1、 2014 年河南省中考模拟数学 一、选择题 1.（ 3 分）（ 2） 2的算术平方根是（ ） A.2 B.2 C. 2 D. 解析： （ 2） 2=4， 4 的算术平方根为 2， （ 2） 2的算术平方根是 2. 答案： A. 2.（ 3 分）实数 a， b， c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A.a c b c B.a+c b+c C.ac bc D. 解析： 由数轴可以看出 a b 0 c. A、 a b， a c b c，答案：项错误； B、 a b， a+c b+c，答案：项正确； C、 a b， c 0， ac bc，答案：项错误； D、 a c， b 0，
2、 ，答案：项错误 . 答案： B. 3.（ 3 分）下列计算正确的是（ ） A.2a+3b=5ab B.（ ab） 3=ab3 C.（ a2） 3=a5 D.a2a3=a5 解析： A、 2a+3b5ab ，故本选项错误； B、（ ab） 3=a3b3，故本选项错误； C、（ a2） 3=a6，故本选项错误； D、 a2a3=a2+3=a5，故本选项正确 . 答案： D. 4.（ 3 分）郑州市 2014 届高中毕业生体考男生 “ 引体向上 ” 取代 “ 立定跳远 ” 走进测试项目，某校学生参加体育测试，一组 10 人的引体向上成绩如下表，这组同学引体向上个数的众数与中位数依次是（ ） A.8
3、 和 9 B.7.5 和 9 C.7 和 8 D.7 和 7.5 解析： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 7， 7， 7， 7， 7， 8， 8， 8， 9， 10， 众数为： 7， 中位数为： =7.5. 答案： D. 5.（ 3 分）关于 x 的一元二次方 程（ a 1） x2 2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ） A.2 B.1 C.0 D. 1 解析： 根据题意得： =4 12（ a 1） 0 ，且 a 10 ， 解得： a ， a1 ， 则整数 a 的最大值为 0. 答案： C. 6.（ 3 分）如图，菱形纸片 ABCD 中， A=60 ，折叠菱形纸片 ABCD，
4、使点 C 落在 DP（ P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE.则 DEC 的大小为（ ） A.78 B.75 C.60 D.45 解析： 连接 BD， 四边形 ABCD 为菱形， A=60 ， ABD 为等边三角形， ADC=120 ， C=60 ， P 为 AB 的中点， DP 为 ADB 的平分线，即 ADP= BDP=30 ， PDC=90 ， 由折叠的性质得到 CDE= PDE=45 ， 在 DEC 中， DEC=180 （ CDE+ C） =75 . 答案 ： B. 7.（ 3 分）在反比例函数 的图象上有两点（ 1， y1）， ，则y1 y2的值是（ ） A.
5、负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定 解析： 反比例函数 中的 k 0， 函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内， y 随 x 的增大而增大； 又 点（ 1， y1）和 均位于第二象限， 1 ， y1 y2， y1 y2 0，即 y1 y2的值是负数， 答案： A. 8.（ 3 分） 一块含 30 角的直角三角板（如图），它的斜边 AB=8cm，里面空心 DEF 的各边与 ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是 1cm，那么 DEF 的周长是（ ） A.5cm B.6cm C.（ ） cm D.（ ） cm 解析： 斜边 AB=8cm， A=30 ， BC=4cm， AC=4 cm，
6、周长是 12+4 cm， 连接 BE，过 E 作 EM BC 于 M， 则 EBC=30 ， EM=1cm， BM= cm. 则 EF=4 1 =3 cm. ABC DEF， 相似比是 = ， 相似三角形周长的比等于相似比， 因而 = ， 解得 DEF 的周长是 6cm. 答案： B. 二、填空题 9.（ 3 分）某学校有 80 名学生，参加音乐、美术、体育三个课外小组（每人只参加一项），这 80 人中若有 40%的人参加体育小组， 35%的人参加美术小组，则参加音乐小组的有 人 . 解析： 设参加音乐小组的人数为 x， 则由题意得： 8040%+8035%+x=80 ， 解得： x=20，即
7、参加音乐小组的有 20 人 . 答案 ： 20. 10.（ 3 分）如图，直线 AB、 CD 相交于点 O，作 DOE= BOD， OF 平分 AOE，若 AOC=28 ，则 EOF= 度 . 解析： OF 平分 AOE， AOF= EOF， COD 为平角， AOC+ AOF+ EOF+ EOD=180 ， AOC 与 BOD 为对顶角， AOC= BOD， 又 DOE= BOD， 2 AOC+2 EOF=180 ， 又 AOC=28 ， EOF=62 . 答案： 62 11.（ 3 分）已知关于 x 的方程 的解是负数，则 m 的取值范围为 . 解析： ， 2x m=4x+8， 2x=8+
8、m， x= ， 关于 x 的方程 的解是负数， 0， 解得： m 8， 方程 ， x+20 ， 即 2， m 4， 答案 ： m 8 且 m 4. 12.（ 3 分）在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程 y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示 .有下列说法： 起跑后 1 小时内，甲在乙的前面； 第 1 小时两人都跑了 10 千米； 甲比乙先到达终点； 两人都跑了 20 千米 . 其中正确的说法的序号是 . 解析： 由图可知， 0x1 时，甲的函数图象在乙的上边， 所以，起跑后 1 小时内，甲在乙的前面，故本小题正确； x=1 时，甲、乙都是 y=10 千米，第 1 小时两人都跑
