2014年浙江省义乌市中考真题数学.docx

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1、2014 年浙江省义乌市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题,每小题 3 分,满分 30分 ) 1.(3 分 )在数 1, 0, -1, -2 中,最小的数是 ( ) A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 解析 : -2 -1 0 1, 答案: D. 2.(3 分 )如图,经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,能解释这一实际应用的数学知识是 ( ) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 解析 : 经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,此操作的依据是两点确定

2、一条直线 . 答案: A. 3.(3 分 )一个几何体的三视图如图,那么这个几何体是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 由于俯视图为圆形可得几何体为球、圆柱或圆锥,再根据主视图和左视图可知几何体为圆柱与圆锥的组合体 . 答案: D. 4.(3 分 )一个布袋里装有 5 个球,其中 3 个红球, 2 个白球,每个球除颜色外其他完全相同,从中任意摸出一个球,是红球的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 布袋里装有 5 个球,其中 3 个红球, 2 个白球, 从中任意摸出一个球,则摸出的球是红球的概率是: . 答案: D. 5.(3 分 )在式子 , , , 中, x 可以取 2

3、 和 3 的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : A、 的分母不可以为 0,即 x-20 ,解得: x2 ,故 A 错误; B、 的分母不可以为 0,即 x-30 ,解得: x3 ,故 B 错误; C、被开方数大于等于 0,即 x-20 ,解得: x2 ,则 x 可以取 2 和 3,故 C 正确; D、被开方数大于等于 0,即 x-30 ,解得: x3 , x 不能取 2,故 D 错误 . 答案: C. 6.(3 分 )如图,点 A(t, 3)在第一象限, OA 与 x 轴所夹的锐角为 , tan= ,则 t 的值是( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 解析 : 点 A(

4、t, 3)在第一象限, AB=3 , OB=t, 又 tan= = , t=2 . 答案: C. 点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边, 7.(3 分 )把代数式 2x2-18 分解因式,结果正确的是 ( ) A. 2(x2-9) B. 2(x-3)2 C. 2(x+3)(x-3) D. 2(x+9)(x-9) 解析 : 2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3). 答案: C. 8.(3 分 )如图,将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90 ,得到 ABC ,连接 AA ,若1=20 ,则 B 的度数是 ( ) A. 70 B.

5、65 C. 60 D. 55 解析 : RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90 得到 ABC , AC=AC , ACA 是等腰直角三角形, CAA=45 , ABC=1+CAA=20+45=65 , 由旋转的性质得 B=ABC=65 . 答案: B. 9.(3 分 )如图是二次函数 y=-x2+2x+4 的图象,使 y1 成立的 x的取值范围是 ( ) A. -1x3 B. x -1 C. x1 D. x -1 或 x3 解析 :由图可知, x -1 或 x3 时, y1 . 答案: D. 10.(3 分 )一张圆心角为 45 的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形,边长都为

6、 1,则扇形和圆形纸板的面积比是 ( ) A. 5: 4 B. 5: 2 C. : 2 D. : 解析 :如图 1,连接 OD, 四边形 ABCD 是正方形, DCB=ABO=90 , AB=BC=CD=1, AOB=45 , OB=AB=1 ,由勾股定理得: OD= = , 扇形的面积是 = ; 如图 2,连接 MB、 MC, 四边形 ABCD 是 M 的内接四边形,四边形 ABCD 是正方形, BMC=90 , MB=MC,MCB=MBC=45 , BC=1 , MC=MB= , M 的面积是 ( )2= , 扇形和圆形纸板的面积比是 ( )= . 答案: A. 二、填空题 (共 6 小题

7、,每小题 4 分,满分 24分 ) 11.(4 分 )写出一个解为 x1 的一元一次不等式 . 解析 : 解为 x1 的一元一次不等式有: x+12 , x-10 等 . 答案: x+12 . 12.(4 分 )分式方程 =1 的解是 . 解析 : 去分母得: 2x-1=3,解得: x=2,经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案: x=2. 13.(4 分 )小明从家跑步到学校,接着马上原路步行回家 .如图是小明离家的路程 y(米 )与时间 t(分 )的函数图象,则小明回家的速度是每分钟步行 米 . 解析 :通过读图可知:小明家距学校 800 米,小明从学校步行回家的时间是 15-5=10(

