1、2014 年湖北省随州市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )2 的相反数是 ( ) A. 1 B. C. -2 D. 解析 ： 2 的相反数是 -2. 答案： C. 2.(3 分 )如图所示物体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从上面向下看，易得到横排有 3 个正方形 . 答案： D. 3.(3 分 )2013 年，我市以保障和改善民生为重点的 “ 十件实事 ” 全面完成，财政保障民生支出达 74 亿元，占公共财政预算支出的 75%，数据 74 亿元用科学记数法表示为 ( ) A. 7410 8元 B. 7.410 8元 C. 7.
2、410 9元 D. 0.7410 10元 解析 ： 74 亿 =74 0000 0000=7.410 9， 答案： C. 4.(3 分 )如图，在 ABC 中，两条中线 BE、 CD 相交于点 O，则 SDOE ： SCOB =( ) A. 1： 4 B. 2： 3 C. 1： 3 D. 1： 2 解析 ： BE 和 CD 是 ABC 的中线， DE= BC， DEBC ， = ， DOECOB ， =( )2=( )2= ， 答案： A. 5.(3 分 )计算 (- xy2)3，结果正确的是 ( ) A. x3y5 B. - x3y6 C. x3y6 D. - x3y5 解析 ： 原式 =-
3、( )3x3y6=- x3y6. 答案： B. 6.(3 分 )在 2014 年的体育中考中，某校 6 名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是 ( ) A. 18， 18， 1 B. 18， 17.5， 3 C. 18， 18， 3 D. 18， 17.5， 1 解析 ： 这组数据 18 出现的次数最多，出现了 3 次，则这组数据的众数是 18； 把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是 (18+18)2=18 ，则中位数是 18； 这组数据的平均数是： (172+183+20)6=18 ， 则方差是： 2(17 -18)2+3(18 -18)2+(20-18)2
4、=1； 答案： A. 7.(3分 )如图，要测量 B点到河岸 AD的距离，在 A点测得 BAD=30 ，在 C点测得 BCD=60 ，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( ) A. 100 米 B. 50 米 C. 米 D. 50 米 解析 ： 过 B 作 BMAD ， BAD=30 ， BCD=60 ， ABC=30 ， AC=CB=100 米， BMAD ， BMC=90 ， CBM=30 ， CM= BC=50 米， BM= CM=50 米， 答案： B. 8.(3 分 )关于反比例函数 y= 的图象，下列说法正确的是 ( ) A. 图象经过点 (1， 1) B
5、. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于 x 轴成轴对称 D. 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小 解析 ： A、把点 (1， 1)代入反比例函数 y= 得 21 不成立，故 A 选项错误； B、 k=2 0， 它的图象在第一、三象限，故 B 选项错误； C、图象的两个分支关于 y=-x 对称，故 C 选项错误 . D、当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小，故 D 选项正确 . 答案： D. 9.(3 分 )在等边 ABC 中， D 是边 AC 上一点，连接 BD，将 BCD 绕点 B 逆时针旋转 60 ，得到 BAE ，连接 ED，若 BC=5， BD=4.则下列结论
6、错误的是 ( ) A. AEBC B. ADE=BDC C. BDE 是等边三角形 D. ADE 的周长是 9 解析 ： ABC 是等边三角形， ABC=C=60 ， 将 BCD 绕点 B 逆时针旋转 60 ，得到 BAE ， EAB=C=ABC=60 ， AEBC ， 答案： 项 A 正确； ABC 是等边三角形， AC=AB=BC=5 ， BAEBCD 逆时针旋旋转 60 得出， AE=CD ， BD=BE， EBD=60 ， AE+AD=AD+CD=AC=5 ， EBD=60 ， BE=BD， BDE 是等边三角形， 答案： 项 C 正确； DE=BD=4 ， AED 的周长 =AE+A
7、D+DE=AC+BD=9， 答案： 项 D 正确； 而选项 B 没有条件证明 ADE=BDC ， 结论错误的是 B， 答案： B. 10.(3 分 )某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式 1，收月基本费 20 元，再以每分钟 0.1 元的价格按通话时间计费；方式 2，收月基本费 20 元，送 80 分钟通话时间，超过 80分钟的部分，以每分钟 0.15 元的价格计费 . 下列结论： 如图描述的是方式 1 的收费方法； 若月通话时间少于 240 分钟，选择方式 2 省钱； 若月通讯费为 50 元，则方式 1 比方式 2 的通话时间多； 若方式 1 比方式 2 的通讯费多 10 元，则方式
