1、2014 年浙江省湖州市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30分 ) 1.(3 分 )-3 的倒数是 ( ) A. -3 B. 3 C. D. - 解析 ： -3 的倒数是 - ， 答案： D. 2.(3 分 )计算 2x(3x2+1)，正确的结果是 ( ) A. 5x3+2x B. 6x3+1 C. 6x3+2x D. 6x2+2x 解析 ： 原式 =6x3+2x， 答案： C. 3.(3 分 )二次根式 中字母 x 的取值范围是 ( ) A. x 1 B. x1 C. x 1 D. x1 解析 ： 由题意得， x-10 ， 解得 x1 . 答案： D. 4.(
2、3 分 )如图，已知 AB 是 ABC 外接圆的直径， A=35 ，则 B 的度数是 ( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 解析 ： AB 是 ABC 外接圆的直径， C=90 ， A=35 ， B=90 -A=55 . 答案： C. 5.(3 分 )数据 -2， -1， 0， 1， 2 的方差是 ( ) A. 0 B. C. 2 D. 4 解析 ： 数据 -2， -1， 0， 1， 2 的平均数是： (-2-1+0+1+2)5=0 ， 数据 -2， -1， 0， 1， 2 的方差是： (-2)2+(-1)2+02+12+22=2. 答案： C. 6.(3 分 )如图，已知
3、RtABC 中， C=90 ， AC=4， tanA= ，则 BC 的长是 ( ) A. 2 B. 8 C. 2 D. 4 解析 ： tanA= = ， AC=4， BC=2 ， 答案： A. 7.(3 分 )已知一个布袋里装有 2 个红球， 3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同 .若从该布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为 ，则 a 等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 根据题意得： = ，解得： a=1，经检验， a=1 是原分式方程的解， a=1 . 答案： A. 8.(3 分 )如图，已知在 RtABC 中， ABC=90 ，点 D是 BC
4、边的中点，分别以 B、 C 为圆心，大于线段 BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD交 AC 于点E，连接 BE，则下列结论： EDBC ； A=EBA ； EB 平分 AED ； ED= AB 中，一定正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据作图过程可知： PB=CP， D 为 BC 的中点， PD 垂直平分 BC， EDBC 正确； ABC=90 ， PDAB ， E 为 AC 的中点， EC=EA ， EB=EC ， A=EBA 正确； EB 平分 AED 错误； ED= AB 正确， 故正确的有 ， 答案： B. 9.(3 分 )如
5、图，已知正方形 ABCD，点 E 是边 AB 的中点，点 O是线段 AE上的一个动点 (不与A、 E 重合 )，以 O 为圆心， OB 为半径的圆与边 AD 相交于点 M，过点 M 作 O 的切线交 DC 于点 N，连接 OM、 ON、 BM、 BN.记 MNO 、 AOM 、 DMN 的面积分别为 S1、 S2、 S3，则下列结论不一定成立的是 ( ) A. S1 S2+S3 B. AOMDMN C. MBN=45 D. MN=AM+CN 解析 ： (1)如图，作 MPAO 交 ON 于点 P， 点 O 是线段 AE 上的一个动点，当 AM=MD 时， S 梯形 ONDA= (OA+DN)
6、AD， SMNO =SMOP +SMPN = MP AM+ MP MD= MP AD， (OA+DN)=MP， S MNO = S 梯形 ONDA， S 1=S2+S3， 不一定有 S1 S2+S3， (2)MN 是 O 的切线， OMMN ， 又 四边形 ABCD 为正方形， A=D=90 ， AMO+DMN=90 ， AMO+AOM=90 ， AOM=DMN ， 在 AMO 和 DMN 中， ， AOMDMN .故 B 成立； (3)如图，作 BPMN 于点 P， MN ， BC 是 O 的切线， PMB= MOB ， CBM= MOB ， ADBC ， CBM=AMB ， AMB=PMB
7、 ， 在 RtMAB 和 RtMPB 中， ， RtMABRtMPB (AAS)， AM=MP ， ABM=MBP ， BP=AB=BC， 在 RtBPN 和 RtBCN 中， ， RtBPNRtBCN (HL)， PN=CN ， PBN=CBN ， MBN=MBP+PBN ， MN=MN+PN=AM+CN.故 C， D 成立， 综上所述， A 不一定成立， 答案： A. 10.(3 分 )在连接 A 地与 B 地的线段上有四个不同的点 D、 G、 K、 Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从 A 地到 B 地的不同行进路线 (箭头表示行进的方向 )，则路程最长的行进路线图是 ( ) A. B.
