2014年湖南省衡阳市中考真题数学.docx

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1、2014 年湖南省衡阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 3分,共 36 分 ) 1.(3 分 )-2 的倒数是 ( ) A. B. - C. 2 D. -2 解析 : -2 的倒数是 - . 答案: B. 2.(3 分 )下列图案中,不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : A、不是轴对称图形,故本选项正确; B、是轴对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项错误 . 答案: A. 3.(3 分 )环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题,我国新修订的环境空气质量标准中增加了 PM2.5 检测

2、指标, “PM2.5” 是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 2.5 微米即 0.0000025 米 .用科学记数法表示 0.0000025 为 ( ) A. 2.510 -5 B. 2.510 5 C. 2.510 -6 D. 2.510 6 解析 : 0.000 0025=2.510 -6; 答案: C. 4.(3 分 )若一个多边形的内角和是 900 ,则这个多边形的边数是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 : 设这个多边形是 n 边形,根据题意得, (n-2) 180=900 ,解得 n=7. 答案: C. 5.(3 分 )小明从家出发,外出散

3、步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家,如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离 s(米 )与散步所用时间 t(分 )之间的函数关系,根据图象,下列信息错误的是 ( ) A. 小明看报用时 8 分钟 B. 公共阅报栏距小明家 200 米 C. 小明离家最远的距离为 400 米 D. 小明从出发到回家共用时 16 分钟 解析 : A.小明看报用时 8-4=4 分钟,本项错误; B.公共阅报栏距小明家 200 米,本项正确; C.据图形知, 12 分钟时离家最远,小明离家最远的距离为 400 米,本项正确; D.据图知小明从出发到回家共用时 16 分钟,本项正确 . 答案:

4、 A. 6.(3 分 )下列运算结果正确的是 ( ) A. x2+x3=x5 B. x3 x2=x6 C. x5x=x 5 D. x3 (3x)2=9x5 解析 : A、指数不能相加,故 A 错误; B、底数不变指数相加,故 B 错误; C、底数不变指数相减,故 C 错误; D、 x3(3x)2=9x5,故 D 正确; 答案: D. 7.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 : 不等式组 由 得, x 1, 由 得, x2 , 故不等式组的解集为: x2 , 在数轴上可表示为: 答案: A. 8.(3 分 )下列因式分解中,正确的个数为 ( ) x

5、3+2xy+x=x(x2+2y); x 2+4x+4=(x+2)2; -x2+y2=(x+y)(x-y) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 解析 : x 3+2xy+x=x(x2+2y+1),故原题错误; x 2+4x+4=(x+2)2;正确; -x2+y2=(x+y)(y-x),故原题错误;故正确的有 1 个 . 答案: C. 9.(3 分 )如图所示的图形是由 7 个完全相同的小正方体组成的立体图形,则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 根据立方体的组成可得出: A、是几何体的左视图,故此选项错误; B、是几何体的

6、三视图,故此选项正确; C、是几何体的主视图,故此选项错误; D、是几何体的俯视图,故此选项错误; 答案: B. 10.(3 分 )如图,一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD,坝顶宽 10 米,坝高 12 米,斜坡 AB 的坡度 i=1: 1.5,则坝底 AD 的长度为 ( ) A. 26 米 B. 28 米 C. 30 米 D. 46 米 解析 : 坝高 12 米,斜坡 AB 的坡度 i=1: 1.5, AE=1.5BE=18 米, BC=10 米, AD=2AE+BC=218+10=46 米, 答案: D. 11.(3 分 )圆心角为 120 ,弧长为 12 的扇形半径为 ( ) A. 6

7、B. 9 C. 18 D. 36 解析 : 设该扇形的半径是 r.根据弧长的公式 l= ,得到: 12= ,解得 r=18, 答案: C. 12.(3 分 )下列命题是真命题的是 ( ) A. 四边形都相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的梯形是等腰梯形 解析 : A、四条边都相等的是菱形,故错误,是假命题; B、菱形的对角线互相垂直但不相等,故错误,是假命题; C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形,故错误,是假命题; D、正确,是真命题 . 答案: D. 二、填空题 (本大题共 8 小题,每小题 3分,共 24

