1、2014 年福建省南平市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分 .每小题只有一个正确的选项 ) 1.(4 分 )-4 的相反数 ( ) A. 4 B. -4 C. D. - 解析 ： -4 的相反数 4. 答案： A. 2.(4 分 )如图，几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看易得第一层有 4 个正方形，第二层从左起第二个有一个正方形 . 答案： B. 3.(4 分 )一个袋中只装有 3 个红球，从中随机摸出一个是红球 ( ) A. 可能性为 B. 属于不可能事件 C. 属于随机事件 D. 属于必然事件 解析 ： 因为袋中只
2、装有 3 个红球，所以从中随机摸出一个一定是红球，所以属于必然事件， 答案： D. 4.(4 分 )下列计算正确的是 ( ) A. (2a2)4=8a6 B. a3+a=a4 C. a2a=a D. (a-b)2=a2-b2 解析 ： A、 (2a2)4=16a8，故 A 选项错误； B、 a3+a，不是同类项不能计算，故 B 选项错误； C、 a2a=a ，故 C 选项正确； D、 (a-b)2=a2+b2-2ab，故 D 选项错误 . 答案： C. 5.(4 分 )将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起，则 1+2 的度数是 ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 180 解析 ：
3、 如图， ab ， 1=3 ， 2=4 .又 3=5 ， 4=6 ， 5+6=90 ， 1+2=90 . 答案： C. 6.(4 分 )下列说法正确的是 ( ) A. 了解某班同学的身高情况适合用全面调查 B. 数据 2、 3、 4、 2、 3 的众数是 2 C. 数据 4、 5、 5、 6、 0 的平均数是 5 D. 甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是 S =3.2， S =2.9，则甲组数据更稳定 解析 ： A、了解某班同学的身高情况适合全面调查，故 A 正确； B、数据 2、 3、 4、 2、 3 的众数是 2， 3，故 B 错误； C、数据 4、 5、 5、 6、 0 的平均数是
4、4，故 C 错误； D、方差越小越稳定，乙的方差小于甲得方差，乙的数据等稳定，故 D 错误 . 答案： A. 7.(4 分 )下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( ) A. 1， 2， 1 B. 1， 2， 2 C. 1， 2， 3 D. 1， 2， 4 解析 ： A、 1+1=2，不能组成三角形，故 A 选项错误； B、 1+2 2，能组成三角形，故 B 选项正确； C、 1+2=3，不能组成三角形，故 C 选项错误； D、 1+2 4，能组成三角形，故 D 选项正确； 答案： B. 8.(4 分 )一名老师带领 x 名学生到动物园参观，已知成人票每张 3
5、0 元，学生票每张 10 元 .设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系为 ( ) A. y=10x+30 B. y=40x C. y=10+30x D. y=20x 解析 ： 一名老师带领 x 名学生到动物园参观，已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元 .设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系为 y=10x+30， 答案： A. 9.(4 分 )如图， ABC 中， AD、 BE 是两条中线，则 SEDC ： SABC =( ) A. 1： 2 B. 2： 3 C. 1： 3 D. 1： 4 解析 ： ABC 中， AD、 BE 是两条中线， DE 是 AB
6、C 的中位线， DEAB ， DE= AB， EDCABC ， S EDC ： SABC =( )2= . 答案： D. 10.(4 分 )如图，将 1、 、 三个数按图中方式排列，若规定 (a， b)表示第 a 排第 b列的数，则 (8， 2)与 (2014， 2014)表示的两个数的积是 ( ) A. B. C. D. 1 解析 ： 每三个数一循环， 1、 ， (8， 2)在数列中是第 (1+7)72+2=30 个， 303=10 ， (8， 2)表示的数正好是第 10 轮的最后一个，即 (8， 2)表示的数是 ， (2014， 2014)在数列中是第 (1+2014)20142=2029
