1、 2014 年福建省福州市延安中学中考数学模拟试卷 一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，满分 40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 的倒数是（ ） A. 2 B.2 C. D. 解析： 乘积是 1 的两数互为倒数 ， 的倒数为 2. 答案： A. 2.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化， 1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即 1.4960 亿千米 .用科学记数法表示 1 个天文单位应是（ ） A.1.496010 7千米 B.14.96010 7千米 C.1.496010 8千米 D.0.1496010 8千米 解析： 科学记数法的表示形式为
2、a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案： C. 3.民族图案是数学文化中的一块瑰宝 .下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 . 答案 ：
3、 C. 4.如图，已知 a b， 1=40 ，那么 2 的大小为（ ） A.50 B.45 C.40 D.30 解析：如图， 3= 1=40 ， a b， 2= 3=40 . 答案 ： C. 5.下列计算正确的是（ ） A.a+a=a2 B.a2 a3=a6 C.（ a3） 2= a6 D.a7a 5=a2 解析： A、 a+a=2a，故本选项错误； B、 a2 a3=a5，故本选项错误； C、（ a3） 2=a6，故本选项错误； D、 a7a 5=a7 5=a2，故本选项正确 . 答案 ： D. 6.如果单项式 2xa+1y3与 x2yb是同类项，那么 a， b 的值分别为（ ） A.a=1
4、， b=3 B.a=1， b=2 C.a=2， b=3 D.a=2， b=2 解析： 单项式 2xa+1y3与 x2yb是同类项， ， 解得： . 答案 ： A. 7.反比例函数 y= 和正比例函数 y=mx 的部分图象如图，由此可以得到方程 =mx 的实数根为（ ） A.x=1 B.x=2 C.x1=1， x2= 1 D.x1=1， x2= 2 解析：如图， 反比例函数 y= 和正比例函数 y=mx 相交于点 C（ 1， 2）， 另一个交点为：（ 1， 2）， 方程 =mx 的实数根为： x1=1， x2= 1. 答案 ： C. 8.有一根 1m 长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 0.06m
5、2的长方形？设长方形的长为 xm，依题意，下列方程正确的是（ ） A.x（ 1 x） =0.06 B.x（ 1 2x） =0.06 C.x（ 0.5 x） =0.06 D.2x（ 1 2x） =0.06 解析： 设长方形的长为 xm，则设长方形的宽为（ 0.5 x） m，由题意，得 x（ 0.5 x） =0.06. 答案 ： C. 9.如图，将周长为 8 的 ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到 DEF，则四边形 ABFD 的周长为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 解析： 根据题意，将周长为 8 的 ABC 沿 BC 方向向右平移 1 个单位得到 DEF， AD=1， BF=B
6、C+CF=BC+1， DF=AC； 又 AB+BC+AC=8， 四边形 ABFD 的周长 =AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10. 答案 ： C. 10.如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、 B 两点，其顶点 P 在折线 C D E 上移动，若点 C、D、 E 的坐标分别为（ 1， 4）、（ 3， 4）、（ 3， 1），点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A 的横坐标的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析： 由图知：当点 B 的横坐标为 1 时，抛物线顶点取 C（ 1， 4），设该抛物线的解析式为： y=a（ x+1） 2+4，代入点 B 坐标，得： 0=
7、a（ 1+1） 2+4， a= 1， 即： B 点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为： y=（ x+1） 2+4. 当 A 点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取 E（ 3， 1），则此时抛物线的解析式： y=（ x3） 2+1= x2+6x 8=（ x 2）（ x 4），即与 x 轴的交点为（ 2， 0）或（ 4， 0）（舍去）， 点 A 的横坐标的最大值为 2. 答案 ： B. 二、填空题（共 5 小题，每题 4 分，满分 20分；请将正确答案填在答题卡相应位置） 11.分解因式： a3 a= . 解析： a3 a， =a（ a2 1）， =a（ a+1）（ a 1） . 答案 ： a（ a+
