1、2014 年广西省贵港市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 )每小题都给出标号为 A、 B、 C、 D 的四个选项，其中只有一个是正确的 . 1.(3 分 )5 的相反数是 ( ) A. B. - C. 5 D. -5 解析： 5 的相反数是 -5. 答案： D. 2.(3 分 )中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为 67500 吨，将 67500 用科学记数法表示为 ( ) A. 6.7510 4吨 B. 67.510 3吨 C. 0.67510 3吨 D. 6.7510 -4吨 解析： 67 500=6.7
2、510 4. 答案： A. 3.(3 分 )某市 5 月份连续五天的日最高气温 (单位： )分别为： 33， 30， 30， 32， 35.则这组数据的中位数和平均数分别是 ( ) A. 32， 33 B. 30， 32 C. 30， 31 D. 32， 32 解析： 把这组数据从小到大排列为 30， 30， 32， 33， 35，最中间的数是 32，则中位数是 32； 平均数是： (33+30+30+32+35)5=32 ， 答案： D. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 2a-a=1 B. (a-1)2=a2-1 C. a a2=a3 D. (2a)2=2a2 解析： A、
3、2a-a=a，故 A 选项错误； B、 (a-1)2=a2-2a+1，故 B 选项错误； C、 a a2=a3，故 C 选项正确； D、 (2a)2=4a2，故 D 选项错误； 答案： C. 5.(3 分 )下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 解析： A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 选项错误； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误； C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 . 答案： C
4、. 6.(3 分 )分式方程 = 的解是 ( ) A. x=-1 B. x=1 C. x=2 D. 无解 解析： 去分母得： x+1=3， 解得： x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案： C 7.(3 分 )下列命题中，属于真命题的是 ( ) A. 同位角相等 B. 正比例函数是一次函数 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 对角线相等的四边形是矩形 解析： A、两直线平行，同位角才相等，是假命题，故 A 选项不符合题意； B、正比例函数是一次函数，是真命题，故 B 选项符合题意； C、平分弦的直径垂直于弦，是假命题，故 C 选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形才是矩形，是假
5、命题，故 D 选项不符合题意 . 答案： B. 8.(3 分 )若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=-2， x2=4，则 b+c 的值是 ( ) A. -10 B. 10 C. -6 D. -1 解析： 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=-2， x2=4， 根据根与系数的关系，可得 -2+4=-b， -24=c ， 解得 b=-2， c=-8b+c= -10. 答案： A. 9.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， = = ， COD=34 ，则 AEO 的度数是 ( ) A. 51 B. 56 C. 68 D.
6、 78 解析： 如图， = = ， COD=34 ， BOC=EOD=COD=34 ， AOE=180 -EOD -COD -BOC=78 . 又 OA=OE ， AEO=OAE ， AEO= (180 -78 )=51 . 答案： A. 10.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=kx+b 的图象交于 A、 B 两点 .若 y1 y2，则 x 的取值范围是 ( ) A. 1 x 3 B. x 0 或 1 x 3 C. 0 x 1 D. x 3 或 0 x 1 解析： 由图象可知，当 x 0 或 1 x 3 时， y1 y2， 答案： B. 11.(
7、3 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=6， BC=8， AD 是 BAC 的平分线 .若 P， Q分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是 ( ) A. B. 4 C. D. 5 解析： 如图，过点 C 作 CMAB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P作 PQAC 于点 Q， AD 是 BAC 的平分线 .PQ=PM ，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度， AC=6 ， BC=8， ACB=90 ， AB= = =10. S ABC = AB CM= AC BC， CM= = = ， 即 PC+PQ 的最小值为 . 答案： C