7、105 个， 20291053=6763681 ， (2014， 2014)表示的数正好是第 676369 轮的一个数，即 (2014， 2014)表示的数是 1， 1= ， 答案： B. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 .请将答案填入答题卡的相应位置 ) 11.(3 分 )请你写出一个无理数 . 解析 ： 由题意可得， 是无理数 . 答案： . 12.(3 分 )已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， PA=6，则 PB= . 解析 ： 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， PA=6， PB=PA=6 . 答案： 6. 13.(3 分 )五名学生的数学成绩如
8、下： 78、 79、 80、 82、 82，则这组数据的中位数是 . 解析 ： 将这组数据从小到大排列，中间的数为 80，所以中位数是 80. 答案： 80. 14.(3 分 )点 P(5， -3)关于原点的对称点的坐标为 . 解析 ： 5 的相反数是 -5， -3 的相反数是 3， 点 P(5， -3)关于原点的对称点的坐标为 (-5，3)， 答案： (-5， 3). 15.(3 分 )同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率为 . 解析 ： 可能出现的情况有：正正，正反，反正，反反，所以全部正面朝上的概率为 . 答案： 16.(3 分 )分解因式： a3-2a2+a= . 解析 ： a3
9、-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2. 答案： a(a-1)2. 17.(3 分 )将矩形 ABCD沿 AE 折叠，得到如图的图形 .已知 CEB=50 ，则 AEB= . 解析 ： AEB 是 AEB 沿 AE 折叠而得， AEB=AEB . 又 BEC=180 ，即 AEB+AEB+CEB=180 ， 又 CEB=50 ， AEB= =65 ， 答案： 65. 18.(3 分 )如图，等圆 O 1与 O 2相交于 A、 B 两点， O 1经过 O 2的圆心 O2，点 A 在 x 轴的正半轴上，两圆分别与 x 轴交于 C、 D 两点， y 轴与 O 2相切于点 O1，点 O1在
10、 y轴的负半轴上 . 四边形 AO1BO2为菱形； 点 D 的横坐标是点 O2的横坐标的两倍； ADB=60 ； BCD 的外接圆的圆心是线段 O1O2的中点 . 以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号 ) 解析 ： 如图 1 所示，连接 AO1， AO2， BO1， BO2， 圆 O 1与 O 2是等圆， AO 1=AO2=BO1=BO2， 四边形 AO1BO2为菱形，故 正确； AD 是 O 2的弦， O 2在线段 AD 的垂直平分线上， 点 D 的横坐标不是点 O2的横坐标的两倍，故 错误； 连接 O1O2， AB， BD， y 轴是 O 2的切线， O 1O2y 轴， AD 1O
11、2. 四边形 AO1BO2为菱形， ABO 1O2， O1E=O2E， BAD=90 ， BD 过点 O2， O 2E 是 ABD 的中位线， AD=O 1O2= BD， ADB=60 ，故 正确； 由 知， 2AD=BD， CD=BD=BC ， BCD 的外心是各边线段垂直平分线的交点， O 1O2的中点是 BCD 中位线的中点， BCD 的外接圆的圆心不是线段 O1O2的中点，故 错误 . 答案： . 三、解答题 (本大题共 8 小题，共 86 分 .请在答题卡的相应位置作答 ) 19.(14 分 )(1)计算： -( -3)0+( )-1+| -1|. (2)化简： ( - ) . 解析
12、 ： (1)原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案： (1)原式 =2-1+2+ -1=2+ ； (2)原式 = = . 20.(8 分 )解不等式组： . 解析 ： 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可 . 答案： 由 得： x 2， 由 得： 2-(x-1)0 ， 2-x+10 ， 3-x0 ， x3 ， 即不等式组的解集为 x 2. 21.(8 分 )如图，
