1、2014 年浙江省丽水市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题,每小题 3分,共 30分 ) 1.(3 分 )在数 , 1, -3, 0 中,最大的数是 ( ) A. B. 1 C. -3 D. 0 解析 :根据正数 0负数,几个正数比较大小时,绝对值越大的正数越大解答即可 . 可得 1 0 -3,所以在 , 1, -3, 0 中,最大的数是 1. 答案: B. 2.(3 分 )下列四个几何体中,主视图为圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : A、圆柱的主视图是长方形,故本选项错误; B、圆锥的主视图是三角形,故本选项错误; C、球的主视图是圆,故本选项正确; D、正方体的主
2、视图是正方形,故本选项错误; 答案: C. 3.(3 分 )下列式子运算正确的是 ( ) A. a8a 2=a6 B. a2+a3=a5 C. (a+1)2=a2+1 D. 3a2-2a2=1 解析 : A、 a8a 2=a6同底数幂的除法,底数不变指数相减;故本选项正确, B、 a2+a3=a5不是同类项不能合并,故本选项错误; C、 (a+1)2=a2+1 完全平方公式漏了 2a,故本选项错误; D、 3a2-2a2=1 合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;故本选项错误; 答案: A. 4.(3 分 )如图,直线 ab , ACAB , AC 交直线 b 于点 C, 1=60 ,则
3、2 的度数是 ( ) A. 50 B. 45 C. 35 D. 30 解析 : 如图 , 直线 ab , 3=1=60 . ACAB , 3+2=90 , 2=90 -3=90 -60=30 , 答案: D. 5.(3 分 )如图,河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 (坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比 ),坝高 BC=3m,则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 9m B. 6m C. m D. m 解析 : 在 RtABC 中, BC=5 米, tanA=1: ; AC=BCtanA=3 米, AB=6 米 . 答案: B. 6.(3 分 )某地区 5 月 3 日至 5 月 9
4、 日这 7 天的日气温最高值统计图如图所示 .从统计图看,该地区这 7 天日气温最高值的众数与中位数分别是 ( ) A. 23, 25 B. 24, 23 C. 23, 23 D. 23, 24 解析 : 观察条形图可得, 23 出现的次数最多,故众数是 23C ; 气温从低到高的第 4 个数据为 23C ,故中位数是 23 ; 答案: C. 点评: 此题考查了条形统计图,考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力 . 7.(3 分 )如图,小红在作线段 AB 的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点 A, B 为圆心,大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧,相交于点 C, D,则直线 C
5、D 即为所求 .连结 AC, BC,AD, BD,根据她的作图方法可知,四边形 ADBC 一定是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 解析 : 分别以 A和 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于 C、 D, AC=AD=BD=BC , 四边形 ADBC 一定是菱形, 答案: B. 8.(3 分 )在同一平面直角坐标系内,将函数 y=2x2+4x-3 的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位得到图象的顶点坐标是 ( ) A. (-3, -6) B. (1, -4) C. (1, -6) D. (-3, -4) 解析 : 函数 y=2x2+4x-3
6、 的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位得到图象y=2(x-2)2+4(x-2)-3-1,即 y=2(x-1)2-6,顶点坐标是 (1, -6), 答案: C. 9.(3 分 )如图,半径为 5 的 A 中,弦 BC, ED 所对的圆心角分别是 BAC , EAD .已知 DE=6,BAC+EAD=180 ,则弦 BC 的弦心距等于 ( ) A. B. C. 4 D. 3 解析 : 作 AHBC 于 H,作直径 CF,连结 BF,如图, BAC+EAD=180 ,而 BAC+BAF=180 , DAE=BAF , 在 ADE 和 ABF 中 , , ADEABF , DE=BF=6
7、 , AHBC , CH=BH ,而 CA=AF, AH 为 CBF 的中位线, AH= BF=3. 答案: D. 10.(3 分 )如图, AB=4,射线 BM 和 AB 互相垂直,点 D 是 AB 上的一个动点,点 E 在射线 BM上, BE= DB,作 EFDE 并截取 EF=DE,连结 AF 并延长交射线 BM 于点 C.设 BE=x, BC=y,则 y 关于 x 的函数解析式是 ( ) A. y=- B. y=- C. y=- D. y=- 解析 : 作 FGBC 于 G, DEB+FEC=90 , DEB+DBE=90 ; BDE=FEG , 在 DBE 与 EGF 中 , , D
