1、2014 年湖南省娄底市中考真题数学 一、精心选一选，旗开得胜 (本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里 ) 1.(3 分 )2014 的相反数是 ( ) A. -2014 B. - C. 2014 D. 解析 ： 2014 的相反数是 -2014. 答案： A. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x2 x3=x6 B. (x3)3=x9 C. x2+x2=x4 D. x6x 3=x2 解析 ： A、 x2 x3=x5，故原题计算错误； B、 (x3)3
2、=x9，故原题计算正确； C、 x2+x2=2x2，故原题计算错误； D、 x6x 3=x3，故原题计算错误； 答案： B. 3.(3 分 )函数 y= 中自变量 x 的取值范围为 ( ) A. x0 B. x -2 C. x2 D. x -2 解析 ： 根据题意，得 x-20 ，解得 x2 . 答案： C. 4.(3 分 )方程组 的解是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ， (1)+(2)得， 3x=6， x=2， 把 x=2 代入 (1)得， y=-1， 原方程组的解 . 答案： D. 5.(3 分 )下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解
3、析 ： A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； 答案： D. 6.(3 分 )若两圆的半径分别为 2cm 和 6cm，圆心距为了 8cm，则两圆的位置关系为 ( ) A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 外离 解析 ： 根据题意，得： R+r=8cm，即 R+r=d， 两圆外切 . 答案： A. 7.(3 分 )实施新课改以来，某班学生经常采用 “ 小组合作学习 ” 的方式进行学习 .值周班长小兵每周
4、对各小组合作学习情况进行综合评分 .下表是其中一周的评分结果： “ 分值 ” 这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A. 89， 90 B. 90， 90 C. 88， 95 D. 90， 95 解析 ： 把这组数据从小到大排列： 85， 89， 90， 90， 90， 91， 96， 最中间的数是 90，则中位数是 90； 90 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 90； 答案： B. 8.(3 分 )下列命题中，错误的是 ( ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 解析 ： A
5、、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，所以 B 选项的说法正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以 C 选项的说法错误； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 D 选项的说法正确 . 答案： C. 9.(3 分 )如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 1=40 ，那么2= ( ) A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 解析 ： 1+3=90 ， 1=40 ， 3=50 ， ABCD ， 2=3=50 . 答案： C. 10.(3 分 )一次函数 y=kx-k(k 0)的图象大致是 ( ) A. B. C
6、. D. 解析 ： k 0， -k 0， 一次函数 y=kx-k 的图象经过第一、二、四象限， 答案： A. 二、细心填一填，一锤定音 (本大题共 10道小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 11.(3 分 )五月初五是我国的传统节日 -端午节 .今年端午节，小王在 “ 百度 ” 搜索引擎中输入 “ 端午节 ” ，搜索到与之相关的结果约为 75100000 个， 75100000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 75100000 用科学记数法表示为 7.5110 7. 答案： 7.5110 7. 12.(3 分 )按照如图所示的操作步骤，若输入的值为 3，则输出的值为 . 解析 ：
7、由图可知，输入的值为 3 时， (32+2)5=(9+2 )5=55 . 答案： 55. 13.(3 分 )已知关于 x 的方程 2x+a-5=0 的解是 x=2，则 a的值为 . 解析 ： 把 x=2 代入方程，得： 4+a-5=0，解得： a=1. 答案： 1. 14.(3 分 )不等式组 的解集为 . 解析 ： ，由 得， x 2，由 得 x5 ，故此不等式组的解集为： 2 x5 . 答案： 2 x5 . 15.(3 分 )如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 (添加一个条件即可 ). 解析 ： 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四
8、边形是矩形故添加条件： ABC=90 或 AC=BD. 答案： ABC=90 或 AC=BD. 16.(3 分 )如图， M 为反比例函数 y= 的图象上的一点， MA 垂直 y 轴，垂足为 A， MAO 的面积为 2，则 k 的值为 . 解析 ： MA 垂直 y 轴， S AOM = |k|， |k|=2，即 |k|=4，而 k 0， k=4 . 答案： 4. 17.(3 分 )如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 m. 解析 ： 由题意得， CDAB ， OCDOAB ， = ，即 =
