1、2014 年湖南省郴州市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 1.(3 分 )-2 的绝对值是 ( ) A. B. - C. 2 D. -2 解析 ： -2 的绝对值是 2，即 |-2|=2. 答案： C. 2.(3 分 )下列实数属于无理数的是 ( ) A. 0 B. C. D. - 解析 ： A、是整数，是有理数，选项错误； B、正确； C、 =3 是整数，是有理数，选项错误； D、是分数，是有理数，选项错误 . 答案： B. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 3x-x=3 B. x2 x3=x5 C. (x2)3=x5 D. (2x)2
2、=2x2 解析 ： A、系数相减字母部分不变，故 A 错误； B、底数不变指数相加，故 B 正确； C、底数不变指数相乘，故 C 错误； D、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 D 错误； 答案： B. 4.(3 分 )已知圆锥的母线长为 3，底面的半径为 2，则圆锥的侧面积是 ( ) A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 解析 ： 圆锥的侧面积 = 2 2 3=6. 答案： B. 5.(3 分 )以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰梯形 解析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是中心
3、对称图形，不是轴对称图形； C、是中心对称图形，也是轴对称图形； D、不是中心对称图形，是轴对称图形 . 答案： C. 6.(3 分 )下列说法错误的是 ( ) A. 抛物线 y=-x2+x 的开口向下 B. 两点之间线段最短 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 一次函数 y=-x+1 的函数值随自变量的增大而增大 解析 ： A、由于 a=-1 0，则抛物线开口向下，所以 A 选项的说法正确； B、两点之间线段最短，所以 B 选项的说法正确； C、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 C 选项的说法正确； D、当 k=-1， y 随 x 的增大而减小，所以 D 选项的说法错误 .
4、答案： D. 7.(3 分 )平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是 ( ) A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 解析 ： A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质； B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质； C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质； D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质 . 答案： A. 8.(3 分 )我市某中学举办了一次以 “ 我的中国梦 ” 为主题的演讲比赛，最后确定 7 名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的 (
5、 ) A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 解析 ： 由于总共有 7 个人，且他们的分数互不相同，第 4 的成绩是中位数，要判断是否进入前 4 名，故应知道中位数的多少 . 答案： C. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 9.(3 分 )根据相关部门统计， 2014 年我国共有 9390000 名学生参加高考， 9390000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 9390000 用科学记数法表示为 9.3910 6， 答案： 9.3910 6. 10.(3 分 )数据 0、 1、 1、 2、 3、 5 的平均数是 . 解析 ： 数据 0、 1、 1、 2
6、、 3、 5 的平均数是 (0+1+1+2+3+5)6=126=2 ； 答案： 2. 11.(3 分 )不等式组 的解集是 . 解析 ： ， 解 得： x -1， 解 得： x 5， 则不等式组的解集是： -1 x 5. 答案： -1 x 5 12.(3 分 )如图，已知 A、 B、 C 三点都在 O 上， AOB=60 ， ACB= . -1 x 5. 解析 ： 如图， AOB=60 ， ACB= AOB=30. 答案： 30. 13.(3 分 )函数 的自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得： x-60 ，解得 x6. 答案： x6 14.(3 分 )如图，在 ABC 中，若
7、E是 AB 的中点， F 是 AC 的中点， B=50 ，则 AEF= . 解析 ： E 是 AB 的中点， F 是 AC 的中点， EF 是 ABC 的中位线， EFBC ， AEF=B=50. 答案： 50. 15.(3 分 )若 ，则 = . 解析 ： = ， a= ， = . 答案： . 16.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=8， BC=10， E 是 AB 上一点，将矩形 ABCD沿 CE 折叠后，点 B 落在 AD 边的 F 点上，则 DF的长为 . 解析 ： 四边形 ABCD 是矩形， AB=DC=8 ， D=90 ， 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，点 B
8、落在 AD边的 F点上， CF=BC=10 ， 在 RtCDF 中，由勾股定理得： DF= = =6， 答案： 6. 三、解答题 (共 6 小题，满分 36 分 ) 17.(6 分 )计算： (1- )0+(-1)2014- tan30+ ( )-2. 解析 ： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =1+1- +9=10. 18.(6 分 )先化简，再求值： ( - ) ，其中 x=2. 解析 ： 先将括号内的部分因式分解，约分后再将除法转化为乘法，然后代入求值 . 答案： 原式
