1、2014 年甘肃省临夏州中考真题数学 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(3 分 )-3 的绝对值是 ( ) A. 3 B. -3 C. - D. 解析 ： -3 的绝对值是 3. 答案： A. 2.(3 分 )节约是一种美德，节约是一种智慧 .据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约 3 亿 5 千万人 .350 000 000 用科学记数法表示为 ( ) A. 3.510 7 B. 3.510 8 C. 3.510 9 D. 3.510 10 解析 ： 350 000 000=3.510 8.
2、 答案： B. 3.(3 分 )如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 主视图是正方形的右上角有个小正方形， 答案： D. 4.(3 分 )下列计算错误的是 ( ) A. = B. + = C. =2 D. =2 解析 ： A、 = ，计算正确； B、 + ，不能合并，原题计算错误； C、 = =2，计算正确； D、 =2 ，计算正确 . 答案： B. 5.(3 分 )将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与 互余的角共有 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解
3、析 ： 斜边与这根直尺平行， =2 ， 又 1+2=90 ， 1+=90 ， 又 +3=90 与 互余的角为 1 和 3. 答案： C. 6.(3 分 )下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心
4、对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 . 答案： D. 7.(3 分 )已知 O 的半径是 6cm，点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与 O 的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 解析 ： 设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d， d=5 ， r=6， d r， 直线 l 与圆相交 . 答案： A. 8.(3 分 )用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米 .若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于 x 的方 程为 ( ) A. x(5+x)=6 B. x(5-x)=6 C. x(10-x)
5、=6 D. x(10-2x)=6 解析 ： 一边长为 x 米，则另外一边长为： 5-x，由题意得： x(5-x)=6， 答案： B. 9.(3 分 )二次函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点 ( ) A.(-1， -1) B. (1， -1) C. (-1， 1) D. (1， 1) 解析 ： 对二次函数 y=x2+bx+c，将 b+c=0 代入可得： y=x2+b(x-1)，则它的图象一定过点 (1，1). 答案： D. 10.(3 分 )如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB 延长线上，连接 ED 交 AB 于点 F，AF=x(0.2x0.8 )
6、， EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映 y与 x之闻函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意知， BF=1-x， BE=y-1，且 EFBEDC ，则 = ，即 = ， 所以 y= (0.2x0.8) ，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分 . A、 D 的图象都是直线的一部分， B 的图象是抛物线的一部分， C 的图象是双曲线的一部分 . 答案： C. 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32分 .把答案写在答题卡中的横线上 . 11.(4 分 )分解因式： 2a2-4a+2= . 解析 ： 2a2-4a+2=2(a2-2a+1)=2(a-1)
7、2. 答案： 2(a-1)2 12.(4 分 )化简： = . 解析 ： + = - = =x+2. 答案： x+2. 13.(4 分 )等腰 ABC 中， AB=AC=10cm， BC=12cm，则 BC 边上的高是 cm. 解析 ： 如图， AD 是 BC 边上的高线 . AB=AC=10cm ， BC=12cm， BD=CD=6cm ， 在直角 ABD 中，由勾股定理得到： AD= = =(8cm). 答案： 8. 14.(4 分 )一元二次方程 (a+1)x2-ax+a2-1=0 的一个根为 0，则 a= . 解析 ： 一元二次方程 (a+1)x2-ax+a2-1=0 的一个根为 0，
