2014年浙江省宁波市中考真题数学.docx

1、2014 年浙江省宁波市中考真题数学 一、选择题 (每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ) 1.(4 分 )下列各数中，既不是正数也不是负数的是 ( ) A. 0 B. -1 C. D. 2 解析 ： 0 既不是正数也不是负数， 答案： A. 2.(4 分 )宁波轨道交通 1 号线、 2 号线建设总投资 253.7 亿元，其中 253.7亿用科学记数法表示为 ( ) A. 253.710 8 B. 25.3710 9 C. 2.53710 10 D. 2.53710 11 解析 ： 253.7 亿 =253 7000 0000=2.53710 10，

2、答案： C. 3.(4 分 )用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A.当长方形如 A 所示对折时，其重叠部分两角的和一个顶点处小于 90 ，另一顶点处大于 90 ，故本选项错误； B.当如 B 所示折叠时，其重叠部分两角的和小于 90 ，故本选项错误； C.当如 C 所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，故本选项错误； D.当如 D 所示折叠时，两角的和是 90 ，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，正确 . 答案： D. 4.(4 分 )杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以 5 千克为基准，超过的千克数记为正数，不足

3、的千克数记为负数，记录如图，则这 4 筐杨梅的总质量是 ( ) A. 19.7 千克 B. 19.9 千克 C. 20.1 千克 D. 20.3 千克 解析 ： (-0.1-0.3+0.2+0.3)+54=20.1 (千克 )， 答案： C. 5.(4 分 )圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则此圆锥的侧面积是 ( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 解析 ：此圆锥的侧面积 = 4 2 2=8 . 答案： B. 6.(4 分 )菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的边长是 ( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AC=8，

4、 BD=6， OB=OD=3 ， OA=OC=4， ACBD ， 在 RtAOB 中，由勾股定理得： AB= = =5， 即菱形 ABCD 的边长 AB=BC=CD=AD=5， 答案： D. 7.(4 分 )如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C，使 ABC 为直角三角形的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图， C1， C2， C3， C4均可与点 A 和 B 组成直角三角形 .P= ， 答案： D. 8.(4 分 )如图，梯形 ABCD 中， ADBC ， B=ACD=90 ， AB=2， DC=3，则 ABC

5、与 DCA 的面积比为 ( ) A. 2： 3 B. 2： 5 C. 4： 9 D. ： 解析 ： ADBC ， ACB=DAC 又 B=ACD=90 ， CBAACD = = ， AB=2， DC=3， = = = ， = ， COSACB= = ， COSDAC= = = = ， = ， ABC 与 DCA 的面积比 = ， ABC 与 DCA 的面积比 = ， 答案： C. 9.(4 分 )已知命题 “ 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，当 b 0 时必有实数解 ” ，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ( ) A. b=-1 B. b=2 C. b=-2 D. b=0

6、解析 ： =b 2-4，由于当 b=-1 时，满足 b 0，而 0，方程没有实数解，所以当 b=-1 时，可说明这个命题是假命题 . 答案： A. 10.(4 分 )如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥 .如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有 12 条棱 .下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是 ( ) A. 五棱柱 B. 六棱柱 C. 七棱柱 D. 八棱柱 解析 ： 九棱锥侧面有 9 条棱，底面是九边形，也有 9 条棱，共 9+9=18 条棱， A、五棱柱共 15 条棱，故此选项错误； B、六棱柱共 18 条棱，故此选项正确； C、七棱柱共 2

7、1 条棱，故此选项错误； D、九棱柱共 27 条棱，故此选项错误； 答案： B. 11.(4 分 )如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D在 CG 上， BC=1， CE=3， H是 AF 的中点，那么 CH 的长是 ( ) A. 2.5 B. C. D. 2 解析 ： 如图，连接 AC、 CF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中， BC=1， CE=3， AC= ， CF=3 ， ACD=GCF=45 ，ACF=90 ， 由勾股定理得， AF= = =2 ， H 是 AF 的中点， CH= AF= 2 = . 答案： B. 12.(4 分 )已知点 A(a-2b， 2

8、-4ab)在抛物线 y=x2+4x+10 上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为 ( ) A. (-3， 7) B. (-1， 7) C. (-4， 10) D. (0， 10) 解析 ： 点 A(a-2b， 2-4ab)在抛物线 y=x2+4x+10 上， (a-2b)2+4 (a-2b)+10=2-4ab， a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab， (a+2)2+4(b-1)2=0， a+2=0 ， b-1=0，解得 a=-2， b=1， a -2b=-2-21= -4， 2-4ab=2-4 (-2)1=10 ， 点 A 的坐标为 (-4， 10)， 对称轴为直线 x=-

