1、2014 年浙江省杭州市中考真题数学 一、仔细选一选 (本题有 10 个小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )3a (-2a)2=( ) A. -12a3 B. -6a2 C. 12a3 D. 6a3 解析 ： 3a (-2a)2=3a4a 2=12a3. 答案： C. 2.(3 分 )已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为 ( ) A. 12cm 2 B. 15cm 2 C. 24cm 2 D. 30cm 2 解析 ： 底面半径为 3，高为 4， 圆锥母线长为 5， 侧面积 =2rR2=15cm 2. 答案： B. 3.(3 分 )在直角三角形 ABC 中，已知
2、 C=90 ， A=40 ， BC=3，则 AC=( ) A. 3sin40 B. 3sin50 C. 3tan40 D. 3tan50 解析 ： B=90 -A=90 -40=50 ， 又 tanB= ， AC=BC tanB=3tan50 . 答案： D. 4.(3 分 )已知边长为 a 的正方形的面积为 8，则下列说法中，错误的是 ( ) A. a 是无理数 B. a 是方程 x2-8=0 的解 C. a 是 8 的算术平方根 D. a 满足不等式组 解析 ： a= =2 ，则 a是 a 是无理数， a 是方程 x2-8=0 的解，是 8 的算术平方根都正确； 解不等式组 ，得： 3 a
3、 4，而 2 3，故错误 . 答案： D. 5.(3 分 )下列命题中，正确的是 ( ) A. 梯形的对角线相等 B. 菱形的对角线不相等 C. 矩形的对角线不能相互垂直 D. 平行四边形的对角线可以互相垂直 解析 ： A、等腰梯形的对角线相等，所以 A 选项错误； B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，所以 B 选项错误； C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，所以 C 选项错误； D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，所以 D 选项正确 . 答案： D. 6.(3分 )函数的自变量 x满足 x2 时，函数值 y满足 y1 ，则这
4、个函数可以是 ( ) A. y= B. y= C. y= D. y= 解析 ： A、把 x= 代入 y= 可得 y=1，把 x=2 代入 y= 可得 y= ，故此选项正确； B、把 x= 代入 y= 可得 y=4，把 x=2 代入 y= 可得 y=1，故此选项错误； C、把 x= 代入 y= 可得 y= ，把 x=2 代入 y= 可得 y= ，故此选项错误； D、把 x= 代入 y= 可得 y=16，把 x=2 代入 y= 可得 y=4，故此选项错误； 答案： A. 7.(3 分 )若 ( + ) w=1，则 w=( ) A. a+2(a -2) B. -a+2(a2 ) C. a-2(a2
5、) D. -a-2(a -2) 解析 ： 根据题意得： W= =-(a+2)=-a-2. 答案： D. 8.(3 分 )已知 2001 年至 2012 年杭州市小学学校数量 (单位：所 )和在校学生人数 (单位：人 )的两幅统计图 .由图得出如下四个结论： 学校数量 2007 年 2012 年比 2001 2006 年更稳定； 在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程； 2009 年的 大于 1000； 2009 2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是 2011 2012年 . 其中，正确的结论是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据条形统计图可知，
6、学校数量 2001 2006 年下降幅度较大，最多 1354 所，最少605 所，而 2007 年 2012 年学校数量都是在 400 所以上， 440 所以下，故结论正确； 由折线统计图可知，在校学生人数有 2001 年 2003 年、 2006 年 2009 年两次连续下降，2004 年 2006 年、 2009 年 2012 年两次连续增长的变化过程，故结论正确； 由统计图可知， 2009 年的在校学生 445192 人，学校数量 417 所， 所以 2009 年的 = =1067 1000，故结论正确； 2009 2010 年学校 数量增长率为 -2.16%， 2010 2011 年学
7、校数量增长率为 0.245% ， 2011 2012 年学校数量增长率为 1.47% ， 1.47% 0.245% -2.16%， 2009 2012 年，相邻两年的学校数量增长最快的是 2011 2012 年； 2009 2010 年在校学生人数增长率为 1.96% ， 2010 2011 年在校学生人数增长率为 2.510% ， 2011 2012 年在校学生人数增长率为 1.574% ， 2.510% 1.96% 1.574%， 2009 2012 年，相邻 两年的在校学生人数增长最快的是 2010 2011 年， 故结论错误 . 综上所述，正确的结论是： . 答案： B. 9.(3 分
