1、2014 年广西省百色市中考真题数学 一、单项选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.(3 分 )化简 得 ( ) A. 100 B. 10 C. D. 10 解析 ： =10， 答案 ： B. 2.(3 分 )下列图形中，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，故本选项错误； 答案 ： C. 3.(3 分 )如图，已知 ABCD ， 1=62 ，则 2 的度数是 ( ) A. 28 B. 62 C. 108 D. 118
2、解析 ： 如图， ABCD ， 1=62 ， 2=1=62 . 答案： B. 4.(3 分 )在 3 月份，某县某一周七天的最高气温 (单位： )分别为： 12， 9， 10， 6， 11， 12，17，则这组数据的极差是 ( ) A. 6 B. 11 C. 12 D. 17 解析 ：这组数据的极差 =17-6=11. 答案： B. 5.(3 分 )下列式子正确的是 ( ) A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. (a-b)2=a2-b2 C. (a-b)2=a2+2ab+b2 D. (a-b)2=a2-ab+b2 解析 ： A.(a-b)2=a2-2ab+b2，故 A 选项正确； B.
3、(a-b)2=a2-b2，故 B 选项错误； C.(a-b)2=a2+2ab+b2，故 C 选项错误； D.(a-b)2=a2-ab+b2，故 D 选项错误； 答案： A. 6.(3 分 )下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是 ( ) A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 球 解析 ： A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是矩形，主视图与俯视图相同，故本选项错误； B、正方体的主视图是正方形，俯视图是正方形，主视图与俯视图相同，故本选项错误； C、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆及圆心，主视图与俯视图不相同，故本选项正确； D、球的主视图是圆，俯视图是圆，主视图与俯视图相同，故本
4、选项错误 . 答案： C. 7.(3 分 )已知 x=2 是一元二次方程 x2-2mx+4=0 的一个解，则 m的值为 ( ) A. 2 B. 0 C. 0 或 2 D. 0 或 -2 解析 ： x=2 是一元二次方程 x2-2mx+4=0 的一个解， 4 -4m+4=0， m=2 . 答案： A. 8.(3 分 )下列三个分式 、 、 的最简公分母是 ( ) A. 4(m-n)x B. 2(m-n)x2 C. D. 4(m-n)x2 解析 ：分式 、 、 的分母分别是 2x2、 4(m-n)、 x，故最简公分母是 4(m-n)x2. 答案： D. 9.(3 分 )某班第一组 12 名同学在
5、“ 爱心捐款 ” 活动中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成的一组数据中，中位数与众数分别是 ( ) A. 15， 15 B. 17.5， 15 C. 20， 20 D. 15， 20 解析 ：共有数据 12 个，第 6 个数和第 7 个数分别是 15元， 20 元，所以中位数是：(15+20)2=17.5 (元 )； 捐款金额的众数是 15 元 . 答案： B. 10.(3 分 )从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点 C处的俯角为 45 ，看到楼顶部点 D 处的仰角为 60 ，已知两栋楼之间的水平距离为 6 米，则教学楼的高 CD 是 ( ) A. (6+6
6、 )米 B. (6+3 )米 C. (6+2 )米 D. 12 米 解析 ：在 RtACB 中， CAB=45 ， ABDC ， AB=6m， BC=6m ， 在 RtABD 中， tanBAD= ， BD=AB tanBAD=6 m， DC=CB+BD=6+6 (m). 答案： A. 11.(3 分 )在下列叙述中： 一组对边相等的四边形是平行四边形； 函数 y= 中， y 随 x 的增大而减小； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 有不可能事件 A 发生的概率为 0.0001. 正确的叙述有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 解析 ： 一组对边相等的四边形不一
7、定是平行四边形，故此选项错误； 函数 y= 中，在同一象限内， y 随 x 的增大而减小，此选项错误； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确； 有不可能事件 A 发生的概率为 0.0001，不可能是发生的概率为 0，故此选项错误 . 答案： B. 12.(3 分 )已知点 A 的坐标为 (2， 0)，点 P 在直线 y=x 上运动，当以点 P 为圆心， PA的长为半径的圆的面积最小时，点 P 的坐标为 ( ) A. (1， -1) B. (0， 0) C. (1， 1) D. ( ， ) 解析 ：如图，过点 A 作 AP 与直线 y=x 垂直，垂足为点 P，此时 PA 最小，则以点 P
