1、2014 年湖南省益阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(4 分 )四个实数 -2， 0， - ， 1 中，最大的实数是 ( ) A. -2 B. 0 C. - D. 1 解析： -2 - 0 1， 四个实数中，最大的实数是 1. 答案： D. 2.(4 分 )下列式子化简后的结果为 x6的是 ( ) A. x3+x3 B. x3 x3 C. (x3)3 D. x12x 2 解析： A、原式 =2x3，故本选项错误； B、原式 =x6，故本选项正确； C、原式 =x9，故本选项错误； D
2、、原式 =x12-2=x10，故本选项错误 . 答案： B. 3.(4 分 )小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 道，数学题 5 道，综合题 9 道，她从中随机抽取 1 道，抽中数学题的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析： 小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 道，数学题 5 道，综合题 9道， 她从中随机抽取 1 道，抽中数学题的概率是： = . 答案： C. 4.(4 分 )下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项
3、错误； B、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； D、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误 . 答案： C. 5.(4 分 )一元二次方程 x2-2x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是 ( ) A. m 1 B. m=1 C. m 1 D. m1 解析： 方程 x2-2x+m=0 总有实数根， 0 ，即 4-4m0 ， -4m -4， m1 . 答案： D. 6.(4 分 )
4、正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的交点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第一、三象限 解析： 解方程组 得 或 ， 所以正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的交点坐标为 (1， 6)， (-1， -6). 答案： D. 7.(4 分 )如图，平行四边形 ABCD 中， E， F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件使ABECDF ，则添加的条件 是 ( ) A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. 1=2 解析： A、当 AE=CF 无法得出 ABECDF ，故此选项符合题意； B、当 BE=FD
5、， 平行四边形 ABCD 中， AB=CD ， ABE=CDF ， 在 ABE 和 CDF 中 ， ABECDF (SAS)，故此选项错误； C、当 BF=ED， BE=DF ， 平行四边形 ABCD 中， AB=CD ， ABE=CDF ， 在 ABE 和 CDF 中 ， ABECDF (SAS)，故此选项错误； D、当 1=2 ， 平行四边形 ABCD 中， AB=CD ， ABE=CDF ， 在 ABE 和 CDF 中 ， ABECDF (ASA)，故此选项错误； 答案： A. 8.(4 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的 P 的圆心 P 的坐标为 (-3， 0)，
6、将 P沿 x 轴正方向平移，使 P 与 y 轴相切，则平移的距离为 ( ) A. 1 B. 1 或 5 C. 3 D. 5 解析： 当 P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 1； 当 P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 5. 答案： B. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 .把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ) 9.(4 分 )若 x2-9=(x-3)(x+a)，则 a= . 解析： x 2-9=(x+3)(x-3)=(x-3)(x+a)， a=3 . 答案： 3. 10.(4 分 )分式方程 = 的解为 . 解析： 去分
7、母得： 4x=3x-9， 解得： x=-9， 经检验 x=-9 是分式方程的解 . 答案： x=-9. 11.(4 分 )小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下 (单位：米 )：1.96， 2.16， 2.04， 2.20， 1.98， 2.22， 2.32，则这组数据的中位数是 米 . 解析： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 1.96， 1.98， 2.04， 2.16， 2.20， 2.22， 2.32， 则中位数为： 2.16. 答案： 2.16. 12.(4 分 )小明放学后步行回家，他离家的路程 s(米 )与步行时间 t(分钟 )的函数图象如图所示，则他步行回
8、家的平均速度是 米 /分钟 . 解析： 由图知，他离家的路程为 1600 米，步行时间为 20 分钟， 则他步行回家的平均速度是： 160020=80 (米 /分钟 )， 答案： 80. 13.(4 分 )如图，将等边 ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得 ACD ， BC 的中点 E 的对应点为 F，则 EAF 的度数是 . 解析： 将等边 ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得 ACD ， BC的中点 E的对应点为 F， 旋转角为 60 ， E， F 是对应点，则 EAF 的度数为： 60 . 答案： 60 . 三、解答题 (本大题共
9、2 小题，每小题 6分，共 12分 ) 14.(6 分 )计算： |-3|+30- . 解析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =3+1-3=1. 15.(6 分 )如图， EFBC ， AC 平分 BAF ， B=80 .求 C 的度数 . 解析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出 BAF ，再根据角平分线的定义求出 CAF ，然后根据两直线平行，内错角相等解答 . 答案 ： EFBC ， BAF=180 -B=100 ， AC 平分 BAF ， CAF= BAF=50 ， EFBC ， C=CA