8、 C. D. 解析 ： A、延长 AC、 BE 交于 S， CAB=EDB=45 ， ASED ，则 SCDE . 同理 SECD ， 四边形 SCDE 是平行四边形， SE=CD ， DE=CS， 即走的路线长是： AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS； B、延长 AF、 BH 交于 S1，作 FKGH 与 BH的延长线交于点 K， SAB=S 1AB=45 ， SBA=S 1BA=70 ， AB=AB， SABS 1AB， AS=AS 1， BS=BS1， FGH=180 -70 -43=67=GHB ， FGKH ， FKGH ， 四边形 FGHK 是平行四边形，
9、FK=GH ， FG=KH， AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB ， FS 1+S1K FK， AS+BS AF+FK+KH+HB，即 AC+CD+DE+EB AF+FG+GH+HB， C、 D、同理可证得 AI+IK+KM+MB AS2+BS2 AN+NQ+QP+PB. 综上所述， D 选项的所走的线路最长 . 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，共 24分 ) 11.(4 分 )方程 2x-1=0 的解是 x= . 解析 ： 移项得： 2x=1，系数化为 1 得： x= . 答案： . 12.(4 分 )如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的
10、棱长都是 1，则该几何体俯视图的面积是 . 解析 ： 从上面看三个正方形组成的矩形，矩形的面积为 13=3 . 答案： 3. 13.(4 分 )计算： 50 -1530= . 解析 ： 原式 =4960 -1530=3430 . 答案： 3430 . 14.(4分 )下面的频数分布折线图分别表示我国 A市与 B市在 2014年 4月份的日平均气温的情况，记该月 A 市和 B 市日平均气温是 8 的天数分别为 a 天和 b 天，则 a+b= . 解析 ： 根据图表可得： a=10， b=2， 则 a+b=10+2=12. 答案： 12. 15.(4 分 )如图，已知在 RtOAC 中， O 为坐
11、标原点，直角顶点 C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= (k0 )在第一象限的图象经过 OA的中点 B，交 AC于点 D，连接 OD.若 OCDACO ，则直线 OA 的解析式为 . 解析 ： 设 OC=a， 点 D 在 y= 上， CD= ， OCDACO ， = ， AC= = ， 点 A(a， )， 点 B 是 OA 的中点， 点 B 的坐标为 ( ， )， 点 B 在反比例函数图象上， = ， 解得 a2=2k， 点 B 的坐标为 ( ， a)， 设直线 OA 的解析式为 y=mx，则 m =a，解得 m=2， 所以 直线 OA 的解析式为 y=2x. 答案： y=2x. 16.
12、(4 分 )已知当 x1=a， x2=b， x3=c 时，二次函数 y= x2+mx 对应的函数值分别为 y1， y2， y3，若正整数 a， b， c 恰好是一个三角形的三边长，且当 a b c 时，都有 y1 y2 y3，则实数m 的取值范围是 . 解析 ： 正整数 a， b， c 恰好是一个三角形的三边长，且 a b c， a 最小是 2， y 1 y2 y3， - 2.5，解得 m - . 答案 ： m - . 三、解答题 (共 8 小题，共 66 分 ) 17.(6 分 )计算： (3+a)(3-a)+a2. 解析 ： 原式第一项利用平方差公式计算，合并即可得到结果 . 答案 ：原式
13、 =9-a2+a2=9. 18.(6 分 )解方程组 . 解析 ： 方程组利用加减消元法求出解即可 . 答案： ， + 得： 5x=10，即 x=2， 将 x=2 代入 得： y=1，则方程组的解为 . 19.(6 分 )已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C， D(如图 ). (1)求证： AC=BD； (2)若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长 . 解析 ： (1)过 O 作 OEAB ，根据垂径定理得到 AE=BE， CE=DE，从而得到 AC=BD； (2)由 (1)可知， OEAB 且 OECD
14、 ，连接 OC， OA，再根据勾股定理求出 CE 及 AE 的长，根据AC=AE-CE 即可得出结论 . 答案： (1)过 O 作 OEAB 于点 E， 则 CE=DE， AE=BE， BE -DE=AE-CE，即 AC=BD； (2)由 (1)可知， OEAB 且 OECD ，连接 OC， OA， OE=6 ， CE= = =2 ， AE= = =8， AC=AE -CE=8-2 . 20.(8 分 )如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点，点 A(2， 5)在反比例函数 y=的图象上，过点 A 的直线 y=x+b 交 x 轴于点 B. (1)求 k 和 b 的值； (2)
