1、2014 年湖南省岳阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题 8 道小题，每小题 3分，满分 24 分 ) 1.(3 分 )实数 2 的倒数是 ( ) A. - B. C. 2 D. 解析： 2 =1， 实数 2 的倒数是 . 答案： D. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 2a+5a=7a B. 2x-x=1 C. 3+a=3a D. x2 x3=x6 解析： A、符合合并同类项法则，故本选项正确； B、 2x-x=x1 ，故本选项错误； C、 3 和 a 不是同类项，故本选项错误； D、 x2 x3x 6=x5，故本选项错误 . 答案： A. 3.(3 分 )下列几何体中，主视
2、图是三角形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、主视图为圆， 答案： 项错误； B、主视图为正方形， 答案： 项错误； C、主视图为三角形， 答案： 项正确； D、主视图为长方形， 答案： 项错误 . 答案： C. 4.(3 分 )2014 年 “ 五一 ” 小长假，岳阳楼、君山岛景区接待游客约 120000 人次，将 120000用科学记数法表示为 ( ) A. 1210 4 B. 1.210 5 C. 1.210 6 D. 12 万 解析： 120 000=1.210 5. 答案： B. 5.(3 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. x 2 B. x 1 C. 1 x 2
3、D. 无解 解析： 根据同大取较大的原则，不等式组的解集为 x 2， 答案： A. 6.(3 分 )已知扇形的圆心角为 60 ，半径为 1，则扇形的弧长为 ( ) A. B. C. D. 解析： 弧长是： = . 答案： D. 7.(3 分 )下列因式分解正确的是 ( ) A. x2-y2=(x-y)2 B. a2+a+1=(a+1)2 C. xy-x=x(y-1) D. 2x+y=2(x+y) 解析： A、 x2-y2=(x+y)(x-y)，故此选项错误； B、 a2+a+1 无法因式分解，故此选项错误； C、 xy-x=x(y-1)，正确； D、 2x+y 无法因式分解，故此选项错误； 答
4、案： C. 8.(3 分 )如图，已知点 A 是直线 y=x 与反比例函数 y= (k 0， x 0)的交点， B 是 y= 图象上的另一点， BCx 轴，交 y 轴于点 C.动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 OABC (图中 “”所示路线 )匀速运动，终点为 C，过点 P 作 PMx 轴， PNy 轴，垂足分别为 M， N.设四边形OMPN 的面积为 S， P 点运动时间为 t，则 S 关于 t的函数图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析： 设点 P 的运动速度为 v， 由于点 A 在直线 y=x 上，故点 P 在 OA上时，四边形 OMPN为正方形， 四边形 OMPN 的面积
5、S= (vt)2， 点 P 在反比例函数图象 AB 时，由反比例函数系数几何意义，四边形 OMPN 的面积 S=k； 点 P 在 BC 段时，设点 P 运动到点 C 的总路程为 a，则四边形 OMPN 的面积 = OC (a-vt)=-t+ ， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 . 答案： B. 二、填空题 (本大题 8 道小题，每小题 4分，满分 32 分 ) 9.(4 分 )计算： - = . 解析： - =-3. 答案： -3. 10.(4 分 )方程 x2-3x+2=0 的根是 . 解析： 因式分解得， (x-1)(x-2)=0，解得 x1=1， x2=2. 答案： 1 或 2 11
6、.(4 分 )体育测试中，某班某一小组 1 分钟跳绳成绩如下： 176， 176， 168， 150， 190， 185，180(单位：个 )，则这组数据的中位数是 . 解析： 先对这组数据按从小到大的顺序重新排序： 150， 168， 176， 176， 180， 185， 190. 位于最中间的数是 176，所以这组数据的中位数是 176. 答案： 176. 12.(4 分 )从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是 . 解析： 从 1 到 9 这九个自然数中一共有 5 个奇数， 任取一个，是奇数的概率是： ， 答案： . 13.(4
7、 分 )如图，在 ABC 中，点 E， F 分别是 AB， AC 的中点且 EF=1，则 BC= . 解析： ABC 中， E、 F分别是 AB、 AC的中点， EF=1， EF 是 ABC 的中位线， BC=2EF=21=2 ， 答案： 2. 14.(4 分 )如图，若 ABCDEF ， B=40 ， F=30 ，则 BCF= . 解析： 如图， ABCDEF ， B=1 ， F=2. 又 B=40 ， F=30 ， BCF=1+2=70. 答案： 70. 15.(4 分 )观察下列一组数： 、 1、 、 、 ，它们是按一定规律排列的那么这组数的第 n 个数是 .(n 为正整数 ) 解析：
8、第一个数 = ； 第一个数 1= ； 第三个数 = ； 第四个数 = ； 第五个数 = ； ， 第 n 个数为： . 答案： . 16.(4 分 )如图， AB 是 O 的直径， P 为 AB 延长线上的一个动点，过点 P作 O 的切线，切点为 C，连接 AC， BC，作 APC 的平分线交 AC 于点 D. 下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号 ) CPDDPA ； 若 A=30 ，则 PC= BC； 若 CPA=30 ，则 PB=OB； 无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化， CDP 为定值 . 解析： 只有一组对应边相等，所以错误； 根据切线的性质可得 PCB=A=30 ，