8、1）（ a 1） . 12.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员成绩如下表 成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数（个） 2 3 3 2 4 1 则这些运动员成绩的中位数是 米 . 解析： 按从小到大的顺序排列后， 最中间的数是 1.65， 所以中位数是 1.65（米） . 答案 ： 1.65. 13.已知 是方程 2x+ay=5 的解，则 a= . 解析：把 代入方程 2x+ay=5 得： 4+a=5， 解得： a=1， 答案 ： 1. 14.如图是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图都是腰为 13cm，底为 10cm 的等腰三角形
9、，则这个几何体的侧面积是 cm2. 解析： 易得此几何体为圆锥，底面直径为 10cm，母线长为 13cm， 圆锥的底面半径为 5cm， 这个几何体的侧面积为 513=65cm 2. 答案： 65 15.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图 ；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图 ；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图 ；如此反复操作下去，则第 2013 个图形中直角三角形的个数有 个 . 解析：图 图 的直角三角形的个数相同，都是 4， 4=41 ， 图 图 的直角三角形的个数相同，都是 8， 8=42 ， ， 图 2013 图 2014 的直角三角形
10、的个数相同，都是 4 =4028. 答案 ： 4028. 三、解答题（满分 90 分） 16.（ 1）计算： 2sin60+| 3| （ ） 1 （ 2）先化简，再求值 ，其中 x 满足方程 x2+4x 5=0. 解析： （ 1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果； （ 2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程的解得到 x 的值，代入计算即可求出值 . 答案 ： （ 1）原式 =2 +3 2 3= ； （ 2）原式 = = = ， 方程 x2+
11、4x 5=0，分解因式得：（ x 1）（ x+5） =0， 解得： x=1（不合题意，舍去）或 x= 5， 则原式 = . 17.如图，在 ABC 中， ABC=45 ，高线 AD 和 BE 交于点 F.求证： CD=DF. 解析： 由 AD 与 BE 为两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用内角和定理得到 CAD= FBD，根据 ABC=45 ，得到三角形 ABD 为等腰直角三角形，即 AD=BD，利用ASA 得到三角形 ADC 与三角形 BDF 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证 . 答案 ： AD、 BE 是 ABC 的高线， AD BC， BE AC， ADB= AD
12、C=90 ， AEB=90 ， ABC=45 ， ADB 是等腰直角三角形， AD=BD， EBC+ BFD=90 ， CAD+ AFE=90 ， AFE= BFD， CAD= EBC， 在 BDF 和 ADC 中， ， BDF ADC（ ASA）， CD=DF. 18. ABC 在平面直角坐标系 x y 中的位置如图所示 . （ 1）作 ABC 关于原点成中心对称的 A1B1C1. （ 2）画出 ABC 绕点 B 顺时针旋转 90 所得的 A2B2C2，并求出 A点所经过的路线长 . 解析： （ 1）利用网格结构找出点 A、 B、 C 原点成中心对称的 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连
13、接即可； （ 2）根据网格结构找出点 A、 B、 C 绕点 B 顺时针旋转 90 后的对应点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可；利用勾股定理列式求出 AB，再根据弧长公式列式计算即可得解 . 答案 ： （ 1） A1B1C1如图所示； （ 2） A2B2C2如图所示； 由勾股定理得， AB= = ， A 点所经过的路线长 = = . 19.初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况 .以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （ 1）这次抽查的样本容量是 ； （
14、2）请补全上述条形统计图和扇形统计图； （ 3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是 “ 不常用 ” 计算器的概率是多少？ 解析： （ 1）根据条形图知道常用计算器的人数有 100 人，从扇形图知道常用计算器的占62.5%，从而可求出解； （ 2）用样本容量减去常用计算器的人数和不用计算器的人数求出不常用计算器的人数，再算出各部分的百分比补全条形图和扇形图； （ 3）学生 恰好抽到 “ 不常用 ” 计算器的概率是 “ 不常用 ” 计算器的学生数除以抽查的学生人数 . 答案 ： （ 1） 10062.5%=160 . 即这次抽查的样本容量是 160. 故答案为 160； （ 2）不常