8、分 ), 所以小明回家的速度是每分钟步行 80010=80 (米 ). 答案: 80. 14.(4 分 )小亮对 60 名同学进行节水方法选择的问卷调查 (每人选择一项 ),人数统计如图,如果绘制成扇形统计图,那么表示 “ 一水多用 ” 的扇形圆心角的度数是 . 解析 :表示 “ 一水多用 ” 的扇形圆心角的度数是 360 =240 , 答案: 240 . 15.(4 分 )如图,矩形 ABCD 中, AB=8,点 E是 AD 上的一点,有 AE=4, BE 的垂直平分线交 BC的延长线于点 F,连结 EF 交 CD 于点 G.若 G是 CD的中点,则 BC的长是 . 解析 : 矩形 ABCD

9、 中, G 是 CD 的中点, AB=8, CG=DG= 8=4 , 在 DEG 和 CFG 中, , DEGCFG (ASA), DE=CF , EG=FG, 设 DE=x,则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x, 在 RtDEG 中, EG= = , EF=2 , FH 垂直平分 BE, BF=EF , 4+2x=2 ,解得 x=3, AD=AE+DE=4+3=7 , BC=AD=7 . 答案: 7. 16.(4分 )如图 2是装有三个小轮的手拉车在 “ 爬 ” 楼梯时的侧面示意图,定长的轮架杆 OA,OB, OC 抽象为线段,有 OA=OB=OC,且 AOB=120 ,折

10、线 NG-GH-HE-EF 表示楼梯, GH, EF是水平线, NG, HE 是铅垂线,半径相 等的小轮子 A , B 与楼梯两边都相切,且 AOGH . (1)如图 2 ,若点 H 在线段 OB 时,则 的值是 ; (2)如果一级楼梯的高度 HE=(8 +2)cm,点 H 到线段 OB 的距离 d 满足条件 d3cm ,那么小轮子半径 r 的取值范围是 . 解析 : (1)如图 2 , P 为 B 的切点,连接 BP 并延长,作 OLBP 于点 L,交 GH于点 M, BPH=BPL=90 , AOGH , BLAOGH , AOB=120 , OBL=60 , 在 RTBPH 中, HP=

11、 BP= r, ML=HP= r, OM=r, BLGH , = = = , 答案: . (2)作 HDOB , P 为切点,连接 BP, PH 的延长线交 BD 延长线于点 L, LDH=LPB=90 , LDHLPB , = , AOPB , AOD=120 , B=60 , BLP=30 , DL= DH, LH=2DH, HE= (8 +2)cmHP=8 +2-r, PL=HP+LH=8 +2-r+2DH, = ,解得 DH= r-4 -1, 0cmDH3cm , 0 r-4 -13 ,解得: (11-3 )cmr8cm . 答案: (11-3 )cmr8cm . 三、解答题 (共 8

12、 小题,满分 66 分 ) 17.(6 分 )计算: -4cos45+ ( )-1+|-2|. 解析 : 原式第一项化为最简二次根式,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用负指数幂法则计算,最后一项利用绝对值法则计算即可得到结果 . 答案: 原式 =2 -4 +2+2=4. 18.(6 分 )先化简,再求值: (x+5)(x-1)+(x-2)2,其中 x=-2. 解析 :原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并得到最简结果,将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案: 原式 =x2-x+5x-5+x2-4x+4=2x2-1, 当 x=-2 时, 原式

13、=8-1=7. 19.(6 分 )在棋盘中建立如图的直角坐标系,三颗棋子 A, O, B 的位置如图,它们分别是 (-1,1), (0, 0)和 (1, 0). (1)如图 2,添加棋子 C,使 A, O, B, C 四颗棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴; (2)在其他格点位置添加一颗棋子 P,使 A, O, B, P 四颗棋子成为一个轴对称图形,请直接写出棋子 P 的位置的坐标 .(写出 2 个即可 ) 解析 : (1)根据 A, B, O, C 的位置,结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可; (2)利用轴对称图形的性质得出 P 点位置 . 答案: (1)如图 2 所示,