9、了 10 千米，故本小题正确； 由图可知， x=2 时，乙到达终点，甲没有到达终点，所以，乙比甲先到达终点，故本小题错误； 两人都跑了 20 千米正确； 综上所述，正确的说法是 . 答案 ： . 13.（ 3 分）如图，在半径为 5 的 O 中，弦 AB=6，点 C 是优弧 上一点（不与 A， B 重合），则 cosC 的值为 . 解析： 连接 AO 并延长到圆上一点 D，连接 BD， 可得 AD 为 O 直径，故 ABD=90 ， O 的半径为 5， AD=10， 在 Rt ABD 中， BD= = =8， ADB 与 ACB 所对同弧， D= C， cosC=cosD= = = ， 故答案
10、为： . 14.（ 3 分）如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图象， A、 B、 C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则 a、 b 之间满足的关系式是 . 解析： OA=OC=1， A 点坐标为（ 1， 0）， C 点坐标为（ 0， 1）， 把 A（ 1， 0）， C（ 0， 1）代入 y=ax2+bx+c 得 ， a b+1=0. 答案 ： a b+1=0. 15.（ 3 分）如图， Rt ABC 中， C=90 ，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC=5， OC=6 ，则另一直角边 BC 的长为 . 解析： 解法一：如图
11、 1 所示，过 O 作 OF BC，过 A 作 AM OF， 四边形 ABDE 为正方形， AOB=90 ， OA=OB， AOM+ BOF=90 ， 又 AMO=90 ， AOM+ OAM=90 ， BOF= OAM， 在 AOM 和 BOF 中， ， AOM BOF（ AAS）， AM=OF， OM=FB， 又 ACB= AMF= CFM=90 ， 四边形 ACFM 为矩形， AM=CF， AC=MF=5， OF=CF， OCF 为等腰直角三角形， OC=6 ， 根据勾股定理得： CF2+OF2=OC2， 解得： CF=OF=6， FB=OM=OF FM=6 5=1， 则 BC=CF+BF
12、=6+1=7. 答案 ： 7. 解法二：如图 2 所示，过点 O 作 OM CA，交 CA 的延长线于点 M；过点 O作 ON BC于点 N. 易证 OMA ONB， OM=ON， MA=NB. O 点在 ACB 的平分线上， OCM 为等腰直角三角形 . OC=6 ， CM=ON=6. MA=CM AC=6 5=1， BC=CN+NB=6+1=7. 答案 ： 7. 三、解答题 16.已知 a= 3， b=2，求代数式 的值 . 解析： 将所求式子括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，后一项分子利用完全平方式分解因式后约分，得到最简结果，然后将 a 与 b 的值代入化简后的式子中计算
13、，即可得到所求式子的值 . 答案 ： = = （ a+b） = ， 当 a= 3， b=2 时， 原式 = = . 17.（ 8 分）为了了解 2012 年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目 “ 知识产权 ” 笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下： 请根据以上图表中提供的信息， 答案 下列问题： （ 1）本次调查的样本容量为 ； （ 2）在表中： m= ， n= ； （ 3）补全频数分布直方图； （ 4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 分数段内； （ 5）如果比赛成绩 80分以上（含 80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀
14、率大约是 . 解析： （ 1）利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量； （ 2） 90300 即为 70x 80 组频率，可求出 n 的值； 3000.4 即为 80x 90 组频数， m的值； （ 3）根据 80x 90 组频数即可补全直方图； （ 4）根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可 . （ 5）将比赛成绩 80 分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率 . 答案 ： （ 1）此次调查的样本容量为 300.1=300 ； （ 2） n= =0.3； m=0.4300=120 ； （ 3）如图： （ 4）中位数为第 150 个数据和第 151 个数据的平均数
15、，而第 150 个数据和第 151个数据位于 80x 90 这一组，故中位数位于 80x 90 这一组； （ 5）将 80x 90 和 90x100 这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为 60%. 18.（ 10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+b（ b 0）与坐标轴交于 A， B 两点，与双曲线 y= （ x 0）交于 D 点，过点 D作 DC x 轴，垂足为 G，连接 OD.已知 AOB ACD. （ 1）如果 b= 2，求 k 的值； （ 2）试探究 k 与 b 的数量关系，并写出直线 OD 的解析式 . 解析： （ 1）首先求出直线 y=2x 2与坐标轴交点的坐标，然