8、 a+10 且 a2-1=0， a=1. 答案： 1. 15.(4 分 )ABC 中， A 、 B 都是锐角，若 sinA= ， cosB= ，则 C= . 解析 ： ABC 中， A 、 B 都是锐角 sinA= ， cosB= ， A=B=60.C=180 -A -B=180 -60 -60=60. 答案： 60. 16.(4 分 )已知 x、 y 为实数，且 y= - +4，则 x-y= . 解析 ： 由题意得 x2-9=0，解得 x=3 ， y=4 ， x -y=-1 或 -7. 答案： -1 或 -7. 17.(4 分 )如图，四边形 ABCD 是菱形， O 是两条对角线的交点，过
9、O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分 .当菱形的两条对角线的长分别为 6和 8时，则阴影部分的面积为 . 解析 ： 菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8， 菱形的面积 = 68=24 ， O 是菱形两条对角线的交点， 阴影部分的面积 = 24=12. 答案： 12. 18.(4 分 )观察下列各式： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 猜想 13+23+33+10 3= . 解析 ： 根据数据可分析出规律为从 1 开始，连续 n 个数的立方和 =(1+2+n) 2 所以 13+23+33+10 3=(1+2+3+10) 2=552. 三、
10、解答题 (一 )：本大题共 5 小题，共 38分 .解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 19.(6 分 )计算： (-2)3+ (2014+ )0-|- |+tan260 . 解析 ： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案： 原式 =-8+ - +3=-5. 20.(6 分 )阅读理解： 我们把 称作二阶行列式，规定他的运算法则为 =ad-bc.如 =25 -34= -2. 如果有 0，求 x 的解集 . 解析 ： 首先看懂题目所给的运算法则，再根据法则得到 2x-(
11、3-x) 0，然后去括号、移项、合并同类项，再把 x 的系数化为 1 即可 . 答案： 由题意得 2x-(3-x) 0， 去括号得： 2x-3+x 0， 移项合并同类项得： 3x 3， 把 x 的系数化为 1 得： x 1. 21.(8 分 )如图， ABC 中， C=90 ， A=30 . (1)用尺规作图作 AB 边上的中垂线 DE，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明 )； (2)连接 BD，求证： BD 平分 CBA . 解析 ： (1)分别以 A、 B 为圆心，以大于 AB 的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC 于点 D， AB 于点 E
12、，直线 DE 就是所要作的 AB边上的中垂线； (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD=BD，再根据等边对等角的性质求出 ABD=A=30 ，然后求出 CBD=30 ，从而得到 BD 平分 CBA. 答案： (1)如图所示， DE 就是要求作的 AB 边上的中垂线； (2)证明： DE 是 AB 边上的中垂线， A=30 ， AD=BD ， ABD=A=30 ， C=90 ， ABC=90 -A=90 -30=60 ， CBD=ABC -ABD=60 -30=30 ， ABD=CBD ， BD 平分 CBA. 22.(8 分 )为倡导 “ 低碳生活 ” ，人们常选择以自
13、行车作为代步工具、图 (1)所示的是一辆自行车的实物图 .图 (2)是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档 AC与 CD的长分别为 45cm和 60cm，且它们互相垂直，座杆 CE的长为 20cm.点 A、 C、 E在同一条只显示，且 CAB=75 .(参考数据： sin75=0.966 ， cos75=0.259 ， tan75=3.732 ) (1)求车架档 AD 的长； (2)求 车座点 E 到车架档 AB 的距离 (结果精确到 1cm). 解析 ： (1)在 RtACD 中利用勾股定理求 AD 即可 . (2)过点 E 作 EFAB ，在 RTEFA 中，利用三角函数求 EF=AEs
14、in75 ，即可得到答案 . 答案： (1) 在 RtACD 中， AC=45cm， DC=60cmAD= =75(cm)， 车架档 AD 的长是 75cm； (2)过点 E 作 EFAB ，垂足为 F， AE=AC+CE=(45+20)cm ， EF=AEsin75=(45+20)sin7562.783563(cm) ， 车座点 E 到车架档 AB 的距离约是 63cm. 23.(10 分 )如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 y=mx 与双曲线 相交于 A(-1， a)、 B 两点，BCx 轴，垂足为 C， AOC 的面积是 1. (1)求 m、 n 的值； (2)求直线 AC 的解析式
