1、2014 年湖北省宜昌市中考真题数学 一、单项选择题 (共 15 小题，每小题 3分，满分 45 分 ) 1.(3 分 )三峡大坝全长约 2309 米，这个数据用科学记数法表示为 ( )米 . A. 2.30910 3 B. 23.0910 2 C. 0.230910 4 D. 2.30910 -3 解析 ： 2309=2.30910 3， 答案： A. 2.(3 分 )在 -2， 0， 3， 这四个数中，最大的数是 ( ) A. -2 B. 0 C. 3 D. 解析 ： -2 0 3， 答案： C. 3.(3 分 )平行四边形的内角和为 ( ) A. 180 B. 270 C. 360 D.
2、 640 解析 ： 根据多边形的内角和可得： (4-2)180=360. 答案： C. 4.(3 分 )作业时间是中小学教育质量综合评价指标的考查要点之一，腾飞学习小组五个同学每天课外作业时间分别是 (单位：分钟 )： 60， 80， 75， 45， 120.这组数据的中位数是 ( ) A. 45 B. 75 C. 80 D. 60 解析 ： 将数据从小到大排列为： 45， 60， 75， 80， 120，中位数为 75. 答案： B. 5.(3 分 )如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 解析 ： 从上面看外边是一个矩形，里面
3、是一个圆， 答案： C. 6.(3 分 )已知三角形两边长分别为 3 和 8，则该三角形第三边的长可能是 ( ) A. 5 B. 10 C. 11 D. 12 解析 ： 根据三角形的三边关系，得第三边大于： 8-3=5，而小于： 3+8=11. 则此三角形的第三边可能是： 10. 答案： B. 7.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a+2a2=3a3 B. a3 a2=a6 C. a6+a2=a3 D. (ab)3=a3b3 解析 ： A、 a 和 2a2不能合并，故 A 选项错误； B、 a3 a2=a5，故 B 选项错误； C、 a6和 a2不能合并，故 C 选项错误； D、 (
4、ab)3=a3b3，故 D 选项正确； 答案： D. 8.(3 分 )2014 年 3 月， YC 市举办了首届中学生汉字听写大会，从甲、乙、丙、丁 4 套题中随机抽取一套训练，抽中甲的概率是 ( ) A. B. C. D. 1 解析 ： 从甲、乙、丙、丁 4 套题中随机抽取一套训练， 抽中甲的概率是 ， 答案： C. 9.(3 分 )如图， A， B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A、 B 间的距离：先在 AB外选一点 C，然后测出 AC， BC 的中点 M， N，并测量出 MN 的长为 12m，由此他就知道了 A、 B间的距离 .有关他这次探究活动的描述错误的是 ( ) A. A
5、B=24m B. MNAB C. CMNCAB D. CM： MA=1： 2 解析 ： M 、 N 分别是 AC， BC 的中点， MNAB ， MN= AB， AB=2MN=212=24m ， CMNCAB ， M 是 AC 的中点， CM=MA ， CM ： MA=1： 1， 故描述错误的是 D 选项 . 答案： D. 10.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， A=30 ，以 B 为圆心， BC 的长为半径圆弧，交 AC于点 D，连接 BD，则 ABD= ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 解析 ： AB=AC ， A=30 ， ABC=ACB= (180
6、 -A)= (180 -30)=75 ， 以 B 为圆心， BC 的长为半径圆弧，交 AC 于点 D， BC=BD ， CBD=180 -2ACB=180 -275=30 ， ABD=ABC -CBD=75 -30=45. 答案： B. 11.(3 分 )要使分式 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x1 B. x 1 C. x 1 D. x -1 解析 ： 由题意得， x-10 ，解得 x1. 答案： A. 12.(3 分 )如图，点 A， B， C， D 都在 O 上， AC， BD 相交于点 E，则 ABD= ( ) A. ACD B. ADB C. AED D. ACB 解析
7、： A、 ABD 对的弧是弧 AD， ACD 对的弧也是 AD， ABD=ACD ，故 A 选项正确； B、 ABD 对的弧是弧 AD， ADB 对的弧也是 AB，而已知没有说 = ， ABD 和 ACD 不相等，故 B 选项错误； C、 AED ABD ，故 C 选项错误； D、 ABD 对的弧是弧 AD， ACB 对的弧也是 AB，而已知没有说 = ， ABD 和 ACB不相等，故 D 选项错误； 答案： A. 13.(3 分 )如图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，若将 AOC 绕点 O 顺时针旋转 90 得到 BOD ，则 的长为 ( ) A. B. 6 C. 3
8、D. 1.5 解析 ： 的长 = =1.5. 答案： D. 14.(3 分 )如图， M， N 两点在数轴上表示的数分别是 m， n，则下列式子中成立的是 ( ) A. m+n 0 B. -m -n C. |m|-|n| 0 D. 2+m 2+n 解析 ： M、 N 两点在数轴上的位置可知： -1 m 0， n 2， m+n O，故 A 错误， -m -n，故 B 错误， |m| -|n| 0，故 C 错误 . 2+m 2+n 正确，故 D 正确 . 答案： D. 15.(3 分 )二次函数 y=ax2+b(b 0)与反比例函数 y= 在同一坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D.