14、 C 点的位置为 (-1, 2), A, O, B, C 四颗棋子组成等腰梯形,直线 l为该图形的对称轴; (2)如图 1 所示: P(0, -1), P (-1, -1)都符合题意 . 20.(8 分 )一种长方形餐桌的四周可坐 6 人用餐,现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接 . (1)若把 4 张、 8 张这样的餐桌拼接起来,四周分别可坐多少人? (2)若用餐的人数有 90 人,则这样的餐桌需要多少张? 解析 : (1)根据图形可知,每张桌子有 4 个座位,然后再加两端的各一个,于是 n 张桌子就有 (4n+2)个座位;由此进一步求出问题即可; (2)由 (1)中的规律列方程解答即可

15、. 答案: (1)1 张长方形餐桌的四周可坐 4+2=6 人, 2 张长方形餐桌的四周可坐 42+2=10 人, 3 张长方形餐桌的四周可坐 43+2=14 人, n 张长方形餐桌的四周可坐 4n+2 人; 所以 4 张长方形餐桌的四周可坐 44+2=18 人, 8 张长方形餐桌的四周可坐 48+2=34 人 . (2)设这样的餐桌需要 x 张,由题意得 4x+2=90, 解得 x=22, 答:这样的餐桌需要 22 张 . 21.(8 分 )九 (3)班为了组队参加学校举行的 “ 五水共治 ” 知识竞赛,在班里选取了若干名学生,分成人数相同的甲、乙两组,进行了四次 “ 五水共治 ” 模拟竞赛,

16、成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图 . 根据统计图,解答下列问题: (1)第三次成绩的优秀率是多少?并将条形统计图补充完整; (2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数 =7,方差 =1.5,请通过计算说明,哪一组成绩优秀的人数较稳定? 解析 : (1)利用优秀率求得总人数,根据优秀率 =优秀人数除以总人数计算; (2)先根据方差的定义求得乙班的方差,再根据方差越小成绩越稳定,进行判断 . 答案: (1)总人数: (5+6)55%=20 (人 ), 第三次的优秀率: (8+5)20100%=65% , 第四次乙组的优秀人数为: 2085% -8=17-8=9(人 ). 补全条形统计图,如图所

17、示: (2) =(6+8+5+9)4=7 , S2 乙组 = (6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2=2.5, S2 甲组 S2 乙组 ,所以甲组成绩优秀的人数较稳定 . 22.(10 分 )【合作学习】 如图,矩形 ABCD的两边 OB, OD都在坐标轴的正半轴上, OD=3,另两边与反比例函数 y= (k0 )的图象分别相交于点 E, F,且 DE=2.过点 E 作 EHx 轴于点 H,过点 F 作 FGEH 于点 G.回答下面的问题: 该反比例函数的解析式是什么? 当四边形 AEGF 为正方形时,点 F 的坐标时多少? (1)阅读合作学习内容,请解答其中的问题; (2)小

18、亮进一步研究四边形 AEGF 的特征后提出问题: “ 当 AE EG 时,矩形 AEGF 与矩形 DOHE能否全等?能否相似? ” 针对小亮提出的问题,请你判断这两个矩形能否全等?直接写出结论即可;这两个矩形能否相似?若能相似,求出相似比;若不能相似,试说明理由 . 解析 : (1) 先根据矩形的性质得到 D(2, 3),然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出 k=6,则得到反比例函数解析式为 y= ; 设正方形 AEGF 的边长为 a,则 AE=AF=6,根据坐标与图形的关系得到 B(2+a, 0), A(2+a,3),所以 F 点坐标为 (2+a, 3-a),于是利用反比例函数图象上点

19、的坐标特征得 (2+a)(3-a)=6,然后解一元二次方程可确定 a 的值,从而得到 F 点坐标; (2)当 AE EG 时,假设矩形 AEGF 与矩形 DOHE 全等,则 AE=OD=3, AF=DE=2,则得到 F 点坐标为 (3, 3),根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点 F(3, 3)不在反比例函数 y= 的图象上,由此得到矩形 AEGF 与矩形 DOHE 不能全等; 当 AE EG 时,若矩形 AEGF 与矩形 DOHE 相似,根据相似的性质得 AE: OD=AF: DE,即 = ,设 AE=3t,则 AF=2t,得到 F 点坐标为 (2+3t, 3-2t), 利用反比例函数图