8、. 12.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图，分析下列四个结论： abc 0； b 2-4ac 0； 3a+c 0； (a+c)2 b2， 其中正确的结论有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析： 由开口向下，可得 a 0，又由抛物线与 y 轴交于正半轴，可得 c 0，然后由对称轴在 y 轴左侧，得到 b 与 a 同号，则可得 b 0， abc 0，故 错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b2-4ac 0，故 正确； 当 x=-2 时， y 0，即 4a-2b+c 0 (1) 当 x=1 时， y 0，即 a+b+c 0
9、(2) (1)+(2)2 得： 6a+3c 0，即 2a+c 0 又 a 0， a+ (2a+c)=3a+c 0.故 错误； x=1 时， y=a+b+c 0， x=-1 时， y=a-b+c 0， (a+b+c)(a-b+c) 0， 即 (a+c)+b(a+c)-b=(a+c)2-b2 0， (a+c)2 b2，故 正确 . 综上所述，正确的结论有 2 个 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分 )计算： -9+3= . 解析： -9+3=-(9-3)=-6. 答案： -6. 14.(3 分 )如图所示， ABCD ， D=27 ，
10、E=36 ，则 ABE 的度数是 . 解析： 如图， BFD=E+D ，而 D=27 ， E=36 ， BFD=36+27=63 ， ABCD ， ABE=BFD=63 . 答案： 63 . 15.(3 分 )一组数据 1， 3， 0， 4 的方差是 . 解析： 这组数据的平均数是： (1+3+0+4)4=2 ，方差 = (1-2)2+(3-2)2+(0-2)2+(4-2)2=2.5； 答案： 2.5. 16.(3 分 )如图，在等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=DC， ACBD .若 AD=4， BC=6，则梯形 ABCD的面积是 . 解析： 过点 D 作 DEAC ，交 BC
11、的延长线于点 E， ADBC ， 四边形 ACED 是平行四边形， AC=DE ， CE=AD=4， BE=BC+CE=6+4=10 ， ACBD ， DEBD ， 四边形 ABCD是等腰梯形， AC=BD ， BD=DE ， BD=DE= =5 ， S 梯形 ABCD= ACBD=25 . 答案： 25. 17.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中， AB=2 ， C=120 ，以点 C 为圆心的 与 AB， AD 分别相切于点 G， H，与 BC， CD 分别相交于点 E， F.若用扇形 CEF 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 . 解析： 如图：连接 CG， C=120 ， B=60
12、 ， AB 与相切， CGAB ， 在直角 CBG 中 CG=BC sin60=2 =3，即圆锥的母线长是 3， 设圆锥底面的半径为 r，则： 2r= ， r=1 .则圆锥的高是： =2 . 答案： 2 . 18.(3 分 )已知点 A1(a1， a2)， A2(a2， a3)， A3(a3， a4) ， An(an， an+1)(n 为正整数 )都在一次函数 y=x+3 的图象上 .若 a1=2，则 a2014= . 解析： 将 a1=2 代入 a2=x+3，得 a2=5， 同理可求得， a3=8， a4=11， a5=14， a6=17， an=2+3(n-1)， a2014=2+3(20
13、14-1)=2+32013=2+6039=6041 ， 答案： 6041. 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 66分，解答用写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 19.(10 分 )(1)计算： -( )-1+( - )0-(-1)100； (2)已知 |a+1|+(b-3)2=0，求代数式 ( - ) 的值 . 解析： (1)原式第一项利用二次根式的化简公式计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果； (2)利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将 a与 b 的值代入计算即可求出值
14、 . 答案： (1)原式 =3-4+1-1=-1； (2)|a+1|+ (b-3)2=0， a+1=0 ， b-3=0，即 a=-1， b=3. 则原式 = = = = =- . 20.(5 分 )如图，在 ABC 中， AB=BC，点点 D 在 AB 的延长线上 . (1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母 (保留作图痕迹，不写作法 ). 作 CBD 的平分线 BM； 作边 BC 上的中线 AE，并延长 AE 交 BM 于点 F. (2)由 (1)得： BF 与边 AC 的位置关系是 . 解析： (1) 利用角平分线的作法得出 BM； 首先作出 BC 的垂直平分线，进而得出 BC
15、 的中点，进而得出边 BC 上的中线 AE； (2)利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可 . 答案： (1) 如图所示： BM 即为所求； 如图所示： AF 即为所求； (2)AB=BC ， CAB=C ， C+CAB=CBD ， CBM=MBD ， C=CBM ， BFAC . 21.(6 分 )如图所示，直线 AB 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C(0， 2)，且与反比例函数 y=-的图象在第二象限内交于点 B，过点 B 作 BDx 轴于点 D， OD=2. (1)求直线 AB 的解析式； (2)若点 P 是线段 BD 上一点，且 PBC 的面积等于 3，求点 P的
