1、2014 年湖南省湘西州中考真题数学 一、填空题 (本大题 6 小题，每小题 3分，共 18分，将正确答案填在相应的横线上 ) 1.(3 分 )2014 的相反数是 . 解析 ： 2014 的相反数是 -2014， 答案： -2014. 2.(3 分 )分解因式： ab-2a= . 解析 ： ab-2a=a(b-2).(提取公因式 ) 答案： a(b-2) 3.(3 分 )已知 A=60 ，则它的补角的度数是 度 . 解析 ： 这个角的补角 =180 -60=120 . 答案： 120. 4.(3 分 )据中国汽车协会统计， 2013 年我国汽车销售量约为 2198 万辆，连续五年位居全球第一
2、位，请用科学记数法表示 21980000= . 解析 ： 21980000=2.19810 7. 答案： 2.19810 7. 5.(3 分 )如图，直线 AB和 CD 相交于点 O， OE 平分 DOB ， AOC=40 ，则 DOE= 度 . 解析 ： AOC=40 ， DOB=AOC=40 ， OE 平分 DOB ， DOE= BOD=20 ， 答案： 20. 6.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E， OC=5cm， CD=6cm，则 OE= cm. 解析 ： CDABCE= CD= 6=3cm ， 在 RtOCE 中， OE= cm. 答案： 4. 二、选
3、择题 (本大题 10 小题，每小题 4分，共 40分 ) 7.(4 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (m+n)2=m2+n2 B. (x3)2=x5 C. 5x-2x=3 D. (a+b)(a-b)=a2-b2 解析 ： A、 (m+n)2=m2+2mn+n2，故本选项错误； B、 (x3)2=x6，故本选项错误； C、 5x-2x=3x，故本选项错误； D、 (a+b)(a-b)=a2-b2，故本选项正确； 答案： D. 点评： 本题考查了对完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式的应用，注 8.(4 分 )已知 x-2y=3，则代数式 6-2x+4y 的值为 ( ) A.
4、0 B. -1 C. -3 D. 3 解析 ： x -2y=3， 6 -2x+4y=6-2(x-2y)=6-23=6 -6=0 答案： A. 9.(4 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， CA=CB， AB=2，过点 C 作 CDAB ，垂足为 D，则 CD 的长为 ( ) A. B. C. 1 D. 2 解析 ： ACB=90 ， CA=CB， A=B=45 ， CDAB ， AD=BD= AB=1， CDB=90 ， CD=BD=1 . 答案： C. 10.(4 分 )如图，直线 ab ， ca ，则 c 与 b 相交所形成的 2 度数为 ( ) A. 45 B. 60 C
5、. 90 D. 120 解析 ： ca ， 1=90 ， ab ， 2=1=90 . 答案： C. 11.(4 分 )在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球和 3 个绿球，这些球除了颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，它是红球的概率是 ( ) A. B. C.1 D. 解析 ： 根据题意可知，共有 8 个球，红球有 5 个，故抽到红球的概率为 ， 答案： A. 12.(4 分 )下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是
6、中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确 . 答案： D. 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念 .轴对称图形的关键是寻找对称轴， 13.(4 分 )每年 4月 23 日是 “ 世界读书日 ” ，为了了解某校八年级 500 名学生对 “ 世界读书日 ” 的知晓情况，从中随机抽取了 50 名学生进行调查 .在这次调查中，样本是 ( ) A. 500 名学生 B. 所抽取的 50 名学生对 “ 世界读书日 ” 的知晓情况 C. 50 名学生 D. 每一名学生对 “ 世界读书日 ” 的知晓情况 解析 ： 样本是所抽取的 50 名学生对 “ 世界读书