20、象上点的坐标特征得 (2+3t)(3-2t)=6,解得 t1=0(舍去 ), t2= ,则 AE=3t=,于是得到相似比 = = . 答案: (1) 四边形 ABOD 为矩形, EHx 轴, 而 OD=3, DE=2, E 点坐标为 (2, 3), k=23=6 , 反比例函数解析式为 y= (x 0); 设正方形 AEGF 的边长为 a,则 AE=AF=6, B 点坐标为 (2+a, 0), A 点坐标为 (2+a, 3), F 点坐标为 (2+a, 3-a),把 F(2+a, 3-a)代入 y= 得 (2+a)(3-a)=6,解得 a1=1, a2=0(舍去 ), F 点坐标为 (3, 2

21、); (2)当 AE EG 时,矩形 AEGF 与矩形 DOHE 不能全等 .理由如下: 假设矩形 AEGF 与矩形 DOHE 全等,则 AE=OD=3, AF=DE=2, A 点坐标为 (5, 3), F 点坐标为 (3, 3),而 33=96 , F 点不在反比例函数 y= 的图象上, 矩形 AEGF 与矩形 DOHE 不能全等; 当 AE EG 时,矩形 AEGF 与矩形 DOHE 能相似 . 矩形 AEGF 与矩形 DOHE 能相似, AE : OD=AF: DE, = = , 设 AE=3t,则 AF=2t, A 点坐标为 (2+3t, 3), F 点坐标为 (2+3t, 3-2t)

22、, 把 F(2+3t, 3-2t)代入 y= 得 (2+3t)(3-2t)=6,解得 t1=0(舍去 ), t2= , AE=3t= , 相似比 = = = . 23.(10 分 )等边三角形 ABC 的边长为 6,在 AC, BC 边上各取一点 E, F,连接 AF, BE 相交于点 P. (1)若 AE=CF; 求证: AF=BE,并求 APB 的度数; 若 AE=2,试求 AP AF 的值; (2)若 AF=BE,当点 E 从点 A 运动到点 C 时,试求点 P 经过的路径长 . 解析 : (1) 证明 ABECAF ,借用外角即可以得到答案; 利用勾股定理求得 AF 的长度,再用平行线

23、分线段成比例定理或者三角形相似定理求得 的比值,即可以得到答案 . (2)当点 F 靠近点 C 的时候点 P 的路径是一段弧,由题目不难看出当 E 为 AC 的中点的时候,点 P 经过弧 AB 的中点,此时 ABP 为等腰三角形,继而求得半径和对应的圆心角的度数,求得答案 .点 F 靠近点 B 时,点 P 的路径就是过点 B向 AC做的垂线段的长度; 答案: (1)ABC 为等边三角形, AB=AC , C=CAB=60 , 又 AE=CF , 在 ABE 和 CAF 中, , ABECAF (SAS), AF=BE , ABE=CAF . 又 APE=BPF=ABP+BAP , APE=BA

24、P+CAF=60 .APB=180 -APE=120 . C=APE=60 , PAE=CAF , APEACF , ,即 ,所以 AP AF=12. (2)若 AF=BE,有 AE=BF 或 AE=CF 两种情况 . 当 AE=CF 时,点 P 的路径是一段弧,由题目不难看出当 E 为 AC的中点的时候,点 P经过弧 AB 的中点,此时 ABP 为等腰三角形,且 ABP=ABP=30 , AOB=120 , 又 AB=6 , OA= ,点 P 的路径是 . 当 AE=BF 时,点 P 的路径就是过点 B 向 AC做的垂线段的长度;因为等边三角形 ABC的边长为 6,所以点 P 的路径的长度为

25、: . 所以 点 P 经过的路径长为 或 3 . 24.(12 分 )如图,直角梯形 ABCO 的两边 OA, OC 在坐标轴的正半轴上, BCx 轴, OA=OC=4,以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A, B, C 三点 . (1)求该抛物线的函数解析式; (2)已知直线 l 的解析式为 y=x+m,它与 x 轴交于点 G,在梯形 ABCO的一边上取点 P. 当 m=0 时,如图 1,点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点,过点 P 作 PH 直线 l于点 H,连结 OP,试求 OPH 的面积; 当 m=-3 时,过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线,垂足为点 E, F.是否存在这

