1、2014 年湖南省株洲市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 1.(3 分 )下列各数中，绝对值最大的数是 ( ) A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 解析 ： |-3| |-2| |0|， 答案： A. 2.(3 分 )x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 有意义 ( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 解析 ： 依题意，得 x-30 ，解得， x3 . 观察选项，只有 D 符合题意 . 答案： D. 3.(3 分 )下列说法错误的是 ( ) A. 必然事件的概率为 1 B. 数据 1、 2、 2、 3 的平均数是 2 C. 数据 5、
2、 2、 -3、 0 的极差是 8 D. 如果某种游戏活动的中奖率为 40%，那么参加这种活动 10 次必有 4 次中奖 解析 ： A.概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为 1，本项正确； B.数据 1、 2、 2、 3 的平均数是 =2，本项正确； C.这些数据的极差为 5-(-3)=8，故本项正确； D.某种游戏活动的中奖率为 40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误， 答案： D. 4.(3 分 )已知反比例函数 y= 的图象经过点 (2， 3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( ) A. (-6， 1) B. (1， 6)
3、 C. (2， -3) D. (3， -2) 解析 ： 反比例函数 y= 的图象经过点 (2， 3)， k=23=6 ， A、 ( -6)1= -66 ， 此点不在反比例函数图象上； B、 16=6 ， 此点在反比例函数图象上； C、 2( -3)=-66 ， 此点不在反比例函数图象上； D、 3( -2)=-66 ， 此点不在反比例函数图象上 . 答案： B. 5.(3 分 )下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是( ) A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 解析 ： A、主视图、俯视图都是正方形，故 A 不符合题意； B、主视图、俯视图都是矩形，故
4、B 不符合题意； C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故 C 符合题意； D、主视图、俯视图都是圆，故 D 不符合题意； 答案： C. 6.(3 分 )一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析 ： 解不等式 2x+1 0 得： x - ，解不等式 x-50 得： x5 ， 不等式组的解集是 - x5 ，整数解为 0， 1， 2， 3， 4， 5，共 6 个， 答案： C. 7.(3 分 )已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从 AB=BC ， ABC=90 ， AC=BD ， ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD
5、 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是 ( ) A. 选 B. 选 C. 选 D. 选 解析 ： A、由 得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由 得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由 得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由 得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由 得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由 得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由 得有一个角是直角的 平行四边形是矩形，由 得对角
6、线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意 . 答案： B. 8.(3 分 )在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位，第 2 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个单位，第 4 步向右走 1 个单位 依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位；当 n 被 3 除，余数为1 时，则向右走 1 个单位；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位，当走完第 100 步时，棋子所处位置的坐标是 ( ) A. (66， 34) B. (67， 33
7、) C. (100， 33) D. (99， 34) 解析 ： 由题意得，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单位，向上 1个单位， 1003=33 余 1， 走完第 100 步，为第 34 个循环组的第 1步， 所处位置的横坐标为 333+1=100 ，纵坐标为 331=33 ， 棋子所处位置的坐标是 (100， 33). 答案： C. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 9.(3 分 )计算： 2m2 m8= . 解析 ： 2m2 m8=2m10， 答案： 2m10. 10.(3 分 )据教育部统计，参加 2014 年全国高等学校招生考试的考
8、生约为 9390000 人，用科学记数法表示 9390000 是 . 解析 ： 将 9390000 用科学记数法表示为： 9.3910 6. 答案： 9.3910 6. 11.(3 分 )如图，点 A、 B、 C 都在圆 O 上，如果 AOB+ACB=84 ，那么 ACB 的大小是 . 解析 ： AOB=2ACB ， AOB+ACB=84 ， 3ACB=84 ， ACB=28 . 答案： 28 . 12.(3 分 )某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示 A 等级的扇形的圆心角的大小为 . 解析 ： 参加中考的人数为： 6020%=300 人， A 等
9、级所占的百分比为： 100%=30% ， 所以，表示 A 等级的扇形的圆心角的大小为 36030%=108 . 答案： 108 . 13.(3 分 )孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角为 20 (不考虑身高因素 )，则此塔高约为 米 (结果保留整数，参考数据： sin200.3420 ， sin700.9397 ，tan200.3640 ， tan702.7475 ). 解析 ： 在 RtABC 中， AB=500 米， BAC=20 ， =tan20 ， BC=ACtan20=5000.3640=182( 米 ). 答案： 182. 14.(3 分 )分解因式： x
