1、2014 年福建省三明市中考真题数学 一、单项选择题 (共 10 题，每题 4 分，满分 40分 ) 1.(4 分 ) 的相反数是 ( ) A. B. - C. 3 D. -3 解析 ： - 的相反数是 . 答案： A. 2.(4 分 )下列计算正确的是 ( ) A. (a3)2=a5 B. a6a 3=a2 C. (ab)2=a2b2 D. (a+b)2=a2+b2 解析 ： A、底数不变指数相乘，故 A 错误； B、底数不变指数相减，故 B 错误； C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 C 正确； D、和的平方等于平方和加积的二倍，故 D 错误； 答案： C. 3.(4
2、分 )下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误 . 答案： B. 4.(4 分 )PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.000 002 5 米的颗粒物，将 0.000 002 5 用科学记数法表示为 ( ) A. 0.2510 -5 B. 2.510 -5 C. 2.510 -6 D. 2.510 -7 解析 ： 0.000
3、 002 5=2.510 -6； 答案： C. 5.(4 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. x -1 B. x2 C. 1x2 D. -1x2 解析 ： ，解 得： x -1，解 得： x2 ，则不等式组的解集是： -1x2 . 答案： D. 6.(4 分 )如图是由 5 个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，中间有 2 竖列，右边是 1 竖列 . 答案： B. 7.(4 分 )小亮和其他 5 个同学参加百米赛跑，赛场共设 1， 2， 3， 4，
4、5， 6 六个跑道，选手以随机抽签的方式确定各自的跑道 .若小亮首先抽签，则小亮抽到 1 号跑道的概率是 ( ) A. B. C. D. 1 解析 ： 赛场共设 1， 2， 3， 4， 5， 6 六个跑道， 小亮首先抽签，则小亮抽到 1 号跑道的概率是： . 答案： A. 8.(4 分 )一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是 ( ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 解析 ： 设所求正 n 边形边数为 n，由题意得 (n-2) 180=3602 解得 n=6.则这个多边形是六边形 . 答案： C. 9.(4 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB
5、 于点 E，则下列结论正确的是 ( ) A. OE=BE B. = C. BOC 是等边三角形 D. 四边形 ODBC 是菱形 解析 ： ABCD ， AB 过 O， DE=CE ， = ， 根据已知不能推出 DE=BE， BOC 是等边三角形，四边形 ODBC 是菱形 . 答案： B. 10.(4 分 )已知二次函数 y=-x2+2bx+c，当 x 1 时， y 的值随 x值的增大而减小，则实数 b的取值范围是 ( ) A. b -1 B. b -1 C. b1 D. b1 解析 ： 抛物线 y=-x2+2bx+c 的对称轴为直线 x=- =b， 而 a 0， 当 x b 时， y 随 x
6、的增大而减小， 当 x 1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， b1 . 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分 ) 11.(4 分 )计算： = . 解析 ： 原式 =2 =6. 答案： 6. 12.(4 分 )甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为 S2 甲 =0.9，S2 乙 =1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是 (填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ). 解析 ： S 2 甲 =0.9， S2 乙 =1.1， S 2 甲 S2 乙 ， 甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲； 答案： 甲 . 13.(4 分 )如图，在
7、四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 O， OA=OC， OB=OD，添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是 (写出一个即可 ). 解析 ： OA=OC ， OB=OD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 邻边相等的平行四边形是菱形， 添加的条件是 AB=AD(答案不唯一 )， 答案： AB=AD. 14.(4 分 )如图， AB 是 O 的直径，分别以 OA， OB 为直径作半圆 .若 AB=4，则阴影部分的面积是 . 解析 ： AB=4 ， BO=2 ， 圆的面积为： 2 2=4 ， 阴影部分的面积是： 4=2 ， 答案： 2 . 15.(4 分 )有
