1、 2014 年江苏省常州市中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.- 的相反数是（ ） A.B. - C. -2 D. 2 解析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 答案： A 2.下列运算正确的是（ ） A. aa3=a3 B.（ ab） 3=a3b C.（ a3） 2=a6 D. a8a 4=a2 解析： A、 aa3=a4，故 A 选项错误； B、（ ab） 3=a3b3，故 B 选项错误； C、（ a3） 2=a6，故 C 选项正确； D、 a8a 4=a4，故 D
2、 选项错误 答案 ： C 3.下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ） A. B. C. D. 解析： 根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥 答案 ： B 4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩平均数均是 9.2 环，方差分别为S 甲 2=0.56， S 乙 2=0.60， S 丙 2=0.50， S 丁 2=0.45，则成绩最稳定的是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析： S 甲 2=0.56， S 乙 2=0.60， S 丙 2=0.50， S 丁 2=0.45， S 丁 2 S 丙 2 S 甲 2 S 乙 2， 成绩最稳定的是丁 . 答案 ： D 5
3、.已知两圆半径分别为 3cm， 5cm，圆心距为 7cm，则这两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 解析： 两圆的半径分别是 3cm 和 5cm，圆心距为 7cm， 5-3=2， 3+5=8， 2 7 8， 两圆相交 答案 ： A 6.已知反比例函数 y= 的图象经过点 P（ -1， 2），则这个函数的图象位于（ ） A. 第二，三象限 B. 第一，三象限 C. 第三，四象限 D. 第二，四象限 解析： 由题意得， k=-12= -2 0， 函数的图象位于第二，四象限 答案 ： D 7.甲、乙两人以相同路线前往距离单位 10km 的培训中心参加学习图中 l 甲
4、 、 l 乙 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 S（ km）随时间 t（分）变化的函数图象以下说法： 乙比甲提前 12 分钟到达； 甲的平均速度为 15 千米 /小时； 乙走了 8km 后遇到甲； 乙出发 6 分 钟后追上甲其中正确的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析： 乙在 28 分时到达，甲在 40 分时到达，所以乙比甲提前了 12 分钟到达；故 正确； 根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度 =10 =15 千米 /时；故 正确； 设乙出发 x 分钟后追上甲，则有： x= （ 18+x），解得 x=6，故 正确； 由 知：乙第一次遇到甲时
5、，所走的距离为： 6 =6km，故 错误； 所以正确的结论有三个： ， 答案 ： B 8.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 A（ -3， 0），点 B（ 0， ），点 P 的坐标为（ 1，0）， P 与 y 轴相切于点 O若将 P 沿 x 轴向左平移，平移后得到 P （点 P 的对应点为点 P ），当 P 与直线 l 相交时，横坐标为整数的点 P 共有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析： 如图所示， 点 P 的坐标为（ 1， 0）， P 与 y 轴相切于点 O， P 的半径是 1， 若 P 与 AB 相切时，设切点为 D，由点 A（ -3， 0）
6、，点 B（ 0， ）， OA=3 ， OB= ，由勾股定理得： AB=2 ， DAM=30 ， 设平移后圆与直线 AB 第一次相切时圆心为 M（即对应的 P ）， MDAB ， MD=1，又因为 DAM=30 ， AM=2 ， M 点的坐标为（ -1， 0），即对应的 P 点的坐标为（ -1， 0）， 同理可得圆与直线第二次相切时圆心 N 的坐标为（ -5， 0）， 所以当 P 与直线 l 相交时，横坐标为整数的点 P 的横坐标可以是 -2， -3， -4 共三个 答案 ： C 二、填空题（本大题共 9 小题，每小题 4分，满分 20 分 .） 9.计算： |-1|= ， 2-2= ，（ -3
