1、2014 年湖北省武汉市中考真题数学 一、单项选择题 (共 10 小题，每小题 3分，共 30分 ) 1.(3 分 )在实数 -2， 0， 2， 3 中，最小的实数是 ( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 解析 ： -2 0 2 3，最小的实数是 -2， 答案： A. 2.(3 分 )若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x 0 B. x 3 C. x3 D. x3 解析 ： 使 在实数范围内有意义， x -30 ，解得 x3. 答案： C. 3.(3 分 )光速约为 300 000 千米 /秒，将数字 300000 用科学记数法表示为 ( ) A. 310
2、4 B. 310 5 C. 310 6 D. 3010 4 解析 ： 将 300 000 用科学记数法表示为： 310 5. 答案： B. 4.(3 分 )在一次中学生田径运动会上，参加跳高的 15 名运动员的成绩如表： 那么这些运动员跳高成绩的众数是 ( ) A. 4 B. 1.75 C. 1.70 D. 1.65 解析 ： 1.65 出现了 4 次，出现的次数最多， 这些运动员跳高成绩的众数是 1.65； 答案： D. 5.(3 分 )下列代数运算正确的是 ( ) A. (x3)2=x5 B. (2x)2=2x2 C. x3 x2=x5 D. (x+1)2=x2+1 解析 ： A、 (x3
3、)2=x6，原式计算错误，故 A 选项错误； B、 (2x)2=4x2，原式计算错误，故 B 选项错误； C、 x3 x2=x5，原式计算正确，故 C 选项正确； D、 (x+1)2=x2+2x+1，原式计算错误，故 D 选项错误； 答案： C. 6.(3 分 )如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6， 6)， B(8， 2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 ( ) A. (3， 3) B. (4， 3) C. (3， 1) D. (4， 1) 解析 ： 线段 AB 的两个端点坐标分别为 A(6， 6)， B(8，
4、 2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD， 端点 C 的横坐标和总左边都变为 A 点的一半， 端点 C 的坐标为： (3， 3). 答案： A. 7.(3 分 )如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从上面看可得到一行正方形的个数为 3， 答案： C. 8.(3 分 )为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学 10 天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量 (单位：辆 )，将统计结果绘制成如下折线统计图： 由此估计一个月 (30 天 )该时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的天数为
5、 ( ) A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 解析 ： 由图可知， 10 天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的有 4 天，频率为：=0.4， 所以估计一个月 (30天 )该时段通过该路口的汽车数量超过 200辆的天数为 300.4=12( 天 ). 答案： C. 9.(3 分 )观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10个点，第 3 个图中共有 19 个点， 按此规律第 5 个图中共有点的个数是 ( ) A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 解析 ： 第 1 个图中共有 1+13=4 个点， 第 2 个图中共有 1
6、+13+23=10 个点， 第 3 个图中共有 1+13+23+33=19 个点， 第 n 个图有 1+13+23+33+3n 个点 . 所以第 5 个图中共有点的个数是 1+13+23+33+43+53=46. 答案： B. 10.(3 分 )如图， PA， PB 切 O 于 A、 B 两点， CD 切 O 于点 E，交 PA， PB于 C， D.若 O 的半径为 r， PCD 的周长等于 3r，则 tanAPB 的值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 连接 OA、 OB、 OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F. PA ， PB 切 O 于 A、 B 两点， CD 切 O
7、于点 E OAF=PBF=90 ， CA=CE， DB=DE， PA=PB， PCD 的周长 =PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r， PA=PB= . 在 RtPBF 和 RtOAF 中， ， RtPBFRtOAF(HL). = = = ， AF= FB， 在 RtFBP 中， PF 2-PB2=FB2(PA+AF) 2-PB2=FB2( r+ BF)2-( )2=BF2，解得 BF= r， tanAPB= = = ， 答案： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 11.(3 分 )计算： -2+(-3)= . 解析 ： (-2)+(