9、 解析 ： A、对于反比例函数 y= 经过第二、四象限，则 a 0，所以抛物线开口向下，故 A 选项错误； B、对于反比例函数 y= 经过第一、三象限，则 a 0，所以抛物线开口向上， b 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，故 B 选项正确； C、对于反比例函数 y= 经过第一、三象限，则 a 0，所以抛物线开口向上，故 C 选项错误； D、对于反比例函数 y= 经过第一、三象限，则 a 0，所以抛物线开口向上，而 b 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，故 D 选项错误 . 答案： B. 二、解答题 (共 9 小题，共 75 分 ) 16.(6 分 )计算： +|-2|+(-6
10、) (- ). 答案： 原式 =2+2+4=8. 17.(6 分 )化简： (a+b)(a-b)+2b2. 答案： 原式 =a2-b2+2b2=a2+b2. 18.(7 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， B=30 ， AD 平分 CAB . (1)求 CAD 的度数； (2)延长 AC 至 E，使 CE=AC，求证： DA=DE. 解析 ： (1)利用 “ 直角三角形的两个锐角互余 ” 的性质和角平分的性质进行解答； (2)通过证 ACDECD 来推知 DA=DE. 答案： (1)如图， 在 RtABC 中， ACB=90 ， B=30 ， B=30 ， CAB=60. 又
11、AD 平分 CAB ， CAD= CAB=30 ，即 CAD=30 ； (2)ACD+ECD=180 ，且 ACD=90 ， ECD=90 ， ACD=ECD. 在 ACD 与 ECD 中， ， ACDECD(SAS) ， DA=DE. 19.(7 分 )下表中， y 是 x 的一次函数 . (1)求该函数的表达式，并补全表格； (2)已知该函数图象上一点 M(1， -3)也在反比例函数 y= 图象上，求这两个函数图象的另一交点 N 的坐标 . 解析 ： (1)设 y=kx+b，将点 (-2， 6)、 (5， -15)代入可得函数解析式，也可补全表格； (2)将点 M 的坐标代入，可得 m 的
12、值，联立一次函数及反比例函数解析式可得另一交点坐标 . 答案： (1)设该一次函数为 y=kx+b(k0) ， 当 x=-2 时， y=6，当 x=1 时， y=-3， ，解得： ， 一次函数的表达式为： y=-3x， 当 x=2 时， y=-6； 当 y=-12 时， x=4. (2) 点 M(1， -3)在反比例函数 y= 上 (m0) ， -3= ， m= -3， 反比例函数解析式为： y=- ， 联立可得 ，解得： 或 ， 另一交点坐标为 (-1， 3). 20.(8 分 )“ 低碳生活，绿色出行 ” 是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统
13、计图： (1)填空：样本中的总人数为 人；开私家车的人数 m= ；扇形统计图中 “ 骑自行车 ”所在扇形的圆心角为 度； (2)补全条形统计图； (3)该单位共有 2000 人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车 .若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 解析 ： (1)用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出 m，用 360 乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解； (2)求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可； (3)设原
