2014年湖南省株洲市中考真题数学.docx

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1、2014 年湖南省株洲市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题,每小题 3 分,满分 24分 ) 1.(3 分 )下列各数中,绝对值最大的数是 ( ) A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 解析 : |-3| |-2| |0|, 答案: A. 2.(3 分 )x 取下列各数中的哪个数时,二次根式 有意义 ( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 解析 : 依题意,得 x-30 ,解得, x3 . 观察选项,只有 D 符合题意 . 答案: D. 3.(3 分 )下列说法错误的是 ( ) A. 必然事件的概率为 1 B. 数据 1、 2、 2、 3 的平均数是 2 C. 数据 5、

2、 2、 -3、 0 的极差是 8 D. 如果某种游戏活动的中奖率为 40%,那么参加这种活动 10 次必有 4 次中奖 解析 : A.概率值反映了事件发生的机会的大小,必然事件是一定发生的事件,所以概率为 1,本项正确; B.数据 1、 2、 2、 3 的平均数是 =2,本项正确; C.这些数据的极差为 5-(-3)=8,故本项正确; D.某种游戏活动的中奖率为 40%,属于不确定事件,可能中奖,也可能不中奖,故本说法错误, 答案: D. 4.(3 分 )已知反比例函数 y= 的图象经过点 (2, 3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是 ( ) A. (-6, 1) B. (1, 6)

3、 C. (2, -3) D. (3, -2) 解析 : 反比例函数 y= 的图象经过点 (2, 3), k=23=6 , A、 ( -6)1= -66 , 此点不在反比例函数图象上; B、 16=6 , 此点在反比例函数图象上; C、 2( -3)=-66 , 此点不在反比例函数图象上; D、 3( -2)=-66 , 此点不在反比例函数图象上 . 答案: B. 5.(3 分 )下列几何体中,有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样,这个几何体是( ) A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 解析 : A、主视图、俯视图都是正方形,故 A 不符合题意; B、主视图、俯视图都是矩形,故

4、B 不符合题意; C、主视图是三角形、俯视图是圆形,故 C 符合题意; D、主视图、俯视图都是圆,故 D 不符合题意; 答案: C. 6.(3 分 )一元一次不等式组 的解集中,整数解的个数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析 : 解不等式 2x+1 0 得: x - ,解不等式 x-50 得: x5 , 不等式组的解集是 - x5 ,整数解为 0, 1, 2, 3, 4, 5,共 6 个, 答案: C. 7.(3 分 )已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从 AB=BC , ABC=90 , AC=BD , ACBD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形 ABCD

5、 是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是 ( ) A. 选 B. 选 C. 选 D. 选 解析 : A、由 得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由 得有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意; B、由 得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由 得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形,错误,故本选项符合题意; C、由 得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由 得对角线相等的平行四边形是矩形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意; D、由 得有一个角是直角的 平行四边形是矩形,由 得对角

6、线互相垂直的平行四边形是菱形,所以平行四边形 ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意 . 答案: B. 8.(3 分 )在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第 1 步向右走 1 个单位,第 2 步向右走 2 个单位,第 3 步向上走 1 个单位,第 4 步向右走 1 个单位 依此类推,第 n 步的走法是:当 n 能被 3 整除时,则向上走 1 个单位;当 n 被 3 除,余数为1 时,则向右走 1 个单位;当 n 被 3 除,余数为 2 时,则向右走 2 个单位,当走完第 100 步时,棋子所处位置的坐标是 ( ) A. (66, 34) B. (67, 33

7、) C. (100, 33) D. (99, 34) 解析 : 由题意得,每 3 步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右 3 个单位,向上 1个单位, 1003=33 余 1, 走完第 100 步,为第 34 个循环组的第 1步, 所处位置的横坐标为 333+1=100 ,纵坐标为 331=33 , 棋子所处位置的坐标是 (100, 33). 答案: C. 二、填空题 (共 8 小题,每小题 3 分,满分 24分 ) 9.(3 分 )计算: 2m2 m8= . 解析 : 2m2 m8=2m10, 答案: 2m10. 10.(3 分 )据教育部统计,参加 2014 年全国高等学校招生考试的考