8、分 ) 13.(3 分 )函数 中,自变量 x 的取值范围是 . 解析 : 依题意,得 x-20 ,解得: x2 , 答案: x2 . 14.(3 分 )化简: ( - )= 2 . 解析 : ( - )= (2 - )= =2. 答案: 2. 15.(3 分 )如图,在矩形 ABCD 中, BOC=120 , AB=5,则 BD 的长为 . 解析 : 四边形 ABCD 是矩形, AC=2AO , BD=2BO, AC=BD, OA=OB , BOC=120 , AOB=60 , AOB 是等边三角形, OB=AB=5 , BD=2BO=10 , 答案: 10. 16.(3 分 )甲、乙两同学

9、参加学校运动员铅球项目选拔赛,各投掷 6 次,记录成绩,计算平均数和方差的结果为: =10.5, =10.5, =0.61, =0.50,则成绩较稳定的是 (填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ). 解析 : 因为 S 甲 2=0.61 S 乙 2=0.50,方差小的为乙,所以本题中成绩比较稳定的是乙 . 答案: 乙 . 17.(3 分 )如图, AB 为 O 直径, CD 为 O 的弦, ACD=25 , BAD 的度数为 65 . 解析 : AB 为 O 直径 ADB=90 B=ACD=25 BAD=90 -B=65 . 答案: 65 . 18.(3 分 )若点 P1(-1, m), P2(-

10、2, n)在反比例函数 y= (k 0)的图象上,则 m= n(填“ ”“ ” 或 “=” 号 ). 解析 : P 1(-1, m), P2(-2, n)在反比例函数 y= (k 0)的图象上, -1 m=k, -2 n=k, m= -k, n=- ,而 k 0, m n. 答案: . 19.(3 分 )分式方程 = 的解为 x= . 解析 : 去分母得: x2=x2-x+2x-2,解得: x=2,经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案: 2 20.(3 分 )如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M0的坐标为 (1, 0),将线段 OM0绕原点 O逆时针方向旋转 45 ,再将其延长到

11、 M1,使得 M1M0OM 0,得到线段 OM1;又将线段 OM1绕原点 O 逆时针方向旋转 45 ,再将其延长到 M2,使得 M2M1OM 1,得到线段 OM2;如此下去,得到线段 OM3, OM4, OM5, .根据以上规律,请直接写出 OM2014的长度为 . 解析 : 点 M0的坐标为 (1, 0), OM 0=1, 线段 OM0绕原点 O 逆时针方向旋转 45 , M1M0OM 0, OM 0M1是等腰直角三角形, OM 1= OM0= , 同理, OM2= OM1=( )2, OM3= OM2=( )3, , OM2014= OM2013=( )2014=21007. 答案: 21

12、007. 三、解答题 (本大题共 8 小题,满分 60分 ) 21.(6 分 )先化简,再求值 .(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2,其中 a=1, b=-2. 解析 : 先利用平方差公式和整式的乘法计算,再合并化简,最后代入求得数值即可 . 答案 :原式 =a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab, 当 a=1, b=-2 时 , 原式 =1+(-2)=-1. 22.(6 分 )小敏为了解本市的空气质量情况,从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图 (部分信息未给出 ). 请你根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)计算被

13、抽取的天数; (2)请补全条形统计图,并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数; (3)请估计该市这一年 (365 天 )达到优和良的总天数 . 解析 : (1)根据扇形图中空气为良所占比例为 64%,条形图中空气为良的天数为 32 天,即可得出被抽取的总天数; (2)轻微污染天数是 50-32-8-3-1-1=5 天;利用 360 乘以优所占的份额即可得优的扇形的圆心角度数; (3)利用样本中优和良的天数所占比例乘以一年 (365 天 )即可求出达到优和良的总天数 . 答案 : (1)扇形图中空气为良所占比例为 64%,条形图中空气为良的天数为 32 天, 被抽取的总天数为: 3264%=5

14、0( 天 ); (2)轻微污染天数是 50-32-8-3-1-1=5 天;表示优的圆心角度数是 360=57.6 , 如图所示: ; (3)样本中优和良的天数分别为: 8, 32, 一年 (365 天 )达到优和良的总天数为: 365=292( 天 ). 故估计该市一年达到优和良的总天数为 292 天 . 23.(6 分 )如图,在 ABC 中, AB=AC, BD=CD, DEAB , DFAC ,垂足分别为点 E、 F. 求证: BEDCFD . 解析 : 首先根据 AB=AC 可得 B=C ,再由 DEAB , DFAC ,可得 BED=CFD=90 ,然后再利用 AAS 定理可判定 B

