1、2014 年江苏省苏州市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30分 ) 1.(3 分 )(-3)3 的结果是 ( ) A. -9 B. 0 C. 9 D. -6 解析 ：原式 =-33= -9， 答案： A. 2.(3 分 )已知 和 是对顶角，若 =30 ，则 的度数为 ( ) A. 30 B. 60 C. 70 D. 150 解析 ： 和 是对顶角， =30 ， 根据对顶角相等可得 =30 . 答案： A. 3.(3 分 )有一组数据： 1， 3， 3， 4， 5，这组数据的众数为 ( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 解析 ： 这组数据中 3 出现的
2、次数最多， 故众数为 3. 答案： B 4.(3 分 )若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x -4 B. x -4 C. x4 D. x4 解析 ： 依题意知， x-40 ，解得 x4 . 答案： D. 5.(3 分 )如图，一个圆形转盘被分成 6 个圆心角都为 60 的扇形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设圆的面积为 6， 圆被分成 6 个相同扇形， 每个扇形的面积为 1， 阴影区域的面积为 4， 指针指向阴影区域的概率 = = . 答案： D. 6.(3 分 )如图，在 ABC
3、中，点 D 在 BC 上， AB=AD=DC， B=80 ，则 C 的度数为 ( ) A. 30 B. 40 C. 45 D. 60 解析 ： ABD 中， AB=AD， B=80 ， B=ADB=80 ， ADC=180 -ADB=100 ， AD=CD ， C= = =40 . 答案： B. 7.(3 分 )下列关于 x 的方程有实数根的是 ( ) A. x2-x+1=0 B. x2+x+1=0 C. (x-1)(x+2)=0 D. (x-1)2+1=0 解析 ： A、 = (-1)2-411= -3 0，方程没有实数根，所以 A 选项错误； B、 =1 2-411= -3 0，方程没有实
4、数根，所以 B 选项错误； C、 x-1=0 或 x+2=0，则 x1=1， x2=-2，所以 C 选项正确； D、 (x-1)2=-1，方程左边为非负数，方程右边为 0，所以方程没有实数根，所以 D 选项错误 . 答案： C. 8.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx-1(a0 )的图象经过点 (1， 1)，则代数式 1-a-b 的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. 2 D. 5 解析 ： 二次函数 y=ax2+bx-1(a0 )的图象经过点 (1， 1)， a+b -1=1， a+b=2 ， 1 -a-b=1-(a+b)=1-2=-1. 答案： B. 9.(3 分 )如图，港口
5、A 在观测站 O 的正东方向， OA=4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60 的方向，则该船航行的距离 (即 AB 的长 )为 ( ) A. 4km B. 2 km C. 2 km D. ( +1)km 解析 ： 如图，过点 A 作 ADOB 于 D. 在 RtAOD 中， ADO=90 ， AOD=30 ， OA=4， AD= OA=2. 在 RtABD 中， ADB=90 ， B=CAB -AOB=75 -30=45 ， BD=AD=2 ， AB= AD=2 . 即该船航行的距离 (即 AB 的长 )为 2
6、km. 答案： C. 10.(3 分 )如图， AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标 (2， )，底边 OB在 x 轴上 .将 AOB绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得 AOB ，点 A 的对应点 A 在 x 轴上，则点 O的坐标为 ( ) A. ( ， ) B. ( ， ) C. ( ， ) D. ( ， 4 ) 解析 ： 如图，过点 A 作 ACOB 于 C，过点 O 作 ODAB 于 D， A (2， )， OC=2 ， AC= ， 由勾股定理得， OA= = =3， AOB 为等腰三角形， OB 是底边， OB=2OC=22=4 ， 由旋转的性质得， BO=OB=4 ， ABO=
7、ABO ， OD=4 = ， BD=4 = ， OD=OB+BD=4+ = ， 点 O 的坐标为 ( ， ). 答案： C. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 11.(3 分 ) 的倒数是 . 解析 ： 的倒数是 ， 答案： . 12.(3分 )已知地球的表面积约为 510000000km2，数 510000000用科学记数法可表示为 . 解析 ： 510 000 000=5.110 8. 故答案为： 5.110 8. 13.(3 分 )已知正方形 ABCD 的对角线 AC= ，则正方形 ABCD 的周长为 . 解析 ： 正方形 ABCD 的对角线 AC= ， 边长
8、AB= =1， 正方形 ABCD 的周长 =41=4 . 答案： 4. 14.(3 分 )某学校计划开设 A、 B、 C、 D 四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解个门课程的选修人数 .现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图 .已知该校全体学生人数为 1200 名，由此可以估计选修 C 课程的学生有 人 . 解析 ： C 占样本的比例 ， C 占总体的比例是 ， 选修 C 课程的学生有 1200 =240(人 )， 答案： 240. 15.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC=5， BC=8.若 BPC= B
