1、2014 年甘肃省天水市中考真题数学 一、选择题 (本题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来 ) 1.(4 分 )2014 年天水市初中毕业生约 47230 人 .将这个数用科学记数法表示为 ( ) A. 4.72310 3 B. 4.72310 4 C. 4.72310 5 D. 0.472310 5 解析 ：将 47230 用科学记数法表示为： 4.72310 4. 答案： B. 2.(4 分 )要使式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x1 B. x 1 C. x1 D. x1 解析 ： 由
2、题意得， x-10 ，解得 x1. 答案： A. 3.(4 分 )如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一个； 从左视图可以看出左边的一列后面一行有两个，右边的一列只有一个； 从俯视图可以看出右边的一列有两排，右边的两列只有一排 (第二排 ). 答案： A. 4.(4 分 )将二次函数 y=x2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 ( ) A. y=(x-1)2+2 B. y=(x+1)2+2 C. y=(x-1)2-2 D. y=(x+1)2-2
3、 解析 ： 原抛物线的顶点为 (0， 0)，向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为 (1， 2).可设新抛物线的解析式为 y=(x-h)2+k，代入得 y=(x-1)2+2. 答案： A. 5.(4 分 )在数据 1、 3、 5、 5、 7 中，中位数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 解析 ： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 1、 3、 5、 5、 7，则中位数为： 5. 答案： C. 6.(4 分 )点 A、 B、 C 是平面内不在同一条直线上的三点，点 D 是平面内任意一点，若 A、 B、C、 D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合
4、这样条件的点 D 有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ： 由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与 D 点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点 D 有 3 个 . 答案： C. 7.(4 分 )已知函数 y= 的图象如图，以下结论： m 0； 在每个分支上 y 随 x 的增大而增大； 若点 A(-1， a)、点 B(2， b)在图象上，则 a b； 若点 P(x， y)在图象上，则点 P1(-x， -y)也在图象上 . 其中正确的个数是 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析 ： 根据反比例函数的图象的两个
5、分支分别位于二、四象限，可得 m 0，故正确； 在每个分支上 y 随 x 的增大而增大，正确； 若点 A(-1， a)、点 B(2， b)在图象上，则 a b，错误； 若点 P(x， y)在图象上，则点 P1(-x， -y)也在图象上，正确， 答案： B. 8.(4 分 )如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 C 处，折痕为 EF，若 AB=1， BC=2，则 ABE 和 BCF 的周长之和为 ( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 解析 ： 将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C落在 C 处，折痕为 EF， 由折叠特性可得，
6、CD=BC=AB ， FCB=EAB=90 ， EBC=ABC=90 ， ABE+EBF=CBF+EBF=90ABE=CBF 在 BAE 和 BCF 中， BAEBCF(ASA) ， ABE 的周长 =AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3， ABE 和 BCF 的周长 =2ABE 的周长 =23=6. 答案： C. 9.(4 分 )如图，扇形 OAB 动点 P 从点 A 出发，沿 线段 B0、 0A 匀速运动到点 A，则 0P 的长度 y 与运动时间 t 之间的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 点 P 在弧 AB 上时， OP 的长度 y 等于半径
7、的长度，不变； 点 P 在 BO 上时， OP 的长度 y 从半径的长度逐渐减小至 0； 点 P 在 OA 上时， OP 的长度从 0 逐渐增大至半径的长度 . 纵观各选项，只有 D 选项图象符合 . 答案： D. 10.(4 分 )如图，是某公园的一角， AOB=90 ， 的半径 OA 长是 6 米，点 C是 OA 的中点，点 D 在 上， CDOB ，则图中草坪区 (阴影部分 )的面积是 ( ) A. (3+ )米 B. ( + )米 C. (3+9 )米 D. ( -9 )米 解析 ： 如图，连接 OD， AOB=90 ， CDOB ， OCD=180 -AOB=180 -90=90 ，