15、EDCFD . 答案 : DEAB , DFAC , BED=CFD=90 , AB=AC , B=C , 在 BED 和 CFD 中, , BEDCFD(AAS ). 24.(6 分 )学校去年年底的绿化面积为 5000 平方米,预计到明年年底增加到 7200 平方米,求这两年的年平均增长率 . 解析 : 设这两年的年平均增长率为 x,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果 . 答案 :设这两年的年平均增长率为 x, 根据题意得: 5000(1+x)2=7200,即 (1+x)2=1.44, 开方得: 1+x=1.2 或 x+1=-1.2, 解得: x=0.2=20%,或 x=-2.2(

16、舍去 ). 答:这两年的年平均增长率为 20%. 25.(8分 )某班组织班团活动,班委会准备用 15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品,已知笔记本 2 元 /本,中性笔 1 元 /支,且每种奖品至少买 1 件 . (1)若设购买笔记本 x 本,中性笔 y 支,写出 y 与 x之间的关系式; (2)有多少种购买方案?请列举所有可能的结果; (3)从上述方案中任选一种方案购买,求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率 . 解析 : (1)首先由题意可得: 2x+y=15,继而求得 y 与 x 之间的关系式; (2)根据每种奖品至少买 1 件,即可求得所有可能的结果; (3)由买到的中性笔与笔记本

17、数量相等的只有 1 种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案 : (1)根据题意得: 2x+y=15, y=15 -2x; (2)购买方案: x=1, y=13; x=2, y=11, x=3, y=9; x=4, y=7; x=5, y=5; x=6, y=3, x=7, y=1; 共有 7 种购买方案; (3) 买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况, 买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为: . 26.(8分 )将一副三角尺 (在 RtABC 中, ACB=90 , B=60 ;在 RtDEF 中, EDF=90 ,E=45 )如图 摆放,点 D 为 AB 的中点, DE

18、 交 AC 于点 P, DF 经过点 C. (1)求 ADE 的度数; (2)如图 ,将 DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角 (0 60 ),此时的等腰直角三角尺记为 DEF , DE 交 AC 于点 M, DF 交 BC 于点 N,试判断 的值是否随着 的变化而变化?如果不变,请求出 的值;反之,请说明理由 . 解析 : (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD=AD=BD= AB,根据等边对等角求出 ACD=A ,再求出 ADC=120 ,再根据 ADE=ADC -EDF 计算即可得解; (2)根据同角的余角相等求出 PDM=CDN ,再根据然后求出 BCD 是等边三角形,

19、根据等边三角形的性质求出 BCD=60 ,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 CPD=60 ,从而得到 CPD=BCD ,再根据两组角对应相等,两三角形相似判断出 DPM和 DCN 相似,再根据相似三角形对应边成比例可得 = 为定值 . 答案 : (1)ACB=90 ,点 D 为 AB 的中点, CD=AD=BD= AB, ACD=A=30 , ADC=180 -302=120 , ADE=ADC -EDF =120 -90=30 ; (2)EDF=90 , PDM+EDF=CDN+EDF=90 , PDM=CDN , B=60 , BD=CD, BCD 是等边三角形, B

20、CD=60 , CPD=A+ADE=30+30=60 , CPD=BCD , 在 DPM 和 DCN 中, , DPMDCN , = , =tanACD=tan30= , 的值不随着 的变化而变化,是定值 . 27.(10 分 )如图,已知直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴于点 A(-4, 0)、 B(0, 3),点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿直线 AB 向点 B 移动,同时,将直线 y= x以每秒 0.6个单位的速度向上平移,分别交 AO、 BO 于点 C、 D,设运动时间为 t 秒 (0 t 5). (1)证明:在运动过程中,四边形 ACDP 总是平行四边形; (2)

21、当 t 取何值时,四边形 ACDP 为菱形?且指出此时以点 D 为圆心,以 DO长为半径的圆与直线 AB 的位置关系,并说明理由 . 解析 : (1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,由待定系数法就可以求出直线 AB 的解析式,再由点的坐标求出 AO, BO的值,由勾股定理就可以得出 AB的值,求出 sinBAO 的值,作 PEAO ,表示出 PE 的值,得出 PE=DO,就可以得出结论; (2)由三角函数值表示 CO 的值,由菱形的性质可以求出菱形的边长,作 DFAB 于 F 由三角函数值就可以求出 DO, DF 的值,进而得出结论 . 答案 : (1)设直线 AB 的解析式为 y=k

