1、 2014 年甘肃省中考模拟 数学 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1.把二次函数 y=3x2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A.y=3（ x 2） 2+1 B.y=3（ x+2） 2 1 C.y=3（ x 2） 2 1 D.y=3（ x+2） 2+1 解析： 按照 “ 左加右减，上加下减 ” 的规律， y=3x2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y=3（ x+2） 2+1. 答案： D. 2.在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有
2、（ ） A.9 箱 B.10 箱 C.11 箱 D.12 箱 解析： 综合三视图可以得出，这堆货箱的底层有 3+2+1=6 箱，第二层有 2 箱，第三层应该有 1 箱，因此这堆正方体货箱共有 6+2+1=9 箱 . 答案： A. 3.如图， ABCD 中， E 是 AD 延长线上一点， BE交 AC 于点 F，交 DC 于点 G，则下列结论中错误的是（ ） A.ABEDGE B.CGBDGE C.BCFEAF D.ACDGCF 解析： 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD EDG=EAB E=E ABEDGE （第一个正确） AEBC EDC=BCG ， E=CBG CGBDGE （第二个
3、正确） AEBC E=FBC ， EAF=BCF BCFEAF （第三个正确） 第四个无法证得 . 答案： D 4.如图，在直角梯形 ABCD 中 ADBC ，点 E 是边 CD 的中点，若 AB=AD+BC， BE= ，则梯形 ABCD的面积为（ ） A. B. C. D.25 解析： 连 AE，过 E 作 EFBC 交 AB 于点 F， E 为 CD 的中点， EF 平分 AB， EF 是梯形 ABCD 的中位线， 故 EF= （ AD+BC）， 又 BCAB ， EF 是 AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得： AE=BE= AB=AD+BC ， EF= （ AD+BC） = AB
4、， ABE 是等腰直角三角形 . 由勾股定理得： AB= = = ，即 AD+BC= ， S 梯形 ABCD= （ AD+BC） AB = （ AD+BC） （ AD+BC） = = 答案： A. 5.如图，身高 1.6 米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 AC=2 米， BC=8 米，则旗杆的高度是（ ） A.6.4 米 B.7 米 C.8 米 D.9 米 解析： 设旗杆高度为 h， 由题意得 ， h=8 米 . 答案 ： C. 6.如图 ADCD ， AB=13， BC=12， CD=3， AD=4，则 sinB=（ ）
5、A. B. C. D. 解析： 由勾股定理知， AC2=CD2+AD2=25， AC=5 . AC 2+BC2=169=AB2， CBA 是直角三角形 . sinB= = . 答案： A. 7.已知反比例函数 y= 的图象如图所示，二次函数 y=2kx2 x+k2的图象大致为（ ） A. B. C. D. 解析： 反比例函数 y= 的图象在第二、四象限， k 0， 2k 0，则抛物线的开口向下， x= = 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， k 2 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 . 答案： D. 8.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法
6、从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、 y应分别为（ ） A.x=10， y=14 B.x=14， y=10 C.x=12， y=15 D.x=15， y=12 解析： 以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为 x， y 轴建立直角坐标系，过点 D 作 DEx 轴于点 E， NHDE ， CNHCDE ， = ， CH=24 y， CE=24 8， DE=OA=20， NH=x， ，得 x= （ 24 y）， 矩形面积 S=xy= （ y 12） 2+180， 当 y=12 时， S 有最大值，此时 x=15. 答案： D. 9.已知二次函数
7、 y=ax2+bx+c 的图象如图，下列结论： abc 0； b=2a ； a+b+c 0； a b+c 0.其中正确的个数是（ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析： 抛物线的开口方向向下， a 0； 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c 0； 对称轴为 x= = 1 0， 又 a 0， b 0， 故 abc 0， x= = 1， b=2a 由图象可知：当 x=1 时 y=0， a+b+c=0 ； 当 x= 1 时 y 0， a b+c 0， 、 、 正确 . 答案： B. 10.已知 ABC 的三边长分别为 ， ， 2， ABC 的两边长分别是 1 和 ，如
8、果 ABC与 ABC 相似，那么 ABC 的第三边长应该是（ ） A. B. C. D. 解析： 根据题意，易证 ABCABC ，且相似比为： ： 1， ABC 的第三边长应该是 = . 答案 ： A. 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 11.已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a0 ）的顶点坐标（ 1， 3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1=1.3 和 x2= . 解析： 二次函数 y=ax2+bx+c（ a0 ）的顶点坐标是（ 1， 3.2），则对称轴为 x= 1； 所以 = 1，又因为 x1=1.3，所以 x2= 2
9、 x1= 2 1.3= 3.3. 答案： -3.3 12.已知 ABC 周长为 1，连接 ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第 2006 个三角形的周长为 . 解析： 连接 ABC 三边中点构成第二个三角形， 新三角形的三边与原三角形的三边的比值为 1： 2， 它们相似，且相似比为 1： 2， 以此类推：第 2006 个三角形与原三角形的相似比为 1： 22005， 第 2006 个三角形的周长为 . 答案： 13.两个相似三角形的面积比 S1： S2与它们对应高之比 h1： h2之间的关系为 . 解析： 相似比 = ， . 答案： 14.