7、日 ” 的知晓情况 . 答案： B. 14.(4 分 )已知等腰 ABC 的两边长分别为 2 和 3，则等腰 ABC 的周长为 ( ) A. 7 B. 8 C. 6 或 8 D. 7 或 8 解析 ： 当 2 为底时，三角形的三边为 3， 2、 3 可以构成三角形，周长为 8； 当 3 为底时，三角形的三边为 3， 2、 2 可以构成三角形，周长为 7. 答案： D. 15.(4 分 )正比例函数 y=x 的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当 k 0 时，经过一、三象限 . 正比例函数 y=x 的大致图象是 C. 答案： C. 16
8、.(4 分 )下列说法中，正确的是 ( ) A. 相等的角一定是对顶角 B. 四个角都相等的四边形一定是正方形 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 矩形的对角线一定垂直 解析 ： A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误； B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误； C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确； D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误 . 答案： C. 三、解答题 (本大题 9 小题，共 92 分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤 ) 17.(6 分 )计算： 2-1+2cos
9、60+ . 解析 ： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果 . 答案 ：原式 = +2 +3=4 . 18.(8 分 )解不等式： 3(x+2)0 ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解析 ： 不等式两边同时除以 3，得： x+20 ，移项，得： x -2. 19.(8 分 )如图，在 ABCD 中，点 E、 F 分别在边 BC 和 AD上，且 BE=DF. (1)求证： ABECDF ； (2)求证： AE=CF. 解析 ： (1)根据平行四边形的性质得出 AB=CD， B=D ，根据 SAS 证出 ABECDF ；
10、(2)根据全等三角形的对应边相等即可证得 . 答案 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， B=D ， 在 ABE 和 CDF 中， ABECDF(SAS )， AE=CF . 20.(8 分 )据省环保网发布的消息，吉首市空气质量评价连续两年居全省 14 个省辖市城市之最，下表是吉首市 2014 年 5 月份前 10 天的空气质量指数统计表 (1)请你计算这 10 天吉首市空气质量指数的平均数，并据此判断这 10 填吉首市空气质量平均情况属于哪个等级； (用科学计算器计算或笔算，结果保留整数 ) (2)按规定，当空气质量指数 AQI100 时，空气质量才算 “ 达标 ” ，请你
11、根据表 (一 )和表 (二 )所提供的信息，估计今年 (365 天 )吉首市空气质量 “ 达标 ” 的天数 .(结果保留整数 ) 解析 ： (1)求出这 10 天的空气质量平均平均数，再根据空气质量污染指数标准找出等级即可； (2)找出这 10 天空气质量 “ 达标 ” 的天数，求出占的比列，再乘以 365 即可 . 答案 ： (1) =68.769 ， 69 在 51 100 之间，所以吉首市空气质量平均情况属于良； (2) 这 10 天空气质量 “ 达标 ” 的天数为 9 天，今年 (365 天 )吉首市空气质量 “ 达标 ” 的天数为 =328.5329( 天 )， 答：估计今年 (36
12、5 天 )吉首市空气质量 “ 达标 ” 的天数为 329 天 . 21.(8 分 )如图，一次函数 y=-x+m 的图象和 y 轴交于点 B，与正比例函数 y= x图象交于点P(2， n). (1)求 m 和 n 的值； (2)求 POB 的面积 . 解析 ： (1)先把 P(2， n)代入 y= x 即可得到 n 的值，从而得到 P 点坐标为 (2， 3)，然后把 P点坐标代入 y=-x+m 可计算出 m 的值； (2)先利用一次函数解析式确定 B 点坐标，然后根据三角形面积公式求解 . 答案 ： (1)把 P(2， n)代入 y= x 得 n=3，所以 P 点坐标为 (2， 3)， 把 P
13、(2， 3)代入 y=-x+m 得 -2+m=3，解得 m=5，即 m 和 n的值分别为 5， 3； (2)把 x=0 代入 y=-x+5 得 y=5，所以 B 点坐标为 (0， 5)，所以 POB 的面积 = 52=5 . 22.(10 分 )五一期间，春华旅行社组织一个由成人和学生共 20 人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票 148 元 /张，学生门票 20 元 /张，该旅行团购买门票共花费 1936 元，问该团购买成人门票和学生门票各多少张？ 解析 ： 设购买成人门票 x 张，学生门票 y 张，则由 “ 成人和学生共 20 人 ” 和 “ 购买门票共花费 1936
