2014年江苏省南京市中考真题数学.docx

1、2014 年江苏省南京市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 2分，共 12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 ) 1.(2 分 )下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误 . 答案： C. 2.(2 分 )计算 (-a2)3的结果是 ( ) A. a5 B. -a5 C. a6 D. -a6 解析 ： 原式 =-a23

2、 =-a6. 答案： D. 3.(2分 )若 ABCABC ，相似比为 1： 2，则 ABC 与 ABC 的面积的比为 ( ) A. 1： 2 B. 2： 1 C. 1： 4 D. 4： 1 解析 ： ABCABC ，相似比为 1： 2， ABC 与 ABC 的面积的比为 1： 4. 答案： C. 4.(2 分 )下列无理数中，在 -2 与 1 之间的是 ( ) A. - B. - C. D. 解析 ： A. ， -不成立； B.-2 ，成立； C. ，不成立； D. ，不成立， 答案： B. 5.(2 分 )8 的平方根是 ( ) A. 4 B. 4 C. 2 D. 解析 ： ， 8 的平方

3、根是 . 答案： D. 6.(2 分 )如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是 (-2， 1)，点 C 的纵坐标是 4，则 B、 C 两点的坐标分别是 ( ) A. ( ， 3)、 (- ， 4) B. ( ， 3)、 (- ， 4) C. ( ， )、 (- ， 4) D. ( ， )、 (- ， 4) 解析 ： 过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C作 CFy 轴，过点 A作AFx 轴，交点为 F， 四边形 AOBC 是矩形， ACOB ， AC=OB， CAF=BOE ， 在 ACF 和 OBE 中， ， CAFBOE (AAS)， BE=CF

4、=4 -1=3， AOD+BOE=BOE+OBE=90 ， AOD=OBE ， ADO=OEB=90 ， AODOBE ， ，即 ， OE= ，即点 B( ， 3)， AF=OE= ， 点 C 的横坐标为： -(2- )=- ， 点 C(- ， 4). 答案： B. 二、填空题 (本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 ) 7.(2 分 )-2 的相反数是 ， -2 的绝对值是 . 解析 ： -2 的相反数是 2， -2 的绝对值是 2. 答案： 2,2 8.(2 分 )截止 2013 年底，中国高速铁路营运里程达到 11000

5、km，居世界首位，将 11000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 11000 用科学记数法表示为： 1.110 4. 答案： 1.110 4. 9.(2 分 )使式子 1+ 有意义的 x 的取值范围是 . 解析 ： 由题意得， x0 . 答案： x0 . 10.(2 分 )2014 年南京青奥会某项目 6 名礼仪小姐的身高如下 (单位： cm)： 168， 166， 168，167， 169， 168，则她们身高的众数是 cm，极差是 cm. 解析 ： 168 出现了 3 次，出现的次数最多，则她们身高的众数是 168cm； 极差是： 169-166=3cm； 答案： 168； 3. 1

6、1.(2 分 )已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(-2， 3)，则当 x=-3 时， y= 2 . 解析 ： 反比例函数 y= 的图象经过点 A(-2， 3)， k= -23= -6， 反比例函数解析式为 y=- ， 当 x=-3 时， y=- =2. 答案： 2. 12.(2 分 )如图， AD 是正五边形 ABCDE 的一条对角线，则 BAD= . 解析 ： 正五边形 ABCDE 的内角和为 (5-2)180=540 ， E= 540=108 ， BAE=108 又 EA=ED ， EAD= (180 -108 )=36 ， BAD=BAE -EAD=72 ， 答案： 72 . 13

7、.(2 分 )如图，在 O 中， CD 是直径，弦 ABCD ，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，BCD=2230 ，则 O 的半径为 cm. 解析 ： 连结 OB，如图， BCD=2230 ， BOD=2BCD=45 ， ABCD ， BE=AE= AB= 2 = ， BOE 为等腰直角三角形， OB= BE=2(cm). 答案： 2. 14.(2 分 )如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm，扇形的圆心角 =120 ，则该圆锥的母线长 l 为 cm. 解析 ： 圆锥的底面周长 =22=4cm ， 设圆锥的母线长为 R，则： =4 ，解

