1、2014 年河南省中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 1.(3 分 )下列各数中，最小的数是 ( ) A. 0 B. C. - D. -3 解析： -3 ， 答案： D. 2.(3 分 )据统计， 2013 年河南省旅游业总收入达到约 3875.5 亿元 .若将 3875.5 亿用科学记数法表示为 3.875510 n，则 n 等于 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 解析： 3875.5 亿 =3875 5000 0000=3.875510 11， 答案： B. 3.(3 分 )如图，直线 AB， CD 相交于点 O，射线 OM 平分 AOC ，
2、 ONOM ，若 AOM=35 ，则 CON的度数为 ( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 解析： 射线 OM 平分 AOC ， AOM=35 ， MOC=35 ， ONOM ， MON=90 ， CON=MON -MOC=90 -35=55 . 答案： C. 4.(3 分 )下列各式计算正确的是 ( ) A. a+2a=3a2 B. (-a3)2=a6 C. a3 a2=a6 D. (a+b)2=a2+b2 解析： A、 a+2a=3a，故本选项错误； B、 (-a3)2=a6，故本选项正确； C、 a3a2=a5，故本选项错误； D、 (a+b)2=a2+b2+2ab，故
3、本选项错误， 答案： B. 5.(3 分 )下列说法中，正确的是 ( ) A. “ 打开电视，正在播放河南新闻节目 ” 是必然事件 B. 某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C. 神舟飞船反射前需要对零部件进行抽样调查 D. 了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查 解析： A.“ 打开电视，正在播放河南新闻节目 ” 是随机事件，本项错误； B.某种彩票中奖概率为 10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，本项错误； C.神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查，本项错误； D.解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查 . 答案： D. 6.(3 分 )将两个长方体如图放置，则所
4、构成的几何体的左视图可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从左边看，下面是一个矩形，上面是一个等宽的矩形，该矩形的中间有一条棱， 答案： C. 7.(3 分 )(2014河南 )如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ABAC ，若 AB=4， AC=6，则 BD 的长是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解析： ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， BO=DO ， AO=CO， ABAC ， AB=4， AC=6， BO= =5， BD=2BO=10 ， 答案： C. 8.(3 分 )如图，在 RtABC 中， C=90 ， AC
5、=1cm， BC=2cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 ACCBBA 运动，最终回到点 A，设点 P 的运动时间为 x(s)，线段 AP 的长度为y(cm)，则能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： 当点 P 在 AC 边上，即 0x1 时， y=x，它的图象是一次函数图象的一部分 .故 C错误； 点 P在边 BC上，即 1 x3 时，根据勾股定理得 AP= ，即 y= ，则其函数图象是 y 随 x 的增大而增大，且不是线段 .故 B、 D 错误； 点 P 在边 AB 上，即 3 x3+ 时， y= +3-x=-x+3+
6、，其函数图象是直线的一部分 . 综上所述， A 选项符合题意 . 答案： A. 二、填空题 (每小题 3 分，共 21 分 ) 9.(3 分 )计算： -|-2|= . 解析： 原式 =3-2=1， 答案： 1. 10.(3 分不等式组 的所有整数解的和为 . 解析： ， 由 得： x -2， 由 得： x 2， -2x 2， 不等式组的整数解为： -2， -1， 0， 1. 所有整数解的和为 -2-1+0+1=-2. 答案： -2. 11.(3 分 )如图，在 ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B， C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M， N 两点； 作直线 MN 交
7、 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC， B=25 ，则 ACB 的度数为 . 解析： 由题中作图方法知道 MN 为线段 BC 的垂直平分线， CD=BD ， B=25 ， DCB=B=25 ， ADC=50 ， CD=AC ， A=ADC=50 ， ACD=80 ， ACB=ACD+BCD=80+25=105 ， 答案： 105 . 12.(3 分 )已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )与 x 轴交于 A， B 两点，若点 A 的坐标为 (-2， 0)，抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 AB 的长为 . 解析： 对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 与