16、坐标 . 解析： (1)根据图象上的点满足函数解析式，可得 B 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； (2)三角形的面积公式， BP 的长，可得 P 点坐标 . 答案： (1)OD=2， B 点的横坐标是 -2， 当 x=-2 时， y=- =4， B 点坐标是 (-2， 4)， 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，图象过 (-2， 4)、 (0， 2)， ，解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=-x+2； (2)OD=3 ， =3， BP=3 ， PD=BD-BP=4-3=1， P 点坐标是 (-2， 1). 22.(8 分 )某学校举行 “ 社会主义核心价值观 ” 知识比赛活动，全
17、体学生都参加比赛，学校对参赛学生均给与表彰，并设置一、二、三等奖和纪念奖共四个奖项，赛后将获奖情况绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题： (1)该校共有 名学生； (2)在图 中， “ 三等奖 ” 随对应扇形的圆心角度数是 ； (3)将图 补充完整； (4)从该校参加本次比赛活动的学生中随机抽查一名 .求抽到获得一等奖的学生的概率 . 解析： (1)用二等奖的人数除以对应的百分比求出该校共有学生数， (2)先求出一等奖扇形对应的百分比，再求三等奖扇形对应的圆心角为：(1-20%-5%-45%)360=108 ， (3)求出三等奖的人数再画出条形统计图， (4)
18、用一等奖的学生数除以总人数就是抽到一等奖的概率， 答案： (1)该校共有学生数为： 25220%=1260 (名 )， 故答案为： 1260. (2)一等奖扇形对应的百分比为： 631260=5% ， 所以三等奖扇形对应的圆心角为： (1-20%-5%-45%)360=108 ， 故答案为： 108 . (3)三等奖的人数为： 1260 (1-20%-5%-45%)=378 人，如图 2， (4)抽到获得一等奖的学生的概率为： 631260=5% . 23.(7 分 )如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，且 CE=CD，过点 E作 EFAC交 AD 于点 F，连接 B
19、E. (1)求证： DF=AE； (2)当 AB=2 时，求 BE2的值 . 解析： (1)连接 CF，根据 “HL” 证明 RtCDF 和 RtCEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得 EAF=45 ，求出 AEF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得 AE=EF，然后等量代换即可得证； (2)根据正方形的对角线等于边长的 倍求出 AC，然后求出 AE，过点 E作 EHAB 于 H，判断出 AEH 是等腰直角三角形，然后求出 EH=AH= AE，再求出 BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解 . 答案： (1)如图，连接 CF，
20、在 RtCDF 和 RtCEF 中， ， Rt CDFRtCEF (HL)， DF=EF ， AC 是正方形 ABCD的对角线， EAF=45 ， AEF 是等腰直角三角形， AE=EF ， DF=AE ； (2)AB=2 ， AC= AB=2 ， CE=CD ， AE=2 -2，过点 E 作 EHAB 于 H，则 AEH 是等腰直角三角形， EH=AH= AE= (2 -2)=2- ， BH=2 -(2- )= ， 在 RtBEH 中， BE2=BH2+EH2=( )2+(2- )2=8-4 . 24.(9分 )在开展 “ 美丽广西，清洁乡村 ” 的活动中某乡镇计划购买 A、 B两种树苗共
21、100棵，已知 A 种树苗每棵 30 元， B 种树苗每棵 90 元 . (1)设购买 A 种树苗 x 棵，购买 A、 B 两种树苗的总费用为 y 元，请你写出 y与 x 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 x 的取值范围 )； (2)如果购买 A、 B 两种树苗的总费用不超过 7560 元，且 B 种树苗的棵树不少于 A种树苗棵树的 3 倍，那么有哪几种购买树苗的方案？ (3)从节约开支的角度考虑，你认为采用哪种方案更合算？ 解析： (1)设购买 A 种树苗 x 棵，购买 A、 B 两种树苗的总费用为 y 元，根据某乡镇计划购 买A、 B 两种树苗共 100 棵，已知 A 种树苗每棵 30
22、 元， B种树苗每棵 90元可列出函数关系式 . (2)根据购买 A、 B 两种树苗的总费用不超过 7560 元，且 B 种树苗的棵树不少于 A种树苗棵树的 3 倍，列出不等式组，解不等式组即可得出答案； (3)根据 (1)得出的 y 与 x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案 . 答案： (1)设购买 A 种树苗 x 棵，购买 A、 B 两种树苗的总费用为 y元， y=30x+90(100-x)=9000-60x； (2)设购买 A 种树苗 x 棵，则 B 种树苗 (100-x)棵，根据题意得： ， 解得： 24x25 ， 因为 x 是正整数，所以 x
23、 只能取 25， 24. 有两种购买树苗的方案： 方案一：购买 A 种树苗 25 棵时， B 种树苗 75 棵； 方案二：购买 A 种树苗 24 棵时， B 种树苗 76 棵； (3)y=9000 -60x， -60 0， y 随 x 的增大而减小， 又 x=25 或 24， 采用购买 A 种树苗 25 棵， B种树苗 75棵时更合算 . 25.(10 分 )如图， AB 是大半圆 O 的直径， AO 是小半圆 M 的直径，点 P 是大半圆 O 上一点，PA 与小半圆 M 交于点 C，过点 C 作 CDOP 于点 D. (1)求证： CD 是小半圆 M 的切线； (2)若 AB=8，点 P 在