8、得 R=6. 答案： 6. 15.(2 分 )铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过 160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为 30cm，长与宽的比为 3： 2，则该行李箱的长的最大值为 cm. 解析 ： 设长为 3x，宽为 2x，由题意，得： 5x+30160 ， 解得： x26 ，故行李箱的长的最大值为 78. 答案： 78cm. 16.(2 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x的部分对应值如表： 则当 y 5 时， x 的取值范围是 . 解析 ： 由表可知，二次函数的对称轴为直线 x=2， 所以 x=4 时， y=5， 所以

9、 y 5 时， x 的取值范围为 0 x 4. 答案： 0 x 4. 三、解答题 (本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(6 分 )解不等式组： . 解析 ： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集 . 答案： ， 解 得： x1 ， 解 得： x 2， 则不等式组的解集是： 1x 2. 18.(6 分 )先化简，再求值： - ，其中 a=1. 解析 ： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = - = =-

10、， 当 a=1 时，原式 =- . 19.(8 分 )如图，在 ABC 中， D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，过点 E 作 EFAB ，交 BC 于点 F. (1)求证：四边形 DBFE 是平行四边形； (2)当 ABC 满足什么条件时，四边形 DBFE 是菱形？为什么？ 解析 ： (1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DEBC ，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； (2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明 . 答案： (1)D 、 E 分别是 AB、 AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DEBC ， 又 EFAB ， 四边形 DBFE

11、 是平行四边形； (2)当 AB=BC 时，四边形 DBFE 是菱形 . 理由如下： D 是 AB 的中点， BD= AB， DE 是 ABC 的中位线， DE= BC， AB=BC ， BD=DE ， 又 四边形 DBFE 是平行四边形， 四边形 DBFE 是菱形 . 20.(8 分 )从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率； (1)抽取 1 名，恰好是甲； (2)抽 取 2 名，甲在其中 . 解析 ： (1)由从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)利用列举法可得抽取 2 名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 种等可能的

12、结果，甲在其中的有 2 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1) 从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取环保志愿者， 抽取 1 名，恰好是甲的概率为： ； (2) 抽取 2 名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共 3 种等可能的结果，甲在其中的有 2 种情况， 抽取 2 名，甲在其中的概率为： . 21.(8 分 )为了了解某市 120000 名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组，并进行整理分析 . (1)小明在眼镜店调查了 1000 名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了 20 名初中学生的视力，他们的抽样是否合理？并说明理由 . (2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取

13、了 1000 名学生进行调查，整理他们的视力情况数据，得到如下的折线统计图 . 请你根据抽样调查的结果，估计该市 120000 名初中学生视力不良的人数是多少？ 解析 ： (1)根据学生全部在眼镜店抽取，样本不具有代表性，只抽取 20 名初中学生，那么样本的容量过小，从而得出答案； (2)用 120000 乘以初中学生视力不良的人数所占的百分比，即可得出答案 . 答案： (1)他们的抽样都不合理； 因为如果 1000 名初中学生全部在眼镜店抽取，那么该市每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性； 如果只抽取 20 名初中学生，那么样本的容量过小，样本不具有广泛性； (2)根据题意得： 12

14、0000=72000 (名 )， 该市 120000 名初中学生视力不良的人数是 72000 名 . 22.(8 分 )某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2.6 万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为 x. (1)用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为 万元 . (2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x. 解析 ： (1)根据增长率问题由第 1 年的可变成本为 2.6 万元就可以表示出第二年的可变成本为 2.6(1+x)，则第三年的可变

15、成本为 2.6(1+x)2，故得出答案； (2)根据养殖成本 =固定成本 +可变成本建立方程求出其解即可 . 答案： (1)由题意，得第 3 年的可变成本为： 2.6(1+x)2， 故答案为： 2.6(1+x)2； (2)由题意，得 4+2.6(1+x)2=7.146，解得： x1=0.1， x2=-2.1(不合题意，舍去 ). 答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%. 23.(8 分 )如图，梯子斜靠在与地面垂直 (垂足为 O)的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角 ABO=60 ；当梯子底端向右滑动 1m(即 BD=1m)到达 CD 位置时，它与地面所成的角 CDO=511

16、8 ，求梯子的长 . (参考数据： sin51180.780 ， cos51180.625 ， tan51181.248 ) 解析 ： 设梯子的长为 xm.在 RtABO 中，根据三角函数得到 OB，在 RtCDO 中，根据三角函数得到 OD，再根据 BD=OD-OB，得到关于 x 的方程，解方程即可求解 . 答案： 设梯子的长为 xm. 在 RtABO 中， cosABO= ， OB=AB cosABO=x cos60= x. 在 RtCDO 中， cosCDO= ， OD=CD cosCDO=x cos51180.625x . BD=OD -OB， 0.625x - x=1，解得 x=8.

