1、2014 年甘肃省兰州市中考真题数学 一、选择题 (共 15 小题，每小题 4 分，共 60分 ) 1.(4 分 )在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 . 答案： A. 2.(4 分 )下列说法中错误的是 ( ) A. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后 6 点朝上是必然事件 B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式 C. 若 a 为实数，则 |a| 0 是不可能事件 D. 甲、乙两人各进
2、行 10 次射击，两人射击成绩的方差分别为 =2， =4，则甲的射击成绩更稳定 解析 ： A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后 6 点朝上是随机事件，故本项错误； B.了解一批电视机的使用寿命，具有破坏性，适合用抽样调查的方式，故本项正确； C.若 a 为实数，则 |a|0 ， |a| 0 是不可能事件，故本项正确； D.方差小的稳定，故本项正确 . 答案： A. 3.(4 分 )函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x -2 B. x -2 C. x2 D. x -2 解析 ： 根据题意得， x+20 ， 解得 x -2. 答案： B. 4.(4 分 )期中考试后，班里有两
3、位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说： “ 我们组成绩是 86 分的同学最多 ” ，小英说： “ 我们组的 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 86分 ” ，上面两位同学的话能反映处的统计量是 ( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 解析 ： 在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数， 答案： D. 5.(4 分 )如图，在 RtABC 中， C=90 ， BC=3， AC=4，那么 cosA 的值等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在 RtABC 中， C=90 ， AC=4， BC=3， AB
4、= .cosA=， 答案： D. 6.(4 分 )抛物线 y=(x-1)2-3 的对称轴是 ( ) A. y 轴 B. 直线 x=-1 C. 直线 x=1 D. 直线 x=-3 解析 ： 抛物线 y=(x-1)2-3 的对称轴是直线 x=1. 答案： C. 7.(4 分 )下列命题中正确的是 ( ) A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 解析 ： A、一组邻边相等的平行四边形是菱形， 答案： 项错误； B、正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形， 答案： 项错误； D、两组对边
5、平行的四边形才是平行四边形， 答案： 项错误 . 答案： B. 8.(4 分 )两圆的半径分别为 2cm， 3cm，圆心距为 2cm，则这两个圆的位置关系是 ( ) A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 解析 ： 两个圆的半径分别是 3cm 和 2cm，圆心距为 2cm， 又 3+2=5 ， 3-2=1， 1 2 5， 这两个圆的位置关系是相交 . 答案： B. 9.(4 分 )若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 k 的取值可以是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不是 解析 ： 反比例函数 的图象位于第二、四象限， k -1 0，即 k 1. 答案： A. 1
6、0.(4 分 )一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0 )有两个不相等的实数根，则 b2-4ac 满足的条件是( ) A. b2-4ac=0 B. b2-4ac 0 C. b2-4ac 0 D. b2-4ac0 解析 ： 一元二次方程有两个不相等的实数根， =b 2-4ac 0. 答案： B. 11.(4 分 )把抛物线 y=-2x2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为 ( ) A. y=-2(x+1)2+2 B. y=-2(x+1)2-2 C. y=-2(x-1)2+2 D. y=-2(x-1)2-2 解析 ： 把抛物线 y=-2x2先向右平移 1
7、个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为 y=-2(x-1)2+2， 答案： C. 12.(4 分 )如图，在 ABC 中， ACB=90 ， ABC=30 ， AB=2.将 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60 得 ABC ，则点 B 转过的路径长为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在 ABC 中， ACB=90 ， ABC=30 ， AB=2， cos30= ， BC=ABcos30=2 = ， 将 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60 得 ABC ， BCB=60 ， 点 B 转过的路径长为： = . 答案： B. 13.(4 分 )如图， CD 是
8、 O 的直径，弦 ABCD 于 E，连接 BC、 BD，下列结论中不一定正确的是 ( ) A. AE=BE B. = C. OE=DE D. DBC=90 解析 ： CDAB ， AE=BE ， = ， CD 是 O 的直径， DBC=90 ，不能得出 OE=DE. 答案： C. 14.(4 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，则下列四个结论错误的是 ( ) A. c 0 B. 2a+b=0 C. b2-4ac 0 D. a-b+c 0 解析 ： A、因为二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的上方，所以 c 0，正确； B、由已知抛物线对称轴