8、1比方式 2的通话时间多 100分钟 . 其中正确的是 ( ) A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 解析 ： 根据题意得：方式一的函数解析式为 y=0.1x+20，方式二的函数解析式为 y=， 方式一的函数解析式是一条直线，方式二的函数解析式是分段函数，所以如图描述的是方式 1 的收费方法，另外，当 x=80 时，方式一是 28 元，方式二是 20元，故 说法正确； 0.1x+20 20+0.15(x -80)，解得 x 240，故 的说法正确； 当 y=50 元时，方式一： 0.1x+20=50，解得 x=300 分钟，方式二： 20+0.15(x -80)=50，解得 x=280 分
9、钟，故 说法正确； 当 x 80， 0.1x+20-20=10，解得 x=100，矛盾；当 x 80，设方式一的通话时间为 x1，方式二的通话时间为 x2，则 ，解得 ，因此若方式 1 比方式 2 的通讯费多 10 元，则方式 1比方式 2的通话时间多 100分钟，故 说法正确； 答案： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 11.(3 分 )计算： |-3|+ +( -1)0= . 解析 ： 原式 =3-2+1=2. 答案： 2. 12.(3 分 )不等式组 的解集是 . 解析 ： ， 由 得 x1 ， 由 得 x -1， 故此不等式的解集为： -1 x2. 答案： -1 x
10、2. 13.(3 分 )将一副直角三角板如图放置，使含 30 角的三角板的短直角边和含 45 角的三角板的一条直角边重合，则 1 的度数为 度 . 解析 ： 如图 .3=60 ， 4=45 ， 1=5=180 -3 -4=75. 答案： 75. 14.(3 分 )某小区 2013 年绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年绿化面积要达到 2880 平方米 .如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 . 解析 ： 设这个增长率是 x，根据题意得： 2000(1+x) 2=2880， 解得： x1=20%， x2=-220%(舍去 ). 故答案为： 20%. 15.(3 分 )圆锥的
11、底面半径是 2cm，母线长 6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为 度 . 解析 ： 圆锥的底面半径是 2cm， 圆锥的底面周长为 4 ， 设圆心角为 n ，根据题意得： =4 ，解得 n=120. 答案： 120. 16.(3 分 )如图 1，正方形纸片 ABCD 的边长为 2，翻折 B 、 D ，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P， EF、 GH 分别是折痕 (如图 2).设 AE=x(0 x 2)，给出下列判断： 当 x=1 时，点 P 是正方形 ABCD 的中心； 当 x= 时， EF+GH AC； 当 0 x 2 时，六边形 AEFCHG 面积的最大值是 ； 当
12、0 x 2 时，六边形 AEFCHG 周长的值不变 . 其中正确的是 (写出所有正确判断的序号 ). 解析 ： (1)正方形纸片 ABCD，翻折 B 、 D ，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P， BEF 和 DGH 是等腰直角三角形， 当 AE=1 时，重合点 P 是 BD的中点， 点 P是正方形 ABCD 的中心；故 结论正确， (2)正方形纸片 ABCD，翻折 B 、 D ，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，BEFBAC ， x= ， BE=2 - = ， = ，即 = ， EF= AC， 同理， GH= AC， EF+GH=AC ， 故 结论错误， (3)六边
13、形 AEFCHG 面积 =正方形 ABCD 的面积 -EBF 的面积 -GDH 的面积 . AE=x ， 六边形 AEFCHG面积 =22- BE BF- GD HD=4- (2 -x) (2-x)- x x=-x2+2x+2=-(x-1)2+3， 六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3，故 结论错误， (4)当 0 x 2 时， EF+GH=AC ， 六边形 AEFCHG 周长 =AE+EF+FC+CH+HG+AG=(AE+CH)+(FC+AG)+(EF+GH)=2+2+2 =4+2 故六边形 AEFCHG 周长的值不变，故 结论正确 . 答案： . 三、解答题 (共 72 分 ) 17.