15、 . 解析 ： (1)由题意，根据对称性得到 B 的横坐标为 1，确定出 C 的坐标，根据三角形 AOC 的面积求出 A 的纵坐标，确定出 A 坐标，将 A 坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出 m 与 n 的值； (2)设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，即可确定出直线 AC 的解析式 . 答案： (1) 直线 y=mx 与双曲线 y= 相交于 A(-1， a)、 B 两点， B 点横坐标为 1，即 C(1， 0)， AOC 的面积为 1， A( -1， 2)， 将 A(-1， 2)代入 y=mx， y= 可得 m=-2， n=-2；
16、 (2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， y=kx+b 经过点 A(-1， 2)、 C(1， 0) ，解得 k=-1， b=1， 直线 AC 的解析式为 y=-x+1. 四、解答题 (二 )：本大题共 5 小题，共 50分 .解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 24.(8 分 )在一个不透明的布袋里装有 4 个标号为 1、 2、 3、 4 的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，小敏从剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标 (x， y). (1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点
17、P 所有可能的坐标； (2)求点 (x， y)在函数 y=-x+5 图象上的概率 . 解析 ： (1)首先根据题意画出表格，即可得到 P 的所以坐标； (2)然后由表格求得所有等可能的结果与数字 x、 y 满足 y=-x+5 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 答案： 列表得： (1)点 P 所有可能的坐标有： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (2， 1)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 1)，(3， 2)， (3， 4)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)共 12 种； (2) 共有 12 种等可能的结果，其中在函数 y=-x+5 图象上的有 4 种
18、， 即： (1， 4)， (2， 3)， (3， 2)， (4， 1) 点 P(x， y)在函数 y=-x+5 图象上的概率为： P= . 25.(10 分 )某校课外小组为了解同学们对学校 “ 阳光跑操 ” 活动的喜欢程度，抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按 A(非常喜欢 )、 B(比较喜欢 )、 C(一般 )、 D(不喜欢 )四个等级对活动评价，图 1 和图 2 是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不完整 .请你根据统计图提供的信息 .解答下列问题： (1)此次调查的学生人数为 ； (2)条形统计图中存在错误的是 (填 A、 B、
19、 C、 D 中的一个 )，并在图中加以改正； (3)在图 2 中补画条形统计图中不完整的部分； (4)如果该校有 600 名学生，那么对此活动 “ 非常喜欢 ” 和 “ 比较喜欢 ” 的学生共有多少人？ 解析 ： (1)根据 A、 B 的人数和所占的百分比求出抽取的学生人数，并判断出条形统计图 A、B 长方形是正确的； (2)根据 (1)的计算判断出 C 的条形高度错误，用调查的学生人数乘以 C 所占的百分比计算即可得解； (3)求出 D 的人数，然后补全统计图即可； (4)用总人数乘以 A、 B 所占的百分比计算即可得解 . 答案： (1)4020%=200 ， 8040%=200 ， 此次
20、调查的学生人数为 200； (2)由 (1)可知 C 条形高度错误， 应为： 200(1 -20%-40%-15%)=20025%=50 ，即 C 的条形高度改为 50； 故答案为： 200； C； (3)D 的人数为： 20015%=30 ； (4)600(20%+40%)=360( 人 )， 答：该校对此活动 “ 非常喜欢 ” 和 “ 比较喜欢 ” 的学生有 360 人 . 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用 .读懂统计图，从不同的统计图 26.(10 分 )D、 E 分别是不等边三角形 ABC(即 ABBCAC )的边 AB、 AC 的中点 .O 是 ABC 所在平面上