16、后由 AOB ACD得到 CD=OB，AO=AC，即可求出 D 坐标，由点 D 在双曲线 y= （ x 0）的图象上求出 k 的值； （ 2）首先直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A（ ， 0）， B（ 0， b），再根据 AOB ACD得到 CD=DB， AO=AC，即可求出 D 坐标，把 D 点坐标代入反比例函数解析式求出 k 和 b 之间的关系，进而也可以求出直线 OD 的解析式 . 答案 ： （ 1）当 b= 2 时， 直线 y=2x 2 与坐标轴交点的坐标为 A（ 1， 0）， B（ 0， 2） . AOB ACD， CD=OB， AO=AC， 点 D 的坐标为（ 2， 2）
17、 . 点 D 在双曲线 y= （ x 0）的图象上， k=22=4 . （ 2）直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A（ ， 0）， B（ 0， b） . AOB ACD， CD=OB， AO=AC， 点 D 的坐标为（ b， b） . 点 D 在双曲线 y= （ x 0）的图象上， k=（ b） （ b） =b2. 即 k 与 b 的数量关系为： k=b2. 直线 OD 的解析式为： y=x. 20.（ 10 分）某采摘农场计划种植 A、 B 两种草莓共 6 亩，根据表格信息， 答案 下列问题： （ 1）若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为 460000 元，那么 A、 B 两种草莓各
18、种多少亩？ （ 2）若要求种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B 种草莓的一半，那么种植 A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多？ 解析： （ 1）根据等量关系：总收入 =A 地的亩数 年亩产量 采摘价格 +B 地的亩数 年亩产量 采摘价格，列方程求解 . （ 2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数 y 随 x 的变化求出最大利润 . 答案 ： （ 1）设该农场种植 A 种草莓 x 亩， B 种草莓（ 6 x）亩（ 1 分） 依题意，得： 601200x+402000 （ 6 x） =460000（ 2 分） 解得： x=2.5，
19、则 6 x=3.5（ 3 分） （ 2）由 x （ 6 x），解得 x2 设农场每年草莓全部被采摘的收入为 y 元，则： y=601200 x+402000 （ 6 x） = 8000x+480000（ 4 分） 当 x=2 时， y 有最大值为 464000（ 5 分） 答：（ 1） A 种草莓种植 2.5 亩， B 种草莓种植 3.5 亩 （ 2）若种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B 种草莓的一半，那么种植 A 种草莓 2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多 . 21.如图， AB 是半圆的直径， O 为圆心， AD、 BD 是半圆的弦，且 PDA= PBD. （ 1）判断直线
20、PD 是否为 O 的切线，并说明理由； （ 2）如果 BDE=60 ， PD= ，求 PA 的长 . 解析： （ 1）要证是直线 PD 是为 O 的切线，需证 PDO=90 .因为 AB 为直径，所以 ADO+ ODB=90 ，由 PDA= PBD= ODB 可得 ODA+ PDA=90 ，即 PDO=90 . （ 2）根据已知可证 AOD 为等边三角形， P=30 .在 Rt POD 中运用三角函数可求解 . 答案 ： （ 1） PD 是 O 的切线 .理由如下： AB 为直径， ADB=90 ， ADO+ ODB=90 . PDA= PBD= ODB， ODA+ PDA=90 .即 PDO
21、=90 . PD 是 O 的切线 . （ 2） BDE=60 ， ADB=90 ， PDA=180 90 60=30 ， 又 PD 为半圆的切线，所以 PDO=90 ， ADO=60 ，又 OA=OD， ADO 为等边三角形， AOD=60 . 在 Rt POD 中， PD= ， OD=1， OP=2， PA=PO OA=2 1=1. 22.（ 12 分）阅读下面材料： 问题：如图 ，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若 BAD= C=2 DAC=45 ， DC=2.求 BD的长 . 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把 ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决 . （ 1）
22、请你回答：图中 BD 的长为 ； （ 2）参考小明的思路，探究并 答案 问题：如图 ，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若 BAD= C=2 DAC=30 ， DC=2，求 BD 和 AB 的长 . 解析： （ 1）把 ADC 沿 AC 翻折，得 AEC，连接 DE，可得 ADC AEC，又 DCA=45 ，即可得 CDE 是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出 BD 的长； （ 2）同理把 ADC 沿 AC 翻折，得 AEC，连接 DE，可得 ADC AEC，又由 BAD= C=2 DAC=30 ， DC=2，易证得 CDE 为等边三角形，则 DE 的长，然后在 AE 上截取 AF
23、=AB，连接 DF，可证得 ABD AFD，即可得 BD=DF，然后由角的关系，求得 DFE= DEF=75 ，根据等边对等角的性质，即可得 BD=DE，即可求得 BD 的长；再作 BG AD 于点 G，可得 BDG是等腰直角三角形，即可求得 BG 的长，又由 BAD=30 ，即可求得 AB 的长 . 答案 ： （ 1）把 ADC 沿 AC 翻折，得 AEC，连接 DE， ADC AEC， DCA= ECA， DC=EC， DAC= CAE， BAD= C=2 DAC=45 ， DAE= DAC+ CAE=2 DAC， ECD= ECA+ DCA=90 ， BAD= DAE， DE= =2 ，