9、 =-2， 点 A 关于对称轴的对称点的坐标为 (0， 10). 答案： D. 二、填空题 (每小题 4 分，共 24 分 ) 13.(4 分 )-4 的绝对值是 . 解析 ： |-4|=4. 14.(4 分 )方程 = 的根 x= . 解析 ： 去分母得： x=-1， 经检验 x=-1 是分式方程的解 . 答案： -1. 15.(4 分 )某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图，其中售出红豆口味的雪糕 200 支，那么售出水果口味雪糕的数量是 支 . 解析 ： 观察扇形统计图知：售出红豆口味的雪糕 200 支，占 40%， 售出雪糕总量为20040%=500 支， 水果口味的占 3

10、0%， 水果口味的有 50030%=150 支， 答案： 150. 16.(4 分 )一个大正方形和四个全等的小正方形按图 、 两种方式摆放，则图 的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 (用 a、 b 的代数式表示 ). 解析 ： 设大正方形的边长为 x1，小正方形的边长为 x2，由图 和 列出方程组得，解得， 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积 =( )2-4 ( )2=ab. 答案： ab. 17.(4 分 )为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45 角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位

11、.( 1.4 ) 解析 ： 如图， BC=2.2sin45=2.2 1.54 米， CE=5sin45=5 3.5 米， BE=BC+CE5.04 ， EF=2.2sin45=2.2 3.14 米， (56-5.04)3.14+1 =50.963.14+116+1=17 (个 ). 故这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位 . 答案： 17. 18.(4 分 )如图，半径为 6cm 的 O 中， C、 D 为直径 AB 的三等分点，点 E、 F 分别在 AB 两侧的半圆上， BCE=BDF=60 ，连接 AE、 BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2. 解析 ： 如图作 DBF 的轴对称

12、图形 HAG ，作 AMCG ， ONCE ， DBF 的轴对称图形 HAG ， ACGBDF ， ACG=BDF=60 ， ECB=60 ， G 、 C、 E 三点共线， AMCG ， ONCE ， AMON ， = = ， 在 RTONC 中， OCN=60 ， ON=sinOCN OC= OC， OC= OA=2， ON= ， AM=2 ， ONGE ， NE=GN= GE， 连接 OE，在 RTONE 中， NE= = = ， GE=2NE=2 ， S AGE = GE AM= 2 2 =6 ， 图中两个阴影部分的面积为 6 ， 答案： 6 . 三、解答题 (本大题有 8 小题，共 7

13、8 分 ) 19.(6 分 )(1)化简： (a+b)2+(a-b)(a+b)-2ab； (2)解不等式： 5(x-2)-2(x+1) 3. 解析 ： (1)先运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可； (2)先去括号，再移项、合并同类项 . 答案： (1)原式 =a2+2ab+b2+a2-b2-2ab=2a2； (2)去括号，得 5x-10-2x-2 3， 移项、合并同类项得 3x 15， 系数化为 1，得 x 5. 20.(8 分 )作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年 4月份中的 7 天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图： (1)求这 7

14、 天日租车量的众数、中位数和平均数； (2)用 (1)中的平均数估计 4 月份 (30 天 )共租车多少万车次； (3)市政府在公共自行车建设项目中共投入 9600 万元，估计 2014 年共租车 3200 万车次，每车次平均收入租车费 0.1 元，求 2014 年租车费收入占总投入的百分率 (精确到 0.1%). 解析 ： (1)找出租车量中车次最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，找出中间的数即为中位数，求出数据的平均数即可； (2)由 (1)求出的平均数乘以 30 即可得到结果； (3)求出 2014 年的租车费，除以总投入即可得到结果 . 答案： (1)根据条形统计图得：出现次数

15、最多的为 8，即众数为 8； 将数据按照从小到大顺序排列为： 7.5， 8， 8， 8， 9， 9， 10，中位数为 8； 平均数为 (7.5+8+8+8+9+9+10)7=8.5 ； (2)根据题意得： 308.5=255 (万车次 )，则估计 4 月份 (30 天 )共租车 255 万车次； (3)根据题意得： = 3.3% ，则 2014 年租车费收入占总投入的百分率为 3.3%. 21.(8分 )如图，从 A地到 B地的公路需经过 C地，图中 AC=10千米， CAB=25 ， CBA=37 ，因城市规划的需要，将在 A、 B 两地之间修建一条笔直的公路 . (1)求改直的公路 AB