9、在直角三角形 ABC 中 ABC=60 得出 OB=BC，BPC=30 ，解直角三角形可得 PB= OC= BC； 根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得 A=PCB=30 ， ABC=60 ，进而求得PB=BC=OB； 连接 OC，根据题意，可知 OCPC ， CPD+DPA+A+ACO=90 ，可推出 DPA+A=45 ，即 CDP=45. 答案： CPD=DPA ， CDP=DAP+DPADAPPDA ， CPDDPA 错误； 连接 OC， AB 是直径， A=30ABC=60 ， OB=OC=BC ， PC 是切线， PCB=A=30 ， OGP=90 ， APC=30 ， 在 R
10、TPOC 中， cotAPC=cot30= = ， PC= BC，正确； ABC=APC+PCB ， PCB=A ， ABC=APC+A ， ABC+A=90 ， APC+2A=90 ， APC=30 ， A=PCB=30 ， PB=BC ， ABC=60 ， OB=BC=OC ， PB=OB ；正确； 如图，连接 OC， OC=OA ， PD 平分 APC ， CPD=DPA ， A=ACO ， PC 为 O 的切线， OCPC ， CPO+COP=90 ， (CPD+DPA)+(A+ACO)=90 ， DPA+A=45 ，即 CDP= 45 ；正确； 答案： ； 三、解答题 (本大题共 8
11、 道小题，满分 64分 ) 17.(6 分 )计算： |- |+ +3-1-22. 解析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用二次根式的乘法法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 = +4+ -4=1. 18.(6 分 )解分式方程： = . 解析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： 去分母得： 5x=3x-6，解得： x=-3，经检验 x=-3 是分式方程的解 . 19.(8 分 )在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间
12、x(h)之间为一次函数关系 .根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求出蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式； (2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间 . 解析： (1)根据图象知，该函数是一次函数，且该函数图象经过点 (0， 24)， (2， 12).所以利用待定系数法进行解答即可； (2)由 (1)中的函数解析式，令 y=0，求得 x 的值即可 . 答案： (1)由于蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间 x(h)之间为一次函数关系 . 故设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b(k0). 由图示知，该函数图象经过点 (0， 24)， (2， 12)，则 ，解得 . 故
13、函数表达式是 y=-6x+24. (2)当 y=0 时， -6x+24=0 解得 x=4，即蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 4 小时 . 20.(8 分 )某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分 .某队在全部 16 场比赛中得到 25 分，求这个队胜、负场数分别是多少？ 解析： 设该队胜 x 场，负 y 场，就有 x+y=16， 2x+y=25 两个方程，由两个方程建立方程组求出其解就可以了 . 答案： 设该队胜 x 场，负 y 场，则 解得 . 答：这个队胜 9 场，负 7 场 . 21.(8 分 )为了响应岳阳市政府 “ 低碳出行、绿色出行 ” 的
14、号召，某中学数学兴趣小组在全校 2000名学生中就上学方式随机抽取了 400名学生进行抽样调查，经统计整理绘制出图 a、图 b 两幅不完整的统计图： A：步行； B：骑自行车； C：乘公共交通工具； D：乘私家车； E：其他 . 请根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)图 a 中 “B” 所在扇 形的圆心角为 ； (2)请在图 b 中把条形统计图补充完整； (3)请根据样本数据估计全校骑自行车上学的学生人数 . 解析： (1)先求出 “B” 所在扇形的百分比，再乘 360 就是 “B” 所在扇形的圆心角 . (2)先求出 C 的学生数，再绘图 . (3)用全校人数乘骑自行车上学的学生人数的
15、百分比即可 . 答案： (1)图 a 中 “B” 所在扇形的百分比为： 1-45%-10%-5%-15%=25%， 图 a 中 “B” 所在扇形的圆心角为： 25%360=90. 故答案为： 90. (2)C 的学生数为： 40045%=180( 人 ) (3)根据样本数据估计全校骑自行车上学的学生人数为： 200025%=500( 人 ). 22.(8 分 )如图，矩形 ABCD 为台球桌面， AD=260cm， AB=130cm，球目前在 E 点位置， AE=60cm.如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位置 . (1)求证： BEFCDF ； (2