8、两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜 1500千克和 2100千克 .已知第二块试验田每亩的产量比第一块多 200千克 .若设第一块试验田每亩的产量为 x 千克，则根据题意列出的方程是 . 解析 ： 设第一块试验田每亩的产量为 x 千克，则第二块试验田每亩的产量为 (x+200)千克， 由题意得， = . 答案： = . 16.(4 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D， P是 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 . 解析 ： 找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于
9、P2，在半圆上取 P1，连接 AP1， EP1， 可见， AP1+EP1 AE，即 AP2是 AP 的最小值， AE= = ， P2E=1， AP 2= -1. 故答案为： -1. 三、解答题 (共 9 小题，满分 86 分 ) 17.(7 分 )解不等式 2(x-2) 1-3x，并把它的解集在数轴上表示出来 . 答案： 去括号得， 2x-4 1-3x，移项得， 2x+3x 1+4，合并同类项得， 5x 5，系数化为 1得， x 1.在数轴上表示为： . 18.(7 分 )先化简，再求值： (1+ ) ，其中 x= +1. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最
10、简结果，将 x的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = ， 当 x= +1 时，原式 = = . 19.(8 分 )如图，一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y= (x 0)的图象交于点 A(2， 1)，与 x 轴交于点 B. (1)求 k 和 b 的值； (2)连接 OA，求 AOB 的面积 . 解析 ： (1)分别把 A 点坐标代入 y=x+b 和 y= 中即可计算出 b 和 k 的值； (2)先确定 B 点坐标，然后根据三角形面积公式求解 . 答案： (1)把 A(2， 1)代入 y=x+b 得 2+b=1，解得 b=-1； 把 A(2， 1)代入 y= (x 0)得 k=
11、21=2 ； (2)一次函数解析式为 y=x-1，把 y=0 代入 y=x-1 得 x-1=0，解得 x=1，则 B 点坐标为 (1， 0)， 所以 AOB 的面积 = 11= . 20.(8 分 )如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角 是 20 ，小明种植的两棵树间的坡面距离 AB 是 6 米，要求相邻两棵树间的水平距离 AC 在 5.3 5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？ (参考数据： sin200.34 ， cos200.94 ， tan200.36 ) 解析 ： 在直角三角形中利用 20 角和 AB 的长求得线段 AC 的长后看是否在 5.3-5.7 范围内即可 .
12、 答案： 由题意得： RtACB 中， AB=6 米， A=20 ， AC=AB cosA60.94=5.64 ， 在 5.3 5.7 米范围内， 故符合要求 . 21.(10 分 )某学校在开展 “ 书香校园 ” 活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查 (每人只选一种书籍 )，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查的学生人数为 人，扇形统计图中 m 的值为 ； (2)补全条形统计图； (3)如果这所学校要添置学生课外阅读的书籍 1500 册，请你估计 “ 科普 ” 类书籍应添置多少册比较合适？ 解析 ： (1)用文学的人数和所占的百分
13、比求出总人数，用整体 1 减去文学、科普、军事所占的百分比，即可求出 m 的值； (2)用 200 乘以科普所占的百分比，求出科普的人数，再补全统计图几即可； (3)用课外阅读的书籍的册数乘以科普所占的百分比，即可得出答案 . 答案： (1)这次调查的学生人数为 =200(人 )， 扇形统计图中军事所占的百分比是： 1-35%-20%-30%=15%，则 m=15； 故答案为： 200， 15； (2)科普的人数是： 20030%=60 (人 )，补图如下： (3)根据题意得： 1500 =450(册 )， 答： “ 科普 ” 类书籍应添置 450 册比较合适 . 22.(10 分 )为了鼓励