14、来开私家车的人中有 x 人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可 . 答案： (1)样本中的总人数为： 3645%=80 人， 开私家车的人数 m=8025%=20 ； 扇形统计图中 “ 骑自行车 ” 所占的百分比为： 1-10%-25%-45%=20%， 所在扇形的圆心角为 36020%=72 ； 故答案为： 80， 20， 72； (2)骑自行车的人数为： 8020%=16 人，补全统计图如图所示； (3)设原来开私家车的人中有 x 人改为骑自行车， 由题意得， 2000+x 2000 -x， 解得 x50 ， 答：原来开私家车的人中至少有 50 人改
15、为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数 . 21.(8 分 )已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形，以 CD 为直径作 O ， O 与边 BC 相交于点 F， O 的切线 DE 与边 AB 相交于点 E，且 AE=3EB. (1)求证： ADECDF ； (2)当 CF： FB=1： 2 时，求 O 与 ABCD 的面积之比 . 解析 ： (1)根据平行四边形的性质得出 A=C ， ADBC ，求出 ADE=CDF ，根据相似三角形的判定推出即可； (2)设 CF=x， FB=2x，则 BC=3x，设 EB=y，则 AE=3y， AB=4y，根据相似得出 = ，求出x=2y
16、，由勾股定理得求出 DF=2 y，分别求出 O 的面积和四边形 ABCD 的面积，即可求出答案 . 答案： (1)CD 是 O 的直径， DFC=90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形， A=C ， ADBC ， ABCD ， ADF=DFC=90 ， DE 为 O 的切线， DEDC ， DEAB ， DEA=DFC=90 ， A=C ， ADECDF ； (2)CF ： FB=1： 2， 设 CF=x， FB=2x，则 BC=3x， AE=3EB ， 设 EB=y，则 AE=3y， AB=4y， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC=3x ， AB=DC=4y， ADECDF ，
17、 = ， = ， x 、 y 均为正数， x=2y ， BC=6y ， CF=2y， 在 RtDFC 中， DFC=90 ， 由勾股定理得： DF= = =2 y， O 的面积为 ( DC)2= DC2= (4y) 2=4y 2， 四边形 ABCD 的面积为 BC DF=6y 2 y=12 y2， O 与四边形 ABCD 的面积之比为 4y 2： 12 y2= ： 3 . 22.(10 分 )在 “ 文化宜昌 全民阅读 ” 活动中，某中学社团 “ 精一读书社 ” 对全校学生的人数及纸质图书阅读量 (单位：本 )进行了调查， 2012 年全校有 1000 名学生， 2013 年全校学生人数比 2
18、012 年增加 10%， 2014 年全校学生人数比 2013 年增加 100人 . (1)求 2014 年全校学生人数； (2)2013 年全校学生人均阅读量比 2012 年多 1 本，阅读总量比 2012 年增加 1700 本 (注：阅读总量 =人均阅读量 人数 ) 求 2012 年全校学生人均阅读量； 2012 年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的 2.5 倍，如果 2013 年、 2014 年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数 a， 2014年全校学生人均阅读量比 2012年增加的百分数也是 a，那么 2014 年读书社全部 80 名成员的阅读总量将达到全校学生阅