16、的长； (2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？ (sin250.42 ， cos250.91 ， sin370.60 ，tan370.75 ) 解析 ： (1)作 CHAB 于 H.在 RtACH 中，根据三角函数求得 CH， AH，在 RtBCH 中，根据三角函数求得 BH，再根据 AB=AH+BH 即可求解； (2)在 RtBCH 中，根据三角函数求得 BC，再根据 AC+BC-AB 列式计算即可求解 . 答案： (1)作 CHAB 于 H. 在 RtACH 中， CH=AC sinCAB=AC sin25100.42=4.2 千米， AH=AC cosCAB=AC cos25100.9

17、1=9.1 千米， 在 RtBCH 中， BH=CHtanCBA=4.2tan374.20.75=5.6 千米， AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7 千米 . 故改直的公路 AB 的长 14.7 千米； (2)在 RtBCH 中， BC=CHsinCBA=4.2sin374.20.6=7 千米， 则 AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3 千米 . 答：公路改直后比原来缩短了 2.3 千米 . 22.(10 分 )如图，点 A、 B 分别在 x， y 轴上，点 D 在第一象限内， DCx 轴于点 C， AO=CD=2，AB=DA= ，反比例函数 y= (k 0)的图象过 CD 的

18、中点 E. (1)求证： AOBDCA ； (2)求 k 的值； (3)BFG 和 DCA 关于某点成中心对称，其中点 F 在 y 轴上，是判断点 G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由 . 解析 ： (1)利用 “HL” 证明 AOBDCA ； (2)先利用勾股定理计算出 AC=1，再确定 C 点坐标，然后根据点 E 为 CD 的中点可得到点 E的坐标为 (3， 1)，则可根据反比例函数图象上点的坐标特征求得 k=3； (3)根据中心对称的性质得 BFGDCA ，所以 FG=CA=1， BF=DC=2， BFG=DCA=90 ，则可得到 G 点坐标为 (1， 3)，然后根据反比例函数图象上

19、点的坐标特征判断 G 点是否在函数y= 的图象上 . 答案： (1)证明： 点 A、 B 分别在 x， y 轴上，点 D 在第一象限内， DCx 轴， AOB=DCA=90 ， 在 RtAOB 和 RtDCA 中 ， RtAOBRtDCA ； (2)在 RtACD 中， CD=2， AD= ， AC= =1， OC=OA+AC=2+1=3 ， D 点坐标为 (3， 2)， 点 E 为 CD 的中点， 点 E 的坐标为 (3， 1)， k=31=3 ； (3)点 G 是否在反比例函数的图象上 .理由如下： BFG 和 DCA 关于某点成中心对称， BFGDCA ， FG=CA=1 ， BF=DC

20、=2， BFG=DCA=90 ，而 OB=AC=1， OF=OB+BF=1+2=3 ， G 点坐标为(1， 3)， 13=3 ， G (1， 3)在反比例函数 y= 的图象上 . 23.(10 分 )如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A(2， 0)， B(0， -1)和 C(4， 5)三点 . (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线 y=x+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 . 解析 ： (1)根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A(2， 0)，

21、B(0， -1)和 C(4， 5)三点，代入得出关于 a， b， c 的三元一次方程组，求得 a， b， c，从而得出二次函数的解析式； (2)令 y=0，解一元二次方程，求得 x 的值，从而得出与 x 轴的另一个交点坐标； (3)画出图象，再根据图象直接得出答案 . 答案： (1) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A(2， 0)， B(0， -1)和 C(4， 5)三点， ， a= ， b=- ， c=-1， 二次函数的解析式为 y= x2- x-1； (2)当 y=0 时，得 x2- x-1=0；解得 x1=2， x2=-1， 点 D 坐标为 (-1， 0)； (3)图象如图，

22、当一次函数的值大于二次函数的值时， x 的取值范围是 -1 x 4. 24.(10 分 )用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由 3 个矩形侧面和 2 个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪 (裁剪后边角料不再利用 ) A 方法：剪 6 个侧面； B 方法：剪 4 个侧面和 5 个底面 . 现有 19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B方法 . (1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 解析 ： (1)由 x 张用 A 方法，就有 (19-x)张用 B 方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； (