8、-3)=-5， 答案： -5. 12.(3 分 )分解因式： a3-a= . 解析 ： a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1). 答案： a(a+1)(a-1). 13.(3 分 )如图，一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形 )，则指针指向红色的概率为 . 解析 ： 一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有 3 个扇形， 指针指向红色的概率为： . 答案： . 14.(3 分 )一次越野跑中，当小明跑了 1600
9、 米时，小刚跑了 1400 米，小明、小刚在此后所跑的路程 y(米 )与时间 t(秒 )之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米 . 解析 ： 设小明的速度为 a米 /秒，小刚的速度为 b米 /秒，由题意，得 ， 解得 ， 这次越野跑的全程为： 1600+3002=2200 米 . 答案： 2200. 15.(3 分 )如图，若双曲线 y= 与边长为 5 的等边 AOB 的边 OA， AB 分别相交于 C， D 两点，且 OC=3BD，则实数 k 的值为 . 解析 ： 过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F， 设 OC=3x，则 BD=x， 在 RtOCE 中，
10、 COE=60 ， 则 OE= x， CE= x， 则点 C 坐标为 ( x， x)， 在 RtBDF 中， BD=x， DBF=60 ， 则 BF= x， DF= x， 则点 D 的坐标为 (5- x， x)， 将点 C 的坐标代入反比例函数解析式可得： k= x2， 将点 D 的坐标代入反比例函数解析式可得： k= x- x2，则 x2= x- x2， 解得： x1=1， x2=0(舍去 )，故 k= 1 2= . 答案： . 16.(3 分 )如图，在四边形 ABCD 中， AD=4， CD=3， ABC=ACB=ADC=45 ，则 BD 的长为 . 解析 ： 作 ADAD ， AD=A
11、D ，连接 CD ， DD ，如图： BAC+CAD=DAD+CAD ，即 BAD=CAD ， 在 BAD 与 CAD 中， ， BADCAD(SAS) ， BD=CD. DAD=90 由勾股定理得 DD= ， DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD= ， BD=CD= ， 答案： . 三、解答题 (共 9 小题，满分 72 分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(6 分 )解方程： = . 解析 ： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： 去分母得： 2x=3x-6，解得： x=6，经检验 x=6 是分式方程的解 .
12、 18.(6 分 )已知直线 y=2x-b 经过点 (1， -1)，求关于 x 的不等式 2x-b0 的解集 . 解析 ：把点 (1， -1)代入直线 y=2x-b 得到 b 的值，再解不等式 . 答案： 把点 (1， -1)代入直线 y=2x-b 得， -1=2-b， 解得， b=3. 函数解析式为 y=2x-3. 解 2x-30 得 x . 19.(6 分 )如图， AC 和 BD 相交于点 O， OA=OC， OB=OD.求证： DCAB . 解析 ：根据边角边定理求证 ODCOBA ，可得 C=A( 或者 D=B) ，即可证明 DCAB. 答案： 在 ODC 和 OBA 中， ， OD
13、COBA(SAS) ， C=A( 或者 D=B)( 全等三角形对应角相等 )， DCAB( 内错角相等，两直线平行 ). 20.(7 分 )如图，在直角坐标系中， A(0， 4)， C(3， 0). (1) 画出线段 AC 关于 y 轴对称线段 AB； 将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角，得到对应线段 CD，使得 ADx 轴，请画出线段 CD； (2)若直线 y=kx 平分 (1)中四边形 ABCD 的面积，请直接写出实数 k 的值 . 解析： (1) 根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点 B 的位置，然后连接 AB即可； 根据轴对称的性质找出点 A 关于直线 x=3 的对
14、称点，即为所求的点 D； (2)根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出 AC 的中点，代入直线计算即可求出 k 值 . 答案： (1) 如图所示； 直线 CD 如图所示； (2)A(0 ， 4)， C(3， 0)， 平行四边形 ABCD 的中心坐标为 ( ， 2)， 代入直线得， k=2， 解得 k= . 21.(7 分 )袋中装有大小相同的 2 个红球和 2 个绿球 . (1)先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球 . 求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率； 求两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率； (2)先从袋中摸出 1 个球后不放回，
15、再摸出 1 个球，则两次摸到的球中有 1 个绿球和 1个红球的概率是多少？请直接写出结果 . 解析： (1) 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到绿球，第二次摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案； 首先由 求得两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案； (2)由先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，共有等可能的结果为： 43=12( 种 )，且两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1) 画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，第一次摸到绿