13、已知 ABC 中，点 D 在 AC 上且 ABD=C ， 求证： AB2=AD AC. 解析 ： 利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得 ABDACB ，进一步得出 ，整理得出答案即可 . 答案： ABD=C ， A 是公共角， ABDACB ， ， AB 2=AD AC. 22.(10 分 )在 2014 年巴西世界杯足球赛开幕之前，某校团支部为了解本校学生对世界杯足球赛的关注情况，随机调查了部分学生对足球运动的喜欢程度，绘制成如下的两幅不完整的统计图 . 请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题： (1)随机抽查了 名学生； (2)补全图中的条形图； (3)若全校共有 500 名学生，
14、请你估计全校大约有多少名学生喜欢 (含 “ 较喜欢 ” 和 “ 很喜欢 ” )足球运动 . 解析 ： (1)用一般的人数除以它所占的百分比即可得抽查的学生总数； (2)用抽查的学生总数减去不喜欢、一般、很喜欢的学生人数，得到较喜欢的人数，再补全图中的条形图即可； (3)用全校的学生数乘以学生喜欢 (含 “ 较喜欢 ” 和 “ 很喜欢 ” )足球运动所占的百分比即可 . 答案： (1)1020%=50 (名 )， 故答案为： 50； (2)50-5-10-15=20(名 )，补全统计图如下： (3)500 (1-10%-20%)=350(名 ). 答：全校约有 350 名学生喜欢足球运动 . 2
15、3.(10 分 )如图，已知直线 AB 经过 O 上的点 C，且 OA=OB， CA=CB. (1)求证：直线 AB 是 O 的切线 . (2)若 A=34 ， AC=6，求 O 的周长 .(结果精确到 0.01) 解析 ： (1)连接 OC，根据等腰三角形的性质求出 OCAB ，根据切线的判定得出即可； (2)解直角三角形求出 OC，即可求出答案 . 答案： (1)连接 OC， OA=OB ， CA=CB， OCAB ， AB 是 O 的切线 . (2) 由 (1)得 OCAB ， ACO=90 ， OC=AC tan34=6tan344.047 ， O 的周长 =2 OC=23.1424.
16、04725.43 . 24.(10 分 )如图，已知反比例函数 y= 与一次函数 y=kx+b 的图象相交于 A(4， 1)、 B(a， 2)两点，一次函数的图象与 y 轴的交点为 C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点 D 的坐标为 (1， 0)，求 ACD 的面积 . 解析 ： (1)把点 A、 B 的坐标代入反比例函数解析式，求得 m、 a 的值；然后把点 A、 B 的坐标分别代入一次函数解析式来求 k、 b 的值； (2)利用一次函数图象上点的坐标特征求得点 C 的坐标；然后由 SACD =S 梯形 AEOC-SCOD -SDEA 进行解答 . 答案： (1) 点 A
17、(4， 1)在反比例函数 y= 上， m=xy=41=4 ， . 把 B(a， 2)代入 ，得 2= ， a=2 ， B (2， 2). 把 A(4， 1)， B(2， 2)代入 y=kx+b 解得 ， 一次函数的解析式为 ； (2) 点 C 在直线 AB 上， 当 x=0 时， y=3， C (0， 3) 过 A 作 AEx 轴于 E. S ACD =S 梯形 AEOC-SCOD -SDEA = =5. 25.(12 分 )如图，已知抛物线 y=- +bx+c 图象经过 A(-1， 0)， B(4， 0)两点 . (1)求抛物线的解析式； (2)若 C(m， m-1)是抛物线上位于第一象限内
18、的点， D 是线段 AB 上的一个动点 (不与 A、 B重合 )，过点 D 分别作 DEBC 交 AC 于 E， DFAC 交 BC于 F. 求证：四边形 DECF 是矩形； 连接 EF，线段 EF 的长是否存在最小值？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)根据待定系数法即可求得； (2)把 C(m， m-1)代入 求得点 C 的坐标，从而求得 AH=4， CH=2， BH=1， AB=5，然后根据 ， AHC=BHC=90 得出 AHCCHB ，根据相似三角形的对应角相等求得 ACH=CBH ，因为 CBH+BCH=90 所以 ACH+BCH=90 从而求得
19、 ACB=90 ，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形 DECF 是平行四边形，进而求得DECF 是矩形； (3)根据矩形的对角线相等，求得 EF=CD，因为当 CDAB 时， CD 的值最小，此时 CD 的值为2，所以 EF 的最小值是 2； 答案： (1) 抛物线 y=- +bx+c 图象经过 A(-1， 0)， B(4， 0)两点， 根据题意，得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式为： ； (2) 证明： 把 C(m， m-1)代入 得 ，解得： m=3 或 m=-2， C (m， m-1)位于第一象限， ， m 1， m= -2 舍去， m=3 ， 点 C 坐标为 (3， 2