8、BEEGF , EG=DB , FG=BE=x, EG=DB=2BE=2x ,GC=y -3x, FGBC , ABBC , FGAB , CG: BC=FG: AB,即 = , y= - . 答案: A. 二、填空题 (本题有 6 小题,每小题 4分,共 24分 ) 11.(4 分 )若分式 有意义,则实数 x 的取值范围是 . 解析 : 分式 有意义, x -50 ,即 x5 . 答案: x5 . 12.(4 分 )写出图象经过点 (-1, 1)的一个函数的解析式是 . 解析 : 将点 (1, 1)代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得: y=-x, y=- , y=-x2等 . 答案
9、: y=-x(答案不唯一 ). 13.(4 分 )如图,在 ABC 中, AB=AC, ADBC 于点 D,若 AB=6, CD=4,则 ABC 的周长是 . 解析 : 在 ABC 中, AB=AC, ABC 是等腰三角形, 又 ADBC 于点 DBD=CD AB=6 , CD=4ABC 的周长 =6+4+4+6=20. 答案: 20. 14.(4 分 )有一组数据如下: 3, a, 4, 6, 7.它们的平均数是 5,那么这组数据的方差为 . 解析 : a=55 -3-4-6-7=5, s2= (3-5)2+(5-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=2. 答案: 2. 15.(
10、4 分 )如图,某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道,使其中两条与 AB平行,另一条与 AD平行,其余部分种花草 .要使每一块花草的面积都为 78m2,那么通道的宽应设计成多少 m?设通道的宽为 xm,由题意列得方程 . 解析 : 设道路的宽为 xm,由题意得: (30-2x)(20-x)=678 , 答案: (30-2x)(20-x)=678 . 16.(4 分 )如图,点 E, F 在函数 y= (x 0)的图象上,直线 EF 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A,B,且 BE: BF=1: m.过点 E 作 EPy 轴于 P,已知 OEP 的面
11、积为 1,则 k 值是 , OEF的面积是 (用含 m 的式子表示 ) 解析 : 作 ECx 轴于 C, FDx 轴于 D, FHy 轴于 H,如图, OEP 的面积为 1, |k|=1,而 k 0, k=2 , 反比例函数解析式为 y= , EPy 轴, FHy 轴, EPFH , BPEBHF , = = ,即 HF=mPE, 设 E 点坐标为 (t, ),则 F 点的坐标为 (tm, ), S OEF +SOFD =SOEC +S 梯形 ECDF,而 SOFD =SOEC =1, S OEF =S 梯形 ECDF= ( + )(tm-t)=( +1)(m-1)= . 答案: 2, . 三
12、、解答题 (本题有 6 小题,共 66 分 ) 17.(6 分 )计算: (- )2+|-4|2 -1-( -1)0. 解析 : 本题涉及零指数幂、负整指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案: 原式 =3+4 -1=4. 18.(6 分 )解一元一次不等式组: ,并将解集在数轴上表示出来 . 解析 : 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可 . 答案:由 得, x -1,由 得, x4 ,故此不等式组的解集为:-1 x4 . 在数轴上表示为: 19.(6 分 )如图,正方形网格中的每个小正方形的边
13、长都是 1,每个小正方形的顶点叫做格点 .ABC 的三个顶点 A, B, C都在格点上,将 ABC 绕点 A顺时针方向旋转 90 得到 ABC (1)在正方形网格中,画出 ABC ; (2)计算线段 AB 在变换到 AB 的过程中扫过区域的面积 . 解析 : (1)根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案; (2)利用勾股定理得出 AB=5,再利用扇形面积公式求出即可 . 答案: (1)如图所示: ABC 即为所求; (2)AB= =5, 线段 AB 在变换到 AB 的过程中扫过区域的面积为: = . 20.(8 分 )学了统计知识后,小刚就本班同学上学 “ 喜欢的出行方式 ” 进行了一
14、次调查 .图 (1)和图 (2)是他根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答以下问题: (1)补全条形统计图,并计算出 “ 骑车 ” 部分所对应的圆心角的度数; (2)如果全年级共 600 名同学,请估算全年级步行上学的学生人数; (3)若由 3 名 “ 喜欢乘车 ” 的学生, 1 名 “ 喜欢步行 ” 的学生, 1 名 “ 喜欢骑车 ” 的学生组队参加一项活动,欲从中选出 2 人担任组长 (不分正副 ),列出所有可能的情况,并求出 2 人都是 “ 喜欢乘车 ” 的学生的概率 . 解析 : (1)从两图中可以看出乘车的有 25 人,占了 50%,所以共有学生 50 人;