17、故梯子的长是 8 米 . 24.(8 分 )已知二次函数 y=x2-2mx+m2+3(m 是常数 ). (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 解析 ： (1)求出根的判别式，即可得出答案； (2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可 . 答案： (1)证 = (-2m)2-41 (m2+3)=4m2-4m2-12=-12 0， 方程 x2-2mx+m2+3=0 没有实数解， 即不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； (2)y=x2-2mx+m2

18、+3=(x-m)2+3， 把函数 y=(x-m)2+3 的图象延 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是 (m， 0)， 因此 这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点， 所以 把函数 y=x2-2mx+m2+3 的图象延 y 轴向下平移 3个单位长度后，得到的函数的图象与 x轴只有一个公共点 . 25.(9 分 )从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进 .已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少 5km，下坡的速度比在平路

19、上的速度每小时多 5km.设小明出发 x h 后，到达离甲地 y km 的地方，图中的折线 OABCDE表示 y 与 x 之间的函数关系 . (1)小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h； (2)求线段 AB、 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式； (3)如果小明两次经过途中某一 地点的时间间隔为 0.15h，那么该地点离甲地多远？ 解析 ： (1)由速度 =路程 时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间； (2)先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出 B 的坐标和 C 的坐标就可以由待定系数法求出解析式； (3)小明两次经过

20、途中某一地点的时间间隔为 0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上 .设小明第一次经过该地点的时间为 t，则第二次经过该地点的时间为 (t+0.15)h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可 . 答案： (1)小明骑车在平路上的速度为： 4.50.3=15 ， 小明骑车在上坡路的速度为： 15-5=10， 小明骑车在下坡路的速度为： 15+5=20. 小明在 AB 段上坡的时间为： (6.5-4.5)10=0.2 ， BC 段下坡的时间为： (6.5-4.5)20=0.1 ， DE 段平路的时间和 OA 段平路的时间相等为 0.3， 小明途中休息的时间为： 1-0.3-0.2-0.

21、1-0.3=0.1 小时 . 故答案为： 15， 0.1. (2)小明骑车到达乙地的时间为 0.5 小时， B (0.5， 6.5). 小明下坡行驶的时间为： 220=0.1 ， C (0.6， 4.5). 设直线 AB 的解析式为 y=k1x+b1，由题意，得 ，解得 ， y=10x+1.5 (0.3x0.5 )； 设直线 BC 的解析式为 y=k2+b2，由题意，得 ，解得 ， y= -20x+16.5(0.5 x0.6 ) (3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15h，由题意可以得出这个地点只能在坡路上，因为 A 点和 C 点之间的时间间隔为 0.3.设小明第一次经过该地点的时

22、间为 t，则第二次经过该地点的时间为 (t+0.15)h，由题意，得 10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5， 解得 t=0.4， y=100.4+1.5=5.5 ， 该地点离甲地 5.5km. 26.(8 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=4cm， BC=3cm， O 为 ABC 的内切圆 . (1)求 O 的半径； (2)点 P 从点 B 沿边 BA 向点 A以 1cm/s的速度匀速运动，以 P为圆心， PB 长为半径作圆，设点 P 运动的时间为 t s，若 P 与 O 相切，求 t 的值 . 解析 ： (1)求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，

23、设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径 . (2)考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切 .所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差 .分别作垂线构造直角三角形，类似 (1)通过表示边长之间的关系列方程，易得 t 的值 . 答案： (1)如图 1，设 O 与 AB、 BC、 CA 的切点分别为 D、 E、 F，连接 OD、 OE、 OF， 则 AD=AF， BD=BE， CE=CF. O 为 ABC 的内切圆， OFAC ， OEBC ，即 OFC=OEC=90 . C=90 ， 四边形

