1、2014 年浙江省金华市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )在数 1， 0， -1， -2 中，最小的数是 ( ) A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 解析 ： -2 -1 0 1， 答案： D. 2.(3 分 )如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ( ) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 解析 ： 经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定
2、一条直线 . 答案： A. 3.(3 分 )一个几何体的三视图如图，那么这个几何体是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由于俯视图为圆形可得几何体为球、圆柱或圆锥，再根据主视图和左视图可知几何体为圆柱与圆锥的组合体 . 答案： D. 4.(3 分 )一个布袋里装有 5 个球，其中 3 个红球， 2 个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 布袋里装有 5 个球，其中 3 个红球， 2 个白球， 从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是： . 答案： D. 5.(3 分 )在式子 ， ， ， 中， x 可以取 2
3、 和 3 的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 的分母不可以为 0，即 x-20 ，解得： x2 ，故 A 错误； B、 的分母不可以为 0，即 x-30 ，解得： x3 ，故 B 错误； C、被开方数大于等于 0，即 x-20 ，解得： x2 ，则 x 可以取 2 和 3，故 C 正确； D、被开方数大于等于 0，即 x-30 ，解得： x3 ， x 不能取 2，故 D 错误 . 答案： C. 6.(3 分 )如图，点 A(t， 3)在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为 ， tan= ，则 t 的值是( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 解析 ： 点 A(
4、t， 3)在第一象限， AB=3 ， OB=t， 又 tan= = ， t=2 . 答案： C. 7.(3 分 )把代数式 2x2-18 分解因式，结果正确的是 ( ) A. 2(x2-9) B. 2(x-3)2 C. 2(x+3)(x-3) D. 2(x+9)(x-9) 解析 ： 2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3). 答案： C. 8.(3 分 )如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90 ，得到 ABC ，连接 AA ，若1=20 ，则 B 的度数是 ( ) A. 70 B. 65 C. 60 D. 55 解析 ： RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90
5、 得到 ABC ， AC=AC ， ACA 是等腰直角三角形， CAA=45 ， ABC=1+CAA=20+45=65 ， 由旋转的性质得 B=ABC=65 . 答案： B. 9.(3 分 )如图是二次函数 y=-x2+2x+4 的图象，使 y1 成立的 x的取值范围是 ( ) A. -1x3 B. x -1 C. x1 D. x -1 或 x3 解析 ：由图可知， x -1 或 x3 时， y1 . 答案： D. 10.(3 分 )一张圆心角为 45 的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为 1，则扇形和圆形纸板的面积比是 ( ) A. 5： 4 B. 5： 2 C. ：
6、2 D. ： 解析 ：如图 1，连接 OD， 四边形 ABCD 是正方形， DCB=ABO=90 ， AB=BC=CD=1， AOB=45 ， OB=AB=1 ，由勾股定理得： OD= = ， 扇形的面积是 = ； 如图 2，连接 MB、 MC， 四边形 ABCD 是 M 的内接四边形，四边形 ABCD 是正方形， BMC=90 ， MB=MC，MCB=MBC=45 ， BC=1 ， MC=MB= ， M 的面积是 ( )2= ， 扇形和圆形纸板的面积比是 ( )= . 答案： A. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分 ) 11.(4 分 )写出一个解为 x1 的一元一次