10、某坡面的坡度为 1： ，则坡角 是 度 . 解析： 坡度为 1： ， tan= ， =30 . 答案 ： 30. 15.如图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图象，观察图象写出 y2y 1时， x的取值范围 . 解析： y 1与 y2的两交点横坐标为 2， 1， 当 y2y 1时， y2的图象应在 y1的图象上面， 即两图象交点之间的部分， 此时 x 的取值范围是 2x1 . 答案： 2x1 16.如图，在长 8cm，宽 4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为 cm2. 解析： 设留下的矩形的宽为 x， 留下的矩形
11、与矩形相似， ， x=2， 留下的矩形的面积为： 24=8 （ cm2） 答案 ： 8. 17.如图，机器人从 A 点，沿着西南方向，行了 4 个单位到达 B 点后，观察到原点 O 在它的南偏东 60 的方向上，则原来 A 的坐标为 （结果保留根号） . 解析： 过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为点 C. 在直角 ABC 中， AB=4 ， BAC=45 ， AC=BC=4 . 在直角 OBC 中， OBC=30 ， OC=BCtan30= ， AO=AC+CO=4+ . A （ 0， 4+ ） . 18.在平面直角坐标系中，已知 A（ 6， 3）、 B（ 6， 0）两点，以坐标原点 O 为位
12、似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小后得到线段 AB ，则 AB 的长度等于 . 解析： A （ 6， 3）、 B（ 6， 0）， AB=3 ， 又 相似比为 ， AB ： AB=1： 3， AB=1 . 三、解答题（共 7 题，共 66 分） 19. 解析： 根据特殊角的三角函数值，代值计算 . 答案 ： 原式 = 1 2+ 3 （ ） 2+1 = +4 +1 1 =2. 20.某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60 方向上，航行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30 方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁 . （ 1）试说明点 B 是否
13、在暗礁区域外？ （ 2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由 . 解析： （ 1）求点 B 是否在暗礁区域内，其实就是求 CB 的距离是否大于 16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在 .可通过构造直角三角形来求 CB 的长，作 CDAB 于 D 点， CD 是直角三角形 ACD 和 CBD 的公共直角边，可先求出 CD 的长，再求出 CB的长； （ 2）本题实际上是问， C 到 AB 的距离即 CD 是否大于 16，如果大于则无触礁危险，反之则有， CD 的值，（ 1）已经求出，只要进行比较即可 . 答案 ： （ 1）作 CDAB 于 D 点， 设 BC 为 x， 在 RtBCD 中 CB
14、D=6 0 ， BD= x. CD= x. 在 RtACD 中 CAD=30tanCAD= = ， = . x=18 . B 点不在暗礁区域内； （ 2） CD= x=9 ， 9 16， 若继续向东航行船有触礁的危险 . 21.如图， AB 是 O 的直径， AD 与 O 相切于点 A，过 B 点作 BCOD 交 O 于点 C，连接 OC、AC， AC 交 OD 于点 E. （ 1）求证： COEABC ； （ 2）若 AB=2， AD= ，求图中阴影部分的面积 . 解析： （ 1）由已知得 OEC=BCA=90 ，由 OA=OC，得 BAC=OCE ，根据有两对角对应相等的三角形相似可得到
15、COEABC ； （ 2）阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积减去三角形 OBC 的面积，分别求得扇形与三角形的面积相减即可 . 答案 ： （ 1） AB 为 O 的直径， BCA=90 ， 又 BCOD ， OEAC ， 即： OEC=BCA=90 . 又 OA=OC ， BAC=OCE ， COEABC ； （ 2）过点 B 作 BFOC ，垂足为 F. AD 与 O 相切， OAD=90 ， 在 RtOAD 中， OA=1 ， AD= ， tanD= ， D=30 ， 又 BAC+EAD=D+EAD=90 ， BAC=D=30 ， BOC=60 ， S OBC = OCBF= 11si