8、 )让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是 2 的倍数或 3 的倍数的概率等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 列表如下： 所有等可能的情况有 16 种，其中两个数的和是 2 的倍数或 3 的倍数情况有 10种， 则 P= = . 答案： C 10.(3 分 )已知 ADBC ， ABAD ，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC上 .若点 E与点 B关于AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称， AC与 BD相交于点 G，则 ( ) A. 1+tanADB= B. 2BC=5CF C. AEB+22=DEF
9、 D. 4cosAGB= 解析 ： 如图，连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O， 由轴对称性得， AB=AE，设为 1，则 BE= = ， 点 E 与点 F 关于 BD 对称， DE=BF=BE= ， AD=1+ ， ADBC ， ABAD ， AB=AE， 四边形 ABCE 是正方形， BC=AB=1 ， 1+tanADB=1+ =1+ -1= ，故 A 选项结论正确； CF=BF-BC= -1， 2BC=21=2 ， 5CF=5( -1)， 2BC5CF ，故 B 选项结论错误； AEB+22=45+22=67 ， 在 RtABD 中， BD= = = ， sinDEF= = =
10、， DEF67 ，故 C 选项结论错误； 由勾股定理得， OE2=( )2-( )2= ， OE= ， EBG+AGB=90 ， EGB+BEF=90 ， AGB=BEF ， 又 BEF=DEF ， 4cosAGB= = = ，故 D 选项结论错误 . 答案： A. 二、认真填一填 (本题共 6 个小题，每小题 4分，共 24 分 ) 11.(4 分 )2012 年末统计，杭州市常住人口是 880.2 万人，用科学记数法表示为 人 . 解析 ： 880.2 万 =880 2000=8.80210 6， 答案： 8.80210 6. 12.(4 分 )已知直线 ab ，若 1=4050 ，则 2
11、= . 解析 ： 3=1=4050 ， ab ， 2=180 -3=180 -4050=13910 . 故答案为： 13910 . 13.(4 分 )设实数 x、 y 满足方程组 ，则 x+y= . 解析 ： ， + 得： x=6，即 x=9； - 得： -2y=2，即 y=-1， 方程组的解为 ，则 x+y=9-1=8. 答案： 8 14.(4 分 )已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 . 解析 ： 把这些数从小到大排列为： 4.5， 10.5， 15.3， 15.9， 19.6， 20.1， 最中间的两个数的平均数是 (15.3+15.9)2=15.
12、6 ( )， 则这六个整点时气温的中位数是 15.6 ； 答案： 15.6. 15.(4 分 )设抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )过 A(0， 2)， B(4， 3)， C 三点，其中点 C 在直线 x=2上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为 . 解析 ： 点 C 在直线 x=2 上，且到抛物线的对称轴的距离等于 1， 抛物线的对称轴为直线x=1 或 x=3， 当对称轴为直线 x=1 时，设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+k，则 ，解得 ， 所以 y= (x-1)2+ = x2- x+2， 当对称轴为直线 x=3 时，设抛物线解析式为 y=a(x-3)
13、2+k，则 ，解得 ， 所以， y=- (x-3)2+ =- x2+ x+2， 综上所述，抛物线的函数解析式为 y= x2- x+2 或 y=- x2+ x+2. 答案： y= x2- x+2 或 y=- x2+ x+2. 16.(4 分 )点 A， B， C 都在半径为 r 的圆上，直线 AD 直线 BC，垂足为 D，直线 BE 直线 AC，垂足为 E，直线 AD 与 BE 相交于点 H.若 BH= AC，则 ABC 所对的弧长等于 (长度单位 ). 解析 ： 如图 1， ADBC ， BEAC ， H+DBH=90 ， C+DBH=90 ， H=C ， 又 BDH=ADC=90 ， ACD
14、BHD ， = ， BH= AC， = ， ABC=30 ， ABC 所对的弧长所对的圆心角为 302=60 ， ABC 所对的弧长 = = r . 如图 2， ABC 所对的弧长所对的圆心角为 300 ， ABC 所对的弧长 = = r . 故答案为： r 或 r. 三、全面答一答 (本题共 7 小题，共 66 分 )解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以 . 17.(6 分 )一个布袋中装有只有颜色不同的 a(a 12)个球，分别是 2 个白球， 4 个黑球， 6个红球和 b 个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红