16、球，第二次摸到红球的有 4 种情况， 第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为： = ； 两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况， 两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的为： = ； (2) 先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，共有等可能的结果为： 43=12( 种 )，且两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况， 两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是： = . 22.(8 分 )如图， AB 是 O 的直径， C， P 是 上两点， AB=13， AC=5. (1)如图 (1)，若点 P 是 的中点，求 PA 的长； (2
17、)如图 (2)，若点 P 是 的中点，求 PA 的长 . 解析： (1)根据圆周角的定理， APB=90 ， p 是弧 AB 的中点，所以三角形 APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得 . (2)根据垂径定理得出 OP 垂直平分 BC，得出 OPAC ，从而得出 ACB0NP ，根据对应边成比例求得 ON、 AN 的长，利用勾股定理求得 NP 的长，进而求得 PA. 答案： (1)如图 (1)所示，连接 PB， AB 是 O 的直径且 P 是 的中点， PAB=PBA=45 ， APB=90 ， 又 在等腰三角形 ABC 中有 AB=13， PA= = = . (2)如图 (2)所示：连接
18、 BC.OP 相交于 M 点，作 PNAB 于点 N， P 点为弧 BC 的中点， OPBC ， OMB=90 ， 又因为 AB 为直径 ACB=90 ， ACB=OMB ， OPAC ， CAB=POB ， 又因为 ACB=ONP=90 ， ACB0NP = ， 又 AB=13 AC=5 OP= ， 代入得 ON= ， AN=OA+ON=9 在 RTOPN 中，有 NP2=0P2-ON2=36 在 RTANP 中 有 PA= = =3 PA=3 . 23.(10 分 )九 (1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1x90 )天的售价与销量的相关信息如下表： 已知该商品的进价
19、为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 . (1)求出 y 与 x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 . 解析： (1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案； (2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案； (3)根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于 48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案 . 答案： (1)当 1x 50 时， y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000
20、， 当 50x90 时， y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000， 综上所述： y= ； (2)当 1x 50 时，二次函数开口下，二次函数对称轴为 x=45， 当 x=45 时， y 最大 =-245 2+18045+2000=6050 ， 当 50x90 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x=50 时， y 最大 =6000， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； (3)当 1x 50 时， y=-2x2+180x+20004800 ，解得 20x 70， 因此利润不低于 4800 元的天数是 20x 50，共 30 天； 当
21、 50x90 时， y=-120x+120004800 ，解得 x60 ， 因此利润不低于 4800 元的天数是 50x60 ，共 11 天， 所以该商品在销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元 . 24.(10 分 )如图， RtABC 中， ACB=90 ， AC=6cm， BC=8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C出发，在 CB边上以每秒 4cm的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒 (0 t 2)，连接 PQ. (1)若 BPQ 与 ABC 相似，求 t 的值； (2)连接 AQ， CP，
22、若 AQCP ，求 t 的值； (3)试证明： PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上 . 解析： (1)分两种情况讨论： 当 BPQBAC 时， = ，当 BPQBCA 时， = ，再根据 BP=5t， QC=4t， AB=10cm， BC=8cm，代入计算即可； (2)过 P 作 PMBC 于点 M， AQ， CP 交于点 N，则有 PB=5t， PM=3t， MC=8-4t，根据 ACQCMP ，得出 = ，代入计算即可； (3)作 PEAC 于点 E， DFAC 于点 F，先得出 DF= ，再把 QC=4t， PE=8-BM=8-4t 代入求出 DF，过 BC 的中点 R 作直线平行于