14、居民节约用水，某市采用 “ 阶梯水价 ” 的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过 20 吨时，按每吨 2 元计费；每月用水量超过 20 吨时，其中的 20吨仍按每吨 2 元计费，超过部分按每吨 2.8 元计费，设每户家庭每月用水量为 x 吨时，应交水费 y元 . (1)分别求出 0x20 和 x 20 时， y 与 x 之间的函数表达式； (2)小颖家四月份、五月份分别交水费 45.6 元、 38 元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？ 解析 ： (1)因为月用水量不超过 20 吨时，按 2 元 /吨计费，所以当 0x20 时， y与 x 的函数表达式是 y=2x； 因为月用水量超
15、过 20 吨时，其中的 20 吨仍按 2 元 /吨收费，超过部分按2.8元 /吨计费，所以当 x 20时， y与 x的函数表达式是 y=220+2.8 (x-20)，即 y=2.6x-12； (2)由题意可得：因为五月份缴费金额不超过 40 元，所以用 y=2x 计算用水量；四月份缴费金额超过 40 元，所以用 y=2.8x-16 计算用水量，进一步得出结果即可 . 答案： (1)当 0x20 时， y 与 x 的函数表达式是 y=2x； 当 x 20 时， y 与 x 的函数表达式是 y=220+2.8 (x-20)=2.8x-16； (2)因为小颖家五月份的 水费都不超过 40 元，四月份
16、的水费超过 40 元， 所以把 y=38 代入 y=2x 中，得 x=19； 把 y=45.6 代入 y=2.8x-16 中，得 x=22. 所以 22-19=3 吨 . 答：小颖家五月份比四月份节约用水 3 吨 . 23.(10 分 )已知 AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的动点，点 D 是线段 AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持 CD=OA. (1)当直线 CD 与半圆 O 相切时 (如图 )，求 ODC 的度数； (2)当直线 CD 与半圆 O 相交时 (如图 )，设另一交点为 E，连接 AE，若 AEOC ， AE 与 OD 的大小有什么关系？为什么？ 求 ODC
17、 的度数 . 解析 ： (1)连接 OC，因为 CD 是 O 的切线，得出 OCD=90 ，由 OC=CD，得出 ODC=COD ，即可求得 . (2)连接 OE， 证明 AOEOCD ，即可得 AE=OD； 利用等腰三角形及平行线的性质，可求得 ODC 的度数 . 答案： (1)如图 ，连接 OC， OC=OA ， CD=OA， OC=CD ， ODC=COD ， CD 是 O 的切线， OCD=90 ， ODC=45 ； (2)如图 ，连接 OE. CD=OA ， CD=OC=OE=OA ， 1=2 ， 3=4 . AEOC ， 2=3 . 设 ODC=1=x ，则 2=3=4=x .AO
18、E=OCD=180 -2x. AE=OD .理由如下： 在 AOE 与 OCD 中， AOEOCD (SAS)， AE=OD . 6=1+2=2x .OE=OC ， 5=6=2x . AEOC ， 4+5+6=180 ，即： x+2x+2x=180 ， x=36 .ODC=36 . 24.(12 分 )如图 1，在 RtABC 中， ACB=90 ， AB=10， BC=6，扇形纸片 DOE 的顶点 O 与边AB 的中点重合， OD 交 BC 于点 F， OE 经过点 C，且 DOE=B . (1)证明 COF 是等腰三角形，并求出 CF 的长； (2)将扇形纸片 DOE 绕点 O 逆时针旋转
19、， OD， OE 与边 AC 分别交于点 M， N(如图 2)，当 CM 的长是多少时， OMN 与 BCO 相似？ 解析 ： (1)易证 OCB=B ，由条件 DOE=B 可得 OCB=DOE ，从而得到 COF 是等腰三角形，过点 F 作 FHOC ，垂足为 H，如图 1，由等腰三角形的三线合一 可求出 CH，易证CHFBCA ，从而可求出 CF 长 . (2)题中要求 “OMN 与 BCO 相似 ” ，并没有指明对应关系，故需分情况讨论，由于DOE=B ，因此 OMN 中的点 O 与 BCO 中的点 B 对应，因而只需分两种情况讨论：OMNBCO ， OMNBOC .当 OMNBCO 时
20、，可证到 AOMACB ，从而求出 AM长，进而求出 CM 长；当 OMNBOC 时，可证到 CONACB ，从而求出 ON， CN 长 .然后过点 M 作 MGON ，垂足为 G，如图 3，可以求出 NG.并可以证到 MGNACB ，从而求 出 MN长，进而求出 CM 长 . 答案： (1)ACB=90 ，点 O 是 AB 的中点， OC=0B=OA=5 .OCB=B ， ACO=A . DOE=B ， FOC=OCF .FC=FO .COF 是等腰三角形 . 过点 F 作 FHOC ，垂足为 H，如图 1， FC=FO ， FHOC ， CH=OH= ， CHF=90 . HCF=B ，
21、CHF=BCA=90 ， CHFBCA . = . CH= ， AB=10， BC=6， CF= .CF 的长为 . (2) 若 OMNBCO ，如图 2， 则有 NMO=OCB . OCB=B ， NMO=B . A=A ， AOMACB . = . ACB=90 ， AB=10， BC=6， AC=8 . AO=5 ， AC=8， AB=10， AM= .CM=AC -AM= . 若 OMNBOC ，如图 3，则有 MNO=OCB . OCB=B ， MNO=B . ACO=A ， CONACB . = = . BC=6 ， AB=10， AC=8， CO=5， ON= ， CN= . 过