8、 x 轴相交于 A、 B两点， A 、 B 两点关于直线 x=2 对称， 点 A 的坐标为 (-2， 0)， 点 B 的坐标为 (6， 0)， AB=6-(-2)=8. 答案： 8. 13.(3 分 )一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 2 个红球和 2 个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 . 解析： 列表得： 所有等可能的情况有 12 种，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况有 4 种， 则 P= = . 答案： . 14.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中， AB=1， DAB=60 ，把菱形 ABCD 绕点 A 顺时
9、针旋转 30得到菱形 ABCD ，其中点 C 的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 . 解析： 连接 CD和 BC，则 A、 D、 C 及 A、 B、 C分别共线 . 求出弧形 ACC的面积为 . AAS 证三角形 OCD全等于三角形 OCB. 所以只要求出其中任一 S 三角形，那么 S 阴 = -2S 三角形 . 设 OC=OC=x， OB=OD=y.则 x+y=1. 因为 CD=AC-AD= -1 所以 x2+y2=4-2 (COD 是直角 )解得 xy= - 图中阴影部分的面积为 + - . 答案： + - . 15.(3 分 )如图矩形 ABCD 中， AD=5， AB=7，点 E
10、为 DC 上一个动点，把 ADE 沿 AE折叠，当点 D 的对应点 D 落在 ABC 的角平分线上时， DE 的长为 . 解析： 如图，连接 BD ，过 D 作 MNAB ，交 AB 于点 M， CD 于点 N，作 DPBC 交 BC 于点 P， 点 D 的对应点 D 落在 ABC 的角平分线上， MD=PD ， 设 MD=x ，则 PD=BM=x ， AM=AB -BM=7-x， 又折叠图形可得 AD=AD=5 ， x 2+(7-x)2=25，解得 x=3 或 4，即 MD=3 或 4. 在 RTEND 中，设 ED=a ， 当 MD=3 时， DE=5 -3=2， EN=7-CN-DE=7
11、-3-a=4-a， a 2=22+(4-a)2，解得 a= ，即 DE=， 当 MD=4 时， DE=5 -4=1， EN=7-CN-DE=7-4-a=3-a， a 2=12+(3-a)2，解得 a= ，即 DE=. 答案： 或 . 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 75分 ) 16.(8 分 )先化简，再求值： +(2+ )，其中 x= -1. 解析： 先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式 = ，再把 x 的值代入计算 . 答案 ：原式 = = = = ， 当 x= -1 时，原式 = = . 17.(9 分 )如图， CD 是 O 的直径，
12、且 CD=2cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作 O 的切线 PA， PB，切点分别为点 A， B. (1)连接 AC，若 APO=30 ，试证明 ACP 是等腰三角形； (2)填空： 当 DP= cm 时，四边形 AOBD 是菱形； 当 DP= cm 时，四边形 AOBD 是正方形 . 解析： (1)利用切线的性质可得 OCPC .利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得ACP=30 ，从而求得 . (2) 要使四边形 AOBD 是菱形，则 OA=AD=OD，所以 AOP=60 ，所以 OP=2OA， DP=OD. 要使四边形 AOBD 是正方形，则必须 AOP=45 ，
13、OA=PA=1，则 OP= ，所以 DP=OP-1. 答案 ： (1)连接 OA， AC PA 是 O 的切线， OAPA ， 在 RTAOP 中， AOP=90 -APO=90 -30=60 ， ACP=30 ， APO=30 ACP=APO ， AC=AP ， ACP 是等腰三 角形 . (2)1 ， . 18.(9 分 )某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校 300 名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图 . 请根据以上信息解答下列问题： (1)课外体育锻炼情况扇形统计图中， “ 经常参加 ” 所对应的圆心角的度数为 ； (2)请补全条形统
14、计图； (3)该校共有 1200 名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数； (4)小明认为 “ 全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为 1200=108” ，请你判断这种说法是否正确，并说明理由 . 解析： (1)用 “ 经常参加 ” 所占的百分比乘以 360 计算即可得解； (2)先求出 “ 经常参加 ” 的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可； (3)用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解； (4)根据喜欢乒乓球的 27 人都是 “ 经常参加 ” 的学生， “ 偶尔参加 ” 的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答 .