14、 元 ” 列出方程组解决问题 . 答案 ：设购买成人门票 x 张，学生门票 y 张，由题意得 ， 解得 . 答：购买成人门票 12 张，学生门票 8 张 . 23.(10 分 )如图，在 88 的正方形网格中， CAB 和 DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上， AC 与网格上的直线相交于点 M. (1)填空： AC= ， AB= . (2)求 ACB 的值和 tan1 的值； (3)判断 CAB 和 DEF 是否相似？并说明理由 . 解析 ： (1)根据勾股定理来求 AC、 AB 的长度； (2)利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题； (3)由 “ 三边法 ” 法来证它
15、们相似 . 答案 ： (1)如图，由勾股定理，得 AC= =2 ， AB= =2 . 故答案是： 2 ， 2 ； (2)如图所示， BC= =2 . 又由 (1)知， AC=2 ， AB=2 ， AC 2+BC2=AB2=40， ACB=90 .tan1= = . 综上所述， ACB 的值是 90 和 tan1 的值是 ； (3)CAB 和 DEF 相似 .理由如下： 如图， DE=DF= = ， EF= = .则 = = =2，所以 CABDEF . 24.(12 分 )湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排 15 辆汽车装运 A、 B、 C 三种不同品质的椪柑 120 吨到外地销售，按
16、计划 15 辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于 3 辆 . (1)设装运 A 种椪柑的车辆数为 x 辆，装运 B 种椪柑车辆数为 y辆，根据下表提供的信息，求出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)在 (1)条件下，求出该函数自变量 x 的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案； (3)为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨 50 元的标准实行运费补贴 .若要使该外地运销客户所获利润 W(元 )最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润 W(元 )的最大值？ 解
17、析 ： (1)等量关系为：车辆数之和 =15，由此可得出 x 与 y 的关系式； (2)关系式为：装运每种脐橙的车辆数 3 ； (3)总利润为：装运 A 种椪柑的车辆数 10800+ 装运 B 种椪柑的车辆数 81200+ 装运 C种椪柑的车辆数 61000+ 运费补贴，然后按 x 的取值来判定 . 答案 ： (1)设装运 A 种椪柑的车辆数为 x 辆，装运 B 种椪柑车辆数为 y辆，则装 C种椪柑的车辆是 (15-x-y)辆 .则 10x+8y+6(15-x-y)=120，即 10x+8y+90-6x-6y=120，则 y=15-2x； (2)根据题意得： ，解得： 3x6 . 则有四种方案
18、： A、 B、 C 三种的车辆数分别是： 3 辆， 9 辆， 3 辆或 4 辆， 7 辆， 4辆或 5辆5 辆、 2 辆、 8 辆或 6 辆、 3 辆、 6 辆； (3)W=10800x+81200(15 -x)+61000 15-x-(15-2x)+12050=4400x+150000 ， 根据一次函数的性质，当 x=6 时， W 有最大值，是 44006+150000=176400( 元 ). 应采用 A、 B、 C 三种的车辆数分别是： 6 辆、 3 辆、 6 辆 . 25.(22 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c 关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，点 B(2， - )和
19、点 C(-3， -3)两点均在抛物线上，点 F(0， - )在 y 轴上，过点 (0， )作直线 l与 x 轴平行 . (1)求抛物线的解析式和线段 BC 的解析式 . (2)设点 D(x， y)是线段 BC 上的一个动点 (点 D 不与 B， C 重合 )，过点 D 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 G.设线段 GD 的长度为 h，求 h 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时，线段 GD 的长度 h 最大，最大长度 h 的值是多少？ (3)若点 P(m， n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接 PF 并延长，交抛物线于另一点Q，过点 Q 作 QSl ，垂足为点 S，过点 P