24、 ADB= DAC+ ACD=22.5+45=67.5 ， ADE=180 ADB EDC=180 67.5 45=67.5 ， ADB= ADE， 在 BAD 和 EAD 中， ， BAD EAD（ ASA）， BD=DE=2 ； （ 2 分） （ 2）把 ADC 沿 AC 翻折，得 AEC，连接 DE， ADC AEC， DAC= EAC， DCA= ECA， DC=EC， BAD= BCA=2 DAC=30 ， BAD= DAE=30 ， DCE=60 ， CDE 为等边三角形， （ 3 分） DC=DE， 在 AE 上截取 AF=AB，连接 DF， AD 是公共边， ABD AFD，
25、BD=DF， 在 ABD 中， ADB= DAC+ DCA=45 ， ADE= AED=75 ， ABD=105 ， AFD=105 ， DFE=75 ， DFE= DEF， DF=DE， BD=DC=2， （ 4 分） 作 BG AD 于点 G， 在 Rt BDG 中， BG=BDsin ADB=2 = ， （ 5 分） 在 Rt ABG 中， AB=2BG=2 . （ 6 分） 答案 ： 2 . 23.（ 15 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）的图象过点 C（ 0， 1），顶点为 Q（ 2， 3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC. （ 1）求直线 CD 的解析
26、式； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45 所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证： CEQ CDO； （ 4）在（ 3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD上的动点，问：在 P点和 F 点移动过程中， PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 . 解析： （ 1）利用待定系数法求出直线解析式； （ 2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （ 3）关键是证明 CEQ 与 CDO 均为等腰直角三角形； （ 4）如答图 所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C ，作点 C 关于 x 轴的对
27、称点 C ，连接 C C ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， PCF 的周长等于线段 C C 的长度 . 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时 PCF 的周长最小 . 如答图 所示，利用勾股定理求出线段 C C 的长度，即 PCF 周长的最小值 . 答案 ： （ 1） C（ 0， 1）， OD=OC， D 点坐标为（ 1， 0） . 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（ k0 ）， 将 C（ 0， 1）， D（ 1， 0）代入得： ， 解得： b=1， k= 1， 直线 CD 的解析式为： y= x+1. （
28、2）设抛物线的解析式为 y=a（ x 2） 2+3， 将 C（ 0， 1）代入得： 1=a （ 2） 2+3，解得 a= . y= （ x 2） 2+3= x2+2x+1. （ 3）由题意可知， ECD=45 ， OC=OD，且 OC OD， OCD 为等腰直角三角形， ODC=45 ， ECD= ODC， CE x 轴，则点 C、 E 关于对称轴（直线 x=2）对称， 点 E 的坐标为（ 4， 1） . 如答图 所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 M，则 M（ 2， 1）， ME=CM=QM=2， QME 与 QMC 均为等腰直角三角形， QEC= QCE=45 . 又 OCD
29、为等腰直角三角形， ODC= OCD=45 ， QEC= QCE= ODC= OCD=45 ， CEQ CDO. （ 4）存在 . 如答图 所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C ，作点 C 关于 x 轴的对称点 C ，连接 CC ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， PCF 的周长等于线段 C C 的长度 . （证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F ，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点P ，连接 F C ， F P ， P C . 由轴对称的性质可知， P CF 的周长 =F C +F P +
30、P C ； 而 F C +F P +P C 是点 C ， C 之间的折线段， 由两点之间线段最短可知： F C +F P +P C C C ， 即 P CF 的周长大于 PCE 的周长 .） 如答图 所示，连接 C E， C， C 关于直线 QE 对称， QCE 为等腰直角三角形， QC E 为等腰直角三角形， CEC 为等腰直角三角形， 点 C 的坐标为（ 4， 5）； C， C 关于 x 轴对称， 点 C 的坐标为（ 0， 1） . 过点 C 作 C N y 轴于点 N，则 NC =4， NC =4+1+1=6， 在 Rt C NC 中，由勾股定理得： C C = = = . 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中， PCF 的周长存在最小值，最小值为 .