21、的动点，连接 OB、 OC，点 G、 F 分别是 OB、 OC 的中点，顺次连接点 D、 G、 F、 E. (1)如图，当点 O 在 ABC 的内部时，求证：四边形 DGFE 是平行四边形； (2)若四边形 DGFE 是菱形，则 OA 与 BC 应满足怎样的数量关系？ (直接写出答案，不需要说明理由 .) 解析 ： (1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DEBC 且 DE= BC，GFBC 且 GF= BC，从而得到 DEGF ， DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； (2)根据邻边相等的平行四边形是菱形解答 . 答案： (1)D 、 E
22、分别是 AB、 AC 边的中点， DEBC ，且 DE= BC， 同理， GFBC ，且 GF= BC， DEGF 且 DE=GF， 四边形 DEFG 是平行四边形； (2)当 OA=BC 时，平行四边形 DEFG 是菱形 . 27.(10 分 )如图， RtABC 中， ABC=90 ，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D，点 E为BC 的中点，连接 DE. (1)求证： DE 是半圆 O 的切线 . (2)若 BAC=30 ， DE=2，求 AD 的长 . 解析 ： (1)连接 OD， OE，由 AB 为圆的直径得到三角形 BCD 为直角三角形，再由 E 为斜边 BC的中点，得到
23、 DE=BE=DC，再由 OB=OD， OE 为公共边，利用 SSS 得到三角形 OBE 与三角形 ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD 垂直，即可得证； (2)在直角三角形 ABC 中，由 BAC=30 ，得到 BC 为 AC 的一半，根据 BC=2DE 求出 BC 的长，确定出 AC 的长，再由 C=60 ， DE=EC 得到三角形 EDC 为等边三角形，可得出 DC 的长，由AC-CD 即可求出 AD 的长 . 答案： (1)证明：连接 OD， OE， AB 为圆 O 的直径， ADB=BDC=90 ， 在 RtBDC 中， E 为斜边 BC 的中点， DE=BE ，
24、 在 OBE 和 ODE 中， ， OBEODE(SSS) ， ODE=ABC=90 ， 则 DE 为圆 O 的切线； (2)在 RtABC 中， BAC=30 ， BC= AC， BC=2DE=4 ， AC=8 ， 又 C=60 ， DE=DC， DEC 为等边三角形，即 DC=DE=2，则 AD=AC-DC=6. 28.(12 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线是由抛物线 y=x2-3 向右平移一个单位后得到的，它与 y 轴负半轴交于点 A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为 3. (1)求点 M、 A、 B 坐标； (2)联结 AB、 AM、 BM，求 ABM
25、的正切值； (3)点 P 是顶点为 M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设 PO 与 x 正半轴的夹角为 ，当 =ABM 时，求 P 点坐标 . 解析 ： (1)根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点 M 的坐标，令x=0 求出 A 点的坐标，把 x=3 代入函数解析式求出点 B 的坐标； (2)过点 B 作 BEAO 于 E，过点 M 作 MFAO 于 M，然后求出 EAB=EBA=4 5 ，同理求出FAM=FMA=45 ，然后求出 ABE 和 AMF 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出 BAM=90 ，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解； (
26、3)过点 P 作 PHx 轴于 H，分点 P在 x 轴的上方和下方两种情况利用 的正切值列出方程求解即可 . 答案： (1)抛物线 y=x2-3 向右平移一个单位后得到的函数解析式为 y=(x-1)2-3， 顶点 M(1， -3)， 令 x=0，则 y=(0-1)2-3=-2，点 A(0， -2)， x=3 时， y=(3-1)2-3=4-3=1，点 B(3， 1)； (2)过点 B 作 BEAO 于 E，过点 M 作 MFAO 于 M， EB=EA=3 ， EAB=EBA=45 ， 同理可求 FAM=FMA=45 ， ABEAMF ， = = ， 又 BAM=180 -452=90 ， tanABM= = ； (3)过点 P 作 PHx 轴于 H， y=(x -1)2-3=x2-2x-2， 设点 P(x， x2-2x-2)， 点 P 在 x 轴的上方时， = ， 整理得， 3x2-7x-6=0，解得 x1=- (舍去 )， x2=3， 点 P 的坐标为 (3， 1)； 点 P 在 x 轴下方时， = ，整理得， 3x2-5x-6=0， 解得 x1= (舍去 )， x2= ， x= 时， x2-2x-2=- =- ， 点 P 的坐标为 ( ， - )， 综上所述，点 P 的坐标为 (3， 1)或 ( ， - ).