15、球的概率绘制成统计图 (未绘制完整 ).请补全该统计图并求出 的值 . 解析 ： 首先根据黑球数 总数 =摸出黑球的概率，再计算出摸出白球，黑球，红球的概率可得答案 . 答案 ：球的总数： 40.2=20 (个 )， 2+4+6+b=20，解得： b=8， 摸出白球的概率： 220=0.1 ， 摸出红球的概率： 620=0.3 ， = = =0.4. 18.(8 分 )在 ABC 中， AB=AC，点 E， F 分别在 AB， AC 上， AE=AF， BF 与 CE 相交于点 P.求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段 . 解析 ： 可证明 ABFACE ，则 BF=CE，再证明 B
16、EPCFP ，则 PB=PC，从而可得出 PE=PF，BE=CF. 答案 ：在 ABF 和 ACE 中， ， ABFACE (SAS)， ABF=ACE (全等三角形的对应角相等 )， BF=CE (全等三角形的对应边相等 )， AB=AC ， AE=AF， BE=BF ， 在 BEP 和 CFP 中， ， BEPCFP (AAS)， PB=PC ， BF=CE ， PE=PF ， 图中相等的线段为 PE=PF， BE=CF. 19.(8 分 )设 y=kx，是否存在实数 k，使得代数式 (x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)能化简为 x4？若能，请求出所有满足条件的 k 的值
17、；若不能，请说明理由 . 解析 ： 先利用因式分解得到原式 =(4x2-y2)(x2-y2+3x2)=(4x2-y2)2，再把当 y=kx 代入得到原式=(4x2-k2x2)2=(4-k2)x4，所以当 4-k2=1 满足条件，然后解关于 k 的方程即可 . 答案： 能 . (x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)=(4x2-y2)(x2-y2+3x2)=(4x2-y2)2， 当 y=kx，原式 =(4x2-k2x2)2=(4-k2)2x4， 令 (4-k2)2=1，解得 k= 或 ， 即当 k= 或 时，原代数式可化简为 x4. 20.(10 分 )把一条 12 个单位长度的线
18、段分成三条线段，其中一条线段成为 4 个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍 . (1)不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹 )； (2)求出 (1)中所作三角形外接圆的周长 . 解析 ： (1)利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可； (2)利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进而得出其外接圆 . 答案： (1)由题意得：三角形的三边长分别为： 4， 4， 4； 3， 4， 5； 即不同分段得到的三条线段能组成 2 个不全等的三角形，如图所示： (2)如图所示： 当三
19、边的单位长度分别为 3， 4， 5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为 2.5； 当三边的单位长度分别为 4， 4， 4.三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为 ， 当三条线段分别为 3， 4， 5 时其外接圆周长为： 22 .5=5 ； 当三条线段分别为 4， 4， 4 时其外接圆周长为： 2 = . 21.(10 分 )在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l，函数 y=- x， y= x 的图象分别是直线 l1，l2，圆 P(以点 P 为圆心， 1 为半径 )与直线 l， l1， l2中的两条相切 .例如 ( ， 1)是其中一个圆 P 的圆心坐标 . (1)写出其余满足条件的圆 P
20、的圆心坐标； (2)在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长 . 解析 ： (1)对圆 P 与直线 l 和 l2都相切、圆 P与直线 l和 l1都相切、圆 P与直线 l1和 l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点 P 的坐标 . (2)由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等 .只需求出其中的一条边就可以求出它的周长 . 答案： (1) 若圆 P 与直线 l 和 l2都相切，当点 P在第四象限时， 过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，连接 OP，如图 1所示 . 设 y= x 的图象与 x 轴的夹角为 .