20、作 PNl ，垂足为点 N，试判断 FNS 的形状，并说明理由； (4)若点 A(-2， t)在线段 BC 上，点 M 为抛物线上的一个动点，连接 AF，当点 M 在何位置时，MF+MA 的值最小，请直接写出此时点 M 的坐标与 MF+MA 的最小值 . 解析 ： (1)由于抛物线的顶点在坐标原点 O，故抛物线的解析式可设为 y=ax2，把点 C 的坐标代入即可求出抛物线的解析式；设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，把点 B、 C 的坐标代入即可求出直线 BC 的解析式 . (2)由点 D(x， y)在线段 BC 上可得 yD= x-2，由点 G 在抛物线 y=- x2上可得 yG=- x
21、2.由h=DG=yG-yD=- x2-( x-2)配方可得 h=- (x+ )2+ .根据二次函数的最值性即可解决问题 . (3)可以证明 PF=PN，结合 PNOF 可推出 PFN=OFN ；同理可得 QFS=OFS .由PFN+OFN+OFS+QFS=180 可推出 NFS=90 ，故 NFS 是直角三角形 . (4)过点 M 作 MHl ，垂足为 H，如图 4，由 (3)中推出的结论 PF=PN 可得：抛物线 y=- x2上的点到点 F(0， - )的距离与到直线 y= 的距离相等，从而有 MF=MH，则 MA+MF=MA+MH.由两点之间线段最短可得：当 A、 M、 H三点共线 (即
22、AMl )时， MA+MH(即 MA+MF)最小，此时 xM=xA=-2，从而可以求出点 M 及点 A 的坐标，就可求出 MF+MA 的最小值 . 答案 ： (1)如图 1， 抛物线 y=ax2+bx+c 关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点 O， 抛物线解析式为 y=ax2. 点 C(-3， -3)在抛物线 y=ax2上， 9a=-3.a= - . 抛物线的解析式为 y=- x2. 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n. B(2 ， - )、 C(-3， -3)在直线 y=mx+n 上， .解得 . 直线 BC 的解析式为 y= x-2. (2)如图 2， 点 D(x， y)是线段 BC
23、上的一个动点 (点 D 不与 B， C 重合 )， y D= x-2，且 -3 x 2. DGx 轴， x G=xD=x. 点 G 在抛物线 y=- x2上， y G=- x2. h=DG=y G-yD=- x2-( x-2)=- x2- x+2=- (x2+x)+2=- (x2+x+ - )+2=- (x+ )2+2=- (x+ )2+ . - 0， -3 - 2， 当 x=- 时， h 取到最大值，最大值为 . h 与 x 之间的函数关系式为 h=- (x+ )2+ ，其中 -3 x 2； 当 x=- 时，线段 GD 的长度 h 最大，最大长度 h 的值是 . (3)FNS 是直角三角形
24、.证明：过点 F 作 FTPN ，垂足为 T，如图 3， 点 P(m， n)是抛物线 y=- x2上位于第三象限的一个动点， n= - m2.m 0， n 0.m 2=-3n. 在 RtPTF 中， PT= - -n， FT=-m， PF= = = = =-n. PNl ，且 l 是过点 (0， )平行于 x 轴的直线， PN= -n.PF=PN .PNF=PFN . PNl ， OFl ， PNOF .PNF=OFN .PFN=OFN . 同理可得： QFS=OFS . PFN+OFN+OFS+QFS=180 ，2OFN+2OFS=180 .OFN+OFS=90 .NFS=90 .NFS 是
25、直角三角形 . (4)过点 M 作 MHl ，垂足为 H，如图 4， 在 (3)中已证到 PF=PN，由此可得：抛物线 y=- x2上的点到点 F(0， - )的距离与到直线 y=的距离相等 .MF=MH .MA+MF=MA+MH . 由两点之间线段最短可得： 当 A、 M、 H 三点共线 (即 AMl )时， MA+MH(即 MA+MF)最小，等于 AH. 即 xM=xA=-2 时， MA+MF 取到最小值 . 此时， yM=- ( -2)2=- ，点 M 的坐标为 (-2， - )； yA= ( -2)-2=- ，点 A 的坐标为 (-2， - )； MF+MA 的最小值 =AH= -(- )= . 当点 M 的坐标为 (-2， - )时， MF+MA 的值最小，最小值为 .
