1、2014 年湖南省衡阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.(3 分 )-2 的倒数是 ( ) A. B. - C. 2 D. -2 解析 ： -2 的倒数是 - . 答案： B. 2.(3 分 )下列图案中，不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是轴对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误 . 答案： A. 3.(3 分 )环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的环境空气质量标准中增加了 PM2.5 检测
2、指标， “PM2.5” 是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物， 2.5 微米即 0.0000025 米 .用科学记数法表示 0.0000025 为 ( ) A. 2.510 -5 B. 2.510 5 C. 2.510 -6 D. 2.510 6 解析 ： 0.000 0025=2.510 -6； 答案： C. 4.(3 分 )若一个多边形的内角和是 900 ，则这个多边形的边数是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 ： 设这个多边形是 n 边形，根据题意得， (n-2) 180=900 ，解得 n=7. 答案： C. 5.(3 分 )小明从家出发，外出散
3、步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离 s(米 )与散步所用时间 t(分 )之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是 ( ) A. 小明看报用时 8 分钟 B. 公共阅报栏距小明家 200 米 C. 小明离家最远的距离为 400 米 D. 小明从出发到回家共用时 16 分钟 解析 ： A.小明看报用时 8-4=4 分钟，本项错误； B.公共阅报栏距小明家 200 米，本项正确； C.据图形知， 12 分钟时离家最远，小明离家最远的距离为 400 米，本项正确； D.据图知小明从出发到回家共用时 16 分钟，本项正确 . 答案：
4、 A. 6.(3 分 )下列运算结果正确的是 ( ) A. x2+x3=x5 B. x3 x2=x6 C. x5x=x 5 D. x3 (3x)2=9x5 解析 ： A、指数不能相加，故 A 错误； B、底数不变指数相加，故 B 错误； C、底数不变指数相减，故 C 错误； D、 x3(3x)2=9x5，故 D 正确； 答案： D. 7.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 不等式组 由 得， x 1， 由 得， x2 ， 故不等式组的解集为： x2 ， 在数轴上可表示为： 答案： A. 8.(3 分 )下列因式分解中，正确的个数为 ( ) x
5、3+2xy+x=x(x2+2y)； x 2+4x+4=(x+2)2； -x2+y2=(x+y)(x-y) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 解析 ： x 3+2xy+x=x(x2+2y+1)，故原题错误； x 2+4x+4=(x+2)2；正确； -x2+y2=(x+y)(y-x)，故原题错误；故正确的有 1 个 . 答案： C. 9.(3 分 )如图所示的图形是由 7 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据立方体的组成可得出： A、是几何体的左视图，故此选项错误； B、是几何体的
6、三视图，故此选项正确； C、是几何体的主视图，故此选项错误； D、是几何体的俯视图，故此选项错误； 答案： B. 10.(3 分 )如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1： 1.5，则坝底 AD 的长度为 ( ) A. 26 米 B. 28 米 C. 30 米 D. 46 米 解析 ： 坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1： 1.5， AE=1.5BE=18 米， BC=10 米， AD=2AE+BC=218+10=46 米， 答案： D. 11.(3 分 )圆心角为 120 ，弧长为 12 的扇形半径为 ( ) A. 6
7、B. 9 C. 18 D. 36 解析 ： 设该扇形的半径是 r.根据弧长的公式 l= ，得到： 12= ，解得 r=18， 答案： C. 12.(3 分 )下列命题是真命题的是 ( ) A. 四边形都相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的梯形是等腰梯形 解析 ： A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题； B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题； D、正确，是真命题 . 答案： D. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24