21、 当 x=1 时， y= .tan= .=60 . 由切线长定理得： POH= (180 -60 )=60 . PH=1 ， tanPOH= = = .OH= . 点 P 的坐标为 ( ， -1). 同理可得： 当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为 (- ， 1)； 当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为 (- ， -1)； 若圆 P 与直线 l 和 l1都相切，如图 2所示 . 同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为 ( ， 1)； 当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为 (- ， 1)； 当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为 (- ， -1)； 当点 P 在第四象限
22、时，点 P 的坐标为 ( ， -1). 若圆 P 与直线 l1和 l2都相切，如图 3所示 . 同理可得： 当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为 ( ， 0)； 当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为 (- ， 0)； 当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为 (0， 2)； 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为 (0， -2). 综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有： ( ， -1)、 (- ， 1)、 (- ， -1)、 ( ， 1)、 (- ， 1)、 (- ， -1)、 ( ， -1)、 ( ， 0)、 (- ， 0)、 (0，
23、 2)、 (0， -2). (2)用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图 4 所示 . 由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形， 由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等 . 该图形的周长 =12 ( - )=8 . 22.(12 分 )菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， AC=4 ， BD=4，动点 P 在线段 BD 上从点 B 向点 D 运动， PFAB 于点 F，四边形 PFBG关于 BD对称，四边形 QEDH与四边形 PEBG关于 AC对称 .设菱形 ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为 S1，未被盖住部分的面积为 S2，BP=x. (1)用含 x
24、的代数式分别表示 S1， S2； (2)若 S1=S2，求 x 的值 . 解析 ： (1)根据对称性确定 E、 F、 G、 H 都在菱形的边上，由于点 P在 BO 上与点 P在 OD 上求S1和 S2的方法不同，因此需分情况讨论 . (2)由 S1=S2和 S1+S2=8 可以求出 S1=S2=4 .然后在两种情况下分别建立关于 x 的方程，解方程，结合不同情况下 x 的范围确定 x 的值 . 答案： (1) 当点 P 在 BO 上时，如图 1 所示 . 四边形 ABCD 是菱形， AC=4 ， BD=4， ACBD ， BO= BD=2， AO= AC=2 ， 且 S 菱形 ABCD= BD
25、 AC=8 .tanABO= = .ABO=60 . 在 RtBFP 中， BFP=90 ， FBP=60 ， BP=x， sinFBP= = =sin60= . FP= x.BF= . 四边形 PFBG 关于 BD 对称， 四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称， S BFP =SBGP =SDEQ =SDHQ . S 1=4SBFP =4 x = .S 2=8 - . 当点 P 在 OD 上时，如图 2 所示 . AB=4 ， BF= ， AF=AB -BF=4- . 在 RtAFM 中， AFM=90 ， FAM=30 ， AF=4- .tanFAM= =tan30= .
26、 FM= (4- ). S AFM = AF FM= (4- ) (4- )= (4- )2. 四边形 PFBG 关于 BD 对称， 四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称， S AFM =SAEM =SCHN =SCGN . S 2=4SAFM =4 (4- )2= (x-8)2. S 1=8 -S2=8 - (x-8)2. 综上所述： 当点 P 在 BO 上时， S1= ， S2=8 - ； 当点 P 在 OD 上时， S1=8 - (x-8)2， S2= (x-8)2. (2) 当点 P 在 BO 上时， 0 x2 . S 1=S2， S1+S2=8 ， S 1=4 .S
27、 1= =4 . 解得： x1=2 ， x2=-2 . 2 2， -2 0， 当点 P 在 BO 上时， S1=S2的情况不存在 . 当点 P 在 OD 上时， 2 x4 . S 1=S2， S1+S2=8 ， S 2=4 .S 2= (x-8)2=4 . 解得： x1=8+2 ， x2=8-2 . 8+2 4， 2 8-2 4， x=8 -2 . 综上所述：若 S1=S2，则 x 的值为 8-2 . 23.(12 分 )复习课中，教师给出关于 x 的函数 y=2kx2-(4k+1)x-k+1(k 是实数 ). 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论 (性质 )写到黑板上 . 学生
28、思考后，黑板上出现了一些结论 .教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条： 存在函数，其图象经过 (1， 0)点； 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； 当 x 1 时，不是 y 随 x 的增大而增大就是 y随 x的增大而减小； 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数 . 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由 .最后简单写 出解决问题时所用的数学方法 . 解析： 将 (1， 0)点代入函数，解出 k 的值即可作出判断； 首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； 根据二次函数的增减性，即可作出判断； 当 k=0 时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当 k0 时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断 . 答案： 真，将 (1， 0)代入可得： 2k-(4k+1)-k+1=0，解得： k=0. 运用方程思想； 假，反例： k=0 时，只有两个交点 .运用举反例的方法； 假，如 k=1， - = ，当 x 1 时，先减后增；运用举反例的方法； 真，当 k=0 时，函数无最大、最小值； k0 时， y 最 = =- ， 当 k 0 时，有最小值，最小值为负； 当 k 0 时，有最大值，最大值为正 .运用分类讨论思想 .