19、读总量的 25%，求 a 的值 . 解析 ： (1)根据题意，先求出 2013 年全校的学生人数就可以求出 2014 年的学生人数； (2) 设 2012 人均阅读量为 x 本，则 2013 年的人均阅读量为 (x+1)本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论； 由 的结论就可以求出 2012 年读书社的人均读书量， 2014 年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由 2014 年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可 . 答案： (1)由题意，得 2013 年全校学生人数为： 1000(1+10%)=1100 人， 2014 年全校学生人数为： 1100+10
20、0=1200 人； (2) 设 2012 人均阅读量为 x 本，则 2013 年的人均阅读量为 (x+1)本，由题意，得1100(x+1)=1000x+1700，解得： x=6. 答： 2012 年全校学生人均阅读量为 6 本； 由题意，得 2012 年读书社的人均读书量为： 2.56=15 本， 2014 年读书社人均读书量为 15(1+a)2本， 2014 年全校学生的人均读书量为 6(1+a)本， 8015(1+a )2=12006(1+a)25% 2(1+a)2=3(1+a)， a 1=-1(舍去 )， a2=0.5. 答： a 的值为 0.5. 23.(11 分 )在矩形 ABCD
21、中， =a，点 G， H 分别在边 AB， DC 上，且 HA=HG，点 E为 AB 边上的一个动点，连接 HE，把 AHE 沿直线 HE 翻折得到 FHE . (1)如图 1，当 DH=DA 时， 填空： HGA= 度； 若 EFHG ，求 AHE 的度数，并求此时 a 的最小值； (2)如图 3， AEH=60 ， EG=2BG，连接 FG，交边 FG，交边 DC 于点 P，且 FGAB ， G 为垂足，求 a 的值 . 解析 ： (1) 根据矩形的性质和已知条件得出 HAE=45 ，再根据 HA=HG，得出 HAE=HGA ，从而得出答案； 先分两种情况讨论：第一种情况，根据 (1)得出
22、 AHG=90 ，再根据折叠的性质得出HAE=F=45 ， AHE=FHE ，再根据 EFHG ，得出 AHF=AHG -FHG ，即可得出AHE=22.5 ，此时，当 B 与 G 重合时， a 的值最小，求出最小值；第二种情况：根据已知得出 AEH+FEH=45 ，由折叠的性质求出 AHE 的度数，此时，当 B 与 E 重合时， a 的值最小，设 DH=DA=x，则 AH=CH= x，在 RtAHG 中， AHG=90 ，根据勾股定理得： AG=AH=2x，再根据 AEH=FEH ， GHE=FEH ，求出 AEH=GHE ，得出 AB=AE=2x+ x，从而求出 a 的最小值； (2)先过
23、点 H 作 HQAB 于 Q，则 AQH=GOH=90 ，根据矩形的性质得出D=DAQ=AQH=90 ，得出四边形 DAQH 为矩形，设 AD=x， GB=y，则 HQ=x， EG=2y， 由 折叠的性质可知 AEH=FEH=60 ，得出 FEG=60 ，在 RtEFG 中，根据特殊角的三角函数值求出 EG 和 EQ 的值，再由折叠的性质得出 AE=EF，求出 y 的值，从而求出 AB=2AQ+GB，即可得出 a 的值 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， ADH=90 ， DH=DA ， DAH=DHA=45 ， HAE=45 ， HA=HG ， HAE=HGA=45 ； 故答案为
24、： 45 ； 分两种情况讨论： 第一种情况： HAG=HGA=45 ； AHG=90 ， 由折叠可知： HAE=F=45 ， AHE=FHE ， EFHG ， FHG=F=45 ， AHF=AHG -FHG=45 ，即 AHE+FHE=45 ， AHE=22.5 ， 当 B 与 G 重合时， H 为 DC 中点， DA=DH= DC= AB，此时 =a=2，所以 a 的最小值是 2； 第二种情况： EFHG ， HGA=FEA=45 ，即 AEH+FEH=45 ， 由折叠可知： AEH=FEH ， AEH=FEH=22.5 ， EFHG ， GHE=FEH=22.5 ， A HE=90+22.