15、答案 ： (1)360(1 -15%-45%)=36040%=144 ； 故答案为： 144 ； (2)“ 经常参加 ” 的人数为： 30040%=120 人， 喜欢篮球的学生人数为： 120-27-33-20=120-80=40 人；补全统计图如图所示； (3)全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为： 1200=160 人； (4)这个说法不正确 . 理由如下：小明得到的 108 人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于 108 人 . 19.(9 分 )在中俄 “ 海上联合 -20
16、14” 反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 30 ，位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测 得潜艇 C 的俯角为 68 ，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度 .(结果保留整数，参考数据： sin680.9 ， cos680.4 ，tan682.5 ， 1.7) 解析： 过点 C 作 CDAB ，交 BA 的延长线于点 D，则 AD即为潜艇 C的下潜深度，分别在 Rt三角形 ACD 中表示出 CD 和在 Rt 三角形 BCD中表示出 BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解 . 答案 ：过点 C 作 CDAB ，交 BA 的延长线于点 D，则 AD即为潜艇
17、 C的下潜深度， 根据题意得： ACD=30 ， BCD=68 ， 设 AD=x，则 BD=BA+AD=1000+x， 在 Rt 三角形 ACD 中， CD= = = ， 在 Rt 三角形 BCD 中， BD=CD tan68 ， 1000+x= x tan68 解得： x= = 308 米， 潜艇 C 离开海平面的下潜深度为 308 米 . 20.(9 分 )如图，在直角梯形 OABC 中， BCAO ， AOC=90 ，点 A， B 的坐标分别为 (5， 0)，(2， 6)，点 D 为 AB 上一点，且 BD=2AD，双曲线 y= (k 0)经过点 D，交 BC 于点 E. (1)求双曲线
18、的解析式； (2)求四边形 ODBE 的面积 . 解析： (1)作 BMx 轴于 M，作 BNx 轴于 N，利用点 A， B 的坐标得到 BC=OM=5， BM=OC=6，AM=3，再证明 ADNABM ，利用相似比可计算出 DN=2， AN=1，则 ON=OA-AN=4，得到 D 点坐标为 (4， 2)，然后把 D 点坐标代入 y= 中求出 k 的值即可得到反比例函数解析式； (2)根据反比例函数 k 的几何意义和 S 四边形 ODBE=S 梯形 OABC-SOCE -SOAD 进行计算 . 答案 ： (1)作 BMx 轴于 M，作 BNx 轴于 N，如图， 点 A， B 的坐标分别为 (5
19、， 0)， (2， 6)， BC=OM=5 ， BM=OC=6， AM=3， DNBM ， ADNABM ， = = ，即 = = ， DN=2 ， AN=1， ON=OA -AN=4， D 点坐标为 (4， 2)， 把 D(4， 2)代入 y= 得 k=24=8 ， 反比例函数解析式为 y= ； (2)S 四边形 ODBE=S 梯形 OABC-SOCE -SOAD = (2+5)6 - |8| - 52=12 . 21.(10 分 )某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10台 B 型电脑的利润为 3500 元 . (1)求每台
20、 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100台电脑的销售总利润为 y元 . 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店购进 A 型、 B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0 m 100)元，且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及 (2)中条件，设计出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方案 . 解析： (1)设每台 A 型电脑销售利润为 x 元
21、，每台 B 型电脑的销售利润为 y元；根据题意列出方程组求解， (2) 据题意得， y=-50x+15000， 利用不等式求出 x 的范围，又因为 y=-50x+15000 是减函数，所以 x 取 34， y取最大值， (3)据题意得， y=(100+m)x-150(100-x)，即 y=(m-50)x+15000，分三种情况讨论， 当 0 m 50 时， y 随 x 的增大而减小， m=50 时， m-50=0， y=15000， 当 50 m 100 时， m-50 0， y 随 x 的增大而增大，分别进行求解 . 答案 ： (1)设每台 A 型电脑销售利润为 x 元，每台 B 型电脑的销
22、售利润为 y元；根据题意得 ， 解得 . 答：每台 A 型电脑销售利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150元 . (2) 据题意得， y=100x+150(100-x)，即 y=-50x+15000， 据题意得， 100-x2x ，解得 x33 ， y= -50x+15000， y 随 x 的增大而减小， x 为正整数， 当 x=34 时， y 取最大值，则 100-x=66， 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B型电脑的销售利润最大 . (3)据题意得， y=(100+m)x+150(100-x)，即 y=(m-50)x+15000， 33 x70 当 0 m 5
23、0 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x=34 时， y取最大值， 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B型电脑的销售利润最大 . m=50 时， m-50=0， y=15000， 即商店购进 A 型电脑数量满足 33 x70 的整数时，均获得最大利润； 当 50 m 100 时， m-50 0， y 随 x 的增大而增大， 当 x=70 时， y取得最大值 . 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B型电脑的销售利润最大 . 22.(10 分 ) (1)问题发现 如图 1， ACB 和 DCE 均为等边三角形，点 A， D， E 在同一直线上，连接 BE. 填空： AE