8、分 ) 13.(3 分 )函数 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 依题意，得 x-20 ，解得： x2 ， 答案： x2 . 14.(3 分 )化简： ( - )= 2 . 解析 ： ( - )= (2 - )= =2. 答案： 2. 15.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， BOC=120 ， AB=5，则 BD 的长为 . 解析 ： 四边形 ABCD 是矩形， AC=2AO ， BD=2BO， AC=BD， OA=OB ， BOC=120 ， AOB=60 ， AOB 是等边三角形， OB=AB=5 ， BD=2BO=10 ， 答案： 10. 16.(3 分 )甲、乙两同学
9、参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷 6 次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为： =10.5， =10.5， =0.61， =0.50，则成绩较稳定的是 (填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ). 解析 ： 因为 S 甲 2=0.61 S 乙 2=0.50，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙 . 答案： 乙 . 17.(3 分 )如图， AB 为 O 直径， CD 为 O 的弦， ACD=25 ， BAD 的度数为 65 . 解析 ： AB 为 O 直径 ADB=90 B=ACD=25 BAD=90 -B=65 . 答案： 65 . 18.(3 分 )若点 P1(-1， m)， P2(-
10、2， n)在反比例函数 y= (k 0)的图象上，则 m= n(填“ ”“ ” 或 “=” 号 ). 解析 ： P 1(-1， m)， P2(-2， n)在反比例函数 y= (k 0)的图象上， -1 m=k， -2 n=k， m= -k， n=- ，而 k 0， m n. 答案： . 19.(3 分 )分式方程 = 的解为 x= . 解析 ： 去分母得： x2=x2-x+2x-2，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案： 2 20.(3 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M0的坐标为 (1， 0)，将线段 OM0绕原点 O逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到
11、 M1，使得 M1M0OM 0，得到线段 OM1；又将线段 OM1绕原点 O 逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到 M2，使得 M2M1OM 1，得到线段 OM2；如此下去，得到线段 OM3， OM4， OM5， .根据以上规律，请直接写出 OM2014的长度为 . 解析 ： 点 M0的坐标为 (1， 0)， OM 0=1， 线段 OM0绕原点 O 逆时针方向旋转 45 ， M1M0OM 0， OM 0M1是等腰直角三角形， OM 1= OM0= ， 同理， OM2= OM1=( )2， OM3= OM2=( )3， ， OM2014= OM2013=( )2014=21007. 答案： 21
12、007. 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 60分 ) 21.(6 分 )先化简，再求值 .(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2，其中 a=1， b=-2. 解析 ： 先利用平方差公式和整式的乘法计算，再合并化简，最后代入求得数值即可 . 答案 ：原式 =a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab， 当 a=1， b=-2 时 ， 原式 =1+(-2)=-1. 22.(6 分 )小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图 (部分信息未给出 ). 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)计算被
13、抽取的天数； (2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数； (3)请估计该市这一年 (365 天 )达到优和良的总天数 . 解析 ： (1)根据扇形图中空气为良所占比例为 64%，条形图中空气为良的天数为 32 天，即可得出被抽取的总天数； (2)轻微污染天数是 50-32-8-3-1-1=5 天；利用 360 乘以优所占的份额即可得优的扇形的圆心角度数； (3)利用样本中优和良的天数所占比例乘以一年 (365 天 )即可求出达到优和良的总天数 . 答案 ： (1)扇形图中空气为良所占比例为 64%，条形图中空气为良的天数为 32 天， 被抽取的总天数为： 3264%=5
14、0( 天 )； (2)轻微污染天数是 50-32-8-3-1-1=5 天；表示优的圆心角度数是 360=57.6 ， 如图所示： ； (3)样本中优和良的天数分别为： 8， 32， 一年 (365 天 )达到优和良的总天数为： 365=292( 天 ). 故估计该市一年达到优和良的总天数为 292 天 . 23.(6 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， BD=CD， DEAB ， DFAC ，垂足分别为点 E、 F. 求证： BEDCFD . 解析 ： 首先根据 AB=AC 可得 B=C ，再由 DEAB ， DFAC ，可得 BED=CFD=90 ，然后再利用 AAS 定理可判定 B