14、(6 分 )先简化，再求值： ( - ) ，其中 a= +1. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = (a+1)(a-1)=a2-3a， 当 a= +1 时，原式 =3+2 -3 -3=- . 18.(7 分 )已知：如图，在矩形 ABCD 中， M、 N 分别是边 AD、 BC 的中点， E、 F 分别是线段 BM、CM 的中点 . (1)求证： ABMDCM ； (2)填空：当 AB： AD= 时，四边形 MENF 是正方形 . 解析 ： (1)根据矩形性质得出 AB=DC，
15、 A=D=90 ，根据全等三角形的判定推出即可； (2)求出四边形 MENF 是平行四边形，求出 BMC=90 和 ME=MF，根据正方形的判定推出即可 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， AB=DC ， A=D=90 ， M 为 AD 的中点， AM=DM ，在 ABM 和 DCM 中 ， ， ABMDCM(SAS). (2)当 AB： AD=1： 2 时，四边形 MENF 是正方形， 理由是： AB ： AD=1： 2， AM=DM， AB=CD， AB=AM=DM=DC ， A=D=90 ， ABM=AMB=DMC=DCM=45 ， BMC=90 ， 四边形 ABCD 是正方
16、形， ABC=DCB=90 ， MBC=MCB=45 ， BM=CM ， N 、 E、 F 分别是 BC、 BM、 CM 的中点， BE=CF ， ME=MF， NFBM ， NECM ， 四边形 MENF 是平行四边形， ME=MF ， BMC=90 ， 四边形 MENF 是正方形， 即当 AB： AD=1： 2 时，四边形 MENF 是正方形， 答案： 1： 2. 19.(7 分 )近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果 .某校随机调查了九年级 m 名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表： 请你根据图表中提供的信息解答下列问题： (1)表中 m 的值为 ，
17、 n 的值为 ； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级有学生 500 名，估计该校大约有多少名毕业生的升学意向是职业高中？ 解析 ： (1)由省级示范高中人数除以占的百分比得到总学生数，确定出 m 的值；进而确定出职业高中学生数，求出占的百分比，确定出 n 的值； (2)补全条形统计图，如图所示； (3)由职业高中的百分比乘以 500 即可得到结果 . 答案： (1)根据题意得： 1525%=60( 人 )，即 m=60， 职业高中人数为 60-(15+15+9+3)=18(人 )，占的百分比为 1860100%=30% ， 则 n=1-(25%+25%+30%+5%)=15%； 故答案
18、为： 60； 15%； (2)补全条形统计图，如图所示： (3)根据题意得： 50030%=150( 名 )， 则估计该校大约有 150 名毕业生的升学意向是职业高中 . 20.(7 分 )某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标 .经测算：若由两个工程队合做， 12 天恰好完成；若两个队合做 9 天后，剩下的由甲队单独完成，还需 5 天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？ 解析 ： 设甲队单独完成工程需 x 天，则甲队的工作效率为 ，等量关系：甲乙 9 天的工作量+甲 5 天的工作量 =1，可得方程，解出即可 . 答案：
19、设甲队单独完成工程需 x 天， 由题意，得： 9+ 5=1 ，解得： x=20， 经检验得： x=20 是方程的解， - = ， 乙单独完成工程需 30 天， 20 30， 从缩短工期角度考虑，应该选择甲队 . 21.(7 分 )四张扑克牌的牌面如图 1 所示，将扑克牌洗匀后，如图 2 背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了 A、 B 两种游戏方案： 方案 A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为 5 时小明获胜；否则小亮获胜 . 方案 B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜 . 请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由 .解析 ： 由四张扑克
20、牌的牌面是 5 的有 2 种情况，不是 5 的也有 2 种情况，可求得方案 A 中，小亮获胜的概率； 首先根据题意画出树 状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案；比较其大小，即可求得答案 . 答案： 小亮选择 A 方案，使他获胜的可能性较大 . 方案 A： 四张扑克牌的牌面是 5 的有 2 种情况，不是 5 的也有 2 种情况， P( 小亮获胜 )= = ； 方案 B：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有 4 种情况，不是偶数的有 8 种情况， P( 小亮获胜 )= = ； 小亮选择 B 方案，使他获胜的可能性较大 .