22、x+b,由题意,得 ,解得: , y= x+3. 直线 AB 直线 y= x. A( -4, 0)、 B(0, 3), OA=4 , OB=3, 在 RtAOB 中,由勾股定理,得 AB=5.sinBAO= , tanDCO= . 作 PEAO , PEA=PEO=90 AP=t , PE=0.6t . OD=0.6t , PE=OD . BOC=90 , PEA=BOC , PEDO . 四边形 PEOD 是平行四边形, PDAO . ABCD , 四边形 ACDP 总是平行四边形; (2)ABCD , BAO=DCO , tanDCO=tanBAO= . DO=0.6t , CO=0.8t

23、 , AC=4 -0.8t. 四边形 ACDP 为菱形, AP=AC , t=4 -0.8t, t= .DO= , AC= . PDAC , BPD=BAO , sinBPD=sinBAO= . 作 DFAB 于 F.DFP=90 , DF= .DF=DO . 以点 D 为圆心,以 DO 长为半径的圆与直线 AB 相切 . 28.(10 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象与 x 轴的交点为 A(-3, 0)、 B(1, 0)两点,与y 轴交于点 C(0, -3m)(其中 m 0),顶点为 D. (1)求该二次函数的解析式 (系数用含 m 的代数式表示 ); (2)如图 ,当

24、m=2 时,点 P 为第三象限内的抛物线上的一个动点,设 APC 的面积为 S,试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S的最大值; (3)如图 ,当 m 取何值时,以 A、 D、 C 为顶点的三角形与 BOC 相似? 解析 : (1)利用交点式求出抛物线的解析式; (2)如答图 2,求出 S 的表达式,再根据二次函数的性质求出最值; (3)ACD 与 BOC 相似,且 BOC 为直角三角形,所以 ACD 必为直角三角形 .本问分多种情形,需要分类讨论,避免漏解 . 答案 : (1) 抛物线与 x 轴交点为 A(-3, 0)、 B(1, 0), 抛物线解析式为: y=a(x+3

25、)(x-1). 将点 C(0, -3m)代入上式,得 a3( -1)=-3m, m=a , 抛物线的解析式为: y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m. (2)当 m=2 时, C(0, -6),抛物线解析式为 y=2x2+4x-6,则 P(x, 2x2+4x-6). 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则有 ,解得 , y= -2x-6. 如答图 ,过点 P 作 PEx 轴于点 E,交 AC 于点 F,则 F(x, -2x-6). PF=yF -yP=(-2x-6)-(2x2+4x-6)=-2x2-6x. S=SPFA +SPFC = PF AE+ PF OE= PF OA=

26、(-2x2-6x)3 , S= -3x2-9x=-3(x+ )2+ , S 与 x 之间的关系式为 S=-3x2-9x,当 x=- 时, S 有最大值为 . (3)y=mx 2+2mx-3m=m(x+1)2-4m, 顶点 D 坐标为 (-1, -4m). 如答图 ,过点 D 作 DEx 轴于点 E,则 DE=4m, OE=1, AE=OA-OE=2; 过点 D 作 DFy 轴于点 F,则 DF=1, CF=OF-OC=4m-3m=m. 由勾股定理得: AC2=OC2+OA2=9m2+9; CD2=CF2+DF2=m2+1; AD2=DE2+AE2=16m2+4. ACD 与 BOC 相似,且

27、BOC 为直角三角形, ACD 必为直角三角形 . i)若点 A 为直角顶点,则 AC2+AD2=CD2,即: (9m2+9)+(16m2+4)=m2+1,整理得: m2=- , 此种情形不存在; ii)若点 D 为直角顶点,则 AD2+CD2=AC2,即: (16m2+4)+(m2+1)=9m2+9,整理得: m2= , m 0, m= .此时,可求得 ACD 的三边长为: AD=2 , CD= , AC= ; BOC 的三边长为: OB=1, OC= , BC= . 两个三角形对应边不成比例,不可能相似, 此种情形不存在; iii)若点 C 为直角顶点,则 AC2+CD2=AD2,即: (9m2+9)+(m2+1)=16m2+4,整理得: m2=1, m 0, m=1 . 此时,可求得 ACD 的三边长为: AD=2 , CD= , AC=3 ; BOC 的三边长为: OB=1, OC=3, BC= . = , 满足两个三角形相似的条件 .m=1 . 综上所述,当 m=1 时,以 A、 D、 C 为顶点的三角形与 BOC 相似 .

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