15、求 OAB 的面积 . 解析 ： (1)根据待定系数法，可得答案； (2)根据三角形的面积公式，可得答案 . 答案： (1)把 A(2， 5)分别代入 y= 和 y=x+b，得 ，解得 k=10， b=3； (2)作 ACx 轴于点 C， 由 (1)得直线 AB 的解析式为 y=x+3， 点 B 的坐标为 (-3， 0)， OB=3 ， 点 A 的坐标是 (2， 5)， AC=5 ， = 5= . 21.(8 分 )已知 2014 年 3 月份在某医院出生的 20 名新生婴儿的体重如下 (单位： kg) 4.7 2.9 3.2 3.5 3.8 3.4 2.8 3.3 4.0 4.5 3.6 4
16、.8 4.3 3.6 3.4 3.5 3.6 3.5 3.7 3.7 (1)求这组数据的极差； (2)若以 0.4kg 为组距，对这组数据进行分组，制作了如下的 “ 某医院 2014 年 3 月份 20 名新生婴儿体重的频数分布表 ” (部分空格未填 )，请在频数分布表的空格中填写相关的量 某医院 2014 年 3 月份 20 名新生儿体重的频数分布表 (3)经检测，这 20 名婴儿的血型的扇形统计图如图所示 (不完整 )，求： 这 20 名婴儿中是 A 型血的人数； 表示 O 型血的扇形的圆心角度数 . 解析 ： (1)根据求极差的方法用这组数据的最大值减去最小值即可； (2)根据所给出的数
17、据和以 0.4kg 为组距，分别进行分组，再找出各组的数即可； (3) 用总人数乘以 A 型血的人数所占的百分比即可； 用 360 减去 A 型、 B 型和 AB 型的圆心角的度数即可求出 O型血的扇形的圆心角度数 . 答案： (1)这组数据的极差是 4.8-2.8=2(kg)； (2)根据所给出的数据填表如下： (3)A 型血的人数是： 2045%=9 (人 )； 表示 O 型血的扇形的圆心角度数是360 -(45%+30%)360 -36=360 -270 -36=54 . 22.(10分 )已知某市 2013年企业用水量 x(吨 )与该月应交的水费 y(元 )之间的函数关系如图所示 .
18、(1)当 x50 时，求 y 关于 x 的函数关系式； (2)若某企业 2013 年 10 月份的水费为 620 元，求该企业 2013年 10月份的用水量； (3)为贯彻省委 “ 五水共治 ” 发展战略，鼓励企业节约用水，该市自 2014年 1 月开始对月用水量超过 80 吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量 x 超过 80 吨，则除按 2013年收费标准收取水费外，超过 80 吨部分每吨另加收 元，若某企业 2014 年 3 月份的水费和污水处理费共 600 元，求这个企业该月的用水量 . 解析 ： (1)设 y 关于 x 的函数关系式 y=kx+b，代入 (50， 200)、 (
19、60， 260)两点求得解析式即可； (2)把 y=620 代入 (1)求得答案即可； (3)利用水费 +污水处理费 =600 元，列出方程解决问题 . 答案： (1)设 y 关于 x 的函数关系式 y=kx+b， 直线 y=kx+b 经过点 (50， 200)， (60， 260)， ， 解得 ， y 关于 x 的函数关系式是 y=6x-100； (2)由图可知，当 y=620 时， x 50， 6x -100=620，解得 x=120. 答：该企业 2013 年 10 月份的用水量为 120 吨 . (3)由题意得 6x-100+ (x-80)=600， 化简得 x2+40x-14000=
20、0， 解得： x1=100， x2=-140(不合题意，舍去 ). 答：这个企业 2014 年 3 月份的用水量是 100 吨 . 23.(10 分 )如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点，抛物线 y=-x2+bx+c(c 0)的顶点为 D，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 CAx 轴交抛物线于点 A，在 AC 延长线上取点 B，使 BC= AC，连接 OA， OB， BD 和 AD. (1)若点 A 的坐标是 (-4， 4). 求 b， c 的值； 试判断四边形 AOBD 的形状，并说明理由； (2)是否存在这样的点 A，使得四边形 AOBD 是矩形？若存在，请直接写
21、出一个符合条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1) 将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出 b、 c 的值； 求证 AD=BO 和 ADBO 即可判定四边形为平行四边形； (2)根据矩形的各角为 90 可以求得 ABOOBC 即 = ，再根据勾股定理可得 OC=BC， AC= OC，可求得横坐标为 c，纵坐标为 c. 答案： (1)ACx 轴， A 点坐标为 (-4， 4). 点 C 的坐标是 (0， 4) 把 A、 C 两点的坐标代入 y=-x2+bx+c 得， ，解得 ； 四边形 AOBD 是平行四边形； 理由如下：由 得抛物线的解析式为 y=-x2-4x+4， 顶点