9、AC ，则 tanBPC= . 解析 ： 过点 A 作 AEBC 于点 E， AB=AC=5 ， BE= BC= 8=4 ， BAE= BAC ， BPC= BAC ， BPC=BAE . 在 RtBAE 中，由勾股定理得 AE= ， tanBPC=tanBAE= . 答案： . 16.(3 分 )某地准备对一段长 120m 的河道进行清淤疏通 .若甲工程队先用 4 天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 9 天；若甲工程队先单独工作 8 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 3 天 .设甲工程队平均每天疏通河道 xm，乙工程队平均每天疏通河道 ym，则 (x
10、+y)的值为 . 解析 ： 设甲工程队平均每天疏通河道 xm，乙工程队平均每天疏通河道 ym， 由题意 得 ，解得： .x+y=20 . 答案： 20. 17.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， = ，以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交边 AD于点E.若 AE ED= ，则矩形 ABCD 的面积为 . 解析 ： 如图，连接 BE，则 BE=BC. 设 AB=3x， BC=5x， 四边形 ABCD 是矩形， AB=CD=3x ， AD=BC=5x， A=90 ， 由勾股定理得： AE=4x，则 DE=5x-4x=x， AE ED= ， 4x x= ， 解得 x= (负数舍去 )，则
11、 AB=3x= ， BC=5x= ， 矩形 ABCD 的面积是 ABBC= =5， 答案： 5. 18.(3分 )如图，直线 l与半径为 4的 O 相切于点 A， P是 O 上的一个动点 (不与点 A重合 )，过点 P 作 PBl ，垂足为 B，连接 PA.设 PA=x， PB=y，则 (x-y)的最大值是 . 解析 ： 如图，作直径 AC，连接 CP， CPA=90 ， AB 是切线， CAAB ， PBl ， ACPB ， CAP=APB ， APCPBA ， ， PA=x ， PB=y，半径为 4， = ， y= x2， x -y=x- x2=- x2+x=- (x-4)2+2， 当 x
12、=4 时， x-y 有最大值是 2， 答案： 2. 三、解答题 (共 11 小题，共 76 分 ) 19.(5 分 )计算： 22+|-1|- . 解析 ： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 =4+1-2=3. 20.(5 分 )解不等式组： . 解析 ： 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 . 答案： ， 由 得： x 3；由 得： x4 ，则不等式组的解集为 3 x4 . 21.(5 分 )先化简，再求值： ，其中 . 解析 ： 分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因
13、式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可 . 答案： = ( + ) = = = ， 把 ，代入原式 = = = = . 22.(6 分 )解分式方程： + =3. 解析 ： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： 去分母得： x-2=3x-3，解得： x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 . 23.(6 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ，点 D、 F 分别在 AB、 AC 上， CF=CB，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 后得 CE，连接 E
14、F. (1)求证： BCDFCE ； (2)若 EFCD ，求 BDC 的度数 . 解析 ： (1)由旋转的性质可得： CD=CE，再根据同角的余角相等可证明 BCD=FCE ，再根据全等三角形的判定方法即可证明 BCDFCE ； (2)由 (1)可知： BCDFCE ，所以 BDC=E ，易求 E=90 ，进而可求出 BDC 的度数 . 答案： (1)证 将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 后得 CE， CD=CE ， DCE=90 ， ACB=90 ， BCD=90 -ACD=FCE ， 在 BCD 和 FCE 中， ， BCDFCE (SAS). (2)由 (1)可知 BCD
15、FCE ， BDC=E ， BCD=FCE ， DCE=DCA+FCE=DCA+BCD=ACB=90 ， EFCD ， E=180 -DCE=90 ， BDC=90 . 24.(7 分 )如图，已知函数 y=- x+b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，与函数 y=x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P(a， 0)(其中 a 2)，过点 P作 x轴的垂线，分别交函数 y=- x+b 和 y=x 的图象于点 C、 D. (1)求点 A 的坐标； (2)若 OB=CD，求 a 的值 . 解析 ： (1)先利用直线 y=x 上的点的坐标特征得到点 M 的坐