24、大半圆 O 上运动 (点 P 不与 A， B 两点重合 )，设 PD=x， CD2=y. 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 当 y=3 时，求 P， M 两点之间的距离 . 解析： (1)连接 CO、 CM，只需证到 CDCM .由于 CDOP ，只需证到 CMOP ，只需证到 CM是AOP 的中位线即可 . (2) 易证 ODCCDP ，从而得到 CD2=DPOD，进而得到 y 与 x 之间的函数关系式 .由于当点 P 与点 A 重合时 x=0，当点 P 与点 B 重合时 x=4，点 P在大半圆 O上运动 (点 P不与 A， B两点重合 )，因此自变量 x 的
25、取值范围为 0 x 4. 当 y=3 时，得到 -x2+4x=3，求出 x.根据 x 的值可求出 CD、 PD 的值，从而求出 CPD ，运用勾股定理等知识就可求出 P， M 两点之间的距离 . 答案： (1)连接 CO、 CM，如图 1 所示 . AO 是小半圆 M 的直径， ACO=90 即 COAP . OA=OP ， AC=PC . AM=OM ， CMPO .MCD=PDC . CDOP ， PDC=90 .MCD=90 即 CDCM . CD 经过半径 CM 的外端 C，且 CDCM ， 直线 CD 是小半圆 M 的切线 . (2)COAP ， CDOP ， OCP=ODC=CDP
26、=90 .OCD=90 -DCP=P . ODCCDP . .CD 2=DP OD. PD=x ， CD2=y， OP= AB=4， y=x (4-x)=-x2+4x. 当点 P 与点 A 重合时， x=0；当点 P 与点 B重合时， x=4； 点 P 在大半圆 O 上运动 (点 P 不与 A， B两点重合 )， 0 x 4. y 与 x 之间的函数关系式为 y=-x2+4x，自变量 x 的取值范围是 0 x 4. 当 y=3 时， -x2+4x=3.解得： x1=1， x2=3. .当 x=1 时，如图 2 所示 . 在 RtCDP 中， PD=1 ， CD= .tanCPD= = ， CP
27、D=60 . OA=OP ， OAP 是等边三角形 . AM=OM ， PMAO .PM= = =2 . .当 x=3 时，如图 3 所示 .同理可得： CPD=30 . OA=OP ， OAP=APO=30 .POB=60 过点 P 作 PHAB ，垂足为 H，连接 PM，如图 3 所示 . sinPOH= = = ， PH=2 .同理： OH=2. 在 RtMHP 中， MH=4 ， PH=2 ， PM= = =2 . 综上所述：当 y=3 时， P， M 两点之间的距离为 2 或 2 . 26.(11 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx-3a(a0 )与 x 轴交于点 A(-1， 0)
28、和点 B，与 y 轴交于点C(0， 2)，连接 BC. (1)求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段 BC 的中点坐标； (2)将线段 BC 先向左平移 2 个单位长度，在向下平移 m 个单位长度，使点 C的对应点 C1恰好落在该抛物线上，求此时点 C1的坐标和 m 的值； (3)若点 P 是该抛物线上的动点，点 Q 是该抛物线对称轴上的动点，当以 P， Q， B， C 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点 P 的坐标 . 解析： (1)把点 A(-1， 0)和点 C(0， 2)的坐标代入所给抛物线可得 a、 b 的值，进而得到该抛物线的解析式和对称轴，再求出点 B 的坐标，根据中点坐标
29、公式求出线段 BC 的中点坐标即可； (2)根据平移的性质可知，点 C 的对应点 C1的横坐标为 -2，再代入抛物线可求点 C1的坐标，进一步得到 m 的值； (3)B、 C 为定点，可分 BC 为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点 P 的坐标 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+bx-3a(a0 )与 x 轴交于点 A(-1， 0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，2)， ，解得 . 抛物线的解析式为 y=- x2+ x+2=- (x-1)2+2 ， 对称轴是 x=1， 1+ (1+1)=3， B 点坐标为 (3， 0)， BC 的中点坐标为 (1.5， 1)； (2) 线段
30、BC 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 m 个单位长度，使点 C的对应点 C1恰好落在该抛物线上， 点 C1的横坐标为 -2， 当 x=-2 时， y=- (-2)2+ (-2)+2=- ， 点 C1的坐标为 (-2， - )， m=2-(- )=5 ； (3) 若 BC 为平行四边形的一边， BC 的横坐标的差为 3， 点 Q 的横坐标为 1， P 的横坐标为 4 或 -2， P 在抛物线上， P 的纵坐标为 -3 ， P 1(4， -3 )， P2(-2， -3 )； 若 BC 为平行四边形的对角线，则 BC 与 PQ 互相平分， 点 Q 的横坐标为 1， BC 的中点坐标为 (1.5， 1)， P 点的横坐标为 1.5+(1.5-1)=2， P 的纵坐标为 - 2 2+ 2+2=2 ， P 3(2， 2). 综上所述，点 P 的坐标为： P1(4， -3 )， P2(-2， -3 )， P3(2， 2).
