1、2014 年湖北省潜江市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3分，满分 30 分 )在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案 ) 1.(3 分 )- 的倒数等于 ( ) A. B. - C. -2 D. 2 解析 ： - 的倒数是 -2. 答案： C. 2.(3 分 )美丽富饶的江汉平原，文化底蕴深厚，人才辈出 .据统计，该地区的天门、仙桃、潜江和江汉油田 2014 年共有约 25000 名初中毕业生参加了毕业生参加统一的学业考试，将25000 用科学记数法可表示为 ( ) A. 2510 3 B. 2.510 4 C. 2.510 5 D. 0.2510
2、 6 解析 ： 25 000=2.510 4. 答案： B. 3.(3 分 )如图，已知 ab ，小华把三角板的直角顶点放在直线 b 上 .若 1=40 ，则 2 的度数为 ( ) A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 解析 ： 1+3=90 ， 3=90 -40=50 ， ab ， 2+3=180 .2=180 -50=130 . 答案： D. 4.(3 分 )下列事件中属于不可能事件的是 ( ) A. 某投篮高手投篮一次就进球 B. 打开电视机，正在播放世界杯足球比赛 C. 掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于 6 D. 在 1 个标准大气压下， 90 的水会沸腾 解析
3、 ： A、是随机事件，故 A 选项错误； B、是随机事件，故 B 选项错误； C、是必然事件，故 C 选项错误； D、是不可能事件，故 D 选项正确 . 答案： D. 5.(3 分 )如图所示的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 几何体的主视图是两个长方形，其中一个在另一的上面的左侧， 答案： A. 6.(3 分 )将 (a-1)2-1 分解因式，结果正确的是 ( ) A. a(a-1) B. a(a-2) C. (a-2)(a-1) D. (a-2)(a+1) 解析 ： 原式 =(a-1+1)(a-1-1)=a(a-2). 答案： B. 7.(3 分 )把不等式组 的
4、解集在数轴上表示，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 解得 ， 答案： B. 8.(3 分 )已知 m， n 是方程 x2-x-1=0 的两实数根，则 + 的值为 ( ) A. -1 B. - C. D. 1 解析 ： 根据题意得 m+n=1， mn=-1，所以 + = = =-1. 答案： A. 9.(3 分 )如图，正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2= 的图象交于 A(1， 2)， B两点，给出下列结论： k 1 k2； 当 x -1 时， y1 y2； 当 y1 y2时， x 1； 当 x 0 时， y2随 x 的增大而减小 . 其中正确的有 ( ) A. 0
5、个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 解析 ： 正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2= 的图象交于 A(1， 2)， k 1=2， k2=2， k1=k2，故 错误； 由反比例函数的对称性可知， B 点坐标为 (-1， -2)， x -1 时，一次函数图象在反比例图象下方，故 正确； y 1 y2时， -1 x 0 或 x 1，故 错误； k 2=2 0，当 x 0 时， y2随 x 的增大而减小，故 正确； 答案： C. 10.(3 分 )如图， B， C， D 是半径为 6 的 O 上的三点，已知 的长为 2 ，且 ODBC ，则BD 的长为 ( ) A. 3 B. 6 C
6、. 6 D. 12 解析 ： 连结 OC 交 BD 于 E，如图， 设 BOC=n ，根据题意得 2= ，得 n=60，即 BOC=60 ， 而 OB=OC， OBC 为等边三角形， C=60 ， OBC=60 ， BC=OB=6， BCOD ， 2=C=60 ， 1= 2 (圆周角定理 )， 1=30 ， BD 平分 OBC ， BDOC ， BE=DE ， 在 RtCBE 中， CE= BC=3， BE= CE=3 ， BD=2BE=6 . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分 )将结果直接填写在对应的横线上。 11.(3 分 )化简 = . 解
7、析 ： = =3 . 答案： 3 . 12.(3 分 )如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为 (-1， 2)，点 C 的坐标为 (-3， 0)，将点 C绕点 A 逆时针旋转 90 ，再向下平移 3 个单位，此时点 C 的对应点的坐标为 . 解析 ： 如图，将点 C 绕点 A 逆时针旋转 90 后，对应点的坐标为 (1， 0)，再将 (1， 0)向下平移 3 个单位，此时点 C 的对应点的坐标为 (1， -3). 答案： (1， -3). 13.(3 分 )纸箱里有两双拖鞋，除颜色不同外，其它都相同，从中随机取一只 (不放回 )，再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为 . 解析 ： 列表