10、2+3x(x-3)-9= . 解析 ： x2+3x(x-3)-9=x2-9+3x(x-3)=(x-3)(x+3)+3x(x-3)=(x-3)(x+3+3x)=(x-3)(4x+3). 答案： (x-3)(4x+3). 15.(3 分 )直线 y=k1x+b1(k1 0)与 y=k2x+b2(k2 0)相交于点 (-2， 0)，且两直线与 y 轴围城的三角形面积为 4，那么 b1-b2等于 . 解析 ： 如图，直线 y=k1x+b1(k1 0)与 y 轴交于 B 点，则 OB=b1，直线 y=k2x+b2(k2 0)与 y 轴交于 C，则 OC=-b2， ABC 的面积为 4， OA OB+ =
11、4， + =4，解得： b1-b2=4. 答案： 4. 16.(3 分 )如果函数 y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么 a 的取值范围是 . 解析 ： 函数图象经过四个象限，需满足 3 个条件： (I)函数是二次函数 .因此 a-10 ，即 a1 ， (II)二次函数与 x 轴有两个交点 .因此 =9 -4(a-1) =-4a-11 0，解得 a - ， (III)二次函数与 y 轴的正半轴相交 .因此 0，解得 a 1 或 a -5 ， 综合 式，可得： a -5. 答案： a -5. 三、解答题 (共 8 小题，满分 52 分 ) 17.(4 分 )计算：
12、 +( -3)0-tan45 . 解析 ： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =4+1-1=4. 18.(4 分 )先化简，再求值： -3(x-1)，其中 x=2. 解析 ： 原式第一项约分，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = -3x+3=2x+2-3x+3=5-x， 当 x=2 时，原式 =5-2=3. 19.(6 分 )我市通过网络投票选出了一批 “ 最有孝心的美少年 ” .根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，
13、后三行中有一个数据是错误的 .请回答下列问题： (1)统计表中 a= ， b= ； (2)统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？ (3)株洲市决定从来自炎陵县的 4 位 “ 最有孝心的美少年 ” 中，任选两位作为市级形象代言人 .A、 B 是炎陵县 “ 最有孝心的美少年 ” 中的两位，问 A、 B 同时入选的概率是多少？ 解析 ： (1)由茶陵县频数为 5，频率为 0.125，求出数据总数，再用 4 除以数据总数求出 a的值，用数据总数乘 0.15 得到 b 的值； (2)根据各组频数之和等于数据总数可知各组频数正确，根据频率 =频数 数据总数可知株洲市城区对应频率错误，进而
14、求出正确值； (3)设来自炎陵县的 4 位 “ 最有孝心的美少年 ” 为 A、 B、 C、 D，根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与 A、 B 同时入选的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案 ： (1) 茶陵县频数为 5，频率为 0.125， 数据总数为 50.125=40 ， a=440=0.1 ， b=400.15=6 . 故答案为 0.1， 6； (2)4+5+6+8+5+12=40 ， 各组频数正确， 1240=0.30.25 ， 株洲市城区对应频率 0.25 这个数据是错误的，该数据的正确值是 0.3； (3)设来自炎陵县的 4 位 “ 最有孝心的美少年 ” 为
15、A、 B、 C、 D，列表如下： 共有 12 种等可能的结果， A、 B 同时入选的有 2 种情况， A 、 B 同时入选的概率是： = . 20.(6 分 )家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： (1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快 1 千米； (2)他上山 2 小时到达的位置，离山顶还有 1 千米； (3)抄近路下山，下山路程比上山路程近 2 千米； (4)下山用 1 个小时； 根据上面信息，他作出如下计划： (1)在山顶游览 1 个小时； (2)中午 12： 00 回到家吃中餐 . 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发
16、？ 解析 ： 由 (1)得 v 下 =(v 上 +1)千米 /小时 . 由 (2)得 S=2v 上 +1 由 (3)、 (4)得 2v 上 +1=v 下 +2. 根据 S=vt 求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：上、下上时间 +山顶游览时间 . 答案 ：设上山的速度为 v，下山的速度为 (v+1)，则 2v+1=v+1+2，解得 v=2. 即上山速度是 2 千米 /小时 . 则下山的速度是 3 千米 /小时，山高为 5 千米 . 则计划上山的时间为： 52=2.5( 小时 )， 计划下山的时间为： 1 小时， 则共用时间为： 2.5+1+1=4.5(小时 )， 所以出发时间为：
17、 12： 00-4 小时 30 分钟 =7： 30. 答：孔明同学应该在 7 点 30 分从家出发 . 21.(6 分 )已知关于 x 的一元二次方程 (a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a、 b、 c 分别为 ABC 三边的长 . (1)如果 x=-1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC 的形状，并说明理由； (3)如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 . 解析 ： (1)直接将 x=-1 代入得出关于 a， b 的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC 的形状； (2)利用根的判别式进而得出关于 a
18、， b， c 的等式，进而判断 ABC 的形状； (3)利用 ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 . 答案 ： (1)ABC 是等腰三角形； 理由： x= -1 是方程的根， (a+c )( -1)2-2b+(a-c)=0， a+c -2b+a-c=0， a -b=0， a=b ， ABC 是等腰三角形； (2) 方程有两个相等的实数根， (2b )2-4(a+c)(a-c)=0， 4b 2-4a2+4c2=0， a 2=b2+c2， ABC 是直角三角形； (3)当 ABC 是等边三角形， (a+c )x2+2bx+(a-c)=0，可整理为： 2ax2+2ax=0，
19、x 2+x=0， 解得： x1=0， x2=-1. 22.(8 分 )如图，在 RtABC 中， C=90 ， A 的平分线交 BC 于点 E， EFAB 于点 F，点 F恰好是 AB 的一个三等分点 (AF BF). (1)求证： ACEAFE ； (2)求 tanCAE 的值 . 解析 ： (1)根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等 . (2)由 ACEAFE ，得出 AC=AF， CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m， AF=2m， AB=3m，根据勾股定理可求得， tanB= = ， CE=EF= ，在 RTACE 中， tanCAE=