8、 点 C 是 OA 的中点， OC= OA= OD= 6=3 米， CDO=30 ， COD=90 -30=60 ， CD= OC=3 ， CDOB ， BOD=CDO=30 ， S 阴影 =SCOD +S 扇形 OBD， = 33 + ， = +3. 答案： A. 二、填空题 (本题 8 个小题，每小题 4分，共 32分 .只要求填写最后结果 ) 11.(4 分 )写出一个图象经过点 (-1， 2)的一次函数的解析式 . 解析 ： 设函数的解析式为 y=kx+b，将 (-1， 2)代入得 b-k=2，所以可得 y=x+3. 答案： y=x+3 12.(4 分 )若关于 x 的方程 -1=0
9、有增根，则 a 的值为 . 解析 ： 方程两边都乘 (x-1)，得 ax+1-(x-1)=0， 原方程有增根 ， 最简公分母 x-1=0，即增根为 x=1， 把 x=1 代入整式方程，得 a=-1. 答案： -1 13.(4 分 )某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 . 解析 ： 设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得， 125(1-x)2=80， 解得 x1=0.2=20%， x2=1.8(不合题意，舍去 )； 答案： 20% 14.(4 分 )如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形
10、的顶点叫格点 .ABC 的顶点都在方格的格点上，则 cosA= . 解析 ： 如图， 由勾股定理得 AC=2 ， AD=4， cosA= ， 答案： . 15.(4 分 )如图， PA， PB 分别切 O 于点 A、 B，点 C 在 O 上，且 ACB=50 ，则 P= . 解析 ： 连接 OA、 OB， ACB=50 ， AOB=2ACB=100 ， PA ， PB 分别切 O 于点 A、 B，点 C 在 O 上， OAP=OBP=90 ， P=360 -90 -100 -90=80 ， 答案： 80. 16.(4 分 )天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学做为 “ 伏羲文化节 ”
11、的志愿者，则选出一男一女的概率为 . 解析 ： 画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，选出一男一女的有 12 种情况， 选出一男一女的概率为： =. 答案： . 17.(4 分 )如图，点 A 是反比例函数 y= 的图象上 -点，过点 A作 ABx 轴，垂足为点 B，线段 AB 交反比例函数 y= 的图象于点 C，则 OAC 的面积为 . 解析 ： ABx 轴， S AOB = |6|=3 ， SCOB = |2|=1 ， S AOC =SAOB -SCOB =2. 答案： 2. 18.(4 分 )如图，一段抛物线 y=-x(x-1)(0x1 )记为 m1，它与 x 轴交点为 O、 A1，
12、顶点为P1；将 m1绕点 A1旋转 180 得 m2，交 x 轴于点 A2，顶点为 P2；将 m2绕点 A2旋转 180 得 m3，交 x 轴于点 A3，顶点为 P3， ，如此进行下去，直至得 m10，顶点为 P10，则 P10的坐标为 ( (9.5，-0.25) ) 解析 ： y=-x(x-1)(0x1) ， OA1=A1A2=1， P2P4=P1P3=2， P2(1.5， -0.25) P10的横坐标是 1.5+2(10 -2)2 =9.5， p10的纵坐标是 -0.25， 答案： (9.5， -0.25). 三、解答题 (本题 3 个小题，共 28 分 .解答时写出必要的文字说明及演算过
13、程 ) 19.(9 分 )根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速 60 千米 /时 .已知测速站点 M 距羲皇大道 l(直线 )的距离 MN 为 30 米 (如图所示 ).现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒， AMN=60 ， BMN=45 . (1)计算 AB 的长度 . (2)通过计算判断此车是否超速 . 解析 ： (1)在 RtAMN 中， MN=30， AMN=60 ， AN=MN tanAMN=30 . 在 RtBMN 中， BMN=45 ， BN=MN=30.AB=AN+BN=(30+30 )米； (2) 此
14、车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒， 此车的速度为： (30+30 )6=5+5 13.66 ， 60 千米 /时 16.66 米 /秒， 13.66 16.66 不会超速 . 20.(9 分 )空气质量的优劣直接影响着人们的身体健康 .天水市某校兴趣小组，于 2014 年 5月某一周，对天水市区的空气质量指数 (AQI)进行监测，监测结果如图 .请你回答下列问题： (1)这一周空气质量指数的极差、众数分别是多少？ (2)当 0AQI50 时，空气质量为优 .这一周空气质量为优的频率是多少？ (3)根据以上信息，谈谈你对天水市区空气质量的看法 . 解析 ： (1)根据极差、众数的定义
15、求解即可； (2)先计算出当 0AQI50 时的天数，再除以 7 即可； (3)根据极差可以看出天水市区空气质量差别较大，再由众数可得出天水市区的空气质量指数较多集中在 30 50 之间，空气质量为一般 . 答案： (1)把这七个数据按照从小到大排列为 30， 35， 40， 50， 50， 70， 73， 极差为 73-30=43， 众数为 50； (2)空气质量为优的天数为 5 天，则频率为 ； (3)由上面的信息可得出，天水市区的空气质量指数较多集中在 30 50 之间，空气质量为一般 . 21.(10 分 )如图，点 D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA的延长线上，且 CDA=CB