8、 为圆心，PA 的长为半径的圆的面积最小 .过点 P 作 PM 与 x 轴垂直，垂足为点 M. 在直角 OAP 中， OPA=90 ， POA=45 ， OAP=45 ， PO=PA ， PMx 轴于点 M， OM=MA= OA=1， PM=OM=1 ， 点 P 的坐标为 (1， 1). 答案： C. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分 )计算： 2000-2015= . 解析 ： 2000-2015=-15. 答案： -15. 14.(3 分 )已知甲、乙两组抽样数据的方差： =95.43， =5.32，可估计总体数据比较稳定的是 组数据 . 解析
9、 ： =95.43， =5.32， ， 总体数据比较稳定的是乙 . 答案： 乙 . 15.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径，点 C 为 O 上一点， AOC=50 ，则 ABC= . 解析 ： AB 是 O 的直径， AOC=50 ， ABC= AOC=25 . 答案： 25 . 16.(3 分 )方程组 的解为 . 解析 ： ， + 得： 2x=2，即 x=1， - 得： 2y=-2，即 y=-1， 则方程组的解为 .故答案为： 17.(3 分 )如图，在 ABC 中， AC=BC， B=70 ，分别以点 A、 C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、 N，作直线
10、MN，分别交 AC、 BC 于点 D、 E，连结 AE，则 AED的度数是 . 解析 ： 由作图可知， MN 是线段 AC 的垂直平分线， CE=AE ， C=CAE ， AC=BC ， B=70 ， C=40 ， AED=50 ， 答案： 50. 18.(3 分 )观察以下等式： 32-12=8， 52-12=24， 72-12=48， 92-12=80， 由以上规律可以得出第n 个等式为 . 解析 ：通过观察可发现两个连续奇数的平方差是 8 的倍数， 第 n 个等式为： (2n+1)2-12=4n(n+1). 答案： (2n+1)2-12=4n(n+1). 三、解答题 (共 8 小题，共
11、66 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19.(6 分 )计算： ( -3.14)0+(-1)2015+|1- |-3tan30 . 解析 ： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案： 原式 =1-1+ -1-3 =1-1+ -1- =-1. 20.(6 分 )当 a=2014 时，求 (a+ )的值 . 解析 ：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 = = = ， 当 a=2014 时，原式 = = . 21.(6 分
12、 )如图，在边为的 1 正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，若 A(-4， 2)、 B(-2，3)、 C(-1， 1)，将 ABC 沿着 x 轴翻折后，得到 DEF ，点 B 的对称点是点 E，求过点 E 的反比例函数解析式，并写出第三象限内该反比例函数图象所经过的所有格点的坐标 . 解析 ：根据关于 x 轴对称点的规律，可得出点 E 的坐标，再写出反比例函数的解析式，再写出答案即可 . 答案： 点 B 关于 x 轴的对称点是点 E， B(-2， 3)， 点 E 坐标为 (-2， -3)， 设过点 E 的反比例函数解析式为 y= ， k=6 ， 过点 E 的反比例函数解析式为 y= ， 第
13、三象限内该反比例函数图象所经过的所有格点的坐标为 (-1， -6)， (-2， -3)， (-3， -2)，(-6， -1). 22.(8 分 )如图，已知点 E、 F 在四边形 ABCD 的对角线延长线上， AE=CF， DEBF ， 1=2 . (1)求证： AEDCFB ； (2)若 ADCD ，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由 . 解析 ： (1)根据两直线平行，内错角相等可得 E=F ，再利用 “ 角角边 ” 证明 AED 和 CFB全等即可； (2)根据全等三角形对应边相等可得 AD=BC， DAE=BCF ，再求出 DAC=BCA ，然后根据内错角相等，两直线平行可
14、得 ADBC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 ABCD 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答 . 答案： (1)证明： DEBF ， E=F ， 在 A ED 和 CFB 中， ， AEDCFB (AAS)； (2)四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下： AEDCFB ， AD=BC ， DAE=BCF ， DAC=BCA ， ADBC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又 ADCD ， 四边形 ABCD 是矩形 . 23.(8 分 )学习委员统计全班 50 位同学对语文、数学、英语、体育、音乐五个科目最喜欢情况，所得数据用表格与条形图描述如
15、下： (1)表格中 a 的值为 ； (2)补全条形图； (3)小李是最喜欢体育之一，小张是最喜欢音乐之一，计划从最喜欢体育、音乐的人中，每科目各选 1 人参加学校训练，用列表或树形图表示所有结果，并求小李、小张至少有 1 人被选上的概率是多少？ 解析 ： (1)用总人数减去语文，英语，体育，音乐的为数即可 . (2)用 a=20 补全条形统计图 . (3)根据题意，利用树形图表示 . 答案： (1)a=50-10-15-3-2=20(人 ) 故答案为： 20. (2)如图， (3)根据题意画树形图如下： 共有 6 种情况，小李、小张至少有 1 人被选的有 4 种， 小李、小张至少有 1 人被选
