 中， AB=6， A=30 ， BD= AB=3， AD= BD=3 ； (2)CD=AC-AD=5 -3 =2 ， 在 RtADC 中， tanC= = = . 23.(8 分 )如图，函数 y= 的图象过点 A(1， 2). (1)求该函数的解析式； (2)过点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足为 B和 C，求四边形 ABOC 的面积； (3)求证：过此函数图象上任意一点分别向 x 轴和 y 轴作垂线，这两条
13、垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值 . 解析： (1)将点 A 的坐标代入反比例函数解析式，即可求出 k 值； (2)由于点 A 是反比例函数上一点，矩形 ABOC 的面积 S=|k|. (3)设图象上任一点的坐标 (x， y)，根据矩形的面积公式，可得出结论 . 答案： (1) 函数 y= 的图象过点 A(1， 2)， 将点 A 的坐标代入反比例函数解析式， 得 2= ，解得： k=2， 反比例函数的解析式为 y= ； (2) 点 A 是反比例函数上一点， 矩形 ABOC 的面积 S=AC AB=|xy|=|k|=2. (3)设图象上任一点的坐标 (x， y)， 过这点分别向 x 轴和 y
14、 轴作垂线，矩形面积为 |xy|=|k|=2， 矩形的面积为定值 . 24.(10 分 )如图，在 ABC 中， BAC 的角平分线 AD交 BC于 E，交 ABC 的外接圆 O 于 D. (1)求证： ABEADC ； (2)请连接 BD， OB， OC， OD，且 OD 交 BC 于点 F，若点 F 恰好是 OD 的中点 .求证：四边形 OBDC是菱形 . 解析： (1)根据圆周角定理求出 B=D ，根据相似三角形的判定推出即可； (2)根据垂径定理求出 ODBC ，根据线段垂直平分线性质得出 OB=BD， OC=CD，根据菱形的判定推出即可 . 答案： (1)BAC 的角平分线 AD，
15、BAE=CAD ， B=D ， ABEADC ； (2)BAD=CAD ， = ， OD 为半径， DOBC ， F 为 OD 的中点， OB=BD ， OC=CD， OB=OC ， OB=BD=CD=OC ， 四边形 OBDC 是菱形 . 25.(10 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为 1， AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 后，得到线段 PE，且 PE交 BC 于 F，连接 DF，过点 E作 EQAB 的延长线于点Q. (1)求线段 PQ 的长； (2)问：点 P 在何处时， PFDBFP ，并说明理由 . 解析： (1)由题意得： PD=P
16、E， DPE=90 ，又由正方形 ABCD的边长为 1，易证得 ADPQPE ，然后由全等三角形的性质，求得线段 PQ 的长； (2)易证得 DAPPBF ，又由 PFDBFP ，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案 . 答案： (1)根据题意得： PD=PE， DPE=90 ， APD+QPE=90 ， 四边形 ABCD 是正方形， A=90 ， ADP+APD=90 ， ADP=QPE ， EQAB ， A=Q=90 ， 在 ADP 和 QPE 中， ， ADPQPE (AAS)， PQ=AD=1 ； (2)PFDBFP ， ， ADP=EPB ， CBP=A ，
17、 DAPPBF ， ， = ， PA=PB ， PA= AB= 当 PA= 时， PFDBFP . 26.(12 分 )已知二次函数图象的顶点坐标为 (0， 1)，且过点 (-1， )，直线 y=kx+2 与 y 轴相交于点 P，与二次函数图象交于不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2). (1)求该二次函数的解析式 . (2)对 (1)中的二次函数，当自变量 x 取值范围在 -1 x 3 时，请写出其函数值 y 的取值范围； (不必说明理由 ) (3)求证：在此二次函数图象下方的 y 轴上，必存在定点 G，使 ABG 的内切圆的圆心落在 y轴上，并求 GAB 面积的最小值 . (