21、 22.(8 分 )如图， O 中，点 C 为 的中点， ACB=120 ， OC 的延长线与 AD 交于点 D，且D=B . (1)求证： AD 与 O 相切； (2)若点 C 到弦 AB 的距离为 2，求弦 AB 的长 . 解析 ： (1)连接 OA，由 = ，得 CA=CB，根据题意可得出 O=60 ，从而得出 OAD=90 ，则 AD 与 O 相切； (2)设 OC 交 AB 于点 E，由题意得 OCAB ，求得 CE=2， RtBCE 中，由三角函数得 BE=2 ，即可得出 AB 的长 . 答案： (1)如图，连接 OA， = ， CA=CB ，又 ACB=120 ， B=30 ，
22、O=2B=60 ， D=B=30 ， OAD=180 -(O+D)=90 ， AD 与 O 相切； (2)设 OC 交 AB 于点 E，由题意得 OCAB ， CE=2 ， 在 RtBCE 中， BE= =2 =2 .AB=2BE=4 . 23.(8 分 )楚天汽车销售公司 5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为 30 万元 /辆，若当月销售量超过 5 辆时，每多售出 1 辆，所有售出的汽车进价均降低 0.1 万元 /辆 .根据市场调查，月销售量不会突破 30 台 . (1)设当月该型号汽车的销售量为 x 辆 (x30 ，且 x 为正整数 )，实际进价为 y 万元 /辆，求y 与 x
23、 的函数关系式； (2)已知该型号汽车的销售价为 32 万元 /辆，公司计划当月销售利润 25 万元，那么该月需售出多少辆汽车？ (注：销售利润 =销售价 -进价 ) 解析 ： (1)根据分段函数可以表示出当 0 x5 ， 5 x30 时由销售数量与进价的关系就可以得出结论； (2)由销售利润 =销售价 -进价，由 (1)的解析式建立方程就可以求出结论 . 答案： (1)由题意，得 当 0 x5 时 ， y=30. 当 5 x30 时， y=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5. y= ； (2)当 0 x5 时， (32-30)5=10 25，不符合题意， 当 5 x30 时， 32
24、-(-0.1x+30.5)x=25，解得： x1=-25(舍去 )， x2=10. 答：该月需售出 10 辆汽车 . 24.(10 分 )已知两条平行线 l1、 l2之间的距离为 6，截线 CD 分别交 l1、 l2于 C、 D 两点，一直角的顶点 P 在线段 CD 上运动 (点 P 不与点 C、 D重合 )，直角的两边分别交 l1、 l2于 A、 B两点 . (1)操作发现 如图 1，过点 P 作直线 l3l 1，作 PEl 1，点 E 是垂足，过点 B作 BFl 3，点 F 是垂足 .此时，小明认为 PEAPFB ，你同意吗？为什么？ (2)猜想论证 将直角 APB 从图 1 的位置开始，
25、绕点 P 顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当 AE满足什么条件时，以点 P、 A、 B 为顶点的三角形是等腰三角形？在图 2 中画出图形，证明你的猜想 . (3)延伸探究 在 (2)的条件下，当截线 CD 与直线 l1所夹的钝角为 150 时，设 CP=x，试探究：是否存在实数 x，使 PAB 的边 AB 的长为 4 ？请说明理由 . 解析 ： (1)根据题意得到： EPA+APF=90 ， FPB+APF=90 ，从而得到 EPA=FPB ，然后根据 PEA=PFB=90 证得 PEAPFB ； (2)根据 APB=90 得到要使 PAB 为等腰三角形，只能是 PA=PB，然后根据当
26、 AE=BF时， PA=PB，从而得到 PEAPFB ，利用全等三角形的性质证得结论即可； (3)在 RtPEC 中， CP=x， PCE=30 从而得到 PE= x，然后利用 PE+BF=6， BF=AE 得到 AE=6-x，然后利用勾股定理得到 PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方程 x2-12x-8=0，求得x 的值后大于 12，从而得到矛盾说明不存在满足条件的 x. 答案： (1)如图 1， 由题意，得： EPA+APF=90 ， FPB+APF=90 ， EPA=FPB ， 又 PEA=PFB=90 ， PEAPFB ； (2)如图 2， APB=90 ， 要使 PAB