23、 AC，得出 RC=DF， D 在过 R 的中位线上，从而证出 PQ的中点在 ABC 的一条中位线上 . 答案： (1) 当 BPQBAC 时， = ， BP=5t， QC=4t， AB=10cm， BC=8cm， = ， t=1 ； 当 BPQBCA 时， = ， = ， t= ， t=1 或 时， BPQ 与 ABC 相似； (2)如图所示，过 P作 PMBC 于点 M， AQ， CP 交于点 N，则有 PB=5t， PM=PBsinB=3t， BM=4t，MC=8-4t， NAC+NCA=90 ， PCM+NCA=90 ， NAC=PCM 且 ACQ=PMC=90 ， ACQCMP ，
24、= ， = ， 解得： t= ； (3)如图，仍有 PMBC 于点 M， PQ 的中点设为 D 点，再作 PEAC 于点 E， DFAC 于点 F， ACB=90 ， DF 为梯形 PECQ 的中位线， DF= ， QC=4t ， PE=8-BM=8-4t， DF= =4， BC=8 ，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC， RC=DF=4 成立， D 在过 R 的中位线上， PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上 . 25.(12 分 )如图，已知直线 AB： y=kx+2k+4 与抛物线 y= x2交于 A， B 两点 . (1)直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；
25、(2)当 k=- 时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使 ABP 的面积等于 5； (3)若在抛物线上存在定点 D 使 ADB=90 ，求点 D 到直线 AB 的最大距离 . 解析： (1)要求定点的坐标，只需寻找一个合适 x，使得 y 的值与 k 无关即可 . (2)只需联立两函数的解析式，就可求出点 A、 B 的坐标 .设出点 P 的横坐标为 a，运用割补法用 a 的代数式表示 APB 的面积，然后根据条件建立关于 a 的方程，从而求出 a 的值，进而求出点 P 的坐标 . (3)设点 A、 B、 D 的横坐标分别为 m、 n、 t，从条件 ADB=90 出发，可构造 k 型相似，从
26、而得到 m、 n、 t 的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出 t，从而求出点 D 的坐标 .由于 直线 AB 上有一个定点 C，容易得到 DC 长就是点 D 到 AB 的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题 . 答案： (1) 当 x=-2 时， y=(-2)k+2k+4=4. 直线 AB： y=kx+2k+4 必经过定点 (-2， 4). 点 C 的坐标为 (-2， 4). (2)k= - ， 直线的解析式为 y=- x+3. 联立 ， 解得： 或 . 点 A 的坐标为 (-3， )，点 B 的坐标为 (2， 2). 过点 P 作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，
27、过点 A 作 AMPQ ，垂足为 M， 过点 B 作 BNPQ ，垂足为 N，如图 1 所示 . 设点 P 的横坐标为 a，则点 Q 的横坐标为 a. y P= a2， yQ=- a+3. 点 P 在直线 AB 下方， PQ=y Q-yP =- a+3- a2 AM+NB=a -(-3)+2-a=5. S APB =SAPQ +SBPQ = PQAM+ PQBN = PQ(AM+BN) = (- a+3- a2)5 =5. 整理得： a2+a-2=0. 解得： a1=-2， a2=1. 当 a=-2 时， yP= ( -2)2=2. 此时点 P 的坐标为 (-2， 2). 当 a=1 时， y
28、P= 1 2= . 此时点 P 的坐标为 (1， ). 符合要求的点 P 的坐标为 (-2， 2)或 (1， ). (3)过点 D 作 x 轴的平行线 EF， 作 AEEF ，垂足为 E， 作 BFEF ，垂足为 F，如图 2. AEEF ， BFEF ， AED=BFD=90. ADB=90 ， ADE=90 -BDF=DBF. AED=BFD ， ADE=DBF ， AEDDFB. . 设点 A、 B、 D 的横坐标分别为 m、 n、 t， 则点 A、 B、 D 的纵坐标分别为 m2、 n2、 t2. AE=yA-yE= m2- t2. BF=yB-yF= n2- t2. ED=xD-xE
29、=t-m， DF=xF-xD=n-t. ， = . 化简得： mn+(m+n)t+t2+4=0. 点 A、 B 是直线 AB： y=kx+2k+4 与抛物线 y= x2交点， m 、 n 是方程 kx+2k+4= x2即 x2-2kx-4k-8=0 两根 . m+n=2k ， mn=-4k-8. -4k-8+2kt+t2+4=0， 即 t2+2kt-4k-4=0. 即 (t-2)(t+2k+2)=0. t 1=2， t2=-2k-2(舍 ). 定点 D 的坐标为 (2， 2). 过点 D 作 x 轴的平行线 DG， 过点 C 作 CGDG ，垂足为 G，如图 3 所示 . 点 C(-2， 4)，点 D(2， 2)， CG=4 -2=2， DG=2-(-2)=4. CGDG ， DC= = = =2 . 过点 D 作 DHAB ，垂足为 H，如图 3 所示， DHDC. DH2 . 当 DH 与 DC 重合即 DCAB 时， 点 D 到直线 AB 的距离最大，最大值为 2 . 点 D 到直线 AB 的最大距离为 2 .