8、如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中两次取出的鞋颜色恰好相同的情况有 4 种，则 P= = . 答案： 14.(3 分 )如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶 (拱桥洞的最高点 )离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为 米 . 解析 ： 建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A， B 两点， OA和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点C 坐标为 (0， 2)， 通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入
9、A 点坐标 (-2， 0)， 到抛物线解析式得出： a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y=-1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=-1 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通 过把 y=-1 代入抛物线解析式得出： -1=-0.5x2+2，解得： x= ，所以水面宽度增加到 米， 答案： 米 . 15.(3 分 )将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为 2，宽为 1，依此类推，摆放 2014 个时，实线部分长为 . 解析 ： 由图形可得出：摆放一个矩形实线长为 3， 摆放
10、2 个矩形实线长为 5，摆放 3 个矩形实线长为 8， 摆放 4 个矩形实线长为 10，摆放 5 个矩形实线长为 13， 即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加 2， 第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加 3， 摆放 2014 个时，相等于在第 1 个的基础上加 1007 个 2， 1006个 3， 摆放 2014 个时，实线部分长为： 3+10072+10063=5035 . 故答案为： 5035. 补充其他方法： 第 个图实线部分长 3 第 个图实线部分长 3+2 第 个图实线部分长 3+2+3 第 个图实线部分长 3+2+3+2 第 个图实线部分长 3+2+3+2+3 第 个图实线部
11、分长 3+2+3+2+3+2 从上述规律可以看到，对于第 n 个图形， 当 n 为奇数时，第 n 个图形实线部分长度为 (3+2)(n-1)+3； 当 n 为偶数时，第 n 个图形实线部分长度为 (3+2)n， 所以当摆放 2014 个时，即第 2014 个图形，实线部分长度等于 (3+2)2014=5035 . 三、解答题 (本大题共 10 小题，满分 75分 ) 16.(5 分 )计算： ( -1)0-|-5|+( )-1. 解析 ： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =1-5+3=-1. 17.
12、(6 分 )解方程： . 解析 ： 本题的最简公分母是 3(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解 . 答案： 方程两边都乘 3(x+1)，得： 3x-2x=3(x+1)，解得： x=- ， 经检验 x=- 是方程的解， 原方程的解为 x=- . 18.(6 分 )为弘扬中华传统文化，某校组织八年级 1000 名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩 (得分取正整数，满分为 100 分 )进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： (1)本次抽样调查的样本容量为 ，此样本中成绩的中位数落在第 组内，表中m= ， n= ； (2)补
13、全频数分布直方图； (3)若成绩超过 80 分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？ 解析 ： (1)根据第一组的频数是 16，频率是 0.08，即可求得总数，即样本容量； (2)根据 (1)的计算结果即可作出直方图； (3)利用总数 1000 乘以优秀的所占的频率即可 . 答案： (1)样本容量是： 160.08=200 ； 样本中成绩的中位数落在第四组； m=2000.40=80 ， n= =0.12； (2)补全频数分布直方图，如下： (3)1000(0.4+0.12)=520(人 ). 答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有 520 人 . 19.(6 分 )如图