15、用计算器的人数为： 160 100 20=40； 不常用计算器的百分比为： 40160=25% ， 不用计算器的百分比为： 20160=12.5% . 条形统计图和扇形统计图补全如下： （ 3） “ 不常用 ” 计算器的学生数为 40，抽查的学生人数为 160， 从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是 “ 不常用 ” 计算器的概率是：. 答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是 “ 不常用 ” 的概率是 . 20.某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件，如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少买 10 件（每件售价不能高于 72 元），
16、设每件商品的售价上涨 x元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元 . （ 1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （ 2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 解析： （ 1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式 . （ 2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当 x=5 时得出 y 的最大值 . 答案 ： （ 1）设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数）， 则每件商品的利润为：（ 60 50+x）元， 总销量为：（ 200 10x）件， 商品利润为： y=（
17、60 50+x）（ 200 10x）， =（ 10+x）（ 200 10x）， = 10x2+100x+2000. 原售价为每件 60 元，每件售价不能高于 72 元， 0 x12 且 x 为正整数； （ 2） y= 10x2+100x+2000， = 10（ x2 10x） +2000， = 10（ x 5） 2+2250. 故当 x=5 时，最大月利润 y=2250 元 . 这时售价为 60+5=65（元） . 21.如图，在菱形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上的一点，且 PA=PD， 为 APD 的外接圆 . （ 1）试判断直线 AB 与 的位置关系，并说明理由； （ 2）若 A
18、C=8， tan DAC= ，求 的半径 . 解析： （ 1）连结 P、 A， P 交 AD 于 E，由 PA=PD 得弧 AP=弧 DP，根据垂径定理的推理得 P AD， AE=DE，则 1+ PA=90 ，而 AP= PA，所以 1+ AP=90 ，再根据菱形的性质得 1= 2，所以 2+ AP=90 ，然后根据切线的判定定理得到直线 AB与 相切； （ 2）连结 BD，交 AC 于点 F，根据菱形的性质得 DB 与 AC互相垂直平分，则 AF=4， tanDAC= = ， DF=2，理由勾股定理计算出 AD=2 ，所以 AE= ，在 Rt PAE 中，利用正切的定义得 tan 1= =
19、，则 PE= ，设 的半径为 R，则 E=R ， A=R，在 Rt AE中根据勾股定理得到 R2=（ R ） 2+（ ） 2，解得 R= . 答案 ：（ 1）直线 AB 与 相切 .理由如下： 连结 P、 A， P 交 AD 于 E，如图， PA=PD， 弧 AP=弧 DP， P AD， AE=DE， 1+ PA=90 ， P= A， AP= PA， 1+ AP=90 ， 四边形 ABCD 为菱形， 1= 2， 2+ AP=90 ， A AB， 直线 AB 与 相切； （ 2）连结 BD，交 AC 于点 F，如图， 四边形 ABCD 为菱形， DB 与 AC 互相垂直平分， AC=8， tan
20、 DAC= ， AF=4， tan DAC= = ， DF=2， AD= =2 ， AE= ， 在 Rt PAE 中， tan 1= = ， PE= ， 设 的半径为 R，则 E=R ， A=R， 在 Rt AE 中， A2= E2+AE2， R2=（ R ） 2+（ ） 2， R= ， 即 的半径为 . 22.如图，矩形 ABCD 中， ，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，过点 D 作 DF AE，垂足为点 F. （ 1）设 BE=x， ADF 的余切值为 y，求 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）若存在点 E，使得 ABE、 ADF 与四边形 CDFE 的面积比是 3： 4