16、上的概率 = = . 24.(10 分 )有 2 条生产线计划在一个月 (30 天 )内组装 520 台产品 (每天产品的产量相同 )，按原先的组装速度，不能完成任务；若加班生产，每条生产线每天多组装 2 台产品，能提前完成任务 . (1)每条生产线原先每天最多能组装多少台产品？ (2)要按计划完成任务，策略一：增添 1 条生产线，共要多投资 19000 元；策略二：按每天能组装最多台数加班生产，每条生产线每天共要多花费 350 元；选哪一个策略较省费用？ 解析 ： (1)首先设小组原先生产 x 件产品，根据 “ 不能完成任务 ”“ 提前完成任务 ” 列出不等式组，解不等式组，根据 x 是整数
17、可得出 x 的值； (2)由 (1)中的数值，算出策略二的费用，进一步比较得出答案即可 . 答案： (1)每条生产线原先每天最多能组装 x 台产品，根据题意可得 ， 解得： 15 x 17 ， x 的值应是整数， x 最大为 17. 答：每条生产线原先每天最多能组装 17 台产品 . (2)策略一：增添 1 条生产线，共要多投资 19000 元； 策略二： 520193502283502=19600 元； 所以策略一较省费用 . 25.(10 分 )如图，在正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， DE交 AF于点 M，点 N为 DE 的中点 . (1)若 AB=4，
18、求 DNF 的周长及 sinDAF 的值； (2)求证： 2AD NF=DE DM. 解析 ： (1)根据线段中点定义求出 EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出 DE，然后三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 NF，再求出 DN，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；利用勾股定理列式求出 AF，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解； (2)利用 “ 边角边 ” 证明 ADF 和 DCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=DE，全等三角形对应角相等可得 DAF=CDE ，再求出 AFDE ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DF=E
19、C=2NF，然后根据 DAF 和 CDE 的余弦列式整理即可得证 . 答案： (1) 点 E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， EC=DF= 4=2 ， 由勾股定理得， DE= =2 ， 点 F 是 CD 的中点，点 N 为 DE的中点， DN= DE= 2 = ， NF= EC= 2=1 ， DNF 的周长 =1+ +2=3+ ； 在 RtADF 中，由勾股定理得， AF= = =2 ， 所以 sinDAF= = = ； (2)在 ADF 和 DCE 中， ， ADFDCE (SAS)， AF=DE ， DAF=CDE ， DAF+AFD=90 ， CDE+AFD=90 ， AFDE ，
20、 点 N、 F 分别是 DE、 CD 的中点， NF 是 CDE 的中位线， DF=EC=2NF ， cosDAF= = ， cosCDE= = ， = ， 2AD NF=DE DM. 26.(12 分 )已知过原点 O 的两直线与圆心为 M(0， 4)，半径为 2 的圆相切，切点分别为 P、 Q，PQ 交 y 轴于点 K，抛物线经过 P、 Q 两点，顶点为 N(0， 6)，且与 x 轴交于 A、 B 两点 . (1)求点 P 的坐标； (2)求抛物线解析式； (3)在直线 y=nx+m 中，当 n=0， m0 时， y=m 是平行于 x 轴的直线，设直线 y=m 与抛物线相交于点 C、 D，
21、当该直线与 M 相切时，求点 A、 B、 C、 D 围成的多边形的面积 (结果保留根号 ). 解析 ： (1)由切线的性质可得 MPO=90 ，根据勾股定理可求出 PO，然后由面积法可求出 PK，然后运用勾股定理可求出 OK，就可得到点 P 的坐标 . (2)可设顶点为 (0， 6)的抛物线的解析式为 y=ax2+6，然后将点 P 的坐标代入就可求出抛物线的解析式 . (3)直线 y=m 与 M 相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积 . 答案： (1)如图 1， M 与 OP 相切于点 P， MPOP ，即 MPO=90 . 点 M(0， 4)即 OM=4， MP=
22、2， OP=2 . M 与 OP 相切于点 P， M 与 OQ 相切于点 Q， OQ=OP ， POK=QOK .OKPQ ， QK=PK.PK= = = . OK= =3. 点 P 的坐标为 ( ， 3). (2)如图 2， 设顶点为 (0， 6)的抛物线的解析式为 y=ax2+6， 点 P( ， 3)在抛物线 y=ax2+6 上， 3a+6=3 .解得： a=-1.则该抛物线的解析式为 y=-x2+6. (3)当直线 y=m 与 M 相切时，则有 =2.解得； m1=2， m2=6. m=2 时，如图 3， 则有 OH=2. 当 y=2 时，解方程 -x2+6=2 得： x=2 ，则点 C(2， 2)， D(-2， 2)， CD=4. 同理可得： AB=2 .则 S 梯形 ABCD= (DC+AB) OH= (4+2 )2=4+2 . m=6 时，如图 4，此时点 C、点 D 与点 N 重合 . SABC = AB OC= 2 6=6 . 综上所述：点 A、 B、 C、 D 围成的多边形的面积为 4+2 或 6 .