9、 = - =( + ) = = . 当 x=2 时，原式 = =1. 19.(6 分 )在 1313 的网格图中，已知 ABC 和点 M(1， 2). (1)以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 ABC 的位似图形 ABC ； (2)写出 ABC 的各顶点坐标 . 解析 ： (1)利用位似图形的性质即可位似比为 2，进而得出各对应点位置； (2)利用所画图形得出对应点坐标即可 . 答案： (1)如图所示： ABC 即为所求； (2)ABC 的各顶点坐标分别为： A(3 ， 6)， B(5 ， 2)， C(11 ， 4). 20.(6 分 )已知直线 l 平行于直线 y=2x+1，并与反比例
10、函数 y= 的图象相交于点 A(a， 1)，求直线 l 的解析式 . 解析 ： 先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定 A(1， 1)，再设直线 l 的解析式为 y=kx+b，利用两直线平行得到 k=2，然后把 A 点坐标代入 y=2x+b 求出 b，即可得到直线 l的解析式 . 答案： 把 A(a， 1)代入 y= 得 a=1，则 A 点坐标为 (1， 1) 设直线 l 的解析式为 y=kx+b， 直线 l 平行于直线 y=2x+1， k=2 ， 把 A(1， 1)代入 y=2x+b 得 2+b=1，解得 b=-1， 直线 l 的解析式为 y=2x-1. 21.(6 分 )我市党的群众路线教
11、育实践活动不断推进并初见成效 .某县督导小组为了解群众对党员干部下基层、查民情、办实事的满意度 (满意度分为四个等级： A、非常满意； B、满意； C、基本满意； D、不满意 )，在某社区随机抽样调查了若干户居民，并根据调查数据绘制成下面两个不完整的统计图 . 请你结合图中提供的信息解答下列问题 . (1)这次被调查的居民共有 户； (2)请将条形统计图补充完整 . (3)若该社区有 2000 户居民，请你估计这个社区大约有多少户居民对党员干部的满意度是“ 非常满意 ” .根据统计结果，对党员干部今后的工作有何建议？ 解析 ： (1)利用 “ 非常满意 ” 的人数除以它所占的百分比即可得这次被
12、调查的居民户数； (2)这次被调查的居民总户数减去非常满意、基本满意、不满意的人数求得满意的人数，再补全条形统计图即可； (3)用该社区的居民总户数乘以 “ 非常满意 ” 人数占的百分比即可得这个社区对党员干部的满意度是 “ 非常满意 ” 的人数 .建议答案不唯一 . 答案： (1)5025%=200( 户 )， 答：这次被调查的居民共有 200 户， 故答案为： 200； (2)200-50-20-10=120(户 )，条形统计图如下： (3)200025%=500( 户 )， 答：估计这个社区大约有 500 户居民对党员干部的满意度是 “ 非常满意 ”. 根据统计结果，看出本社区党员干部下
13、基层、察民情、办实事情况不错，要继续保持 . 22.(6 分 )某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援 .当飞机到达距离海面 3000米的高空 C处，测得 A处渔政船的俯角为 60 ，测得 B处发生险情渔船的俯角为 30 ，请问：此时渔政船和渔船相距多远？ (结果保留根号 ) 解析 ： 在 RtCDB 中求出 BD，在 RtCDA 中求 出 AD，继而可得 AB，也即此时渔政船和渔船的距离 . 答案： 在 RtCDA 中， ACD=30 ， CD=3000 米， AD=CDtanACD=1000 米，
14、 在 RtCDB 中， BCD=60 ， BD=CDtanBCD=3000 米， AB=BD -AD=2000 米 . 答：此时渔政船和渔船相距 2000 米 . 四、证明题 (共 1 小题，满分 8 分 ) 23.(8 分 )如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E、 B、 D、 F 在同一直线上，且 BE=DF.求证： AE=CF. 解析 ： 根据平行四边形的对边相等可得 AB=CD， ABCD ，再根据两直线平行，内错角相等可得 ABD=CDB ，然后求出 ABE=CDF ，再利用 “ 边角边 ” 证明 ABE 和 CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可 . 答案： 四边
15、形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD ， ABD=CDB ， 180 -ABD=180 -CDB ，即 ABE=CDF ， 在 ABE 和 CDF 中， ， ABECDF(SAS) ， AE=CF. 五。应用题。 24.(8 分 )为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现 “ 让森林走进城市，让城市拥抱森林 ” 的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共 1000 棵，其中甲种树苗每棵 40 元，乙种树苗每棵 50 元，据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%和90%. (1)若购买甲、乙两种树苗共用去了 46500 元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？
16、 (2)若要使这批树苗的成活率不低于 88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？ 解析 ： (1)设购买甲、乙两种树苗各 x 棵和 y 棵，根据甲、乙两种树苗共 1000 颗和甲、乙两种树苗共用去了 46500 元， 列出方程组，进行求解即可； (2)设至多可购买甲种树苗 x 棵，则购买乙种树苗为 (1000-x)棵，根据这批树苗的成活率不低于 88%，列出不等式，求解即可 . 答案： (1)设购买甲、乙两种树苗各 x 棵和 y 棵，根据题意得： ，解得， 答：购买甲、乙两种树苗各 350 棵和 650 棵； (2)设至多可购买甲种树苗 x 棵，则购买乙种树苗为 (1000-x)棵，根据题意得，88