9、 ，解得 AB=9. 答案： 9. 18.(3 分 )五张分别写有 -1， 2， 0， -4， 5 的卡片 (除数字不同以外，其余都相同 )，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 . 解析 ： 五张分别写有 -1， 2， 0， -4， 5 的卡片 (除数字不同以外，其余都相同 )， 该卡片上的数字是负数的概率是： . 答案： . 19.(3 分 )如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个 组成，第 2 个图案由 7 个 组成，第 3 个图案由 10 个 组成，第 4 个图案由 13个 组成， ，则第 n(n为正整数 )个图案由 个 组成 . 解析 ： 观察发现： 第一
10、个图形有 32 -3+1=4 个三角形； 第二个图形有 33 -3+1=7 个三角形； 第一个图形有 34 -3+1=10 个三角形； 第 n 个图形有 3(n+1)-3+1=3n+1 个三角形； 答案： 3n+1. 20.(3 分 )如图， ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O，点 E是 AD 的中点， BCD 的周长为 18，则 DEO 的周长是 . 解析 ： E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形， DE= AD= BC， DO= BD， AO=CO， OE=CD， BCD 的周长为 18， BD+DC+B=18 ， DEO 的周长是 DE+OE+DO= (BC+DC
11、+BD)= 18=9 ， 答案： 9. 三、用心做一做，慧眼识金 (本大题共 3道小题，每小题 8 分，满分 24 分 ) 21.(8 分 )先化简 (1- )，再从不等式 2x-3 7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 . 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到 x 的值，代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = = =，不等式 2x-3 7，解得： x 5，其正整数解为 1， 2， 3， 4， 当 x=1 时，原式 = . 22.(8 分 )如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以
12、 45km/h 的速度由 C向东航行，在 C处测得 A的方位角为北偏东 60 ，测得 B 的方位角为南偏东 45 ，轮船航行 2 小时后到达小岛 B处，在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向 .求小岛 A 与小岛 B 之间的距离 (结果保留整数，参考数据： 1.41 ， 2.45 ) 解析 ： 先过点 C 作 CPAB 于 P，根据已知条件求出 PCB=PBC=45 ， CAP=60 ，再根据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值，在 RtPCB 中，根据勾股定理求出 BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值，最后根据 AB=AP+PB，即可求出答案 . 答案 ：过点
13、 C 作 CPAB 于 P， BCF=45 ， ACE=60 ， ABEF ， PCB=PBC=45 ， CAP=60 ， 轮船的速度是 45km/h，轮船航行 2 小时， BC=90 ， BC 2=BP2+CP2， BP=CP=45 ， C AP=60 ， tan60= = ， AP=15 ， AB=AP+PB=15 +45 =152.45+451.41100(km ). 答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离是 100km. 23.(8 分 )“ 中国梦 ” 是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是 “ 中国梦 ” 教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在
14、经典诵读活动中，对全校学生用 A、 B、 C、 D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)共抽取了多少个学生进行调查？ (2)将图甲中的折线统计图补充完整 . (3)求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数 . 解析 ： (1)用 C 等级的人数除以 C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数； (2)先用总数 50 分别减去 A、 C、 D 等级的人数得到 B 等级的人数，然后画出折线统计图； (3)用 360 乘以 B 等级所占的百分比即可得到 B 等级所占圆心角的度数 . 答案 ： (1)1020%=50 ，所以抽取了
15、 50 个学生进行调查； (2)B 等级的人数 =50-15-10-5=20(人 )，画折线统计图； (3)图乙中 B 等级所占圆心角的度数 =360 =144 . 四、综合用一用，马到成功 (本大题共 1道小题，满分 8 分 ) 24.(8 分 )娄底到长沙的距离约为 180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5 倍 . (1)求小轿车和大货车的速度各是多少？ (列方程解答 ) (2)当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？ 解析 ： (1)由题意，设大货车速度为 xkm/h，则小轿车的速度为 1
16、.5xkm/h，根据 “ 小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙， ” 列出方程解决问题； (2)利用 (1)中小张开着大货车的速度，即可求得答案 . 答案 ： (1)设大货车速度为 xkm/h，则小轿车的速度为 1.5xkm/h，由题意得 - =1 解得 x=60，则 1.5x=90， 答：大货车速度为 60km/h，则小轿车的速度为 90km/h. (2)180-601=120km 答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120km. 五、耐心想一想，再接再厉 (本大题共 1道小题，满分 8 分 ) 25.(8 分 )如图，在 O 中， AB， CD 是直径， BE 是切线， B 为切点