14、，四边形 ABCD 是平行四边形， E， F 为对角线 AC 上两点，连接 ED， EB， FD，FB.给出以下结论： BEDF ； BE=DF ； AE=CF .请你从中选取一个条件，使 1=2 成立，并给出证明 . 解析 ： 欲证明 1=2 ，只需证得四边形 EDFB 是平行四边形或 ABFCDE 即可 . 答案： 方法一：补充条件 BEDF . 证明：如图， BEDF ， BEC=DFA ， BEA=DFC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD ， BAE=DCF ， 在 ABE 与 CDF 中， ， ABECDF (ASA)， BE=DF ， 四边形 BFDE
15、 是平行四边形， EDBF ， 1=2 ； 方法二：补充条件 AE=CF . 证明： AE=CF ， AF=CE . 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD ， BAF=DCE ， 在 ABF 与 CDE 中， ABFCDE (SAS)， 1=2 . 20.(6 分 )如图，在坡角为 30 的山坡上有一铁塔 AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成 45 角时，测得铁塔 AB 落在斜坡上的影子 BD 的长为 6 米，落在广告牌上的影子 CD 的长为 4 米，求铁塔 AB 的高 (AB， CD 均与水平面垂直，结果保留根号 ). 解析 ： 过点 C作 CEAB 于
16、E，过点 B 作 BFCD 于 F，过点 B作 BFCD 于 F，在 RtBFD 中，分别求出 DF、 BF 的长度，在 RtACE 中，求出 AE、 CE 的长度，继而可求得 AB的长度 . 答案： 过点 C 作 CEAB 于 E，过点 B 作 BFCD 于 F，过点 B作 BFCD 于 F， 在 RtBFD 中， DBF=30 ， sinDBF= = ， cosDBF= = ， BD=6 ， DF=3 ， BF=3 ， ABCD ， CEAB ， BFCD ， 四边形 BFCE 为矩形， BF=CE=3 ， CF=BE=CD-DF=1， 在 RtACE 中， ACE=45 ， AE=CE=
17、3 ， AB=3 +1. 答：铁塔 AB 的高为 (3 +1)m. 21.(8 分 )反比例函数 y= 在第一象限的图象如图所示，过点 A(1， 0)作 x 轴的垂线，交反比例函数 y= 的图象于点 M， AOM 的面积为 3. (1)求反比例函数的解析式； (2)设点 B 的坐标为 (t， 0)，其中 t 1.若以 AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数 y=的图象上，求 t 的值 . 解析 ： (1)根据反比例函数 k 的几何意义得到 |k|=3，可得到满足条件的 k=6，于是得到反比例函数解析式为 y= ； (2)分类讨论：当以 AB 为一边的正方形 ABCD 的顶点 D 在反比例函
18、数 y= 的图象上，则 D 点与 M 点重合，即 AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定 M 点坐标为 (1， 6)，则AB=AM=6，所以 t=1+6=7；当以 AB 为一边的正方形 ABCD 的顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上，根据正方形的性质得 AB=BC=t-1， 则 C 点坐标为 (t， t-1)，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 t(t-1)=6，再解方程得到满足条件的 t 的值 . 答案： (1)AOM 的面积为 3， |k|=3， 而 k 0， k=6 ， 反比例函数解析式为 y= ； (2)当以 AB为一边的正方形 ABCD的顶点 D在反比例函数 y
19、= 的图象上，则 D点与 M点重合，即 AB=AM， 把 x=1 代入 y= 得 y=6， M 点坐标为 (1， 6)， AB=AM=6 ， t=1+6=7 ； 当以 AB 为一边的正方形 ABCD 的顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上， 则 AB=BC=t-1， C 点坐标为 (t， t-1)， t (t-1)=6， 整理为 t2-t-6=0，解得 t1=3， t2=-2(舍去 )， t=3 ， 以 AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数 y= 的图象上时， t 的值为 7 或 3. 22.(8 分 )如图，已知 BC 是以 AB 为直径的 的切线，且 BC=AB，连接 OC 交 O
20、 于点 D，延长AD 交 BC 于点 E， F 为 BE 上一点，且 DF=FB. (1)求证： DF 是 O 的切线； (2)若 BE=2，求 O 的半径 . 解析 ： (1)连接 BD，根据等边对等角可得 FDB=FBD ， ODB=OBD ，然后根据切线的性质即可证得； (2)根据直角 OBC 和直角 CDF 中， tanC 的定义即可列方程气的 CD 的长，在直角 CDF 中利用勾股定理即可求解 . 答案： (1)证明：连接 BD， BC 是 O 的切线， AB 是直径， ABBC ， FBD+OBD=90 ， DF=FB ， FDB=FBD ， OD=OB ， ODB=OBD ， F