17、% ，解得 x400 ， 答：至多可购买甲种树苗 400 棵 . 六。综合题 (本大题 2 小题，每小题 10分，共 20分 ) 25.(10 分 )如图，在 RtABC 中， BAC=90 ， B=60 ， BC=16cm， AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D， BE=1cm.点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH.点 M到达点 D时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运动 .设运动时间为 t(s). (1)当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上
18、？ (2)设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S，当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围 . (3)设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连接 DP，当 t 为何值时， CPD 是等腰三角形？ 解析 ： (1)求出 ED 的距离即可求出相对应的时间 t； (2)先求出 t 的取值范围，分为 H 在 AB 上时，此时 BM 的距离，进而求出相应的时间 .同样当G 在 AC 上时，求出 MN 的长度，继而算出 EN 的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积； (3)分两种情况，分
19、别是 DP=PC 时和 DC=PC 时，分别 EN 的长度便可求出 t的值 . 答案： 由 BAC=90 ， B=60 ， BC=16cm 易知： AB=8cm， BD=4cm， AC=8 cm， DC=12cm， AD=4 cm. (1) 当 G 刚好落在线段 AD 上时， ED=BD-BE=3cm， t= s=3s. (2) 当 MH 没有到达 AD 时，此时正方形 MNGH 是边长为 1的正方形，令 H点在 AB上，则 HMB=90 ， B=60 ， MH=1， BM= cm， t= s 当 MH 到达 AD 时，那么此时的正方形 MNGH 的边长随着 N 点的继续运动而增大，令 G 点
20、在 AC上， 设 MN=xcm，则 GH=DH=x， AH= x， AD=AH+DH= x+x= x=4 ， x=3. 当 t4 时， SMNGN=1cm2 当 4 t6 -3 时， SMNGH=(t-3)2cm2， 故 S 关于 t 的函数关系式为： S= . (3)分两种情况： 当 DP=PC 时，易知此时 N 点为 DC 的中点， MN=6cm ， EN=3cm+6cm=9cm t=9s 故当 t=9s 的时候， CPD 为等腰三角形； 当 DC=PC 时， DC=PC=12cm， NC=6 cm， EN=16cm -1cm-6 cm=(15-6 )cm， t=(15 -6 )s， 故当
21、 t=(15-6 )s 时， CPD 为等腰三角形 . 综上所述，当 t=9s 或 t=(15-6 )s 时， CPD 为等腰三角形 . 点评： 本题充分考查了学生对相似三角形和勾股定理的理解和运用，此题涉及到的知识点 26.(10 分 )已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1， 0)、 B(2， 0)、 C(0， 2)三点 . (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图一，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点 P 的坐标； (3)如图二，设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D， M 为抛物线的顶
22、点，那么在直线 DE 上是否存在一点 G，使 CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用待定系数法即可求得； (2)如答图 1，四边形 ABPC 由 ABC 与 PBC 组成， ABC 面积固定，则只需要使得 PBC 面积最大即可 .求出 PBC 面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值； (3)如 答图 2， DE 为线段 AC 的垂直平分线，则点 A、 C 关于直线 DE对称 .连接 AM，与 DE 交于点 G，此时 CMG 的周长 =CM+CG+MG=CM+AM 最小，故点 G 为所求 .分别求出直线 DE、 AM 的解析式，联立后
23、求出点 G 的坐标 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1， 0)、 B(2， 0)、 C(0， 2)三点 . 解得 ， 这条抛物线的解析式为： y=-x2+x+2. (2)设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，将 B(2， 0)、 C(0， 2)代入得： ，解得 ， 直线 BC 的解析式为： y=-x+2. 如答图 1，连接 BC. 四边形 ABPC 由 ABC 与 PBC 组成， ABC 面积固定，则只需要使得 PBC 面积最大即可 . 设 P(x， -x2+x+2)，过点 P 作 PFy 轴，交 BC于点 F，则 F(x， -x+2). PF=( -x2+x
24、+2)-(-x+2)=-x2+2x. SPBC =SPFC +SPFB = PF(xF-xC)+ PF(xB-xF)= PF(xB-xC)=PF S PBC =-x2+2x=-(x-1)2+1 当 x=1 时， PBC 面积最大，即四边形 ABPC 面积最大 .此时 P(1， 2). 当点 P 坐标为 (1， 2)时，四边形 ABPC 的面积最大 . (3)存在 . CAO+ACO=90 ， CAO+AED=90 ， ACO=AED ，又 CAO=CAO ， AOCADE ， = ，即 = ，解得 AE= ， E( ， 0). DE 为线段 AC 的垂直平分线， 点 D 为 AC 的中点， D( - ， 1). 可求得直线 DE 的解析式为： y=- x+ . y= -x2+x+2=-(x- )2+ ， M( ， ). 又 A(-1， 0)，则可求得直线 AM 的解析式为： y= x+ . DE 为线段 AC 的垂直平分线， 点 A、 C 关于直线 DE 对称 . 如答图 2，连接 AM，与 DE 交于点 G， 此时 CMG 的周长 =CM+CG+MG=CM+AM 最小，故点 G 为所求 . 联立 式，可求得交点 G 的坐标为 (- ， ). 在直线 DE 上存在一点 G，使 CMG 的周长最小，点 G 的坐标为 (- ， ).