8、生约为 9390000 人,用科学记数法表示 9390000 是 . 解析 : 将 9390000 用科学记数法表示为: 9.3910 6. 答案: 9.3910 6. 11.(3 分 )如图,点 A、 B、 C 都在圆 O 上,如果 AOB+ACB=84 ,那么 ACB 的大小是 . 解析 : AOB=2ACB , AOB+ACB=84 , 3ACB=84 , ACB=28 . 答案: 28 . 12.(3 分 )某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级,绘制成如图的扇形统计图,则图中表示 A 等级的扇形的圆心角的大小为 . 解析 : 参加中考的人数为: 6020%=300 人, A 等

9、级所占的百分比为: 100%=30% , 所以,表示 A 等级的扇形的圆心角的大小为 36030%=108 . 答案: 108 . 13.(3 分 )孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处,看塔顶的仰角为 20 (不考虑身高因素 ),则此塔高约为 米 (结果保留整数,参考数据: sin200.3420 , sin700.9397 ,tan200.3640 , tan702.7475 ). 解析 : 在 RtABC 中, AB=500 米, BAC=20 , =tan20 , BC=ACtan20=5000.3640=182( 米 ). 答案: 182. 14.(3 分 )分解因式: x

10、2+3x(x-3)-9= . 解析 : x2+3x(x-3)-9=x2-9+3x(x-3)=(x-3)(x+3)+3x(x-3)=(x-3)(x+3+3x)=(x-3)(4x+3). 答案: (x-3)(4x+3). 15.(3 分 )直线 y=k1x+b1(k1 0)与 y=k2x+b2(k2 0)相交于点 (-2, 0),且两直线与 y 轴围城的三角形面积为 4,那么 b1-b2等于 . 解析 : 如图,直线 y=k1x+b1(k1 0)与 y 轴交于 B 点,则 OB=b1,直线 y=k2x+b2(k2 0)与 y 轴交于 C,则 OC=-b2, ABC 的面积为 4, OA OB+ =

11、4, + =4,解得: b1-b2=4. 答案: 4. 16.(3 分 )如果函数 y=(a-1)x2+3x+ 的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么 a 的取值范围是 . 解析 : 函数图象经过四个象限,需满足 3 个条件: (I)函数是二次函数 .因此 a-10 ,即 a1 , (II)二次函数与 x 轴有两个交点 .因此 =9 -4(a-1) =-4a-11 0,解得 a - , (III)二次函数与 y 轴的正半轴相交 .因此 0,解得 a 1 或 a -5 , 综合 式,可得: a -5. 答案: a -5. 三、解答题 (共 8 小题,满分 52 分 ) 17.(4 分 )计算:

12、 +( -3)0-tan45 . 解析 : 原式第一项利用平方根定义化简,第二项利用零指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案 :原式 =4+1-1=4. 18.(4 分 )先化简,再求值: -3(x-1),其中 x=2. 解析 : 原式第一项约分,去括号合并得到最简结果,将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案 :原式 = -3x+3=2x+2-3x+3=5-x, 当 x=2 时,原式 =5-2=3. 19.(6 分 )我市通过网络投票选出了一批 “ 最有孝心的美少年 ” .根据各县市区的入选结果制作出如下统计表,后来发现,统计表中前三行的所有数据都是正确的,

13、后三行中有一个数据是错误的 .请回答下列问题: (1)统计表中 a= , b= ; (2)统计表后三行中哪一个数据是错误的?该数据的正确值是多少? (3)株洲市决定从来自炎陵县的 4 位 “ 最有孝心的美少年 ” 中,任选两位作为市级形象代言人 .A、 B 是炎陵县 “ 最有孝心的美少年 ” 中的两位,问 A、 B 同时入选的概率是多少? 解析 : (1)由茶陵县频数为 5,频率为 0.125,求出数据总数,再用 4 除以数据总数求出 a的值,用数据总数乘 0.15 得到 b 的值; (2)根据各组频数之和等于数据总数可知各组频数正确,根据频率 =频数 数据总数可知株洲市城区对应频率错误,进而

14、求出正确值; (3)设来自炎陵县的 4 位 “ 最有孝心的美少年 ” 为 A、 B、 C、 D,根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与 A、 B 同时入选的情况,再利用概率公式即可求得答案 . 答案 : (1) 茶陵县频数为 5,频率为 0.125, 数据总数为 50.125=40 , a=440=0.1 , b=400.15=6 . 故答案为 0.1, 6; (2)4+5+6+8+5+12=40 , 各组频数正确, 1240=0.30.25 , 株洲市城区对应频率 0.25 这个数据是错误的,该数据的正确值是 0.3; (3)设来自炎陵县的 4 位 “ 最有孝心的美少年 ” 为