7、不等式 . 解析 ： 解为 x1 的一元一次不等式有： x+12 ， x-10 等 . 答案： x+12 . 12.(4 分 )分式方程 =1 的解是 . 解析 ： 去分母得： 2x-1=3，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案： x=2. 13.(4 分 )小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家 .如图是小明离家的路程 y(米 )与时间 t(分 )的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 米 . 解析 ：通过读图可知：小明家距学校 800 米，小明从学校步行回家的时间是 15-5=10(分 )， 所以小明回家的速度是每分钟步行 80010=80 (米 ). 答案： 80
8、. 14.(4 分 )小亮对 60 名同学进行节水方法选择的问卷调查 (每人选择一项 )，人数统计如图，如果绘制成扇形统计图，那么表示 “ 一水多用 ” 的扇形圆心角的度数是 . 解析 ：表示 “ 一水多用 ” 的扇形圆心角的度数是 360 =240 ， 答案： 240 . 15.(4 分 )如图，矩形 ABCD 中， AB=8，点 E是 AD 上的一点，有 AE=4， BE 的垂直平分线交 BC的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G.若 G是 CD的中点，则 BC的长是 . 解析 ： 矩形 ABCD 中， G 是 CD 的中点， AB=8， CG=DG= 8=4 ， 在 DEG 和
9、 CFG 中， ， DEGCFG (ASA)， DE=CF ， EG=FG， 设 DE=x，则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在 RtDEG 中， EG= = ， EF=2 ， FH 垂直平分 BE， BF=EF ， 4+2x=2 ，解得 x=3， AD=AE+DE=4+3=7 ， BC=AD=7 . 答案： 7. 16.(4分 )如图 2是装有三个小轮的手拉车在 “ 爬 ” 楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆 OA，OB， OC 抽象为线段，有 OA=OB=OC，且 AOB=120 ，折线 NG-GH-HE-EF 表示楼梯， GH， EF是水平线， NG， HE 是铅垂
10、线，半径相 等的小轮子 A ， B 与楼梯两边都相切，且 AOGH . (1)如图 2 ，若点 H 在线段 OB 时，则 的值是 ； (2)如果一级楼梯的高度 HE=(8 +2)cm，点 H 到线段 OB 的距离 d 满足条件 d3cm ，那么小轮子半径 r 的取值范围是 . 解析 ： (1)如图 2 ， P 为 B 的切点，连接 BP 并延长，作 OLBP 于点 L，交 GH于点 M， BPH=BPL=90 ， AOGH ， BLAOGH ， AOB=120 ， OBL=60 ， 在 RTBPH 中， HP= BP= r， ML=HP= r， OM=r， BLGH ， = = = ， 故答案
11、为： . (2)作 HDOB ， P 为切点，连接 BP， PH 的延长线交 BD 延长线于点 L， LDH=LPB=90 ， LDHLPB ， = ， AOPB ， AOD=120 ， B=60 ， BLP=30 ， DL= DH， LH=2DH， HE= (8 +2)cmHP=8 +2-r， PL=HP+LH=8 +2-r+2DH， = ，解得 DH= r-4 -1， 0cmDH3cm ， 0 r-4 -13 ，解得： (11-3 )cmr8cm . 故答案为： (11-3 )cmr8cm . 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分 ) 17.(6 分 )计算： -4cos45+ (
12、)-1+|-2|. 解析 ： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用绝对值法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =2 -4 +2+2=4. 18.(6 分 )先化简，再求值： (x+5)(x-1)+(x-2)2，其中 x=-2. 解析 ：原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =x2-x+5x-5+x2-4x+4=2x2-1， 当 x=-2 时， 原式 =8-1=7. 19.(6 分 )在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子 A