16、标为 (2， 2)，再把 M(2， 2)代入y=- x+b 可计算出 b=3，得到一次函数的解析式为 y=- x+3，然后根据 x 轴上点的坐标特征可确定 A 点坐标为 (6， 0)； (2)先确定 B 点坐标为 (0， 3)，则 OB=CD=3，再表示出 C 点坐标为 (a， - a+3)， D 点坐标为(a， a)，所以 a-(- a+3)=3，然后解方程即可 . 答案： (1) 点 M 在直线 y=x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2， 点 M 的坐标为 (2， 2)， 把 M(2， 2)代入 y=- x+b 得 -1+b=2，解得 b=3， 一次函数的解析式为 y=- x+3， 把
17、y=0 代入 y=- x+3 得 - x+3=0，解得 x=6， A 点坐标为 (6， 0)； (2)把 x=0 代入 y=- x+3 得 y=3， B 点坐标为 (0， 3)， CD=OB ， CD=3 ， PCx 轴， C 点坐标为 (a， - a+3)， D 点坐标为 (a， a)a -(- a+3)=3， a=4 . 25.(7 分 )如图，用红、蓝两种颜色随机地对 A、 B、 C 三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法 (画树状图或列表 )求 A、 C 两个区域所涂颜色不相同的概率 . 解析 ： 画树状图得出所有等可能的情况数，找出 A 与 C 中颜色不
18、同的情况数，即可求出所求的概率 . 答案： 画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 8 种，其中 A、 C 两个区域所涂颜色不相同的有 4 种，则 P= = . 26.(8 分 )如图，已知函数 y= (x 0)的图象经过点 A、 B，点 A 的坐标为 (1， 2)，过点 A 作ACy 轴， AC=1(点 C 位于点 A 的下方 )，过点 C 作 CDx 轴，与函数的图象交于点 D，过点B 作 BECD ，垂足 E 在线段 CD 上，连接 OC、 OD. (1)求 OCD 的面积； (2)当 BE= AC 时，求 CE 的长 . 解析 ： (1)根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点
19、满足函数解析式，可得 D 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； (2)根据 BE 的长，可得 B 点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得 B 点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案 . 答案： (1)y= (x 0)的图象经过点 A(1， 2)， k=2 . ACy 轴， AC=1， 点 C 的坐标为 (1， 1). CDx 轴，点 D 在函数图象上， 点 D 的坐标为 (2， 1). . (2)BE= ， . BECD ， 点 B 的横坐标是 ，纵坐标是 .CE= . 27.(8 分 )如图，已知 O 上依次有 A、 B、 C、 D 四个点， = ，连接 AB、 AD、 BD，弦 AB不
20、经过圆心 O，延长 AB 到 E，使 BE=AB，连接 EC， F 是 EC 的中点，连接 BF. (1)若 O 的半径为 3， DAB=120 ，求劣弧 的长； (2)求证： BF= BD； (3)设 G 是 BD 的中点，探索：在 O 上是否存在点 P(不同于点 B)，使得 PG=PF？并说明 PB与 AE 的位置关系 . 解析 ： (1)利用圆心角定理进而得出 BOD=120 ，再利用弧长公式求出劣弧 的长； (2)利用三角形中位线定理得出 BF= AC，再利用圆心角定理得出 = ，进而得出 BF=BD； (3)首先过点 B 作 AE 的垂线，与 O 的交点即为所求的点 P，得出 BPA
21、E ，进而证明PBGPBF (SAS)，求出 PG=PF. 答案： (1)连接 OB， OD， DAB=120 ， 所对圆心角的度数为 240 ， BOD=360 -240=120 ， O 的半径为 3， 劣弧 的长为： 3=2 ； (2)证 连接 AC， AB=BE ， 点 B 为 AE 的中点， F 是 EC 的中点， BF 为 EAC 的中位线， BF= AC， = ， + = + ， = ， BD=AC ， BF= BD； (3)过点 B 作 AE 的垂线，与 O 的交点即为所求的点 P， BF 为 EAC 的中位线， BFAC ， FBE=CAE ， = ， CAB=DBA ， 由作
22、法可知 BPAE ， GBP=FBP ， G 为 BD 的中点， BG= BD， BG=BF ， 在 PBG 和 PBF 中， ， PBGPBF (SAS)， PG=PF . 28.(9 分 )如图，已知 l1l 2， O 与 l1， l2都相切， O 的半径为 2cm，矩形 ABCD 的边 AD、AB 分别与 l1， l2重合， AB=4 cm， AD=4cm，若 O 与矩形 ABCD 沿 l1同时向右移动， O 的移动速度为 3cm，矩形 ABCD 的移动速度为 4cm/s，设移动时间为 t(s). (1)如图 ，连接 OA、 AC，则 OAC 的度数为 105 ； (2)如图 ，两个图形