25、5=112.5 ， 此时，当 B 与 E 重合时， a 的值最小， 设 DH=DA=x，则 AH=CH= x， 在 RtAHG 中， AHG=90 ，由勾股定理得： AG= AH=2x， AEH=FEH ， GHE=FEH ， AEH=GHE ， GH=GE= x， AB=AE=2x+ x， a 的最小值是 =2+ ； (2)如图：过点 H 作 HQAB 于 Q，则 AQH=GQH=90 ， 在矩形 ABCD中， D=DAQ=90 ， D=DAQ=AQH=90 ， 四边形 DAQH为矩形， AD=HQ ， 设 AD=x， GB=y，则 HQ=x， EG=2y， 由折叠可知： AEH=FEH=6
26、0 ， FEG=60 ， 在 RtEFG 中， EG=EFcos60 ， EF=4y， 在 RtHQE 中， EQ= = x， QG=QE+EG= x+2y， HA=HG ， HQAB ， AQ=GQ= x+2y， AE=AQ+QE= x+2y， 由折叠可知： AE=EF， x+2y=4y， y= x， AB=2AQ +GB=2( x+2y)+y= x， a= = . 24.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知点 P(0， 4)，点 A 在线段 OP 上，点 B在 x 轴正半轴上，且 AP=OB=t， 0 t 4，以 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD；过点 C、 D 依次向x
27、轴、 y 轴作垂线，垂足为 M， N，设过 O， C 两点的抛物线为 y=ax2+bx+c. (1)填空： AOB DNA或 DPA BMC (不需证明 )；用含 t的代数式表示 A点纵坐标：A(0， 4-t )； (2)求点 C 的坐标，并用含 a， t 的代数式表示 b； (3)当 t=1 时，连接 OD，若此时抛物线与线段 OD 只有唯一的公共点 O，求 a的取值范围； (4)当抛物线开口向上，对称轴是直线 x=2- ，顶点随着 t 的增大向上移动时，求 t 的取值范围 . 解析 ： (1)根据全等三角形的判定定理 SAS 证得： AOBDNA 或 DPABMC ；根据图中相关线段间的和
28、差关系来求点 A 的坐标； (2)利用 (1)中的全等三角形的对应边相等易推知： OM=OB+BM=t+4-t=4，则 C(4， t).把点 O、C 的坐标分别代入抛物线 y=ax2+bx+c 可以求得 b= t-4a； (3)利用待定系数法求得直线 OD 的解析式 y= x.联立方程组，得 ，所以 ax2+(- -4a)x=0，解得 x=0 或 x=4+ . 对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即 a 0 和 a 0 两种情况下的 a 的取值范围； (4)根据抛物线的解析式 y=ax2+( -4a)x 得到顶点坐标是 (- ， - (t-16a)2).结合已知条件求得 a= t2，故顶点坐标为
29、 (2- ， -(t- )2).哟抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故 t 的取值范围为： 0 t . 答案： (1)如图， DNA=AOB=90 ， NAD=OBA( 同角的余角相等 ). 在 AOB 与 DNA 中， ， AOBDNA(SAS). 同理 DNABMC. 点 P(0， 4)， AP=t， OA=OP -AP=4-t. 故答案是： DNA 或 DPA ； 4-t； (2)由题意知， NA=OB=t，则 OA=4-t. AOBBMC ， CM=OB=t ， OM=OB+BM=t+4 -t=4， C(4 ， t). 又抛物线 y=ax2+bx+c 过点 O、 C， ，解得 b= t
30、-4a； (3)当 t=1 时，抛物线为 y=ax2+( -4a)x， NA=OB=1， OA=3. AOBDNA ， DN=OA=3 ， D(3 ， 4)， 直线 OD 为： y= x.联立方程组，得 ， 消去 y，得 ax2+(- -4a)x=0，解得 x=0 或 x=4+ ， 所以 抛物线与直线 OD 总有两个交点 . 讨论： 当 a 0 时， 4+ 3，只有交点 O，所以 a 0 符合题意； 当 a 0 时，若 4+ 3，则 a - .又 a 0， 所以 a - . 若 4+ 0，则得 a - .又 a 0，所以 - a 0. 综上所述， a 的取值范围是 a 0 或 a - 或 - a 0. (4)抛物线为 y=ax2+( -4a)x，则顶点坐标是 (- +2， - (t-16a)2). 又 对称轴是直线 x=- +2=2- ， a= t2， 顶点坐标为： (2- ， - (1-4t)2)，即 (2- ， -(t- )2). 抛物线开口向上，且随着 t 的增大，抛物线的顶点向上移动， 只与顶点坐标有关， t 的取值范围为： 0 t .