17、，连接 AD， BC， BD. (1)求证： ABDCDB ； (2)若 DBE=37 ，求 ADC 的度数 . 解析 ： (1)根据 AB， CD 是直径，可得出 ADB=CBD=90 ，再根据 HL 定理得出 ABDCDB ； (2)由 BE 是切线，得 ABBE ，根据 DBE=37 ，得 BAD ，由 OA=OD，得出 ADC 的度数 . 答案： (1)AB ， CD 是直径， ADB=CBD=90 ， 在 ABD 和 CDB 中， ， ABD 和 CDB(HL )； (2)BE 是切线， ABBE ， ABE=90 ， DBE=37 ， ABD=53 ， OA=OD ， BAD=OD
18、A=90 -53=37 ， ADC 的度数为 37 . 六、探究试一试，超越自我 (本大题共 2道小题，每小题 10 分，满分 20 分 ) 26.(10 分 )如图，抛物线 y=x2+mx+(m-1)与 x 轴交于点 A(x1， 0)， B(x2， 0)， x1 x2，与 y 轴交于点 C(0， c)，且满足 x12+x22+x1x2=7. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上能不能找到一点 P，使 POC=PCO ？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 . 解析 ： (1)利用根与系数的关系，等式 x12+x22+x1x2=7.由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-
19、m， x1x2=m-1.代入等式，即可求得 m 的值，从而求得解析式 . (2)根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得 . 答案： (1)依题意： x1+x2=-m， x1x2=m-1， x 1+x2+x1x2=7， (x 1+x2)2-x1x2=7， ( -m)2-(m-1)=7，即 m2-m-6=0，解得 m1=-2， m2=3， c=m -1 0， m=3 不合题意 ， m= -2， 抛物线的解析式是 y=x2-2x-3； (2)能 .如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO， PC，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D. 若
20、POC=PCO ， 则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线 ， C 的坐标为 (0， -3)， D 的坐标为 (0， - )， P 的纵坐标应是 - ， 令 x2-2x-3= ，解得， x1= ， x2= ， 因此所求点 P 的坐标是 ( ， - )， ( ， - ). 27.(10 分 )如图甲，在 ABC 中， ACB=90 ， AC=4cm， BC=3cm.如果点 P 由点 B 出发沿 BA方向向点 A匀速运动，同时点 Q由点 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，它们的速度均为 1cm/s.连接 PQ，设运动时间为 t(s)(0 t 4)，解答下列问题： (1)设 APQ 的面积为 S，
21、当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？ (2)如图乙，连接 PC，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC ，当四边形 PQPC 为菱形时，求 t 的值； (3)当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？ 解析 ： (1)过点 P 作 PHAC 于 H，由 APHABC ，得出 = ，从而求出 AB，再根据= ，得出 PH=3- t，则 AQP 的面积为： AQ PH= t(3- t)，最后进行整理即可得出答案； (2)连接 PP 交 QC 于 E，当四边形 PQPC 为菱形时，得出 APEABC ， = ，求出AE=- t+4，再根据 QE=AE-AQ， QE=
22、QC 得出 - t+4=- t+2，再求 t 即可； (3)由 (1)知， PD=- t+3，与 (2)同理得： QD=- t+4，从而求出 PQ= ， 在 APQ 中，分三种情况讨论： 当 AQ=AP，即 t=5-t， 当 PQ=AQ，即 =t， 当 PQ=AP，即 =5-t，再分别计算即可 . 答案 ： (1)如图甲，过点 P 作 PHAC 于 H， C=90 ， ACBC ， PHBC ， APHABC ， = ， AC=4cm ， BC=3cm， AB=5cm ， = ， PH=3 - t， AQP 的面积为： S= AQPH= t(3 - t)=- (t- )2+ ， 当 t 为 秒
23、时， S 最大值为 cm2. (2)如图乙，连接 PP ， PP 交 QC 于 E， 当四边形 PQPC 为菱形时， PE 垂直平分 QC，即 PEAC ， QE=EC， APEABC ， = ， AE= = =- t+4 QE=AE-AQ=- t+4-t=- t+4， QE= QC= (4-t)=- t+2， - t+4=- t+2，解得： t= ， 0 4， 当四边形 PQPC 为菱形时， t 的值是 s； (3)由 (1)知， PD=- t+3，与 (2)同理得： QD=AD-AQ=- t+4 PQ= = = ， 在 APQ 中， 当 AQ=AP，即 t=5-t 时，解得： t1= ； 当 PQ=AQ，即 =t 时，解得： t2= ， t3=5； 当 PQ=AP，即 =5-t 时，解得： t4=0， t5= ； 0 t 4， t 3=5， t4=0 不合题意，舍去， 当 t 为 s 或 s 或 s 时， APQ 是等腰三角形 .