15、A、 B、 C、 D,列表如下: 共有 12 种等可能的结果, A、 B 同时入选的有 2 种情况, A 、 B 同时入选的概率是: = . 20.(6 分 )家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩,据以往的经验,他获得如下信息: (1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快 1 千米; (2)他上山 2 小时到达的位置,离山顶还有 1 千米; (3)抄近路下山,下山路程比上山路程近 2 千米; (4)下山用 1 个小时; 根据上面信息,他作出如下计划: (1)在山顶游览 1 个小时; (2)中午 12: 00 回到家吃中餐 . 若依据以上信息和计划登山游玩,请问:孔明同学应该在什么时间从家出发

16、? 解析 : 由 (1)得 v 下 =(v 上 +1)千米 /小时 . 由 (2)得 S=2v 上 +1 由 (3)、 (4)得 2v 上 +1=v 下 +2. 根据 S=vt 求得计划上、下山的时间,然后可以得到共需的时间为:上、下上时间 +山顶游览时间 . 答案 :设上山的速度为 v,下山的速度为 (v+1),则 2v+1=v+1+2,解得 v=2. 即上山速度是 2 千米 /小时 . 则下山的速度是 3 千米 /小时,山高为 5 千米 . 则计划上山的时间为: 52=2.5( 小时 ), 计划下山的时间为: 1 小时, 则共用时间为: 2.5+1+1=4.5(小时 ), 所以出发时间为:

17、 12: 00-4 小时 30 分钟 =7: 30. 答:孔明同学应该在 7 点 30 分从家出发 . 21.(6 分 )已知关于 x 的一元二次方程 (a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中 a、 b、 c 分别为 ABC 三边的长 . (1)如果 x=-1 是方程的根,试判断 ABC 的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断 ABC 的形状,并说明理由; (3)如果 ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根 . 解析 : (1)直接将 x=-1 代入得出关于 a, b 的等式,进而得出 a=b,即可判断 ABC 的形状; (2)利用根的判别式进而得出关于 a

18、, b, c 的等式,进而判断 ABC 的形状; (3)利用 ABC 是等边三角形,则 a=b=c,进而代入方程求出即可 . 答案 : (1)ABC 是等腰三角形; 理由: x= -1 是方程的根, (a+c )( -1)2-2b+(a-c)=0, a+c -2b+a-c=0, a -b=0, a=b , ABC 是等腰三角形; (2) 方程有两个相等的实数根, (2b )2-4(a+c)(a-c)=0, 4b 2-4a2+4c2=0, a 2=b2+c2, ABC 是直角三角形; (3)当 ABC 是等边三角形, (a+c )x2+2bx+(a-c)=0,可整理为: 2ax2+2ax=0,

19、x 2+x=0, 解得: x1=0, x2=-1. 22.(8 分 )如图,在 RtABC 中, C=90 , A 的平分线交 BC 于点 E, EFAB 于点 F,点 F恰好是 AB 的一个三等分点 (AF BF). (1)求证: ACEAFE ; (2)求 tanCAE 的值 . 解析 : (1)根据角的平分线的性质可求得 CE=EF,然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等 . (2)由 ACEAFE ,得出 AC=AF, CE=EF,设 BF=m,则 AC=2m, AF=2m, AB=3m,根据勾股定理可求得, tanB= = , CE=EF= ,在 RTACE 中, tanCAE=

20、 = = ; 答案: (1)AE 是 BAC 的平分线, ECAC , EFAF , CE=EF , 在 RtACE 与 RtAFE 中, , RtACERtAFE(HL ); (2)由 (1)可知 ACEAFE , AC=AF , CE=EF, 设 BF=m,则 AC=2m, AF=2m, AB=3m, BC= = = m, 在 RTABC 中, tanB= = = , 在 RTEFB 中, EF=BF tanB= , CE=EF= , 在 RTACE 中, tanCAE= = = , tanCAE= . 23.(8 分 )如图, PQ 为圆 O 的直径,点 B 在线段 PQ的延长线上, O

21、Q=QB=1,动点 A在圆 O的上半圆运动 (含 P、 Q 两点 ),以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC. (1)当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时,求 ABC 的面积 (图 1); (2)设 AOB= ,当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点 (即 A 点 )时,求 的范围 (图 2,直接写出答案 ); (3)当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、 M 时,如果 AOPM 于点 N,求 CM 的长度 (图 3). 解析 : (1)连接 OA,如下图 1,根据条件可求出 AB,然后 AC 的高 BH,求出 BH 就可以求出 ABC的 面积 . (2)如下图 2,首先考虑临界位