21、DB+ODB=FBD+OBD=90 ， ODDF ， DF 是圆的切线； (2)AB 是圆的直径， ADB=90 ， FDB+FDE=FBD+FED=90 ， FDB=FBD ， FDE=FED ， FD=FE=FB ， 在直角 OBC 中， tanC= = = ， 在直角 CDF 中， tanC= ， = ， DF=1 ， CD=2 ， 在直角 CDF 中，由勾股定理可得： CF= ， OB= BC= ， O 的半径是 . 23.(8 分 )为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下： 设购买白杨树苗 x 棵，到两
22、家林场购买所需费用分别为 y 甲 (元 )、 y 乙 (元 ). (1)该村需要购买 1500 棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元； (2)分别求出 y 甲 、 y 乙 与 x 之间的函数关系式； (3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？ 解析 ： (1)由单价 数量就可以得出购买树苗需要的费用； (2)根据分段函数的表示法，分别当 0x1000 ，或 x 1000.0x2000 ，或 x 2000，由由单价 数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出 y 甲 、 y 乙 与 x 之间的函数关系式； (3)分类讨论，当 0x100
23、0 ， 1000 x2000 时， x 2000 时，表示出 y 甲 、 y 乙 的关系式，就可以求出结论 . 答案： (1)由题意，得 y 甲 =41000+3.8 (1500-1000)=5900 元， y 乙 =41500=6000 元； 故答案为： 5900， 6000； (2)当 0x1000 时， y 甲 =4x， x 1000时 .y甲 =4000+3.8(x-1000)=3.8x+200， y 甲 = ； 当 0x2000 时， y 乙 =4x， 当 x 2000 时， y 乙 =8000+3.6(x-2000)=3.6x+800， y 乙 =； (3)由题意，得当 0x100
24、0 时，两家林场单价一样， 到两家林场购买所需要的费用一样 . 当 1000 x2000 时，甲林场有优惠而乙林场无优惠， 当 1000 x2000 时，到甲林场优惠； 当 x 2000 时， y 甲 =3.8x+200， y 乙 =3.6x+800， 当 y 甲 =y 乙 时 ， 3.8x+200=3.6x+800，解得： x=3000. 当 x=3000 时，到两家林场购买的费用一样； 当 y 甲 y 乙 时， 3.8x+200=3.6x+800， x 3000.2000 x 3000 时，到甲林场购买合算； 当 y 甲 y 乙 时， 3.8x+200 3.6x+800，解得： x 300
25、0. 当 x 3000 时，到乙林场购买合算 . 综上所述，当 0x1000 或 x=3000 时，两家林场购买一样， 当 1000 x 3000 时，到甲林场购买合算； 当 x 3000 时，到乙林场购买合算 . 24.(10 分 ) 如图 ， ABC 与 DEF 是将 ACF 沿过 A点的某条直线剪开得到的 (AB， DE是同一条剪切线 ).平移 DEF 使顶点 E与 AC 的中点重合，再绕点 E 旋转 DEF ，使 ED， EF 分别与 AB， BC 交于M， N 两点 . (1)如图 ， ABC 中，若 AB=BC，且 ABC=90 ，则线段 EM 与 EN 有何数量关系？请直接写出结
26、论； (2)如图 ， ABC 中，若 AB=BC，那么 (1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由； (3)如图 ， ABC 中，若 AB： BC=m： n，探索线段 EM 与 EN 的数量关系，并证明你的结论 . 解析： (1)由四边形的内角和为 360 可以推出 HEM=GEN ，由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可以推出 EH=EG，从而可以证到 HEMGEN ，进而有 EM=EG. (2)借鉴 (1)的证明方法同样可以证到 EM=EG. (3)借鉴 (2)中解题经验可以证到 HEMGEN ，从而有 EM： EN=EH： EG.由点 E 为 AC 的中点可得
27、SAEB =SCEB ，可证到 EH： EG=BC： AB，从而得到 EM： EN=BC： AB=n： m. 答案： (1)EM=EN.证明：过点 E 作 EGBC ， G 为垂足，作 EHAB ， H 为垂足，连接 BE，如答图 所示 . 则 EHB=EGB=90 . 在四边形 BHEG 中， HBG+HEG=180 . HBG+DEF=180 ， HEG=DEF .HEM=GEN . BA=BC ，点 E 为 AC 中点， BE 平分 ABC . 又 EHAB ， EGBC ， EH=EG . 在 HEM 和 GEN 中， HEM=GEN ， EH=EG， EHM=EGN ， HEMGEN