21、： 5，试求矩形 ABCD的面积； （ 3）对（ 2）中求出的矩形 ABCD，连接 CF，当 BE 的长为多少时， CDF 是等腰三角形？ 解析： （ 1）根据已知条件矩形 ABCD 和 DF AE，证 ABE DFA，从而求出 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）假设存在，由题意 ABE、 ADF 与四边形 CDFE 的面积比是 3： 4： 5，可得 BE= BC，设 BE=x，证 ABE DFA，根据三角形的相似比，从而求解； （ 3）过点 C作 CM DF，垂足为点 M，判断 CDF 是等腰三角形，要分类 讨论， CF=CD； DF=DC； FD=FC，根据三角形相似进行求解 . 答案
22、 ： （ 1） DF AE， DFA=90 又 B=90 ， AD BC， DAE= AEB， ABE DFA， ， ； （ 2） ABE： ADF：四边形 CDFE 的面积比是 3： 4： 5， ， ， 设 BE=x，则 BC=2x， ABE DFA，且 ABE： ADF=3： 4 ， ， 解得 x=1， BC=2， ； （ 3） CF=CD 时，过点 C 作 CM DF，垂足为点 M， 则 CM AE， DM=MF， 延长 CM 交 AD 于点 G， AG=GD=1， CE=1， 当 BE=1 时， CDF 是等腰三角形； DF=DC 时，则 DC=DF= ， DF AE， AD=2， D
23、AE=45 ，（ 1 分） 则 BE= ， 当 BE= 时， CDF 是等腰三角形； FD=FC 时，则点 F 在 CD 的垂直平分线上，故 F 为 AE 中点 . AB= ， BE=x， AE= ， AF= ADF EAB， ， ， x2 4x+2=0， 解得 ， 当 BE= 时， CDF 是等腰三角形 . 23.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）经过点 A（ 3， 0）、 B（ 1， 0）、 C（ 2， 1），交 y 轴于点 M. （ 1）求抛物线的表达式； （ 2） D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度
24、的最大值，并求此时点 D 的坐标； （ 3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、 A、 N为顶点的三角形与 MA 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： （ 1）把点 A、 B、 C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组 ，通过解该方程组即可求得系数的值； （ 2）由（ 1）中的抛物线解析式易求点 M 的坐标为（ 0， 1） .所以利用待定系数法即可求得直线 AM 的关系式为 y= x+1.由题意设点 D 的坐标为（ ），则点 F的坐标为（ ） .易求DF= = .根据二次函数最值的求法来求线段
25、 DF 的最大值； （ 3）需要对点 P 的位置进行分类讨论：点 P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况 .此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行 答案 . 答案 ： 由题意可知 .解得 . 抛物 线的表达式为 y= . （ 2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1. 点 M 的坐标为（ 0， 1） . 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 . 解得 . 直线 MA 的表达式为 y= x+1. 设点 D 的坐标为（ ），则点 F 的坐标为（ ） . DF= = . 当 时， DF 的最大值为 . 此时 ，即点 D 的坐标为（ ） . （ 3）存在点 P，使得以点 P、 A、 N
26、为顶点的三角形与 MA 相似 .设 P（ m， ） . 在 Rt MA 中， A =3M ，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限 . 设点 P 在第二象限时， 点 P 不可能在直线 MN 上， 只能 PN=3AN， ，即 m2+11m+24=0.解得 m= 3（舍去）或 m= 8.又 3 m 0，故此时满足条件的点不存在 . 当点 P 在第三象限时， 点 P 不可能在直线 MA 上， 只能 PN=3AN， ，即 m2+11m+24=0. 解得 m= 3 或 m= 8.此时点 P 的坐标为（ 8， 15） . 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则 3 ，即 m2+m 6=0. 解得 m= 3（舍去）或 m=2. 当 m=2 时， .此时点 P 的坐标为（ 2， ） . 若 PN=3NA，则 ，即 m2 7m 30=0. 解得 m= 3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（ 10， 39） . 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（ 8， 15）、（ 2， ）、（ 10， 39） .