9、是直线 x=1=- ，得 2a+b=0，正确； C、由图知二次函数图象与 x 轴有两个交点，故有 b2-4ac 0，正确； D、直线 x=-1 与抛物线交于 x 轴的下方，即当 x=-1 时， y 0，即 y=ax2+bx+c=a-b+c 0，错误 . 答案： D. 15.(4 分 )如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形，平行于对角线 BD的直线 l 从 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止 .设直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 S，直线 l 运动的时间为 t(秒 )，下列能反映 S 与 t 之间
10、函数关系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 0t4 时， S= tt= t2，即 S= t2.该函数图象是开口向上的抛物线的一部分 .故 B、 C 错误； 当 4 t8 时， S=16- (8 -t)(8 -t)=- t2+8t-16.该函数图象是开口向下的抛物线的一部分 .故 A 错误 . 答案： D. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 4 分，共 20分 ) 16.(4 分 )在四个完全相同的小球上分别写上 1， 2， 3， 4 四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点 P 的横坐标 x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字
11、后作为点 P 的纵坐标 y，则点 P(x， y)落在直线 y=-x+5 上的概率是 . 解析 ： 列表得 ， 共有 16 种等可能的结果，数字 x、 y 满足 y=-x+5 的有 (1， 4)， (2， 3)， (3， 2)， (4， 1)， 数字 x、 y 满足 y-x+5 的概率为： . 答案： . 17.(4 分 )如果菱形的两条对角线的长为 a和 b，且 a， b 满足 (a-1)2+ =0，那么菱形的面积等于 . 解析 ： 由题意得， a-1=0， b-4=0，解得 a=1， b=4， 菱形的两条对角线的长为 a 和 b， 菱形的面积 = 14=2. 答案： 2. 18.(4 分 )
12、如图， ABC 为 O 的内接三角形， AB 为 O 的直径，点 D 在 O 上， ADC=54 ，则 BAC 的度数等于 . 解析 ： ABC 与 ADC 是 所对的圆周角， ABC=ADC=54 ， AB 为 O 的直径， ACB=90 ， BAC=90 -ABC=90 -54=36. 答案： 36. 19.(4 分 )如图，在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路 (两条道路各与矩形的一条边平行 )，剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米 .若设道路宽为 x 米，则根据题意可列出方程为 . 解析 ： 设道路的宽应为 x 米，由题意有 (2
13、2-x)(17-x)=300， 答案： (22-x)(17-x)=300. 20.(4分 )为了求 1+2+22+23+2 100的值，可令 S=1+2+22+23+2 100，则 2S=2+22+23+24+2 101，因此 2S-S=2101-1，所以 S=2101-1，即 1+2+22+23+2 100=2101-1，仿照以上推理计算1+3+32+33+3 2014的值是 . 解析 ： 设 M=1+3+32+33+3 2014 ， 式两边都乘以 3，得 3M=3+32+33+3 2015 . - 得 2M=32015-1， 两边都除以 2，得 M= ， 答案： . 三、解答题 (共 8
14、小题，共 70 分 ) 21.(10 分 )(1)计算： (-1)2-2cos30+ +(-2014)0； (2)当 x 为何值时，代数式 x2-x 的值等于 1. 解析 ： (1)分别根据数的乘方法则、 0 指数幂的运算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . (2)根据题意列出关于 x 的一元二次方程，求出 x 的值即可 . 答案： (1)原式 =1-2 + +1=1- + +1=2； (2)由题意得， x2-x=1，整理得， x2-x-1=0， a=1 ， b=-1， c=-1， b 2-4ac=(-1)2-4 1( -1)=5.x 1= ， x2=
15、. 22.(5 分 )如图，在 ABC 中，先作 BAC 的角平分线 AD交 BC 于点 D，再以 AC 边上的一点 O为圆心，过 A、 D 两点作 O (用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑 ) 解析 ： 先作出角平分线 AD，再作 AD 的中垂线交 AC 于点 O， O 就是 O 的圆心，作出 O ， 答案： 作出角平分线 AD，作 AD 的中垂线交 AC 于点 O，作出 O ， O 为所求作的圆 . 23.(6 分 )兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业的时间不超过 1.5 小时，该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家
16、完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图 (如图 )的一部分 . (1)在图 1 中， a= ， b= ； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校 1400 名初中学生中，约有多少学生在 1.5 小时以内完成了家庭作业 . 解析 ： (1)根据每天完成家庭作业的时间在 0t 0.5 的频数和频率，求出抽查的总人数，再用总人数乘以每天完成家庭作业的时间在 0.5t 1 的频率，求出 a，再用每天完成家庭作业的时间在 1.5t 2 的频率乘以总人数，求出 b 即可； (2)根据 (1)求出 a 的值，可直接补全统计图； (3)用每天完成家庭作业时间在 1.5 小
17、时以内的人数所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出答案 . 答案： (1)抽查的总的人数是： =40(人 )， a=400.3=12( 人 )， b= =0.2； 故答案为： 12， 0.2； (2)根据 (1)可 得：每天完成家庭作业的时间在 0.5t 1 的人数是 12，补图如下： (3)根据题意得： 1400=910( 名 )， 答：约有多少 910 名学生在 1.5 小时以内完成了家庭作业 . 24.(8 分 )如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE、 CF 固定电线杆，拉线 CE 和地面成 60 角，在离电线杆 6 米的 B 处安置测角仪，在 A 处测得电线杆上 C处的仰角为 30