20、 = = ； 答案： (1)AE 是 BAC 的平分线， ECAC ， EFAF ， CE=EF ， 在 RtACE 与 RtAFE 中， ， RtACERtAFE(HL )； (2)由 (1)可知 ACEAFE ， AC=AF ， CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m， AF=2m， AB=3m， BC= = = m， 在 RTABC 中， tanB= = = ， 在 RTEFB 中， EF=BF tanB= ， CE=EF= ， 在 RTACE 中， tanCAE= = = ， tanCAE= . 23.(8 分 )如图， PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ的延长线上， O
21、Q=QB=1，动点 A在圆 O的上半圆运动 (含 P、 Q 两点 )，以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC. (1)当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求 ABC 的面积 (图 1)； (2)设 AOB= ，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点 (即 A 点 )时，求 的范围 (图 2，直接写出答案 )； (3)当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、 M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度 (图 3). 解析 ： (1)连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以求出 ABC的 面积 . (2)如下图 2，首先考虑临界位
22、置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0 ；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时=60 .从而定出 的范围 . (3)设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ ，从而得到 PDOPMQ ，BMQBAO ，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、 OD，进而求出 PD、 DM、 AM、 CM 的值 . 答案 ： (1)连接 OA，过点 B 作 BHAC ，垂足为 H，如图 1 所示 . AB 与 O 相切于点 A， OAAB .OAB=90 . OQ=QB=1 ， OA=1
23、.AB= = = . ABC 是等边三角形， AC=AB= ， CAB=60 . sinHAB= ， HB=AB sin HAB= = . S ABC = AC BH= = .ABC 的面积为 . (2) 当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O只有一个公共点，此时 =0 ； 当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示， 线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点， 此时 OA1BA 1， OA1=1， OB=2， cosA 1OB= = .A 1OB=60 . 当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点 (即 A 点 )时， 的范围为： 060 . (3)连接 MQ，如图 3
24、 所示 . PQ 是 O 的直径， PMQ=90 . OAPM ， PDO=90 .PDO=PMQ .PDOPMQ . = = PO=OQ= PQ.PD= PM， OD= MQ.同理： MQ= AO， BM= AB. AO=1 ， MQ= .OD= . PDO=90 ， PO=1， OD= ， PD= .PM= .DM= . ADM=90 ， AD=A0-OD= ， AM= = = . ABC 是等边三角形， AC=AB=BC ， CAB=60 . BM= AB， AM=BM .CMAB . AM= ， BM= ， AB= .AC= . CM= = = .CM 的长度为 . 24.(10 分
25、)已知抛物线 y=x2-(k+2)x+ 和直线 y=(k+1)x+(k+1)2. (1)求证：无论 k 取何实数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点； (2)抛物线于 x 轴交于点 A、 B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C三点的横坐标分别是 x1、x2、 x3，求 x1 x2 x3的最大值； (3)如果抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E，直线 AD 交直线 CE 于点 G(如图 )，且 CA GE=CG AB，求抛物线的解析式 . 解析 ： (1)由判别式 =(k+2 )2-41 =
26、k2-k+2=(k- )2+ 0，即可证得无论 k 取何实数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点； (2)由抛物线于 x 轴交于点 A、 B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、x2、 x3，可得 x1 x2= ， x3=-(k+1)，继而可求得答案； (3)由 CA GE=CG AB，易得 CAGCBE ，继而可证得 OADOBE ，则可得 ，又由抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E，可得 OA OB= ， OD= ， OE=(k+1)2，继而求得点 B 的坐标
27、为 (0， k+1)，代入解析式即可求得答案 . 答案： (1)=(k+2 )2-41 =k2-k+2=(k- )2+ ， (k - )20 ， 0， 无论 k 取何实数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点； (2) 抛物线于 x 轴交于点 A、 B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、x2、 x3， x 1 x2= ， 令 0=(k+1)x+(k+1)2，解得： x=-(k+1)，即 x3=-(k+1)， x 1 x2 x3=-(k+1) =- (k+ )2+ ， x 1 x2 x3的最大值为： ； (3)CA GE=CG AB， ， ACG=BCE ， CAGCBE ， CAG=CBE ， AOD=BOE ， OADOBE ， ， 抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E， OA OB= ， OD= ， OE=(k+1)2， OA OB=OD， ， OB 2=OE， OB=k+1 ， 点 B(k+1， 0)， 将点 B 代入抛物线 y=x2-(k+2)x+ 得： (k+1)2-(k+2)(k+1)- =0，解得： k=2， 抛物线的解析式为： y=x2-4x+3.