23、2)由侧面个数和底面个数比为 3： 2 建立方程求出 x 的值，求出侧 面的总数就可以求出结论 . 答案： (1) 裁剪时 x 张用 A 方法， 裁剪时 (19-x)张用 B 方法 . 侧面的个数为： 6x+4(19-x)=(2x+76)个， 底面的个数为： 5(19-x)=(95-5x)个； (2)由题意，得 ，解得： x=7， 盒子的个数为： =30. 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 30 个盒子 . 25.(12 分 )课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为 36 的等腰三角形纸片剪两刀，分成 3 张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法 . 我们

24、有多少种剪法，图 1 是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成 3 个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线 . (1)请你在图 2 中用两种不同的方法画出顶角为 45 的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； (若两种方法分得的三角形成 3 对全等三角形，则视为同一种 ) (2)ABC 中， B=30 ， AD 和 DE 是 ABC 的三分线，点 D 在 BC 边上，点 E在 AC 边上，且AD=BD， DE=CE，设 C=x ，试画出示意图，并求出 x 所有可能的值； (3)如图 3， ABC 中， AC=2， BC=3， C=2B ，请画出 ABC

25、 的三分线，并求出三分线的长 . 解析 ： (1)45 自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形 .直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况 .第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为 45 和 22.5 ，再以 22.5 分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形 .即又一三分线作法 . (2)用量角器，直尺 标准作 30 角，而后确定一边为 BA，一边为 BC，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定 D 点，再标准作图实验 -分别考虑

26、AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾 AEC 在同一直线上，易得 2 种三角形 ABC.根据图形易得 x 的值 . (3)因为 C=2B ，作 C 的角平分线，则可得第一个等腰三角形 .而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图 4 图形为三分线 .则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长 . 答案： (1)如图 2 作图， (2)如图 3 、 作 ABC . 当 AD=AE 时， 2x+x=30+30 ， x=20 . 当 AD=DE 时， 30+30+2x+x=180 ， x=40 . (3)如图 4， CD、 AE 就是所求的三分线

27、. 设 B=a ，则 DCB=DCA=EAC=a ， ADE=AED=2a ， 此时 AECBDC ， ACDABC ， 设 AE=AD=x， BD=CD=y， AECBDC ， x ： y=2： 3， ACDABC ， 2 ： x=(x+y)： 2， 所以联立得方程组 ，解得 ， 即三分线长分别是 和 . 26.(14 分 )木匠黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心 O1、 O2分别在 CD、 AB 上，半径分别是 O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆； 方案三：沿对角线 AC 将矩

28、形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆 . (1)写出方案一中圆的半径； (2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ (3)在方案四中，设 CE=x(0 x 1)，圆的半径为 y. 求 y 关于 x 的函数解析式； 当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大 . 解析 ： (1)观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1. (2)方案二、方案三中求圆的半径

29、是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目 .一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用 O 1O2E 为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用AOMOFN 后对应边成比例整理方程，进而可求 r 的值 . (3) 类似 (1)截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度 .则选择最小跨度，取其 ，即为半径 .由 EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3-x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论 . 已有关系表达式，则直接根据不等式性质易

30、得方案四中的最大半径 .另与前三方案比较，即得最终结论 . 答案： (1)方案一中的最大半径为 1. 分析如下：因为长方形的长宽分别为 3， 2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1. (2)如图 1，方案二中连接 O1， O2，过 O1作 O1EAB 于 E，方案三中，过点 O 分别作 AB， BF 的垂线，交于 M， N，此时 M， N 恰为 O 与 AB， BF 的切点 . 方案二： 设半径为 r，在 RtO 1O2E 中， O 1O2=2r， O1E=BC=2， O2E=AB-AO1-CO2=3-2r， (2r)2=22+(3-2r)2，解得 r= . 方案三： 设半径为 r，

31、在 AOM 和 OFN 中， ， AOMOFN ， ， ，解得 r= .比较知，方案三半径较大 . (3)方案四： EC=x ， 新拼图形水平方向跨度为 3-x，竖直方向跨度为 2+x. 类似 (1)，所截出圆的直径最大为 3-x 或 2+x 较小的 . 1.当 3-x 2+x 时，即当 x 时， y= (3-x)； 2.当 3-x=2+x 时，即当 x= 时， y= (3- )= ； 3.当 3-x 2+x 时，即当 x 时， y= (2+x). 当 x 时， y= (3-x) (3- )= ； 当 x= 时， y= (3- )= ； 当 x 时， y= (2+x) (2+ )= ， 方案四，当 x= 时， y 最大为 . 1 ， 方案四时可取的圆桌面积最大 .