22、 D 的坐标为 (-2， 8)， 过 D 点作 DEAB 于点 E，则 DE=OC=4， AE=2， AC=4 ， BC= AC=2， AE=BC . ACx 轴， AED=BCO=90 ， AEDBCO ， AD=BO .DAE=BCO ， ADBO ， 四边形 AOBD 是平行四边形 . (2)存在，点 A 的坐标可以是 (-2 ， 2)或 (2 ， 2) 要使四边形 AOBD 是矩形；则需 AOB=BCO=90 ， ABO=OBC ， ABOOBC ， = ， 又 AB=AC+BC=3BC ， OB= BC， 在 RtOBC 中，根据勾股定理可得： OC= BC， AC= OC， C 点
23、是抛物线与 y 轴交点， OC=c ， A 点坐标为 (- c， c)， 顶点横坐标 = c， b= c， 将 A 点代入可得 c=-(- c)2+ c c+c， 横坐标为 c，纵坐标为 c 即可，令 c=2， A 点坐标可以为 (2 ， 2)或者 (-2 ， 2). 24.(12 分 )已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点，以 P(1， 1)为圆心的 P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M出发，沿 x轴正方向以每秒 1个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F运动的时间是 t秒 (t 0). (1)若点 E 在 y
24、 轴的负半轴上 (如图所示 )，求证： PE=PF； (2)在点 F 运动过程中，设 OE=a， OF=b，试用含 a 的代数式表示 b； (3)作点 F 关于点 M 的对称点 F ，经过 M、 E 和 F 三点的抛物线的对称轴交 x轴于点 Q，连接 QE.在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q、 O、 E 为顶点的三角形与以点P、 M、 F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)连接 PM， PN，运用 PMFPNE 证明； (2)分两种情况： 当 t 1 时，点 E在 y 轴的负半轴上； 当 0 t1 时，点 E在 y 轴
25、的正半轴或原点上，再根据 (1)求解， (3)分两种情况，当 1 t 2 时，当 t 2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间 t. 答案： (1)如图，连接 PM， PN， P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N， PMMF ， PNON 且 PM=PN， PMF=PNE=90 且 NPM=90 ， PEPF ， NPE=MPF=90 -MPE ， 在 PMF 和 PNE 中， ， PMFPNE (ASA)， PE=PF ； (2)分两种情况： 当 t 1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图 1， 由 (1)得 PMFPNE ， NE=MF=t ， PM=PN=
26、1， b=OF=OM+MF=1+t ， a=NE-ON=t-1， b -a=1+t-(t-1)=2， b=2+a ， 0 t1 时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上， 同理可证 PMFPNE ， b=OF=OM+MF=1+t ， a=OE=ON-NE=1-t， b+a=1+t+1 -t=2， b=2 -a. 综上所述，当 t 1 时， b=2+a；当 0 t1 时， b=2-a； (3)存在； 如图 3，当 1 t 2 时， F (1+t， 0)， F 和 F 关于点 M 对称， M 的 坐标为 (1， 0)， F (1-t， 0) 经过 M、 E 和 F 三点的抛物线的对称轴交
27、x 轴于点 Q， Q (1- t， 0)OQ=1 - t， 由 (1)得 PMFPNE NE=MF=t ， OE=t -1 当 OEQMPF = = ， 解得 t= ， 当 OEQMFP 时， = ， = ，解得， t= ， 如图 4，当 t 2 时， F (1+t， 0)， F 和 F 关于点 M 对称， F (1-t， 0) 经过 M、 E 和 F 三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， Q (1- t， 0)OQ= t-1， 由 (1)得 PMFPNE NE=MF=t ， OE=t -1 当 OEQMPF = = ，无解， 当 OEQMFP 时， = ， = ，解得， t=2 ， 所以当 t= ， t= ， t=2 时，使得以点 Q、 O、 E 为顶点的三角形与以点 P、 M、F 为顶点的三角形相似 .