13、， O， B 的位置如图，它们分别是 (-1，1)， (0， 0)和 (1， 0). (1)如图 2，添加棋子 C，使 A， O， B， C 四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； (2)在其他格点位置添加一颗棋子 P，使 A， O， B， P 四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子 P 的位置的坐标 .(写出 2 个即可 ) 解析 ： (1)根据 A， B， O， C 的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可； (2)利用轴对称图形的性质得出 P 点位置 . 答案： (1)如图 2 所示， C 点的位置为 (-1， 2)， A， O， B， C 四颗棋子组成等腰梯
14、形，直线 l为该图形的对称轴； (2)如图 1 所示： P(0， -1)， P (-1， -1)都符合题意 . 20.(8 分 )一种长方形餐桌的四周可坐 6 人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接 . (1)若把 4 张、 8 张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若用餐的人数有 90 人，则这样的餐桌需要多少张？ 解析 ： (1)根据图形可知，每张桌子有 4 个座位，然后再加两端的各一个，于是 n 张桌子就有 (4n+2)个座位；由此进一步求出问题即可； (2)由 (1)中的规律列方程解答即可 . 答案： (1)1 张长方形餐桌的四周可坐 4+2=6 人， 2 张长方形
15、餐桌的四周可坐 42+2=10 人， 3 张长方形餐桌的四周可坐 43+2=14 人， n 张长方形餐桌的四周可坐 4n+2 人； 所以 4 张长方形餐桌的四周可坐 44+2=18 人， 8 张长方形餐桌的四周可坐 48+2=34 人 . (2)设这样的餐桌需要 x 张，由题意得 4x+2=90， 解得 x=22， 答：这样的餐桌需要 22 张 . 21.(8 分 )九 (3)班为了组队参加学校举行的 “ 五水共治 ” 知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次 “ 五水共治 ” 模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图 . 根据统计图，解答下列问题：
16、(1)第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整； (2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数 =7，方差 =1.5，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？ 解析 ： (1)利用优秀率求得总人数，根据优秀率 =优秀人数除以总人数计算； (2)先根据方差的定义求得乙班的方差，再根据方差越小成绩越稳定，进行判断 . 答案： (1)总人数： (5+6)55%=20 (人 )， 第三次的优秀率： (8+5)20100%=65% ， 第四次乙组的优秀人数为： 2085% -8=17-8=9(人 ). 补全条形统计图，如图所示： (2) =(6+8+5+9)4=7 ， S2 乙组 = (6-7)2+
17、(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2=2.5， S2 甲组 S2 乙组 ，所以甲组成绩优秀的人数较稳定 . 22.(10 分 )【合作学习】 如图，矩形 ABCD的两边 OB， OD都在坐标轴的正半轴上， OD=3，另两边与反比例函数 y= (k0 )的图象分别相交于点 E， F，且 DE=2.过点 E 作 EHx 轴于点 H，过点 F 作 FGEH 于点 G.回答下面的问题： 该反比例函数的解析式是什么？ 当四边形 AEGF 为正方形时，点 F 的坐标时多少？ (1)阅读合作学习内容，请解答其中的问题； (2)小亮进一步研究四边形 AEGF 的特征后提出问题： “ 当 AE EG 时，矩
18、形 AEGF 与矩形 DOHE能否全等？能否相似？ ” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由 . 解析 ： (1) 先根据矩形的性质得到 D(2， 3)，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出 k=6，则得到反比例函数解析式为 y= ； 设正方形 AEGF 的边长为 a，则 AE=AF=6，根据坐标与图形的关系得到 B(2+a， 0)， A(2+a，3)，所以 F 点坐标为 (2+a， 3-a)，于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得 (2+a)(3-a)=6，然后解一元二次方程可确定 a 的值，