16、D . (1)判断直线 CD 和 O 的位置关系，并说明理由 . (2)过点 B 作 O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC=2， O 的半径是 3，求 BE 的长 . 解析 ： (1)连接 OD，根据圆周角定理求出 DAB+DBA=90 ，求出 CDA+ADO=90 ，根据切线的判定推出即可； (2)根据勾 股定理求出 DC，根据切线长定理求出 DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可 . 答案： (1)直线 CD 和 O 的位置关系是相切，理由是：连接 OD， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， DAB+DBA=90 ， CDA=CBD ， DAB+CDA=90
17、 ， OD=OA ， DAB=ADO ， CDA+ADO=90 ，即 ODCE ， 直线 CD 是 O 的切线，即直线 CD 和 O 的位置关系是相切； (2)AC=2 ， O 的半径是 3， OC=2+3=5 ， OD=3， 在 RtCDO 中，由勾股定理得： CD=4， CE 切 O 于 D， EB 切 O 于 B， DE=EB ， CBE=90 ， 设 DE=EB=x，在 RtCBE 中，由勾股定理得： CE2=BE2+BC2，则 (4+x)2=x2+(5+3)2， 解得： x=6，即 BE=6. 四、解答题 (本题 5 个小题，共 50 分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程 ) 22
18、.(8 分 )如图，在正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别在边 AB、 BC 上， ADE=CDF . (1)求证： AE=CF； (2)连结 DB 交 CF 于点 O，延长 OB 至点 G，使 OG=OD，连结 EG、 FG，判断四边形 DEGF 是否是菱形，并说明理由 . 解析 ： (1)根据正方形的性质可得 AD=CD， A=C=90 ，然后利用 “ 角边角 ” 证明 ADE和 CDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=CF； (2)求出 BE=BF，再求出 DE=DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD 垂直平分 EF，然后根据对角线互相垂直平分的四边
19、形是菱形证明 . 答案： (1)证明：在正方形 ABCD 中， AD=CD， A=C=90 ， 在 ADE 和 C DF 中， ， ADECDF(ASA) ， AE=CF ； (2)四边形 DEGF 是菱形 . 理由如下：在正方形 ABCD 中， AB=BC， AE=CF ， AB -AE=BC-CF，即 BE=BF， ADECDF ， DE=DF ， BD 垂直平分 EF， 又 OG=OD ， 四边形 DEGF 是菱形 . 23.(9 分 )如图， M 过坐标原点 O，分别交两坐标轴于 A(1， O)， B(0， 2)两点，直线 CD交x 轴于点 C(6， 0)，交 y 轴于点 D(0， 3
20、)，过点 O 作直线 OF，分别交 M 于点 E，交直线 CD于点 F. (1)CDO=BAO ； (2)求证： OE OF=OA OC； (3)若 OE= ，试求点 F 的坐标 . 解析 ： (1)利用 tanCDO=cotBAO 求出 CDO=BAO ， (2)连接 AE，圆周角相等得出 OCFOEA. 再利用比例式求证 . (3)先求出 OF 的长度，再利用方程组求出交点，得出点 P 的坐标 . 答案： (1)如图： C(6 ， 0)， D(0， 3)， tanCDO= = =2， A(1 ， O)， B(0， 2)， cotBAO= =2， CDO=BAO ， (2)如图，连接 AE，
21、 由 (1)知 CDO=BAO ， OCD=OBA ， OBA=OEA ， OCD=OEA ， OCFOEA ， = OE OF=OA OC； (3)由 (2)得 OE OF=OA OC， OA=1 ， 0C=6， OE= ， OF = =2 设 F(x， y)， x 2+y2=8， 直线 CD 的函数式为： y=- x+3， 组成的方程组为 ， 解得 或 ， F 的坐标为： (2， 2)或 ( ， ). 24.(9 分 )天水市某校为了开展 “ 阳光体育 ” 活动，需购买某一品牌的羽毛球，甲、乙两超市均以每只 3 元的价格出售，并对一次性购买这一品牌羽毛球不低于 100 只的用户均实行优惠：
22、甲超市每只羽毛球按原价的八折出售；乙超市送 15 只羽毛球后其余羽毛球每只按原价的九折出售 . (1)请你任选一超市，一次性购买 x(x100 且 x 为整数 )只该品牌羽毛球，写出所付钱 y(元 )与 x 之间的函数关系式 . (2)若共购买 260 只该品牌羽毛球，其中在甲超市以甲超市的优惠方式购买一部分，剩下的又在乙超市以乙超市的优惠方式购买 .购买 260 只该品牌羽毛球至少需要 付多少元钱？这时在甲、乙两超市分别购买该品牌羽毛球多少只？ 解析 ： (1)根据题意可得出两个关系式； (2)可设在甲超市购买羽毛球 a 只，乙超市购买羽毛球 (260-a)只，所花钱数为 W 元，可列出W