24、B 的度数为 ； 线段 AD， BE 之间的数量关系为 . (2)拓展探究 如图 2， ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形， ACB=DCE=90 ，点 A， D， E 在同一直线上， CM 为 DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断 AEB 的度数及线段 CM， AE， BE 之间的数量关系，并说明理由 . (3)解决问题 如图 3，在正方形 ABCD 中， CD= ，若点 P 满足 PD=1，且 BPD=90 ，请直接写出点 A 到BP 的距离 . 解析： (1)由条件易证 ACDBCE ，从而得到： AD=BE， ADC=BEC .由点 A， D， E 在同一直线上可求出 A
25、DC ，从而可以求出 AEB 的度数 . (2)仿照 (1)中的解法可求出 AEB 的度数，证出 AD=BE；由 DCE 为等腰直角三角形及 CM 为DCE 中 DE 边上的高可得 CM=DM=ME，从而证到 AE=2CH+BE. (3)由 PD=1 可得：点 P 在以点 D 为圆心， 1 为半径的圆上；由 BPD=90 可得：点 P 在以 BD为直径的圆上 .显然，点 P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论 .然后，添加适当的辅助线，借助于 (2)中的结论即可解决问题 . 答案 ： (1) 如图 1， ACB 和 DCE 均为等边三角形， CA=CB ， C
26、D=CE， ACB=DCE=90 .ACD=BCE . 在 ACD 和 BCE 中， ， ACDBCE .ADC=BEC . DCE 为等边三角形， CDE=CED=60 . 点 A， D， E 在同一直线上， ADC=120 .BEC=120 .AEB=BEC -CED=60 . 故答案为： 60 . ACDBCE ， AD=BE . 故答案为： AD=BE. (2)AEB=90 ， AE=BE+2CM.理由：如图 2， A CB 和 DCE 均为等腰直角三角形， CA=CB ， CD=CE， ACB=DCE=90 .ACD=BCE . 在 ACD 和 BCE 中， ， ACDBCE .AD
27、=BE ， ADC=BEC . DCE 为等腰直角三角形， CDE=CED=45 . 点 A， D， E 在同一直线上， ADC=135 .BEC=135 . AEB=BEC -CED=90 . CD=CE ， CMDE ， DM=ME . DCE=90 ， DM=ME=CM .AE=AD+DE=BE+2CM . (3)PD=1 ， 点 P 在以点 D 为圆心， 1 为半径的圆上 . BPD=90 ， 点 P 在以 BD 为直径的圆上 . 点 P 是这两圆的交点 . 当点 P 在如图 3 所示位置时，连接 PD、 PB、 PA，作 AHBP ，垂足为 H， 过点 A 作 AEAP ，交 BP
28、于点 E，如图 3 . 四边形 ABCD 是正方形， ADB=45 .AB=AD=DC=BC= ， BAD=90 .BD=2 . DP=1 ， BP= . A 、 P、 D、 B 四点共圆， APB=ADB=45 .PAE 是等腰直角三角形 . 又 BAD 是等腰直角三角形，点 B、 E、 P 共线， AHBP ， 由 (2)中的结论可得： BP=2AH+PD. =2AH+1.AH= . 当点 P 在如图 3 所示位置时，连接 PD、 PB、 PA，作 AHBP ，垂足为 H， 过点 A 作 AEAP ，交 PB 的延长线于点 E，如图 3 . 同理可得： BP=2AH-PD. =2AH-1.
29、AH= . 综上所述：点 A 到 BP 的距离为 或 . 23.(11 分 )如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(-1， 0)， B(5， 0)两点，直线 y=- x+3与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.点 P是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式； (2)若 PE=5EF，求 m 的值； (3)若点 E 是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E 落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利
30、用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)用含 m 的代数式分别表示出 PE、 EF，然后列方程求解； (3)解题关键是识别出四边形 PECE 是菱形，然后根据 PE=CE 的条件，列出方程求解 . 答案 ： (1)将点 A、 B 坐标代入抛物线解析式，得： ，解得 ， 抛物线的解析式为： y=-x2+4x+5. (2) 点 P 的横坐标为 m， P(m ， -m2+4m+5)， E(m， - m+3)， F(m， 0). PE=|y P-yE|=|(-m2+4m+5)-(- m+3)|=|-m2+ m+2|， EF=|yE-yF|=|(- m+3)-0|=|- m+3|. 由题意， PE=5E
31、F，即： |-m2+ m+2|=5|- m+3|=| m+15| 若 -m2+ m+2= m+15，整理得： 2m2-17m+26=0，解得： m=2 或 m= ； 若 -m2+ m+2=-( m+15)，整理得： m2-m-17=0，解得： m= 或 m= . 由题意， m 的取值范围为： -1 m 5，故 m= 、 m= 这两个解均舍去 . m=2 或 m= . (3)假设存在 .作出示意图如下： 点 E、 E 关于直线 PC 对称， 1=2 ， CE=CE ， PE=PE . PE 平行于 y 轴， 1=3 ， 2=3 ， PE=CE ， PE=CE=PE=CE ，即四边形 PECE 是
32、菱形 . 由直线 CD 解析式 y=- x+3，可得 OD=4， OC=3，由勾股定理得 CD=5. 过点 E 作 EMx 轴，交 y 轴于点 M，易得 CEMCDO ， ，即 ，解得 CE= |m|， PE=CE= |m|，又由 (2)可知： PE=|-m2+ m+2| | -m2+ m+2|= |m|. 若 -m2+ m+2= m，整理得： 2m2-7m-4=0，解得 m=4 或 m=- ； 若 -m2+ m+2=- m，整理得： m2-6m-2=0，解得 m=3+ 或 m=3- . 由题意， m 的取值范围为： -1 m 5，故 m=3+ 这个解舍去 . 综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 坐标为 (- ， )， (4， 5)， (3- ， 2-3).