18、，已知测角仪高 AB 为 1.5 米，求拉线 CE 的长 (结果保留根号 ). 解析 ： 由题意可先过点 A作 AHCD 于 H.在 RtACH 中，可求出 CH，进而 CD=CH+HD=CH+AB，再在 RtCED 中，求出 CE 的长 . 答案： 过点 A 作 AHCD ，垂足为 H， 由题意可知四边形 ABDH 为矩形， CAH=30 ， AB=DH=1.5 ， BD=AH=6， 在 RtACH 中， tanCAH= ， CH=AH tanCAH ， CH=AH tanCAH=6tan30=6 (米 )， DH=1.5 ， CD=2 +1.5， 在 RtCDE 中， CED=60 ， s
19、inCED= ， CE= =(4+ )(米 )， 答：拉线 CE 的长为 (4+ )米 . 25.(9 分 )如图，直线 y=mx 与双曲线 y= 相交于 A、 B 两点， A 点的坐标为 (1， 2). (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当 mx 时， x 的取值范围； (3)计算线段 AB 的长 . 解析 ： (1)把 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； (2)求出直线的解析式，解组成的方程组求出 B 的坐标，根据 A、 B 的坐标结合图象即可得出答案； (3)根据 A、 B 的坐标 .利用勾股定理分别求出 OA、 OB，即可得出答案 . 答案： (1)把 A
20、(1， 2)代入 y= 得： k=2，即反比例函数的表达式是 y= ； (2)把 A(1， 2)代入 y=mx 得： m=2，即直线的解析式是 y=2x， 解方程组 得出 B 点的坐标是 (-1， -2)， 当 mx 时， x 的取值范围是 -1 x 0 或 x 1； (3)过 A 作 ACx 轴于 C， A(1 ， 2)， AC=2 ， OC=1， 由勾股定理得： AO= = ， 同理求出 OB= ， AB=2 . 26.(10 分 )如图， AB 是 O 的直径，点 E 是 上的一点， DBC=BED . (1)求证： BC 是 O 的切线； (2)已知 AD=3， CD=2，求 BC 的
21、长 . 解析 ： (1)AB 是 O 的直径，得 ADB=90 ，从而得出 BAD=DBC ，即 ABC=90 ，即可证明 BC 是 O 的切线； (2)可证明 ABCBDC ，则 = ，即可得出 BC= . 答案： (1)AB 是 O 的切直径， ADB=90 ， 又 BAD=BED ， BED=DBC ， BAD=DBC ， BAD+ABD=DBC+ABD=90 ， ABC=90 ， BC 是 O 的切线； (2)BAD=DBC ， C=C ， ABCBDC ， = ，即 BC2=AC CD=(AD+CD) CD=10， BC= . 27.(10 分 )给出定义，若一个四边形中存在相邻两边
22、的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形 . (1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称； (2)如图，将 ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60 得到 DBE ，连接 AD， DC， CE，已知DCB=30 . 求证： BCE 是等边三角形； 求证： DC2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形 . 解析 ： (1)根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形； (2) 首先证明 ABCBDC ，得出 AC=DE， BC=BE，连接 CE，进一步得出 BCE 为等边三角形； 利用等边三角形的性质，进一步得出 DCE 是直角三角形，问题得解
23、. 答案： (1)正方形、矩形、直角梯形均可； 证明： (2)ABCDBE ， BC=BE ， CBE=60 ， BCE 是等边三角形； ABCDBE ， BE=BC ， AC=ED； BCE 为等边三角形， BC=CE ， BCE=60 ， DCB=30 ， DCE=90 ， 在 RtDCE 中， DC2+CE2=DE2， DC 2+BC2=AC2. 28.(12 分 )如图，抛物线 y=- x2+mx+n 与 x 轴交于 A、 B两点，与 y轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A(-1， 0)， C(0， 2). (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在
24、点 P，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标 . 解析 ： (1)由待定系数法建立二元一次方程组求出求出 m、 n 的值即可； (2)由 (1)的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出 CD 的值，再以点 C 为圆心， CD 为半径作弧交对称轴于 P1，以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于点 P2， P3，作 CE垂直于对称轴与
25、点 E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； (3)先求出 BC 的解析式，设出 E 点的坐标为 (a， - a+2)，就可以表示出 F 的坐标，由四边形 CDBF 的面积 =SBCD +SCEF +SBEF 求出 S 与 a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论 . 答案： (1) 抛物线 y=- x2+mx+n 经过 A(-1， 0)， C(0， 2).解得： ， 抛物线的解析式为： y=- x2+ x+2； (2)y= - x2+ x+2， y= - (x- )2+ ， 抛物线的对称轴是 x= .OD= . C(0 ， 2)， OC=2. 在 RtOCD 中，由勾股定理，得
26、CD= . CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形， CP 1=CP2=CP3=CD.作 CHx 轴于 H， HP 1=HD=2， DP 1=4.P 1( ， 4)， P2( ， )， P3( ， - )； (3)当 y=0 时， 0=- x2+ x+2x 1=-1， x2=4， B(4 ， 0). 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得 ，解得： ， 直线 BC 的解析式为： y=- x+2. 如图 2，过点 C 作 CMEF 于 M， 设 E(a， - a+2)， F(a， - a2+ a+2)， EF= - a2+ a+2-(- a+2)=- a2+2a(0x4). S 四边形 CDBF=SBCD +SCEF +SBEF = BD OC+ EF CM+ EF BN， = + a(- a2+2a)+ (4-a)(- a2+2a)， =-a2+4a+ (0x4). =-(a-2)2+ a=2 时， S 四边形 CDBF 的面积最大 = ， E(2 ， 1).