7、） 2= ， = 解析： 运用立方根，绝对值，有理数的乘方和负整数指数幂的法则计算 答案： |-1|=1， 2-2= ， （ -3） 2=9， =-2 答案 ： 1， ， 9， -2 10.已知 P（ 1， -2），则点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是 解析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即点 P（ x， y）关于 x 轴的对称点 P 的坐标是（ x， -y），进而得出答案 答案： P （ 1， -2）， 点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是：（ 1， 2） 答案 ：（ 1， 2） 11.若 =30 ，则 的余角等于 度， sin 的值为 解析： 根据互为余
8、角的两个角的和为 90 度求得 的余角的度数；根据特殊角的三角函数值求得 sin 的值 答案： A=30 ， A 的余角是： 90 -30=60 ； sin=sin30= ， 答案 ： 60， 12.已知扇形的半径为 3cm，此扇形的弧长是 2cm ，则此扇形的圆心角等于 度，扇形的面积是 （结果保留 ） 解析： 设扇形的圆心角的度数是 n ，根据弧长公式即可列方程求得 n 的值，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积 答案： 设扇形的圆心角的度数是 n ，则 =2 ， 解得： n=120， 扇形的面积是： =3 （ cm2） 答案 ： 120， 3cm 2 13.已知反比例函数 y= ，则
9、自变量 x 的取值范围是 ；若式子 的值为 0，则 x= 解析： 反比例函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x0 ， =0， 解得 x=-3 答案 ： x0 ， -3 14.已知关于 x 的方程 x2-3x+m=0 的一个根是 1，则 m= ，另一个根为 解析： 将 x=1 代入方程得： 1-3+m=0， 解得： m=2， 方程为 x2-3x+2=0，即（ x-1）（ x-2） =0， 解得： x=1 或 x=2， 则另一根为 2 答案 ： 2， 2 15.因式分解： x3-9xy2= 解析： 先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 x3-9xy2， =x（ x2-9y2
10、）， =x（ x+3y）（ x-3y） 答案： x（ x+3y）（ x-3y） 16.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=10-x 的图象与函数 y= （ x 0）的图象相交于点A， B设点 A 的坐标为（ x1， y1），那么长为 x1，宽为 y1的矩形的面积为 ，周长为 解析： 点 A 在函数 y= （ x 0）上， x 1y1=6， 又 点 A 在函数 y=10-x 上， x 1+y1=10， 矩形的周长为 2（ x1+y1） =20， 答案 ： 6， 20 17.在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y=kx+b（ k0 ）的图象过点 P（ 1， 1），与 x轴交于点 A
11、，与 y 轴交于点 B，且 tanABO=3 ，那么点 A 的坐标是 解析： 在 RtAOB 中，由 tanABO=3 ，可得 OA=3OB，则一次函数 y=kx+b 中 k= 一次函数 y=kx+b（ k0 ）的图象过点 P（ 1， 1）， 当 k= 时，求可得 b= ； k=- 时，求可得 b= 即一次函数的解析式为 y= x+ 或 y=- x+ 令 y=0，则 x=-2 或 4， 点 A 的坐标是（ -2， 0）或（ 4， 0） 答案 ：（ -2， 0）或（ 4， 0） 三、解答题（本大题共 2 小题，满分 18 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.计算与化简： （ 1）
12、 -（ - ） 0+2tan45 ； （ 2） x（ x-1） +（ 1-x）（ 1+x） 解析： （ 1）先求出每一部分的值，再代入合并即可； （ 2）先算乘法，再合并同类项即可 答案： （ 1）原式 =2-1+21 =2-1+2 =3； （ 2）原式 =x2-x+1-x2 =1-x 19.解不等式组和分式方程： （ 1） ； （ 2） 解析： （ 1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可； （ 2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 答案： （ 1） ， 由 得： x -1， 由 得： x -2， 则不等式组的解集为