19、从而得到 F 点坐标； (2)当 AE EG 时，假设矩形 AEGF 与矩形 DOHE 全等，则 AE=OD=3， AF=DE=2，则得到 F 点坐标为 (3， 3)，根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点 F(3， 3)不在反比例函数 y= 的图象上，由此得到矩形 AEGF 与矩形 DOHE 不能全等； 当 AE EG 时，若矩形 AEGF 与矩形 DOHE 相似，根据相似的性质得 AE： OD=AF： DE，即 = ，设 AE=3t，则 AF=2t，得到 F 点坐标为 (2+3t， 3-2t)， 利用反比例函数图象上点的坐标特征得 (2+3t)(3-2t)=6，解得 t1=0(舍去 )，
20、 t2= ，则 AE=3t=，于是得到相似比 = = . 答案： (1) 四边形 ABOD 为矩形， EHx 轴， 而 OD=3， DE=2， E 点坐标为 (2， 3)， k=23=6 ， 反比例函数解析式为 y= (x 0)； 设正方形 AEGF 的边长为 a，则 AE=AF=6， B 点坐标为 (2+a， 0)， A 点坐标为 (2+a， 3)， F 点坐标为 (2+a， 3-a)，把 F(2+a， 3-a)代入 y= 得 (2+a)(3-a)=6，解得 a1=1， a2=0(舍去 )， F 点坐标为 (3， 2)； (2)当 AE EG 时，矩形 AEGF 与矩形 DOHE 不能全等
21、.理由如下： 假设矩形 AEGF 与矩形 DOHE 全等，则 AE=OD=3， AF=DE=2， A 点坐标为 (5， 3)， F 点坐标为 (3， 3)，而 33=96 ， F 点不在反比例函数 y= 的图象上， 矩形 AEGF 与矩形 DOHE 不能全等； 当 AE EG 时，矩形 AEGF 与矩形 DOHE 能相似 . 矩形 AEGF 与矩形 DOHE 能相似， AE ： OD=AF： DE， = = ， 设 AE=3t，则 AF=2t， A 点坐标为 (2+3t， 3)， F 点坐标为 (2+3t， 3-2t)， 把 F(2+3t， 3-2t)代入 y= 得 (2+3t)(3-2t)=
22、6，解得 t1=0(舍去 )， t2= ， AE=3t= ， 相似比 = = = . 23.(10 分 )等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC， BC 边上各取一点 E， F，连接 AF， BE 相交于点 P. (1)若 AE=CF； 求证： AF=BE，并求 APB 的度数； 若 AE=2，试求 AP AF 的值； (2)若 AF=BE，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长 . 解析 ： (1) 证明 ABECAF ，借用外角即可以得到答案； 利用勾股定理求得 AF 的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得 的比值，即可以得到答案 . (2)当
23、点 F 靠近点 C 的时候点 P 的路径是一段弧，由题目不难看出当 E 为 AC 的中点的时候，点 P 经过弧 AB 的中点，此时 ABP 为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案 .点 F 靠近点 B 时，点 P 的路径就是过点 B向 AC做的垂线段的长度； 答案： (1) 证 ABC 为等边三角形， AB=AC ， C=CAB=60 ， 又 AE=CF ， 在 ABE 和 CAF 中， ， ABECAF (SAS)， AF=BE ， ABE=CAF . 又 APE=BPF=ABP+BAP ， APE=BAP+CAF=60 .APB=180 -APE=120 . C=APE=
24、60 ， PAE=CAF ， APEACF ， ，即 ，所以 AP AF=12. (2)若 AF=BE，有 AE=BF 或 AE=CF 两种情况 . 当 AE=CF 时，点 P 的路径是一段弧，由题目不难看出当 E 为 AC的中点的时候，点 P经过弧 AB 的中点，此时 ABP 为等腰三角形，且 ABP=ABP=30 ， AOB=120 ， 又 AB=6 ， OA= ，点 P 的路径是 . 当 AE=BF 时，点 P 的路径就是过点 B 向 AC做的垂线段的长度；因为等边三角形 ABC的边长为 6，所以点 P 的路径的长度为： . 所以 点 P 经过的路径长为 或 3 . 24.(12 分 )