10、F=50 . 四、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 8分，共 24分 ) 16.(8 分 )先化简，再求值： ( +2)(x-2)+(x-1)2，其中 x= . 解析： 原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 =1+2x-4+x2-2x+1=x2-2， 当 x= 时，原式 =3-2=1. 17.(8 分 )某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动 .“ 放飞梦想 ” 读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别 (图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类 )，并将调
11、查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题： (1)求被调查的学生人数； (2)补全条形统计图； (3)已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 解析： (1)利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数； (2)利用 (1)中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可； (3)首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数 . 答案 ： (1)被调查的学生人数为： 1220%=60 (人 )； (2)喜欢艺体类的学生数为： 60-24-12-16=8(人 )，如图所示： ； (3)全校最喜爱文学类
12、图书的学生约有： 1200 =480(人 ). 18.(8 分 )“ 中国 -益阳 ” 网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥 .如图，新大桥的两端位于 A、 B 两点，小张为了测量 A、 B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据： BDA=76.1 ， BCA=68.2 ，CD=82 米 .求 AB 的长 (精确到 0.1 米 ). 参考数据： sin76.10.97 ， cos76.10.24 ， tan76.14.0 ； sin68.20.93 ， cos68.20.37 ， tan68.22.5 . 解析： 设 A
13、D=x 米，则 AC=(x+82)米 .在 RtABC 中，根据三角函数得到 AB=2.5(x+82)，在RtABD 中，根据三角函数得到 AB=4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解 . 答案 ：设 AD=x 米，则 AC=(x+82)米 . 在 RtABC 中， tanBCA= ， AB=AC tanBCA=2.5 (x+82). 在 RtABD 中， tanBDA= ， AB=ADtanBDA=4x .2.5 (x+82)=4x，解得 x= . AB=4x=4 546.7 . 答： AB 的长约为 546.7 米 . 五、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 10分，共 20 分
14、 ) 19.(10 分 )某电器超市销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A、 B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： (进价、售价均保持不变，利润 =销售收入 -进货成本 ) (1)求 A、 B 两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在 (2)的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 . 解析： (1)设 A、 B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、 y 元，根据 3台
15、 A 型号 5台 B 型号的电扇收入 1800 元， 4 台 A 型号 10 台 B 型号的电扇收入 3100 元，列方程组求解； (2)设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇 (30-a)台，根据金额不多余 5400元，列不等式求解； (3)设利润为 1400 元，列方程求出 a 的值为 20，不符合 (2)的条件，可知不能实现目标 . 答案 ： (1)设 A、 B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、 y 元， 依题意得： ，解得： ， 答： A、 B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、 210 元； (2)设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种
16、型号电风扇 (30-a)台 . 依题意得： 200a+170(30-a)5400 ，解得： a10 . 答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时，采购金额不多于 5400 元； (3)依题意有： (250-200)a+(210-170)(30-a)=1400，解得： a=20， a 10， 在 (2)的条件下超市不能实现利润 1400 元的目标 . 20.(10 分 )如图，直线 y=-3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，抛物线 y=a(x-2)2+k经过点A、 B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P. (1)求 a， k 的值； (2)抛物线的对称轴上有一点 Q，