13、： x -1； （ 2）去分母得： 3x+2=x-1， 移项得： 3x-x=-1-2，即 2x=-3， 解得： x=- ， 经检验 x=- 是分式方程的解 四 .解答题： 20.为迎接 “ 六一 ” 儿童节的到来，某校学生参加献爱心捐款活动，随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析，相应数据的统计图如下： （ 1）该校本的容量是 ，样本中捐款 15 元的学生有 人； （ 2）若该校一共有 500 名学生，据此样本估计该校学生的捐款总数 解析： （ 1）用捐 5 元的人数除以所占的百分比即是样本容量，用总人数减去捐 5 元与 10元的人数即是捐款 15 元的学生人数； （ 2）求出平均每人的捐款
14、数再乘以该校人数即可得学生的捐款总数 答案： （ 1） 1530%=50 （人）， 50-15-25=10（人）， 故答案为： 50， 10； （ 2）平均每人的捐款数为： （ 515+1025+1510 ） =9.5（元）， 9.5500=4750 （元）， 答：该校学生的捐款总数为 4750 元 21.一只不透明的箱子里共有 3 个球，把它们的分别编号为 1， 2， 3，这些球除编号不同外其余都相同 （ 1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为 1 的球的概率； （ 2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为 3 的
15、球的概率 解析： （ 1）直接利用概率公式求解即可； （ 2） 首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可 答案： （ 1）从箱子中随机摸出一个球，摸出的球是编号为 1 的球的概率为： ； （ 2）画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为 3 的球的概率为 五 .解答题（本大题共 2 小题，共 12 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22.已知：如图，点 C 为 AB 中点， CD=BE， CDBE 求证： ACDCBE 解析： 根据中点定义求出 AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出 ACD=B ，然后利用 SAS 即可证明 ACDCBE 答案：
16、 C 是 AB 的中点（已知）， AC=CB （线段中点的定义） CDBE （已知）， ACD=B （两直线平行，同位角相等） 在 ACD 和 CBE 中， ， ACDCBE （ SAS） 23.已知：如图， E， F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， AF=CE，连接 DE， DF， BE， BF四边形 DEBF 为平行四边形 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 解析： 由 “ 平行 四边形的对角线相互平分 ” 推知 OD=OB， OE=OF；然后结合已知条件推知四边形 ABCD 的对角线互相平分，则易证得结论 答案： 如图，连结 BD 交 AC 于点 O 四边形 DEBF
17、为平行四边形， OD=OB ， OE=OF， AF=CE ， AF -EF=CE-EF，即 AE=CF， AE+OE=CF+OF ，即 OA=OC 四边形 ABCD 是平行四边形 六 .画图与应用（本大题共 5 小题，请在答题卡指定区域内作答，共 14 分） 24.在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知 RtDOE ， DOE=90 ， OD=3，点 D 在 y 轴上，点 E 在 x 轴上，在 ABC 中，点 A， C 在 x 轴上， AC=5 ACB+ODE=180 ， ABC=OED ，BC=DE按下列要求画图（保留作图痕迹）： （ 1）将 ODE 绕 O 点按逆时针方向旋转 90 得到
18、 OMN （其中点 D 的对应点为点 M，点 E 的对应点为点 N），画出 OMN ； （ 2）将 ABC 沿 x 轴向右平移得到 ABC （其中点 A， B， C 的对应点分别为点 A ， B ，C ），使得 BC 与（ 1）中的 OMN 的边 NM 重 合； （ 3）求 OE 的长 解析： （ 1）以点 O 为圆心，以 OE 为半径画弧，与 y 轴正半轴相交于点 M，以 OD 为半径画弧，与 x 轴负半轴相交于点 N，连接 MN 即可； （ 2）以 M 为圆心，以 AC 长为半径画弧与 x 轴负半轴相交于点 A ， B 与 N 重合， C 与 M重合，然后顺次连接即可； （ 3）设 OE=