25、如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA， OC 在坐标轴的正半轴上， BCx 轴， OA=OC=4，以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A， B， C 三点 . (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知直线 l 的解析式为 y=x+m，它与 x 轴交于点 G，在梯形 ABCO的一边上取点 P. 当 m=0 时，如图 1，点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH 直线 l于点 H，连结 OP，试求 OPH 的面积； 当 m=-3 时，过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足为点 E， F.是否存在这样的点 P，使以 P， E， F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
26、求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2) 如答图 1，作辅助线，利用关系式 SOPH =SOMH -SOMP 求解； 本问涉及复杂的分类讨论，如答图 2 所示 .由于点 P 可能在 OC、 BC、 BK、 AK、 OA 上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面 . 答案： (1)由题意得： A(4， 0)， C(0， 4)，对称轴为 x=1. 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，则有： ，解得 ， 抛物线的函数解析式为： y=- x2+x+4. (2) 当 m=0 时，直线 l：
27、y=x. 抛物线对称轴为 x=1， CP=1 . 如答图 1，延长 HP 交 y 轴于点 M，则 OMH 、 CMP 均为等腰直角三角形 . CM=CP=1 ， OM=OC+CM=5 . SOPH =SOMH -SOMP = ( OM)2- OM OP= ( 5 )2- 51= - = ， S OPH = . 当 m=-3 时，直线 l： y=x-3. 设直线 l 与 x 轴、 y 轴交于点 G、点 D，则 G(3， 0)， D(-3， 0).假设存在满足条件的点 P. a)当点 P 在 OC 边上时，如答图 2-1 所示，此时点 E与点 O重合 . 设 PE=a(0 a4 )，则 PD=3+
28、a， PF= PD= (3+a). 过点 F 作 FNy 轴于点 N，则 FN=PN= PF， EN=|PN -PE|=| PF-PE|. 在 RtEFN 中，由勾股定理得： EF= = . 若 PE=PF，则： a= (3+a)，解得 a=3( +1) 4，故此种情形不存在； 若 PF=EF，则： PF= ，整理得 PE= PF，即 a=3+a，不成立，故此种情形不存在； 若 PE=EF，则： PE= ，整理得 PF= PE，即 (3+a)= a，解得a=3.P 1(0， 3). b)当点 P 在 BC 边上时，如答图 2-2 所示，此时 PE=4. 若 PE=PF，则点 P 为 OGD 的
29、角平分线与 BC 的交点，有 GE=GF，过点 F 分别作 FHPE 于点 H，FKx 轴于点 K， OGD=135 ， EPF=45 ，即 PHF 为等腰直角三角形， 设设 GE=GF=t，则 GK=FK=EH= t， PH=HF=EK=EG+GK=t= t， PE=PH+EH=t+ t+ t=4， 解得 t=4 -4，则 OE=3-t=7-4 ， P 2(7-4 ， 4)， c)A (4， 0)， B(2， 4)， 可求得直线 AB 解析式为： y=-2x+8； 联立 y=-2x+8 与 y=x-3，解得 x= ， y= . 设直线 BC 与直线 l 交于点 K，则 K( ， ). 当点
30、P 在线段 BK 上时，如答图 2-3 所示 . 设 P(a， 8-2a)(2a )，则 Q(a， a-3)， PE=8 -2a， PQ=11-3a， PF= (11-3a). 与 a)同理，可求得： EF= . 若 PE=PF，则 8-2a= (11-3a)，解得 a=1-2 0，故此种情形不存在； 若 PF=EF，则 PF= ，整理得 PE= PF，即 8-2a= (11-3a)，解得 a=3，符合条件，此时 P3(3， 2)； 若 PE=EF，则 PE= ，整理得 PF= PE，即 (11-3a)= (8-2a)，解得 a=5 ，故此种情形不存在 . d)当点 P 在线段 KA 上时，如
31、答图 2-4 所示 . PE 、 PF 夹角为 135 ， 只可能是 PE=PF 成立 . 点 P 在 KGA 的平分线上 . 设此角平分线与 y 轴交于点 M，过点 M 作 MN 直线 l于点 N，则 OM=MN， MD= MN， 由 OD=OM+MD=3，可求得 M(0， 3-3 ). 又 G(3， 0)，可求得直线 MG 的解析式为： y=( -1)x+3-3 . 联立直线 MG： y=( -1)x+3-3 与直线 AB： y=-2x+8，可求得： P4(1+2 ， 6-4 ). e)当点 P 在 OA 边上时，此时 PE=0，等腰三角形不存在 . 综上所述，存在满足条件的点 P，点 P 坐标为： (0， 3)、 (3， 2)、 (7-4 ， 4)、 (1+2 ，6-4 ).