16、)求 CF 的长 . 解析： (1)利用 “ 两角法 ” 证得这两个三角形相似； (2)由 (1)中相似三角形的对应边成比例来求线段 CF 的长度 . 答案： (1)如图，在矩形 ABCD 中， 由对称性可得出： D FC=EFB ， EBF=FCD=90 ， BEFCDF ； (2) 由 (1)知， BEFCDF. = ，即 = ，解得： CF=169. 即： CF 的长度是 169cm. 点评： 本题考查了相似三角形的应用 .此题利用了 “ 相似三角形的对应边成比例 ” 推知所 23.(10 分 )数学活动 -求重叠部分的面积 (1)问题情境：如图 ，将顶角为 120 的等腰三角形纸片 (
17、纸片足够大 )的顶点 P与等边 ABC的内心 O 重合，已知 OA=2，则图中重叠部分 PAB 的面积为 . (2)探究 1：在 (1)的条件下，将纸片绕 P 点旋转至如图 所示位置，纸片两边分别与 AC， AB交于点 E， F，图 中重叠部分的面积与图 重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由 . (3)探究 2：如图 ，若 CAB= (0 90 )， AD 为 CAB 的角平分线，点 P 在射线 AD上，且 AP=2，以 P 为顶点的等腰三角形纸片 (纸片足够大 )与 CAB 的两边 AC， AB 分别交于点 E、 F， EPF=180 - ，求重叠部分的面积
18、.(用 或 的三角函数值表示 ) 解析： (1)由点 O 是等边三角形 ABC 的内心可以得到 OAB=OBA=30 ，结合条件 OA=2 即可求出重叠部分的面积 . (2)由旋转可得 FOE=BOA ，从而得到 EOA=FOB ，进而可以证到 EOAFOB ，因而重叠部分面积不变 . (3)在射线 AB 上取一点 G，使得 PG=PA，过点 P作 PHAF ，垂足为 H，方法同 (2)，可以证到重叠部分的面积等于 PAG 的面积，只需求出 PAG 的面积就可解决问题 . 答案： (1)过点 O 作 ONAB ，垂足为 N，如图 ， ABC 为等边三角形， CAB=CBA=60. 点 O 为
19、ABC 的内心 ， OAB= CAB ， OBA= CBA.OAB=OBA=30.OB=OA=2. ONAB ， AN=NB ， PN=1.AN= AB=2AN=2 .S OAB = AB PN= . 故答案为： . (2)图 中重叠部分的面积与图 重叠部分的面积相等 . 证明：连接 AO、 BO，如图 ， 由旋转可得： EOF=AOB ，则 EOA=FOB. 在 EOA 和 FOB 中， EOAFOB.S 四边形 AEOF=SOAB . 图 中重叠部分的面积与图 重叠部分的面积相等 . (3)在射线 AB 上取一点 G，使得 PG=PA，过点 P 作 PHAF ，垂足为 H，如图 ， 则有
20、AH=GH= AG. CAB= ， AD 为 CAB 的角平分线， PAE=PAF= CAB= . PG=PA ， PGA=PAG= .APG=180 -. EPF=180 - ， EPF=APG. 同理可得： S 四边形 AEPF=SPAG . AP=2 ， PH=2sin ， AH=2cos .AG=2AH=4cos . S PAG = AG PH=4sin cos . 重叠部分得面积为： S 面积 =4sin cos . 24.(10 分 )如图，抛物线经过点 A(1， 0)， B(5， 0)， C(0， )三点，设点 E(x， y)是抛物线上一动点，且在 x 轴下方，四边形 OEBF
21、是以 OB 为对角线的平行四边形 . (1)求抛物线的解析式； (2)当点 E(x， y)运动时，试求平行四边形 OEBF 的面积 S与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大值？ (3)是否存在这样的点 E，使平行四边形 OEBF 为正方形？若存在，求 E 点， F 点的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)由抛物线经过点 A(1， 0)， B(5， 0)， C(0， )三点，利用待定系数法求二次函数的解析式； (2)由点 E(x， y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得 y 0，即 -y 0， -y 表示点 E到 OA 的距离，又由 S=2SOBE =2 OB |y|，即
22、可求得平行四边形 OEAF 的面积 S与 x 之间的函数关系式，结合图象，求得自变量 x 的取值范围； (3)由当 OBEF ，且 OB=EF 时，平行四边形 OEBF 是正方形，可得此时点 E 坐标只能 (2.5，-2.5)，而坐标为 (2.5， -2.5)点在抛物线上，故可判定存在点 E，使平行四边形 OEBF 为正方形 . 答案： (1)设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 抛物线经过点 A(1， 0)， B(5， 0)， C(0， )三点， 则由题意可得： ，解得 . 所求抛物线的解析式为： y= x2-4x+ . (2) 点 E(x， y)是抛物线上一动点，且在 x 轴下方， y 0， 即 -y 0， -y 表示点 E 到 OA 的距离 . OB 是平行 四边形 OEBF 的对角线， S=2S OBE =2 OB |y|=-5y=-5( x2-4x+ )=- x2+20x- ， S= - (x-3)2+ ， S 与 x 之间的函数关系式为： S=- x2+20x- (1 x 5)， S 的最大值为 . (3) 当 OBEF ，且 OB=EF 时，平行四边形 OEBF 是正方形， 此时点 E 坐标只能 ( ， - )，而坐标为 ( ， - )点在抛物线上， 存在点 E( ， - )，使平行四边形 OEBF 为正方形，此时点 F 坐标为 ( ， ).