15、总人数减乘车的和骑车的就是步行的,根据数据画直方图就可;要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比,然后再求度数; (2)用这 50 人作为样本去估计该年级的步行人数 . (3)5 人每 2 人担任班长,有 10 种情况, 2 人都是 “ 喜欢乘车 ” 的学生的情况有 3种,然后根据概率公式即可求得 . 答案: (1)252=50 人; 50-25-15=10 人; 如图所示条形图, 圆心角度数 = 360=108 ; (2)估计该年级步行人数 =60020%=120 人; (3)设 3 名 “ 喜欢乘车 ” 的学生表示为 A、 B、 C, 1 名 “ 喜欢步行 ” 的学生表示为 D, 1 名
16、“ 喜欢骑车 ” 的学生表示为 E, 则有 AB、 AC、 BC、 AD、 BD、 CD、 AE、 BE、 CE、 DE10 种等可能的情况, 2 人都是 “ 喜欢乘车 ” 的学生的概率 P= . 21.(8 分 )为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买 A, B 两种型号的污水处理设备共 10台 .已知用 90万元购买 A型号的污水处理设备的台数与用 75万元购买 B型号的污水处理 设备的台数相同,每台设备价格及月处理污水量如下表所示: (1)求 m 的值; (2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元,问有多少种购买方案?并求出每月最多处理污水量的吨数
17、. 解析 : (1)根据 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B型号的污水处理设备的台数相同,列出 m 的分式方程,求出 m 的值即可; (2)设买 A 型污水处理设备 x 台, B 型则 (10-x)台,根据题意列出 x 的一元一次不等式,求出 x 的取值范围,进而得出方案的个数,并求出最大值 . 答案: (1)由 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同,即可得: ,解得 m=18, 经检验 m=18 是原方程的解,即 m=18; (2)设买 A 型污水处理设备 x 台, B 型则 (10-x)台, 根
18、据题意得: 18x+15(10-x)165 , 解得 x5 ,由于 x 是整数,则有 6 种方案, 当 x=0 时, y=10,月处理污水量为 1800 吨, 当 x=1 时, y=9,月处理污水量为 220+1809=1840 吨, 当 x=2 时, y=8,月处理污水量为 2202+1808=1880 吨, 当 x=3 时, y=7,月处理污水量为 2203+1807=1920 吨, 当 x=4 时, y=6,月处理污水量为 2204+1806=1960 吨, 当 x=5 时, y=5,月处理污水量为 2205+1805=2000 吨, 答:有 6 种购买方案,每月最多处理污水量的吨数为
19、2000 吨 . 22.(10 分 )如图,已知等边 ABC , AB=12,以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D,过点 D作DFAC ,垂足为 F,过点 F 作 FGAB ,垂足为 G,连结 GD. (1)求证: DF 是 O 的切线; (2)求 FG 的长; (3)求 tanFG D 的值 . 解析 : (1)连结 OD,根据等边三角形的性质得 C=A=B=60 ,而 OD=OB,所以ODB=60=C ,于是可判断 ODAC ,又 DFAC ,则 ODDF ,根据切线的判定定理可得 DF是 O 的切线; (2)先证明 OD 为 ABC 的中位线,得到 BD=CD=6.在 RtCDF
20、 中,由 C=60 ,得 CDF=30 ,根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 CF= CD=3,所以 AF=AC-CF=9,然后在 RtAFG 中,根据正弦的定义计算 FG 的长; (3)过 D 作 DHAB 于 H,由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 FGDH ,根据平行线的性质可得 FGD=GDH .解 RtBDH ,得 BH= BD=3, DH= BH=3 .解 RtAFG ,得 AG= AF=,则 GH=AB-AG-BH= ,于是根据正切函数的定义得到 tanGDH= = ,则 tanFGD 可求 . 答案: (1)证 连结 OD,如图, ABC 为等边三角形, C=A=B=
21、60 ,而 OD=OB, ODB 是等边三角形, ODB=60 , ODB=C , ODAC , DFAC , ODDF , DF 是 O 的切线; (2)ODAC ,点 O 为 AB 的中点, OD 为 ABC 的中位线, BD=CD=6 . 在 RtCDF 中, C=60 , CDF=30 , CF= CD=3, AF=AC -CF=12-3=9, 在 RtAFG 中, A=60 , FG=AFsinA=9 = ; (3)过 D 作 DHAB 于 H. FGAB , DHAB , FGDH , FGD=GDH . 在 RtBDH 中, B=60 , BDH=30 , BH= BD=3, D
22、H= BH=3 . 在 RtAFG 中, AFG=30 , AG= AF= , GH=AB -AG-BH=12- -3= , tanGDH= = = , tanFGD=tanGDH= . 23.(10 分 )提出问题: (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E, H 分别在 BC, AB 上,若 AEDH 于点 O,求证: AE=DH; 类比探究: (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,点 H, E, G, F 分别在 AB, BC, CD, DA 上,若 EFHG 于点 O,探究线段 EF 与 HG 的数量关系,并说明理由; 综合运用: (3)在 (2)问条件下, HFGE ,如图