17、使 ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点 M、 N，使以 A， C， M， N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长 . 解析： (1)先求出直线 y=-3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将 A、 B 两点坐标代入 y=a(x-2)2+k，得到关于 a， k 的二元一次方程组，解方程组即可求解； (2)设 Q 点的坐标为 (2， m)，对称轴 x=2交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E.在 RtAQF 与 RtBQE 中，用勾股定理分别表示出 AQ2=AF2+QF2=1+m2
18、， BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2，由 AQ=BQ，得到方程 1+m2=4+(3-m)2，解方程求出 m=2，即可求得 Q 点的坐标； (3)当点 N 在对称轴上时，由 NC 与 AC 不垂直，得出 AC 为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到 M 点与顶点 P(2， -1)重合， N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN ，则四边形 AMCN 为正方形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长 . 答案 ： (1) 直线 y=-3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B， A (1， 0)， B(0，
19、3). 又 抛物线抛物线 y=a(x-2)2+k 经过点 A(1， 0)， B(0， 3)， ，解得 ，故 a， k 的值分别为 1， -1； (2)设 Q 点的坐标为 (2， m)，对称轴 x=2交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E. 在 RtAQF 中， AQ2=AF2+QF2=1+m2， 在 RtBQE 中， BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2， AQ=BQ ， 1+m 2=4+(3-m)2， m=2 ， Q 点的坐标为 (2， 2)； (3)当点 N 在对称轴上时， NC 与 AC 不垂直，所以 AC 应为正方形的对角线 . 又 对称轴 x=2 是
20、 AC 的中垂线， M 点与顶点 P(2， -1)重合， N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为 (2， 1). 此时， MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN ， 四边形 AMCN 为正方形 . 在 RtAFN 中， AN= = ，即正方形的边长为 . 六、解答题 (本题满分 12 分 ) 21.(12 分 )如图，在直角梯形 ABCD 中， ABCD ， ADAB ， B=60 ， AB=10， BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x. (1)求 AD 的长； (2)点 P 在运动过程中，是否存在以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、
21、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由； (3)设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为 S1、 S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值 . 解析： (1)过点 C作 CEAB 于 E，根据 CE=BC sinB 求出 CE，再根据 AD=CE 即可求出 AD； (2)若以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似，则 PCB 必有一个角是直角 .分两种情况讨论： 当 PCB=90 时，求出 AP，再根据在 RtADP 中 DPA=60 ，得出 DPA=B ，从而得到 ADPCPB ， 当 CPB=90 时，求出 AP=3，根
22、据 且 ，得出 PCB 与 ADP 不相似 . (3)先求出 S1= ，再分两种情况讨论： 当 2 x 10 时，作 BC 的垂直平分线交BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH于 M，连结 BM，在 RtGBH 中求出 BG、 BN、 GN，在 RtGMN 中，求出 MN= ( x-1)，在 RtBMN 中，求出 BM2= x2- x+ ，最后根据 S1= BM2代入计算即可 . 当 0 x2 时， S2= ( x2- x+ )，最后根据 S=S1+S2= (x- )2+ 即可得出 S 的最小值 . 答案 ： (1)过点 C 作 CEAB 于 E， 在
23、 RtBCE 中， B=60 ， BC=4， CE=BC sinB=4 =2 ， AD=CE=2 . (2)存在 .若以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似， 则 PCB 必有一个角是直角 . 当 PCB=90 时，在 RtPCB 中， BC=4， B=60 ， PB=8， AP=AB -PB=2. 又由 (1)知 AD=2 ，在 RtADP 中， tanDPA= = = ， DPA=60 ， DPA=CPB ， ADPCPB ， 存在 ADP 与 CPB 相似，此时 x=2. 当 CPB=90 时，在 RtPCB 中， B=60 ， BC=4， PB=2
24、， PC=2 ， AP=3 .则 且 ，此时 PCB 与 ADP 不相似 . (3)如图，因为 RtADP 外接圆的直径为斜边 PD，则 S1= ( )2= ， 当 2 x 10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G； 作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM.则 BM 为 PCB 外接圆的半径 . 在 RtGBH 中， BH= BC=2， MGB=30 ， BG=4 ， BN= PB= (10-x)=5- x， GN=BG -BN= x-1. 在 RtGMN 中， MN=GN tanMGN= ( x-1). 在 RtBMN 中， BM2=MN2+BN2= x2- x+ ， S 1= BM2= ( x2- x+ ). 当 0 x2 时， S2= ( x2- x+ )也成立， S=S 1+S2= + ( x2- x+ )= (x- )2+ . 当 x= 时， S=S1+S2取得最小值 .