22、置:当点 A 与点 Q 重合时,线段 AB 与圆 O 只有一个公共点,此时 =0 ;当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时,线段 AB 与圆 O 只有一个公共点,此时=60 .从而定出 的范围 . (3)设 AO 与 PM 的交点为 D,连接 MQ,如下图 3,易证 AOMQ ,从而得到 PDOPMQ ,BMQBAO ,又 PO=OQ=BQ,从而可以求出 MQ、 OD,进而求出 PD、 DM、 AM、 CM 的值 . 答案 : (1)连接 OA,过点 B 作 BHAC ,垂足为 H,如图 1 所示 . AB 与 O 相切于点 A, OAAB .OAB=90 . OQ=QB=1 , OA=1

23、.AB= = = . ABC 是等边三角形, AC=AB= , CAB=60 . sinHAB= , HB=AB sin HAB= = . S ABC = AC BH= = .ABC 的面积为 . (2) 当点 A 与点 Q 重合时,线段 AB 与圆 O只有一个公共点,此时 =0 ; 当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时,如图 2 所示, 线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点, 此时 OA1BA 1, OA1=1, OB=2, cosA 1OB= = .A 1OB=60 . 当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点 (即 A 点 )时, 的范围为: 060 . (3)连接 MQ,如图 3

24、 所示 . PQ 是 O 的直径, PMQ=90 . OAPM , PDO=90 .PDO=PMQ .PDOPMQ . = = PO=OQ= PQ.PD= PM, OD= MQ.同理: MQ= AO, BM= AB. AO=1 , MQ= .OD= . PDO=90 , PO=1, OD= , PD= .PM= .DM= . ADM=90 , AD=A0-OD= , AM= = = . ABC 是等边三角形, AC=AB=BC , CAB=60 . BM= AB, AM=BM .CMAB . AM= , BM= , AB= .AC= . CM= = = .CM 的长度为 . 24.(10 分

25、)已知抛物线 y=x2-(k+2)x+ 和直线 y=(k+1)x+(k+1)2. (1)求证:无论 k 取何实数值,抛物线总与 x 轴有两个不同的交点; (2)抛物线于 x 轴交于点 A、 B,直线与 x 轴交于点 C,设 A、 B、 C三点的横坐标分别是 x1、x2、 x3,求 x1 x2 x3的最大值; (3)如果抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边,直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边,又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E,直线 AD 交直线 CE 于点 G(如图 ),且 CA GE=CG AB,求抛物线的解析式 . 解析 : (1)由判别式 =(k+2 )2-41 =

26、k2-k+2=(k- )2+ 0,即可证得无论 k 取何实数值,抛物线总与 x 轴有两个不同的交点; (2)由抛物线于 x 轴交于点 A、 B,直线与 x 轴交于点 C,设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、x2、 x3,可得 x1 x2= , x3=-(k+1),继而可求得答案; (3)由 CA GE=CG AB,易得 CAGCBE ,继而可证得 OADOBE ,则可得 ,又由抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边,直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边,又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E,可得 OA OB= , OD= , OE=(k+1)2,继而求得点 B 的坐标

27、为 (0, k+1),代入解析式即可求得答案 . 答案: (1)=(k+2 )2-41 =k2-k+2=(k- )2+ , (k - )20 , 0, 无论 k 取何实数值,抛物线总与 x 轴有两个不同的交点; (2) 抛物线于 x 轴交于点 A、 B,直线与 x 轴交于点 C,设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、x2、 x3, x 1 x2= , 令 0=(k+1)x+(k+1)2,解得: x=-(k+1),即 x3=-(k+1), x 1 x2 x3=-(k+1) =- (k+ )2+ , x 1 x2 x3的最大值为: ; (3)CA GE=CG AB, , ACG=BCE , CAGCBE , CAG=CBE , AOD=BOE , OADOBE , , 抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边,直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边,又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E, OA OB= , OD= , OE=(k+1)2, OA OB=OD, , OB 2=OE, OB=k+1 , 点 B(k+1, 0), 将点 B 代入抛物线 y=x2-(k+2)x+ 得: (k+1)2-(k+2)(k+1)- =0,解得: k=2, 抛物线的解析式为: y=x2-4x+3.

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