23、与 a 的函数关系式，再根据题意列出关于 a 的不等式组，求 a 的范围，然后利用一次函数的性质进行解答 . 答案： (1)甲超市： y=30.8x=2.4x ， 乙超市： y=30.9(x -15)=2.7x-40.5； (2)设在甲超市购买羽毛球 a 只，乙超市购买羽毛球 (260-a)只，所花钱数为 W 元， W=2.4a+2.7(260-a)-40.5=-0.3a+611.5； 100a160 -0.3 0， W 随 a 的增大而减小， a=160 时， W 最小 =563.5， 260-160=100(只 ). 答：至少需要付 563.5 元，应在甲超市购买 160 只，在乙超市购买
24、 100 只 . 25.(12 分 )如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出把球看成点，其运行的高度 y(米 )与运行的水平距离 x(米 )满足关系式 y=a(x-6)2+h，已知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 2.43 米，球场的边界距点 O的水平距离为 18米 . (1)当 h=2.6 时，求 y 与 x 的函数关系式 . (2)当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由 . (3)若球一定能越过球网，又不出边界 .则 h 的取值范围是多少？ 解析 ： (1)利用 h=2.6，球从 O 点正上方 2m的 A 处发出
25、，将点 (0， 2)代入解析式求出即可； (2)利用当 x=9 时， y=- (x-6)2+2.6=2.45，当 y=0 时， (x-6)2+2.6=0，分别得出即可； (3)根据当球正好过点 (18， 0)时，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0， 2)，以及当球刚能过网，此时函数解析式过 (9， 2.43)，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0， 2)时分别得出 h 的取值范围，即可得出答案 . 答案： (1)h=2.6 ，球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出， 抛物线 y=a(x-6)2+h 过点 (0， 2)， 2=a(0 -6)2+2.6，解得： a= ， 故 y
26、 与 x 的关系式为： y=- (x-6)2+2.6， (2)当 x=9 时， y= (x-6)2+2.6=2.45 2.43，所以球能过球网； 当 y=0 时， (x-6)2+2.6=0，解得： x1=6+ 18， x2=6- (舍去 ) 故会出界； (3)当球正好过点 (18， 0)时，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0， 2)， 代入解析式得： ，解得 ， 此时二次函数解析式为： y= (x-6)2+ ，此时球若不出边界 h ， 当球刚能过网，此时函数解析式过 (9， 2.43)，抛物线 y=a(x-6)2+h 还过点 (0， 2)，代入解析式得： ，解得 ，此时球要过网 h
27、， 故若球一定能越过球网，又不出边界， h 的取值范围是： h . 26.(12 分 )如图 (1)，在平面直角坐标系中，点 A(0， -6)，点 B(6， 0).RtCDE 中， CDE=90 ，CD=4， DE=4 ，直角边 CD 在 y 轴上，且点 C 与点 A 重合 .RtCDE 沿 y 轴正方向平行移动，当点 C 运动到点 O 时停止运动 .解答下列问题： (1)如图 (2)，当 RtCDE 运动到点 D 与点 O 重合时，设 CE交 AB于点 M，求 BME 的度数 . (2)如图 (3)，在 RtCDE 的运动过程中，当 CE 经过点 B 时，求 BC的长 . (3)在 RtCD
28、E 的运动过程中，设 AC=h， OAB 与 CDE 的重叠部分的面积为 S，请写出 S与 h 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大值 . 解析 ： (1)如图 2，由对顶角的定义知， BME=CMA ，所以欲求 BME 的度数，需求 CMA的度数 .根据三角形外角定理进行解答即可； (2)如图 3，通过解直角 BOC 来求 BC 的长度； (3)需要分类讨论： h 2 时， 2h 2 时， 2 h6 时，依此即可求解 . 答案： (1)如图 2， 在平面直角坐标系中，点 A(0， -6)，点 B(6， 0). OA=OB ， OAB=45 ， CDE=90 ， CD=4， DE=4 ，
29、OCE=60 ， CMA=OCE -OAB=60 -45=15 ， BME=CMA=15 ； (2)如图 3， CDE=90 ， CD=4， DE=4 ， OBC=DEC=30 ， OB=6 ， BC=4 ； (3)h 2 时，如图 4，作 MNy 轴交 y 轴于点 N，作 MFDE 交 DE 于点 F， CD=4 ， DE=4 ， AC=h， AN=NM， CN=4 -FM， AN=MN=4+h-FM， CMNCED ， = ， = ， 解得 FM=4- ， S=S EDC -SEFM = 44 - (4 4-h)(4 - h)=- h2+4h+8， S 最大 =8 . 当 2h 2 时， S=SAOB -SACM = 66 - h(h+ )=18- h2， S 最大 =15- . 如图 3，当 2 h6 时， S=SOBC = OCOB= (6-h)6=18 -3h. S 最大 =18-6 .