15、EDCFD . 答案 ： DEAB ， DFAC ， BED=CFD=90 ， AB=AC ， B=C ， 在 BED 和 CFD 中， ， BEDCFD(AAS ). 24.(6 分 )学校去年年底的绿化面积为 5000 平方米，预计到明年年底增加到 7200 平方米，求这两年的年平均增长率 . 解析 ： 设这两年的年平均增长率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 . 答案 ：设这两年的年平均增长率为 x， 根据题意得： 5000(1+x)2=7200，即 (1+x)2=1.44， 开方得： 1+x=1.2 或 x+1=-1.2， 解得： x=0.2=20%，或 x=-2.2(
16、舍去 ). 答：这两年的年平均增长率为 20%. 25.(8分 )某班组织班团活动，班委会准备用 15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本 2 元 /本，中性笔 1 元 /支，且每种奖品至少买 1 件 . (1)若设购买笔记本 x 本，中性笔 y 支，写出 y 与 x之间的关系式； (2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果； (3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率 . 解析 ： (1)首先由题意可得： 2x+y=15，继而求得 y 与 x 之间的关系式； (2)根据每种奖品至少买 1 件，即可求得所有可能的结果； (3)由买到的中性笔与笔记本
17、数量相等的只有 1 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案 ： (1)根据题意得： 2x+y=15， y=15 -2x； (2)购买方案： x=1， y=13； x=2， y=11， x=3， y=9； x=4， y=7； x=5， y=5； x=6， y=3， x=7， y=1； 共有 7 种购买方案； (3) 买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况， 买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为： . 26.(8分 )将一副三角尺 (在 RtABC 中， ACB=90 ， B=60 ；在 RtDEF 中， EDF=90 ，E=45 )如图 摆放，点 D 为 AB 的中点， DE
18、 交 AC 于点 P， DF 经过点 C. (1)求 ADE 的度数； (2)如图 ，将 DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角 (0 60 )，此时的等腰直角三角尺记为 DEF ， DE 交 AC 于点 M， DF 交 BC 于点 N，试判断 的值是否随着 的变化而变化？如果不变，请求出 的值；反之，请说明理由 . 解析 ： (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD=AD=BD= AB，根据等边对等角求出 ACD=A ，再求出 ADC=120 ，再根据 ADE=ADC -EDF 计算即可得解； (2)根据同角的余角相等求出 PDM=CDN ，再根据然后求出 BCD 是等边三角形，
19、根据等边三角形的性质求出 BCD=60 ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 CPD=60 ，从而得到 CPD=BCD ，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出 DPM和 DCN 相似，再根据相似三角形对应边成比例可得 = 为定值 . 答案 ： (1)ACB=90 ，点 D 为 AB 的中点， CD=AD=BD= AB， ACD=A=30 ， ADC=180 -302=120 ， ADE=ADC -EDF =120 -90=30 ； (2)EDF=90 ， PDM+EDF=CDN+EDF=90 ， PDM=CDN ， B=60 ， BD=CD， BCD 是等边三角形， B
20、CD=60 ， CPD=A+ADE=30+30=60 ， CPD=BCD ， 在 DPM 和 DCN 中， ， DPMDCN ， = ， =tanACD=tan30= ， 的值不随着 的变化而变化，是定值 . 27.(10 分 )如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴于点 A(-4， 0)、 B(0， 3)，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿直线 AB 向点 B 移动，同时，将直线 y= x以每秒 0.6个单位的速度向上平移，分别交 AO、 BO 于点 C、 D，设运动时间为 t 秒 (0 t 5). (1)证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形； (2)