19、x，则 ON=x，作 MFAB 于点 F，判断出 BC 平分 ABO ，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得 BF=BO=OE=x ， F C=O C=OD=3 ，利用勾股定理列式求出 AF ，然后表示出 AB 、 AO ，在 RtABO 中，利用勾股定理列出方程求解即可 答案： （ 1） OMN 如图所示； （ 2） ABC 如图所示； （ 3）设 OE=x，则 ON=x，作 MFAB 于点 F， 由作图可知： BC 平分 ABO ，且 COO B ， 所以， BF=BO=OE=x ， F C=O C=OD=3 ， AC=AC=5 ， AF= =4， AB=x+4 ，
20、 AO=5+3=8 ， 在 RtABO 中， x2+82=（ 4+x） 2， 解得 x=6， 即 OE=6 25.某小商场以每件 20 元的价 格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价 x（元 /件）如下表： 假定试销中每天的销售号 t（件）与销售价 x（元 /件）之间满足一次函数 （ 1）试求 t 与 x 之间的函数关系式； （ 2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润 =每件服装的销售价 -每件服装的进货价） 解析： 设 y 与 x 的函数关系
21、式为 t=kx+b，将 x=38， y=4； x=36， y=8 分别代入求出 k、 b，即可得到 t 与 x 之间的函数关系式； （ 2）根据利润 =（售价 -成本） 销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少 答案： （ 1）设 t 与 x 之间的函数关系式为： t=kx+b，因为其经过（ 38， 4）和（ 36， 8）两点， ， 解得： 故 t=-2x+80 （ 2）设每天的毛利润为 w 元，每件服装销售的毛利润为（ x-20）元，每天售出（ 80-2x）件， 则 w=（ x-20）（ 80-2x） =-2x2+12
22、0x-1600=-2（ x-30） 2+200， 当 x=30 时，获得的毛利润最大，最大毛利润为 200 元 26.我们用 a表示不大于 a 的最大整数，例如： 2.5=2， 3=3， -2.5=-3；用 a表示大于 a 的最小整数，例如： 2.5 =3， 4 =5， 1.5 =-1解决下列问题： （ 1） -4.5= ， 3.5 = （ 2）若 x=2，则 x 的取值范围是 ；若 y =-1，则 y 的取值范围是 （ 3）已知 x， y 满足方程组 ，求 x， y 的取值范围 解析： （ 1）根据题目所给信息求解； （ 2）根据 2.5=2， 3=3， -2.5=-3，可得 x=2 中的
23、2x 3，根据 a表示大于 a的最小整数，可得 y =-1 中， -2y -1； （ 3）先求出 x和 y的值，然后求出 x 和 y 的取值范围 答案： （ 1）由题意得， -4.5=-5， 3.5 =4； （ 2） x =2， x 的取值范围是 2x 3； y =-1， y 的取值范围是 -2y -1； （ 3）解方程组得： ， x ， y 的取值范围分别为 -1x 0， 2y 3 27.在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=- x2+ x+2 的图象与 x 轴交于点 A， B（点 B 在点A 的左侧），与 y 轴交于点 C过动点 H（ 0， m）作平行于 x 轴的直线 l，直线 l与
24、二次函数y=- x2+ x+2 的图象相交于点 D， E （ 1）写出点 A，点 B 的坐标； （ 2）若 m 0，以 DE 为直径作 Q ，当 Q 与 x 轴相切时，求 m的值； （ 3）直线 l 上是否存在一点 F，使得 ACF 是等腰直角三角形？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 解析： （ 1） A、 B 两点的纵 坐标都为 0，所以代入 y=0，求解即可 （ 2）由圆和抛物线性质易得圆心 Q 位于直线与抛物线对称轴的交点处，则 Q 的横坐标为 ，可推出 D、 E 两点的坐标分别为：（ -m， m），（ +m， m）因为 D、 E 都在抛物线上，代入一点即可得 m （ 3）使得
25、 ACF 是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有 3 种情形；而三种情形中 F 点在 AC 的左下或右上方又各存在 2种情形，故共有 6 种情形求解时利用全等三角形知识易得 m 的值 答案： （ 1）当 y=0 时，有 ， 解得： x1=4， x2=-1， A 、 B 两点的坐标分别为（ 4， 0）和（ -1， 0） （ 2） Q 与 x 轴相切，且与 交于 D、 E 两点， 圆心 Q 位于直线与抛物线对称轴的交点处， 抛物线的对称轴为 ， Q 的半径为 H 点的纵坐标 m（ m 0）， D 、 E 两点的坐标分别为：（ -m， m），（ +m，