26、样的点 P,使以 P, E, F 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 . 解析 : (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2) 如答图 1,作辅助线,利用关系式 SOPH =SOMH -SOMP 求解; 本问涉及复杂的分类讨论,如答图 2 所示 .由于点 P 可能在 OC、 BC、 BK、 AK、 OA 上,而等腰三角形本身又有三种情形,故讨论与计算的过程比较复杂,需要耐心细致、考虑全面 . 答案: (1)由题意得: A(4, 0), C(0, 4),对称轴为 x=1. 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,则有: ,解得 , 抛物线的函数解

27、析式为: y=- x2+x+4. (2) 当 m=0 时,直线 l: y=x. 抛物线对称轴为 x=1, CP=1 . 如答图 1,延长 HP 交 y 轴于点 M,则 OMH 、 CMP 均为等腰直角三角形 . CM=CP=1 , OM=OC+CM=5 . SOPH =SOMH -SOMP = ( OM)2- OM OP= ( 5 )2- 51= - = , S OPH = . 当 m=-3 时,直线 l: y=x-3. 设直线 l 与 x 轴、 y 轴交于点 G、点 D,则 G(3, 0), D(-3, 0).假设存在满足条件的点 P. a)当点 P 在 OC 边上时,如答图 2-1 所示,

28、此时点 E与点 O重合 . 设 PE=a(0 a4 ),则 PD=3+a, PF= PD= (3+a). 过点 F 作 FNy 轴于点 N,则 FN=PN= PF, EN=|PN -PE|=| PF-PE|. 在 RtEFN 中,由勾股定理得: EF= = . 若 PE=PF,则: a= (3+a),解得 a=3( +1) 4,故此种情形不存在; 若 PF=EF,则: PF= ,整理得 PE= PF,即 a=3+a,不成立,故此种情形不存在; 若 PE=EF,则: PE= ,整理得 PF= PE,即 (3+a)= a,解得a=3.P 1(0, 3). b)当点 P 在 BC 边上时,如答图 2

29、-2 所示,此时 PE=4. 若 PE=PF,则点 P 为 OGD 的角平分线与 BC 的交点,有 GE=GF,过点 F 分别作 FHPE 于点 H,FKx 轴于点 K, OGD=135 , EPF=45 ,即 PHF 为等腰直角三角形, 设设 GE=GF=t,则 GK=FK=EH= t, PH=HF=EK=EG+GK=t= t, PE=PH+EH=t+ t+ t=4, 解得 t=4 -4,则 OE=3-t=7-4 , P 2(7-4 , 4), c)A (4, 0), B(2, 4), 可求得直线 AB 解析式为: y=-2x+8; 联立 y=-2x+8 与 y=x-3,解得 x= , y=

30、 . 设直线 BC 与直线 l 交于点 K,则 K( , ). 当点 P 在线段 BK 上时,如答图 2-3 所示 . 设 P(a, 8-2a)(2a ),则 Q(a, a-3), PE=8 -2a, PQ=11-3a, PF= (11-3a). 与 a)同理,可求得: EF= . 若 PE=PF,则 8-2a= (11-3a),解得 a=1-2 0,故此种情形不存在; 若 PF=EF,则 PF= ,整理得 PE= PF,即 8-2a= (11-3a),解得 a=3,符合条件,此时 P3(3, 2); 若 PE=EF,则 PE= ,整理得 PF= PE,即 (11-3a)= (8-2a),解得

31、 a=5 ,故此种情形不存在 . d)当点 P 在线段 KA 上时,如答图 2-4 所示 . PE 、 PF 夹角为 135 , 只可能是 PE=PF 成立 . 点 P 在 KGA 的平分线上 . 设此角平分线与 y 轴交于点 M,过点 M 作 MN 直线 l于点 N,则 OM=MN, MD= MN, 由 OD=OM+MD=3,可求得 M(0, 3-3 ). 又 G(3, 0),可求得直线 MG 的解析式为: y=( -1)x+3-3 . 联立直线 MG: y=( -1)x+3-3 与直线 AB: y=-2x+8,可求得: P4(1+2 , 6-4 ). e)当点 P 在 OA 边上时,此时 PE=0,等腰三角形不存在 . 综上所述,存在满足条件的点 P,点 P 坐标为: (0, 3)、 (3, 2)、 (7-4 , 4)、 (1+2 ,6-4 ).

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