21、当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？且指出此时以点 D 为圆心，以 DO长为半径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由 . 解析 ： (1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线 AB 的解析式，再由点的坐标求出 AO， BO的值，由勾股定理就可以得出 AB的值，求出 sinBAO 的值，作 PEAO ，表示出 PE 的值，得出 PE=DO，就可以得出结论； (2)由三角函数值表示 CO 的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作 DFAB 于 F 由三角函数值就可以求出 DO， DF 的值，进而得出结论 . 答案 ： (1)设直线 AB 的解析式为 y=k
22、x+b，由题意，得 ，解得： ， y= x+3. 直线 AB 直线 y= x. A( -4， 0)、 B(0， 3)， OA=4 ， OB=3， 在 RtAOB 中，由勾股定理，得 AB=5.sinBAO= ， tanDCO= . 作 PEAO ， PEA=PEO=90 AP=t ， PE=0.6t . OD=0.6t ， PE=OD . BOC=90 ， PEA=BOC ， PEDO . 四边形 PEOD 是平行四边形， PDAO . ABCD ， 四边形 ACDP 总是平行四边形； (2)ABCD ， BAO=DCO ， tanDCO=tanBAO= . DO=0.6t ， CO=0.8t
23、 ， AC=4 -0.8t. 四边形 ACDP 为菱形， AP=AC ， t=4 -0.8t， t= .DO= ， AC= . PDAC ， BPD=BAO ， sinBPD=sinBAO= . 作 DFAB 于 F.DFP=90 ， DF= .DF=DO . 以点 D 为圆心，以 DO 长为半径的圆与直线 AB 相切 . 28.(10 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象与 x 轴的交点为 A(-3， 0)、 B(1， 0)两点，与y 轴交于点 C(0， -3m)(其中 m 0)，顶点为 D. (1)求该二次函数的解析式 (系数用含 m 的代数式表示 )； (2)如图 ，当
24、m=2 时，点 P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设 APC 的面积为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S的最大值； (3)如图 ，当 m 取何值时，以 A、 D、 C 为顶点的三角形与 BOC 相似？ 解析 ： (1)利用交点式求出抛物线的解析式； (2)如答图 2，求出 S 的表达式，再根据二次函数的性质求出最值； (3)ACD 与 BOC 相似，且 BOC 为直角三角形，所以 ACD 必为直角三角形 .本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解 . 答案 ： (1) 抛物线与 x 轴交点为 A(-3， 0)、 B(1， 0)， 抛物线解析式为： y=a(x+3
25、)(x-1). 将点 C(0， -3m)代入上式，得 a3( -1)=-3m， m=a ， 抛物线的解析式为： y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m. (2)当 m=2 时， C(0， -6)，抛物线解析式为 y=2x2+4x-6，则 P(x， 2x2+4x-6). 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ， y= -2x-6. 如答图 ，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F，则 F(x， -2x-6). PF=yF -yP=(-2x-6)-(2x2+4x-6)=-2x2-6x. S=SPFA +SPFC = PF AE+ PF OE= PF OA=
26、(-2x2-6x)3 ， S= -3x2-9x=-3(x+ )2+ ， S 与 x 之间的关系式为 S=-3x2-9x，当 x=- 时， S 有最大值为 . (3)y=mx 2+2mx-3m=m(x+1)2-4m， 顶点 D 坐标为 (-1， -4m). 如答图 ，过点 D 作 DEx 轴于点 E，则 DE=4m， OE=1， AE=OA-OE=2； 过点 D 作 DFy 轴于点 F，则 DF=1， CF=OF-OC=4m-3m=m. 由勾股定理得： AC2=OC2+OA2=9m2+9； CD2=CF2+DF2=m2+1； AD2=DE2+AE2=16m2+4. ACD 与 BOC 相似，且
27、BOC 为直角三角形， ACD 必为直角三角形 . i)若点 A 为直角顶点，则 AC2+AD2=CD2，即： (9m2+9)+(16m2+4)=m2+1，整理得： m2=- ， 此种情形不存在； ii)若点 D 为直角顶点，则 AD2+CD2=AC2，即： (16m2+4)+(m2+1)=9m2+9，整理得： m2= ， m 0， m= .此时，可求得 ACD 的三边长为： AD=2 ， CD= ， AC= ； BOC 的三边长为： OB=1， OC= ， BC= . 两个三角形对应边不成比例，不可能相似， 此种情形不存在； iii)若点 C 为直角顶点，则 AC2+CD2=AD2，即： (9m2+9)+(m2+1)=16m2+4，整理得： m2=1， m 0， m=1 . 此时，可求得 ACD 的三边长为： AD=2 ， CD= ， AC=3 ； BOC 的三边长为： OB=1， OC=3， BC= . = ， 满足两个三角形相似的条件 .m=1 . 综上所述，当 m=1 时，以 A、 D、 C 为顶点的三角形与 BOC 相似 .