23、3 所示,已知 BE=EC=2, EO=2FO,求图中阴影部分的面积 . 解析 : (1)由正方形的性质得 AB=DA, ABE=90=DAH .所以 HAO+OAD=90 ,又知ADO+OAD=90 ,所以 HAO=ADO ,于是 ABEDAH 可得 AE=DH; (2)EF=GH.将 FE 平移到 AM 处,则 AMEF , AM=EF,将 GH 平移到 DN 处,则 DNGH , DN=GH.根据 (1)的结论得 AM=DN,所以 EF=GH; (3)易得 AHFCGE ,所以 ,由 EC=2 得 AF=1,过 F 作 FPBC 于 P,根据勾股定理得 EF= ,因为 FHEG ,所以
24、根据 (2) 知 EF=GH,所以 FO=HO,再求得三角形 FOH 与三角形 EOG 的面积相加即可 . 答案: (1) 四边形 ABCD 是正方形, AB=DA , ABE=90=DAH .HAO+OAD=90 . AEDH , ADO+OAD=90 .HAO=ADO .ABEDAH (ASA), AE=DH . (2)EF=GH. 将 FE 平移到 AM 处,则 AMEF , AM=EF. 将 GH 平移到 DN 处,则 DNGH , DN=GH. EFGH , AMDN ,根据 (1)的结论得 AM=DN,所以 EF=GH; (3) 四边形 ABCD 是正方形, ABCDAHO=CGO
25、 FHEGFHO=EGOAHF=CGEAHFCGE EC=2AF=1 过 F 作 FPBC 于 P, 根据勾股定理得 EF= , FHEG , 根据 (2) 知 EF=GH, FO=HO . , , 阴影部分面积为 . 24.(12 分 )如图,二次函数 y=ax2+bx(a0 )的图象经过点 A(1, 4),对称轴是直线 x=- ,线段 AD 平行于 x 轴,交抛物线于点 D.在 y 轴上取一点 C(0, 2),直线 AC 交抛物线于点 B,连结 OA, OB, OD, BD. (1)求该二次函数的解析式; (2)求点 B 坐标和坐标平面内使 EODAOB 的点 E 的坐标; (3)设点 F
26、 是 BD 的中点,点 P 是线段 DO 上的动点,问 PD 为何值时,将 BPF 沿边 PF 翻折,使 BPF 与 DPF 重叠部分的面积是 BDP 的面积的 ? 解析 : (1)运用待定系数法和对称轴的关系式求出 a、 b 的即可; (2)由待定系数法求出直线 AC 的解析式,由抛物线的解析式构成方程组就可以求出 B 点的坐标,由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出 E 的坐标; (3)分情况讨论当点 B 落在 FD 的左下方,点 B, D 重合,点 B 落在 OD 的右上方,由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论 . 答案: (1)y=ax 2+bx(a0 )的图象经过点
27、A(1, 4),且对称轴是直线 x=- , ,解得: , 二次函数的解析式为 y=x2+3x; (2)如图 1, 点 A(1, 4),线段 AD 平行于 x 轴, D 的纵坐标为 4, 4=x 2+3x, x 1=-4, x2=1, D (-4,4). 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,由题意,得 ,解得: , y=2x+2 ; 当 2x+2=x2+3x 时,解得: x1=-2, x2=1(舍去 ).y= -2.B (-2, -2). DO=4 , BO=2 , BD=2 , OA= .DO 2=32, BO2=8, BD2=40, BO 2+BO2=BD2, BDO为直角三角形 . E
28、ODAOB , EOD=AOB , , EOD -AOB=AOB -AOB ,BOD=AOE=90 . 即把 AOB 绕着 O 点顺时针旋转 90 , OB 落在 OD 上 B , OA 落在 OE 上 A1, A 1(4, -1), E (8, -2). 作 AOB 关于 x 轴的对称图形,所得点 E 的坐标为 (2, -8). 当点 E 的坐标是 (8, -2)或 (2, -8)时, EODAOB ; (3)由 (2)知 DO=4 , BO=2 , BD=2 , BOD=90 . 若翻折后,点 B 落在 FD 的左下方,如图 2. SHFP = SBDP = SDPF = SBPF =SD
29、HP =SBHF , DH=HF , BH=PH , 在平行四边形 BFPD 中, PD=BF=BF= BD= ; 若翻折后,点 B, D 重合, SHFP= SBDP ,不合题意,舍去 . 若翻折后,点 B 落在 OD 的右上方,如图 3, SHFP = SBDP = SBPF = SDPF = SBPF =SDHF =SBHP , BP=BP , BF=BF .DH=HP, BH=HF , 四边形 DFPB 是平行四边形, BP=DF=BF , BP=BP=BF=BF , 四边形 BFPD 是菱形, FD=BP=BP= BD= ,根据勾股定理,得 OP2+OB2=BP2, (4 -PD)2+(2 )2=( )2, PD=3 , PD=5 4 (舍去 ), 综上所述, PD= 或 PD=3 时,将 BPF 沿边 PF 翻折,使 BPF 与 DPF 重叠部分的面积是 BDP 的面积的 .