24、 CEOF 是矩形， OE=OF ， 四边形 CEOF 是正方形 . 设 O 的半径为 rcm，则 FC=EC=OE=rcm， 在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=4cm， BC=3cm， AB= =5cm. AD=AF=AC -FC=4-r， BD=BE=BC-EC=3-r， 4 -r+3-r=5，解得 r=1，即 O 的半径为 1cm. (2)如图 2，过点 P 作 PGBC ，垂足为 G. PGB=C=90 ， PGAC .PBGABC ， . BP=t ， PG= = ， BG= = . 若 P 与 O 相切，则可分为两种情况， P 与 O 外切， P 与 O 内切 . 当

25、P 与 O 外切时，如图 3，连接 OP，则 OP=1+t，过点 P 作 PHOE ，垂足为 H. PHE=HEG=PGE=90 ， 四边形 PHEG 是矩形， HE=PG ， PH=GE， OH=OE -HE=1- ， PH=GE=BC-EC-BG=3-1- =2- . 在 RtOPH 中，由勾股定理， ，解得 t= . 当 P 与 O 内切时，如图 4，连接 OP，则 OP=t-1，过点 O 作 OMPG ，垂足为 M. MGE=OEG=OMG=90 ， 四边形 OEGM 是矩形， MG=OE ， OM=EG， PM=PG -MG= ， OM=EG=BC-EC-BG=3-1- =2- ，

26、在 RtOPM 中，由勾股定理， ，解得 t=2. 综上所述， P 与 O 相切时， t= s 或 t=2s. 27.(11 分 )【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法 (即 “SAS” 、 “ASA” 、 “AAS” 、 “SSS” )和直角三角形全等的判定方法 (即 “HL” )后，我们继续对 “ 两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等 ”的情形进行研究 . 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在 ABC 和 DEF 中， AC=DF， BC=EF， B=E ，然后，对 B 进行分类，可分为 “B 是直角、钝角、锐角 ” 三种情况进行探究 . 【深入探究】 第一种情况：当

27、 B 是直角时， ABCDEF . (1)如图 ，在 ABC 和 DEF ， AC=DF， BC=EF， B=E=90 ，根据 ，可以知道RtABCRtDEF . 第二种情况：当 B 是钝角时， ABCDEF . (2)如图 ，在 ABC 和 DEF ， AC=DF， BC=EF， B=E ，且 B 、 E 都是钝角，求 证：ABCDEF . 第三种情况：当 B 是锐角时， ABC 和 DEF 不一定全等 . (3)在 ABC 和 DEF ， AC=DF， BC=EF， B=E ，且 B 、 E 都是锐角，请你用尺规在图 中作出 DEF ，使 DEF 和 ABC 不全等 .(不写作法，保留作图

28、痕迹 ) (4)B 还要满足什么条件，就可以使 ABCDEF ？请直接写出结论：在 ABC 和 DEF 中，AC=DF， BC=EF， B=E ，且 B 、 E 都是锐角，若 ，则 ABCDEF . 解析 ： (1)根据直角三角形全等的方法 “HL” 证明； (2)过点 C 作 CGAB 交 AB 的延长线于 G，过点 F作 FHDE 交 DE 的延长线于 H，根据等角的补角相等求出 CBG=FEH ，再利用 “ 角角边 ” 证明 CBG 和 FEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CG=FH，再利用 “HL” 证明 RtACG 和 RtDFH 全等，根据全等三角形对应角相等可得 A=D

29、，然后利用 “ 角角边 ” 证明 ABC 和 DEF 全等； (3)以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画弧，与 AB 相交于点 D， E与 B 重合， F与 C 重合，得到DEF 与 ABC 不全等； (4)根据三种情况结论， B 不小于 A 即可 . 答案： (1)HL； (2)证明：如图，过点 C 作 CGAB 交 AB 的延长线于 G，过点 F 作 FHDE 交 DE 的延长线于 H， B=E ，且 B 、 E 都是钝角， 180 -B=180 -E ，即 CBG=FEH ， 在 CBG 和 FEH 中， ， CBGFEH (AAS)， CG=FH ， 在 RtACG 和 RtDFH 中， ， RtACGRtDFH (HL)， A=D ， 在 ABC 和 DEF 中， ， ABCDEF (AAS)； (3)如图， DEF 和 ABC 不全等； (4)若 BA ，则 ABCDEF . 故答案为： (1)HL； (4)BA .