16、n60= ， S 阴 =S 扇 OCB SOBC = . 22.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列 “ 三农 ” 优惠政策，使农民收入大幅度增加 .某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元 /千克 .市场调查发现 ，该产品每天的销售量 w（千克）与销售价 x（元 /千克）有如下关系： w= 2x+80.设这种产品每天的销售利润为 y（元） . （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （ 3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 /千克，该农
17、户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为多少元？ 解析： 依据 “ 利润 =售价进价 ” 可以求得 y 与 x 之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定 “ 最大利润 ” . 答案 ： （ 1） y=（ x 20） w =（ x 20）（ 2x+80） = 2x2+120x 1600， y 与 x 的函数关系式为： y= 2x2+120x 1600； （ 2） y= 2x2+120x 1600 = 2（ x 30） 2+200， 当 x=30 时， y 有最大值 200， 当销售价定为 30 元 /千克时，每天可获最大销售利润 200 元； （ 3）当 y=150 时，可得方程： 2
18、（ x 30） 2+200=150， 解这个方程，得 x1=25， x2=35， 根据题意， x2=35 不合题意，应舍去， 当销售价定为 25 元 /千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元 . 23.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 A、 B、 C、 D 四点 .抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 D，与直线 y=x交于点 M、 N，且MA、 NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C. （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，连接 DE，并延长 DE 交圆 O于 F，求 EF 的
19、长； （ 3）过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由 . 解析： （ 1）根据图形，易得点 A、 B、 C、 D 的坐标；进而可得抛物线上三点 D、 M、 N 的坐标，将其代入解析式， 求可得解析式； （ 2）有（ 1）的解析式，可得顶点坐标，即 OE、 DE 的长，易得 BFDEOD ，再由 EF=FD DE 的关系代入数值可得答案；（ 3）首先根据 CD 的坐标求出 CD 的直线方程，在根据切线的性质，可求得 P 的坐标，进而可得 P 是否在抛物线上 . 答案 ： （ 1） 圆心 O 在坐标原点，圆 O 的半径为 1 点 A、 B、 C、
20、 D 的坐标分别为 A（ 1， 0）、 B（ 0， 1）、 C（ 1， 0）、 D（ 0， 1） 抛物线与直线 y=x 交于点 M、 N，且 MA、 NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C M （ 1， 1）、 N（ 1， 1） 点 D、 M、 N 在抛物线上，将 D（ 0， 1）、 M（ 1， 1）、 N（ 1， 1）的坐标代入 y=ax2+bx+c， 得： 解之，得： 抛物线的解析式为 y= x2+x+1. （ 2） y= x2+x+1=（ x ） 2+ 抛物线的对称轴为 OE= ， DE= 连接 BF，则 BFD=90 BFDEOD 又 DE= ， OD=1， DB=2 FD= EF=FD DE= . （ 3）点 P 在抛物线上 . 设过 D、 C 点的直线为 y=kx+b 将点 C（ 1， 0）、 D（ 0， 1）的坐标代入 y=kx+b，得 k= 1， b=1 直线 DC 为 y= x+1 过点 B 作圆 O 的切线 BP 与 x轴平行， P 点的纵坐标为 y= 1 将 y= 1 代入 y= x+1，得 x=2 P 点的坐标为（ 2， 1） 当 x=2 时， y= x2+x+1= 22+2+1= 1 所以， P 点在抛物线 y= x2+x+1 上 .