26、 m） E 点在二次函数 的图象上， ， 解得 或 （不合题意，舍去） （ 3）存在 如图 1， 当 ACF=90 ， AC=FC 时，过点 F 作 FGy 轴于 G， AOC=CGF=90 ， ACO+FCG=90 ， GFC+FCG=90 ， ACO=CFG ， ACOCFG ， CG=AO=4 ， CO=2 ， m=OG=2+4=6 ； 反向延长 FC，使得 CF=CF ，此时 ACF 亦为等腰直角三角形， 易得 yC-yF=CG=4 ， m=CO -4=2-4=-2 如图 2， 当 CAF=90 ， AC=AF 时，过点 F 作 FPx 轴于 P， AOC=APF=90 ， ACO+O
27、AC=90 ， FAP+OAC=90 ， ACO=FAP ， ACOFAP ， FP=AO=4 ， m=FP=4 ； 反向延长 FA，使得 AF=AF ，此时 ACF 亦为等腰直角三角形， 易得 yA-yF=FP=4 ， m=0 -4=-4 如图 3， 当 AFC=90 ， FA=FC 时，则 F 点一定在 AC 的中垂线上，此时存在两个点分别记为 F， F ， 分别过 F， F 两点作 x 轴、 y 轴的垂线，分别交于 E， G， D， H DFC+CFE=CFE+EFA=90 ， DFC=EFA ， CDF=AEF ， CF=AF， CDFAEF ， CD=AE ， DF=EF， 四边形
28、OEFD 为正方形， OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD ， 4=2+2CD ， CD=1 ， m=OC+CD=2+1=3 HFC+CGF=CGF+GFA ， HFC=GFA ， HFC=GFA ， CF=AF ， HFCGFA ， HF=GF ， CH=AG， 四边形 OHFG 为正方形， OH=CH -CO=AG-CO=AO-OG-CO=AO-OH-CO=4-OH-2， OH=1 ， m= -1 y= - x2+ x+2=- （ x- ） 2+ ， y 的最大值为 直线 l 与抛物线有两个交点， m m 可取值为： -4、 -2、 -1 或 3 综上所述，直线 l
29、 上存在一点 F，使得 ACF 是等腰直角三角形， m 的值为 -4、 -2、 -1 或 3 28.在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（ ， ），以点 M 为圆心， OM 长为半径作 M 使 M与直线 OM 的另一交点为点 B，与 x 轴， y 轴的另一交点分别为点 D， A（如图），连接 AM点P 是 上的动点 （ 1）写出 AMB 的度数； （ 2）点 Q 在射线 OP 上，且 OPOQ=20，过点 Q作 QC 垂直于直线 OM，垂足为 C，直线 QC 交 x轴于点 E 当动点 P 与点 B 重合时，求点 E 的坐标； 连接 QD，设点 Q 的纵坐标为 t， QOD 的面积为 S求 S与
30、 t的函数关系式及 S的取值范围 解析： （ 1）首先过点 M 作 MHOD 于点 H，由点 M（ ， ），可得 MOH=45 ， OH=MH= ，继而求得 AOM=45 ，又由 OM=AM，可得 AOM 是等腰直角三角形，继而可求得 AMB 的度数； （ 2） 由 OH=MH= ， MHOD ，即可求得 OD与 OM 的值，继而可得 OB 的长，又由动点 P 与点 B 重合时， OPOQ=20，可求得 OQ 的长，继而求得答案； 由 OD=2 ， Q 的纵坐标为 t，即可得 S= ，然后分别从当动点 P与 B 点重合时，过点 Q 作 QFx 轴，垂足为 F 点，与当动点 P 与 A 点重合时
31、， Q 点在 y 轴上，去分析求解即可求得答案 答案： （ 1）过点 M 作 MHOD 于点 H， 点 M（ ， ）， OH=MH= ， MOD=45 ， AOD=90 ， AOM=45 ， OA=OM ， OAM=AOM=45 ， AMO =90 ， AMB=90 ； （ 2） OH=MH= ， MHOD ， OM= =2， OD=2OH=2 ， OB=4 ， 动点 P 与点 B 重合时， OPOQ=20， OQ=5 ， OQE=90 ， POE=45 ， OE=5 ， E 点坐标为（ 5 ， 0） OD=2 ， Q 的纵坐标为 t， S= 如图 2，当动点 P 与 B 点重合时，过点 Q 作 QFx 轴，垂足为 F 点， OP=4 ， OPOQ=20， OQ=5 ， OFC=90 ， QOD=45 ， t=QF= ， 此时 S= ； 如图 3，当动点 P 与 A 点重合时， Q 点在 y轴上， OP=2 ， OPOQ=20 ， t=OQ=5 ， 此时 S= ； S 的取值范围为 5S10