20、)， 过 C 点作 CHAB ，垂足为 H，则 AHC=BHC=90 ， 由 A(-1， 0)、 B(4， 0)、 C(3， 2)得 AH=4， CH=2， BH=1， AB=5 ， AHC=BHC=90AHCCHB ， ACH=CBH ， CBH+BCH=90 ACH+BCH=90ACB=90 ， DEBC ， DFAC ， 四边形 DECF 是平行四边形， DECF 是矩形； 存在；连接 CD. 四边形 DECF 是矩形， EF=CD ， 当 CDAB 时， CD 的值最小， C (3， 2)， DC 的最小值是 2， EF 的最小值是 2； 26.(14 分 )在图 1、图 2、图 3、
21、图 4 中，点 P在线段 BC上移动 (不与 B、 C重合 )， M 在 BC的延长线上 . (1)如图 1， ABC 和 APE 均为正三角形，连接 CE. 求证： ABPACE . ECM 的度数为 . (2) 如图 2，若四边形 ABCD 和四边形 APEF 均为正方形，连接 CE.则 ECM 的度数为 . 如图 3，若五边形 ABCDF 和五边形 APEGH 均为正五边形，连接 CE.则 ECM 的度数为 . (3)如图 4， n 边形 ABC 和 n 边形 APE 均为正 n边形，连接 CE，请你探索并猜想 ECM 的度数与正多边形边数 n 的数量关系 (用含 n 的式子表示 ECM
22、 的度数 )，并利用图 4(放大后的局部图形 )证明你的结论 . 解析 ： (1) 由 ABC 与 APE 均为正三角形得出相等的角与边，即可得出 ABPACE . 由 ABPACE ，得出 ACE=B=60 ，即可得出 ECM 的度数 . (2) 作 ENBN ，交 BM 于点 N，由 ABPACE ，利用角及边的关系，得出 CN=EN，即可得出 ECM 的度数 . 作 ENBN ，交 BM 于点 N，由 ABPACE ，得出角及边的关系，得出 CN=EN，即可得出ECM 的度数 . (3)过 E 作 EKCD ，交 BM 于点 K，由正多边形的性质可得出 ABPPKE ，利用角及边的关系，
23、得出 CK=KE，即 EKC 是等腰三角形，根据多边形的内角即可求出 ECM 的度数 . 答案： (1) 如图 1， ABC 与 APE 均为正三角形， AB=AC ， AP=AE， BAC=PAE=60 ，BAC -PAC=PAE -PAC 即 BAP=CAE ， 在 ABP 和 ACE 中， ， ABPACE (SAS). ABPACE ， ACE=B=60 ， ACB=60 ， ECM=180 -60 -60=60 . 故答案为： 60. (2) 如图 2，作 ENBN ，交 BM 于点 N 四边形 ABCD 和 APEF 均为正方形， AP=PE ， B=ENP=90 ， BAP+AP
24、B=EP M+APB=90 ，即 BAP=NPE ， 在 ABP 和 PNE 中， ， ABPACE (AAS).AB=PN ， BP=EN， BP+PC=PC+CN=AB ， BP=CN ， CN=EN ， ECM=CEN=45 如图 3，作 ENCD 交 BM 于点 N， 五边形 ABCDF 和 APEGH 均为正五边方形， AP=PE ， B=BCD ， ENCD ， PNE=BCD ， B=PNE BAP+APB=EPM+APB=180 -B ，即 BAP=NPE ， 在 ABP 和 PNE 中， ， ABPACE (AAS).AB=PN ， BP=EN， BP+PC=PC+CN=AB
25、 ， BP=CN ， CN=EN ， NCE=NEC ， CNE=BCD=108 ， ECM=CEN= (180 -CNE )= (180 -108 )=36 . 故答案为： 45， 36. (3)如图 4 中，过 E 作 EKCD ，交 BM 于点 K， n 边形 ABC 和 n 边形 APE 为正 n 边形， AB=BC ， AP=PE， ABC=BCD=APE= APK=ABC+BAP ， APK=APE+EP KBAP=KPE EKCD ， BCD=PKE ABP=PKE ， 在 ABP 和 PKE 中， ， ABPPKE (AAS)BP=EK ， AB=PK， BC=PK ， BC -PC=PK-PC， BP=CK ， CK=KE ， KCE=KEC ， CKE=BCD= ECK= .