27、为等腰三角形，只能是 PA=PB， 当 AE=BF 时， PA=PB， EPA=FPB ， PEA=PFB=90 ， AE=BF， PEAPFB ， PA=PB ； (3)如图 2， 在 RtPEC 中， CP=x， PCE=30 ， PE= x， 由题意， PE+BF=6， BF=AE， AE=6 - x， 当 AB=4 时，由题意得 PA=2 ， RtPEA 中， PE2+AE2=PA2，即 ( )2+(6- x)2=40，整理得： x2-12x-8=0， 解得： x=6-2 0(舍去 )或 x=6+2 ， x=6+2 6+6=12，又 CD=12， 点 P 在 CD 的延长线上，这与点
28、P 在线段 CD上运动相矛盾， 不合题意， 综上，不存在满足条件的实数 x. 25.(12 分 )平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，点 C 的坐标为 (-3， 4)，点 A在 x 轴的正半轴上， O 为坐标原点，连接 OB，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 C、 O、 A 三点 . (1)直接写出这条抛物线的解析式； (2)如图 1，对于所求抛物线对称轴上的一点 E，设 EBO 的面积为 S1，菱形 ABCO 的面积为S2，当 S1 S2时，求点 E 的纵坐标 n的取值范围； (3)如图 2， D(0， - )为 y 轴上一点，连接 AD，动点 P 从点 O 出发，以 个单位 /秒
29、的速度沿 OB 方向运动， 1 秒后，动点 Q从 O 出发，以 2 个单位 /秒的速度沿折线 O-A-B 方 向运动，设点 P 运动时间为 t 秒 (0 t6 )，是否存在实数 t，使得以 P、 Q、 B 为顶点的三角形与 ADO相似？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)求得菱形的边长，则 A 的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； (2)首先求得菱形的面积，即可求得 S1的范围，当 S1 取得最大值时即可求得直线的解析式，则 n 的值的范围即可求得； (3)分当 1 t 3.5 时和 3.5t6 时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比
30、相等，即可列方程求解 . 答案： (1)C 点坐标为 (-3， 4)，四边形 ABCD 是菱形， OA=OC=5 ， A 点坐标为 (5， 0)， 根据题意得： ，解得： ，则抛物线的解析式是： y= x2- x； (2)设 BC 与 y 轴相交于点 G，则 S2=OG BC=20， S 15 ， 又 OB 所在直线的解析式是 y=2x， OB= =2 ， 当 S1=5 时， EBO 的 OB 边上的高是 . 如图 1，设平行于 OB 的直线为 y=2x+b， 则它与 y 轴的交点为 M(0， b)，与抛物线对称轴 x= 交于点 E( ， n). 过点 O 作 ONME ，点 N 为垂足，若
31、ON= ，由 MNOOGB ，得 OM=5， y=2x -5， 由 ，解得： y=0，即 E 的坐标是 ( ， 0). 与 OB 平行且到 OB 的距离是 的直线有两条 . 由对称性可得另一条直线的解析式是： y=2x+5.则 E 的坐标是 ( ， 10). 由题意得得， n 的取值范围是： 0n10 且 n5. (3)如图 2，动点 P、 Q 按题意运动时， 当 1 t 3.5 时， OP= t， BP=2 - t， OQ=2(t-1)， 连接 QP，当 QPOP 时，有 =sinBOQ=sinOBC= ， PQ= (t-1)， 若 = ，则有 = ，又 QPB=DOA=90 ， BPQAOD ， 此时， PB=2PQ，即 2 - t= (t-1)， 10-t=8(t-1)， t=2 ； 当 3.5t6 时， QB=10-2(t-1)=12-2t，连接 QP. 若 QPBP ，则有 PBQ=ODA ， 又 QPB=AOD=90 ， BPQDOA ， 此时， QB= PB，即 12-2t= (2 - t)， 12-2t=10-t， t=2( 不合题意，舍去 ). 若 QPBQ ，则 BPQDAO ，此时， PB= BQ， 即 2 - t= (12-2t)， 2- t=12-2t，解得： t= .则 t 的值为 2 或 .