22、点 M 作 MGON ，垂足为 G，如图 3， MNO=B ， MON=B ， MNO=MON .MN=MO . MGON ，即 MGN=90 ， NG=OG= . MNG=B ， MGN=ACB=90 ， MGNACB . = . GN= ， BC=6， AB=10， MN= .CM=CN -MN= - = . 当 CM 的长是 或 时， OMN 与 BCO 相似 . 25.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4与 x 轴的一个交点为 A(-2， 0)，与 y 轴的交点为 C，对称轴是 x=3，对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线的函数表达式； (2)经
23、过 B， C 的直线 l 平移后与抛物线交于点 M，与 x 轴交于点 N，当以 B， C， M， N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点 M 的坐标； (3)若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点 P，使得 PBDPBC ？若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)解析式已存在， y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出 a， b 即可 .由对称轴为 - ，又过点 A(-2， 0)，所以函数表达式易得 . (2)四边形 BCMN 为平行四边形，则必定对边平行且相等 .因为已知 MNBC ，所以 MN=BC，即M、 N 的位置如 B、 C 位置关系，
24、则可分 2 种情形， N 点在 M点右下方，即 M向下平行 4个单位，向右 2 个单位与 N 重合； M 点在 N 右下方，即 N 向下平行 4 个单位，向右 2 个单位与 M 重合 .因为 M 在抛物线，可设坐标为 (x， - x2+ x+4)，易得 N 坐标 .由 N 在 x 轴上，所以其纵坐标为 0，则可得关于 x 的方程，进而求出 x，求出 M 的坐标 . (3)使 PBDPBC ，易考虑 CBD 的平分线与抛物线的交点 .确定平分线可因为 BC=BD，可作等腰 BCD ，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出 P 即可 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+
25、bx+4 交 x 轴于 A(-2， 0)， 0=4a -2b+4， 对称轴是 x=3， - =3，即 6a+b=0， 两关于 a、 b 的方程联立解得 a=- ， b= ， 抛物线为 y=- x2+ x+4. (2) 四边形为平行四边形，且 BCMN ， BC=MN . N 点在 M 点右下方，即 M 向下平移 4 个单位，向右平移 2 个单位与 N 重合 . 设 M(x， - x2+ x+4)，则 N(x+2， - x2+ x)， N 在 x 轴上， - x2+ x=0，解得 x=0(M 与 C 重合，舍去 )，或 x=6， x M=6， M (6， 4). M 点在 N 右下方，即 N 向
26、下平行 4 个单位，向右 2 个单位与 M 重合 . 设 M(x， - x2+ x+4)，则 N(x-2， - x2+ x+8)， N 在 x 轴上， - x2+ x+8=0，解得 x=3- ，或 x=3+ ， x M=3- ，或 3+ .M (3- ， -4)或 (3+ ， -4) 综上所述， M 的坐标为 (6， 4)或 (3- ， -4)或 (3+ ， -4). (3)OC=4 ， OB=3， BC=5 .如果 PBDPBC ，那么 BD=BC=5， D 在 x 轴上， D 为 (-2， 0)或 (8， 0). 当 D 为 (-2， 0)时，连接 CD，过 B 作直线 BE 平分 DBC
27、 交 CD于 E，交抛物线于 P1， P2， 此时 P 1BCP 1BD， P 2BCP 2BD， BC=BD ， E 为 CD 的中点，即 E(-1， 2)， 设过 E(-1， 2)， B(3， 0)的直线为 y=kx+b，则 ， 解得 ， BE ： y=- x+ . 设 P(x， y)，则有 ，解得 ，或 ， 则 P1(4+ ， )， P2(4- ， ). 当 D 为 (8， 0)时，连接 CD，过 B 作直线 BF 平分 DBC 交 CD于 F，交抛物线于 P3， P4， 此时 P 3BCP 3BD， P 4BCP 4BD， BC=BD ， F 为 CD 的中点，即 E(4， 2)， 设过 E(4， 2)， B(3， 0)的直线为 y=kx+b，则 ，解得 ， BF ： y=2x-6. 设 P(x， y)，则有 ，解得 或 ， 则 P3(-1+ ， -8+2 )， P4(-1- ， -8-2 ). 综上所述，点 P的坐标为 (4+ ， )或 (4- ， )或 (-1+ ， -8+2 )或 (-1- ， -8-2 ).