28、 .EM=EN . (2)EM=EN 仍然成立 . 证明：过点 E 作 EGBC ， G 为垂足，作 EHAB ， H 为垂足，连接 BE，如答图 所示 . 则 EHB=EGB=90 . 在四边形 BHEG 中， HBG+HEG=180 . HBG+DEF=180 ， HEG=DEF .HEM=GEN . BA=BC ，点 E 为 AC 中点， BE 平分 ABC . 又 EHAB ， EGBC ， EH=EG . 在 HEM 和 GEN 中， HEM=GEN ， EH=EG， EHM=EGN ， HEMGEN .EM=EN . (3)线段 EM 与 EN 满足关 系： EM： EN=n： m
29、. 证明：过点 E 作 EGBC ， G 为垂足，作 EHAB ， H 为垂足，连接 BE，如答图 所示 . 则 EHB=EGB=90 . 在四边形 BHEG 中， HBG+HEG=180 . HBG+DEF=180 ， HEG=DEF .HEM=GEN . HEM=GEN ， EHM=EGN ， HEMGEN .EM ： EN=EH： EG. 点 E 为 AC 的中点， S AEB =SCEB . AB EH= BC EG.EH ： EG=BC： AB.EM ： EN=BC： AB. AB ： BC=m： n， EM ： EN=n： m. 25.(12 分 )已知抛物线经过 A(-2， 0)
30、， B(0， 2)， C( ， 0)三点，一动点 P 从原点出发以 1个单位 /秒的速度沿 x 轴正方向运动，连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线交 y 轴于点 Q.设点P 的运动时间为 t 秒 . (1)求抛物线的解析式； (2)当 BQ= AP 时，求 t 的值； (3)随着点 P 的运动，抛物线上是否存在一点 M，使 MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)已知 3 点求抛物线的解析式，设解析式为 y=ax2+bx+c，待定系数即得 a、 b、 c的值，即得解析式 . (2)BQ= AP，要考虑 P 在 OC 上及
31、 P 在 OC的延长线上两种情况，有此易得 BQ， AP关于 t的表示，代入 BQ= AP 可求 t 值 . (3)考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形 .考虑 MPQ ，发现 PQ 为一有规律的线段，易得 OPQ 为等腰直角三角形，但仅因此无法确定 PQ 运动至何种情形时 MPQ 为等边三角形 .若退一步考虑等腰，发现 MO 应为 PQ 的垂直平分线，即使 MPQ为等边三角形的 M 点必属于 PQ 的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足MPQ 为等腰三角形，不一定为等边三角形 .确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于 t 的方程，考虑 t
32、 的存在性 . 答案： (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 抛物线经过 A(-2， 0)， B(0， 2)， C( ， 0)三点， ，解得 ， y= - x2- x+2. (2)AQPB ， BOAP ， AOQ=BOP=90 ， PAQ=PBO ， AO=BO=2 ， AOQBOP ， OQ=OP=t . 如图 1，当 t2 时，点 Q 在点 B 下方，此时 BQ=2-t， AP=2+t. BQ= AP， 2 -t= (2+t)， t= . 如图 2，当 t 2 时，点 Q 在点 B 上方，此时 BQ=t-2， AP=2+t. BQ= AP， t -2= (2+t)， t=6
33、. 综上所述， t= 或 6 时， BQ= AP. (3)当 t= -1 时，抛物线上存在点 M(1， 1)；当 t=3+3 时，抛物线上存在点 M(-3， -3). 分析如下： AQBP ， QAO+BPO=90 ， QAO+AQO=90 ， AQO=BPO . 在 AOQ 和 BOP 中， ， AOQBOP ， OP=OQ ， OPQ 为等腰直角三角形， MPQ 为等边三角形，则 M 点必在 PQ 的垂直平分线上， 直线 y=x 垂直平分 PQ， M 在 y=x 上，设 M(x， y)， ，解得 或 ， M 点可能为 (1， 1)或 (-3， -3). 如图 3，当 M 的坐标为 (1，
34、1)时，作 MDx 轴于 D， 则有 PD=|1-t|， MP2=1+|1-t|2=t2-2t+2， PQ2=2t2， MPQ 为等边三角形， MP=PQ ， t 2+2t-2=0， t= -1+ ， t=-1- (负值舍去 ). 如图 4，当 M 的坐标为 (-3， -3)时，作 MEx 轴于 E， 则有 PE=3+t， ME=3， MP 2=32+(3+t)2=t2+6t+18， PQ2=2t2， MPQ 为等边三角形， MP=PQ ， t 2-6t-18=0， t=3+3 ， t=3-3 (负值舍去 ). 综上所述，当 t=-1+ 时，抛物线上存在点 M(1， 1)，或当 t=3+3 时，抛物线上存在点M(-3， -3)，使得 MPQ 为等边三角形 .