23、移动一段时间后， O 到达 O 1的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1的位置，此时点 O1， A1， C1恰好在同一直线上，求圆心 O 移动的距离 (即 OO1的长 )； (3)在移动过程中，圆心 O到矩形对角线 AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为 d(cm)，当 d 2 时，求 t 的取值范围 (解答时可以利用备用图画出相关示意图 ). 解析 ： (1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出 OAD=45 ， DAC=60 ，进而得出答案； (2)首先得出， C 1A1D1=60 ，再利用 A1E=AA1-OO1-2=t-2，求出 t 的值，进而得出 OO1=3t 得出答
24、案即可； (3) 当直线 AC 与 O 第一次相切时，设移动时间为 t1， 当直线 AC 与 O 第二次相切时，设移动时间为 t2，分别求出即可 . 答案： (1)l 1l 2， O 与 l1， l2都相切， OAD=45 ， AB=4 cm， AD=4cm， CD=4 cm， AD=4cm， tanDAC= = = ， DAC=60 ， OAC 的度数为： OAD+DAC=105 ， 故答案为： 105； (2)如图位置二，当 O1， A1， C1恰好在同一直线上时，设 O 1与 l1的切点为 E，连接 O1E，可得 O1E=2， O1El 1， 在 RtA 1D1C1中， A 1D1=4，
25、 C1D1=4 ， tanC 1A1D1= ， C 1A1D1=60 ， 在 RtA 1O1E 中， O 1A1E=C 1A1D1=60 ， A 1E= = ， A 1E=AA1-OO1-2=t-2， t -2= ， t= +2， OO 1=3t=2 +6； (3) 当直线 AC 与 O 第一次相切时，设移动时间为 t1， 如图，此时 O 移动到 O 2的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2的位置， 设 O 2与直线 l1， A2C2分别相切于点 F， G，连接 O2F， O2G， O2A2， O 2Fl 1， O2GA 2G2， 由 (2)得， C 2A2D2=60 ， GA 2F
26、=120 ， O 2A2F=60 ， 在 RtA 2O2F 中， O2F=2， A 2F= ， OO 2=3t， AF=AA2+A2F=4t1+ ， 4t 1+ -3t1=2， t 1=2- ， 当直线 AC 与 O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1， A1， C1共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， +2-(2- )=t2-( +2)，解得： t2=2+2 ， 综上所述，当 d 2 时， t 的取值范围是： 2- t 2+2 . 29.(10 分 )如图，二次函数 y=a(x2-2mx-3m
27、2)(其中 a， m 是常数，且 a 0， m 0)的图象与 x轴分别交于点 A、 B(点 A 位于点 B 的左侧 )，与 y 轴交于 C(0， -3)，点 D在二次函数的图象上， CDAB ，连接 AD，过点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E， AB 平分 DAE . (1)用含 m 的代数式表示 a； (2)求证： 为定值； (3)设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以线段 GF、 AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明
28、理由 . 解析 ： (1)由 C 在二次函数 y=a(x2-2mx-3m2)上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到 a与 c 的关系式 . (2)求证 为定值，一般就是计算出 AD、 AE 的值，然后相比 .而求其长，过 E、 D 作 x 轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值 . (3)要使线段 GF、 AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 (2)中 = ，则可考虑若 GF 使得 AD： GF： AE=3： 4： 5 即可 .由 AD、 AE、 F 点都易固定，且 G 在 x 轴的负半轴上，则易得 G 点大致位置，可
29、连接 CF 并延长，证明上述比例 AD： GF： AE=3： 4： 5 即可 . 答案： (1)将 C(0， -3)代入二次函数 y=a(x2-2mx-3m2)，则 -3=a(0-0-3m2)，解得 a= . (2)证明：如图 1，过点 D、 E 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M、 N. 由 a(x2-2mx-3m2)=0，解得 x1=-m， x2=3m，则 A(-m， 0)， B(3m， 0). CDAB ， D 点的纵坐标为 -3， 又 D 点在抛物线上， 将 D 点纵坐标代入抛物线方程得 D 点的坐标为 (2m， -3). AB 平分 DAE ， DAM=EAN ， DMA=ENA=90
30、 ， ADMAEN . = = . 设 E 坐标为 (x， )， = ， x=4m ， E (4m， 5)， AM=AO+OM=m+2m=3m ， AN=AO+ON=m+4m=5m， = = ，即为定值 . (3)如图 2，记二次函数图象顶点为 F，则 F 的坐标为 (m， -4)，过点 F 作 FHx 轴于点 H. 连接 FC 并延长，与 x 轴负半轴交于一点，此点即为所求的点 G. tanCGO= ， tanFGH= ， = ， OG=3m . GF= = =4 ， AD= = =3 ， = . = ， AD ： GF： AE=3： 4： 5， 以线段 GF， AD， AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时 G 点的横坐标为 -3m.