18、注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料 ) 附：阅读材料 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比 . 即：设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1， x2， 则： x1+x2=- ， x1 x2= 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单 . 例：不解方程，求方程 x2-3x=15 两根的和与积 . 解：原方程变为： x2-3x-15=0 一元二次方程的根与系数有关系： x1+x2=- ， x1 x2= 原方程两根之和 =- =3，两根之积 = =-15. 解析： (1)设二次函数解析式为 y=
19、ax2+1，由于点 (-1， )在二次函数图象上，把该点的坐标代入 y=ax2+1，即可求出 a，从而求出二次函数的解析式 . (2)先分别求出 x=-1， x=0， x=3 时 y 的值，然后结合图象就可得到 y 的取值范围 . (3)由于 ABG 的内切圆的圆心落在 y 轴上，因此 GP 平分 AGB .过点 A作 GP 的对称点 A ，则点 A 必在 BG 上 .由于点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)在直线 y=kx+2 上，从而可以得到点 A的坐标为 (x1， kx1+2)、 A 的坐标为 (-x1， kx1+2)、 B 的坐标为 (x2， kx2+2).设直线 BG 的解析
20、式为y=mx+n，则点 G 的坐标为 (0， n).由于点 A (-x1， kx1+2)、 B(x2， kx2+2)在直线 BG 上，可用含有 k、 x1、 x2的代数式表示 n.由于 A、 B 是直线 y=kx+2 与抛物线 y= x2+1 的交点，由根与系数的关系可得： x1+x2=4k， x1 x2=-4.从而求出 n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y 轴上，存在定点 G(0， 0)，使 ABG 的内切圆的圆心落在 y 轴上 .由 SABG =SAPG +SBPG ，可以得到 SABG =x2-x1= =4 ，所以当 k=0 时， SABG 最小，最小值为 4. 答案： (1)由于
21、二次函数图象的顶点坐标为 (0， 1)，因此二次函数的解析式可设为 y=ax2+1. 抛物线 y=ax2+1 过点 (-1， )， =a+1.解得： a= . 二次函数的解析式为： y= x2+1. (2)当 x=-1 时， y= ， 当 x=0 时， y=1， 当 x=3 时， y= 3 2+1= ， 结合图 1 可得：当 -1 x 3 时， y 的取值范围是 1y . (3) 证明： ABG 的内切圆的圆心落在 y 轴上， GP 平分 AGB . 直线 GP 是 AGB 的对称轴 .过点 A 作 GP 的对称点 A ，如图 2，则点 A 一定在 BG上 . 点 A 的坐标为 (x1， y1
22、)， 点 A 的坐标为 (-x1， y1). 点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)在直线 y=kx+2 上， y 1=kx1+2， y2=kx2+2. 点 A 的坐标为 (-x1， kx1+2)、点 B 的坐标为 (x2， kx2+2). 设直线 BG 的解析式为 y=mx+n，则点 G 的坐标为 (0， n). 点 A (-x1， kx1+2)、 B(x2， kx2+2)在直线 BG 上， .解得 . A (x1， y1)， B(x2， y2)是直线 y=kx+2 与抛物线 y= x2+1的交点， x 1、 x2是方程 kx+2= x2+1 即 x2-4kx-4=0 的两个实数根 .
23、 由根与系数的关系可得； x1+x2=4k， x1 x2=-4. n= =-2+2=0. 点 G 的坐标为 (0， 0). 在此二次函数图象下方的 y 轴上，存在定点 G(0， 0)，使 ABG 的内切圆的圆心落在 y轴上 . 过点 A 作 ACOP ，垂足为 C，过点 B 作 BDOP ，垂足为 D，如图 2， 直线 y=kx+2 与 y 轴相交于点 P， 点 P 的坐标为 (0， 2).PG=2 . S ABG =SAPG +SBPG = PG AC+ PG BD= PG (AC+BD)= 2 (-x1+x2)=x2-x1 = = = =4 . 当 k=0 时， SABG 最小，最小值为 4.GAB 面积的最小值为 4.
