1、 2014 年福建省福州市延安中学中考模拟数学（ 5） 一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，满分 40分） 1.计算 3+3 的结果是（ ） A.0 B. 6 C.9 D. 9 解析： 根据有理数的加法运算法则 ， 3 与 3 互为相反数，且互为相反数的两数和为 0. 3+3=0. 答案： A. 2.如图， ABCD ， BAC=120 ，则 C 的度数是（ ） A.30 B.60 C.70 D.80 解析： 根据两直线平行，同旁内角互补由 ABCD 得到 A+C=180 ，然后把 BAC=120 代入计算 . C=180 120=60 . 答案： B. 3.节约是一种美德，节约是一种智
2、慧 .据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约 3亿 5千万人 .350 000 000 用科学记数法表示为（ ） A.3.510 7 B.3.510 8 C.3.510 9 D.3.510 10 解析： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值是易错点，由于 350 000 000 有 9 位，所以可以确定 n=9 1=8. 答案： B. 4.下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析： 根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可 . 答案： C
3、. 5.已知 b 0，关于 x 的一元二次方程（ x 1） 2=b 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 解析： （ x 1） 2=b 中 b 0， 没有实数根， 答案 ： C. 6.一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 解析：数轴上表示的解集： 1 x2 ， B 不等式组的解集是大于，小于等于 2， 答案： B. 7. “ 赵爽弦图 ” 是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） .随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形（阴影部分）的概
4、率是 ，则大、小两个正方形的边长之比是（ ） A.3： 1 B.8： 1 C.9： 1 D.2 ： 1 解析： 针扎到小正方形（阴影部分）的概率是 ， = ， 大、小两个正方形的边长之比是 3： 1； 答案： A. 8.如图，已知 ABC ，以点 B 为圆心， AC 长为半径画弧；以点 C 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，且 A、 D在 BC 同侧，连接 AD，量一量线段 AD 的长，约为（ ） A.1.0cm B.1.4cm C.1.8cm D.2.2cm 解析：如图所示： 测量可得 AD=1.4cm. 答案 ： B. 9.有一种公益叫 “ 光盘 ” .所谓 “ 光盘 ” ，就
5、是吃光你盘子中的 食物，杜绝 “ 舌尖上的浪费 ” .某校九年级开展 “ 光盘行动 ” 宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次折线统计图，下列说法正确的是（ ） A.极差是 40 B.中位数是 58 C.平均数大于 58 D.众数是 5 解析： A、极差是 80 45=35，故本选项错误； B、按照从小到大的顺序排列如下： 45、 50、 58、 59、 62、 80， 第 3、 4 两个数分别是 58、 59， 所以，中位数是 58.5，故本选项错误； C、平均数 = （ 50+80+59+45+58+62） = 354=59 58，故本选项正确； D、 6 个数据均是出现一次，所以众数是
6、45、 50、 58、 59、 62、 80，故本选项错误 . 答案： C. 10.已知一个函数中，两个变量 x 与 y 的部分对应值如下表： x 2 2+ 1 +1 y 2+ 2 +1 1 如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（ ） A.x 轴 B.y 轴 C.直线 x=1 D.直线 y=x 解析：由表格可得： y= ， 故可得这个函数图象是轴对称图形，对称轴是 y=x. 答案： D. 二、填空题 11.分解因式： m2 10m= . 解析： m2 10m=m（ m 10）， 答案 ： m（ m 10） . 12.如图， A+B+C+D= 度 . 解析： 由四边形内角和等于 360
7、 ，可得 A+B+C+D=360 度 . 答案 ： 360. 13.在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限 . 解析： 在一次函数 y=kx+2 中， y 随 x 的增大而增大， k 0， 2 0， 此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限 . 答案 ：四 . 14.若方程组 ，则 3（ x+y）（ 3x 5y）的值是 . 解析： ， 3 （ x+y）（ 3x 5y） =37 （ 3） =21+3=24. 答案 ： 24. 15.将三角形纸片（ ABC ）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B ，折痕为 EF.已知 AB
8、=AC=3，BC=4，若以点 B 、 F、 C 为顶点的三角形与 ABC 相似，那么 BF 的长度是 . 解析： 根据 BFC 与 ABC 相似时的对应关系，有两种情况： BFCABC 时， = ， 又 AB=AC=3 ， BC=4， BF=BF ， = ， 解得 BF= ； BCFBCA 时， = ， AB=AC=3， BC=4， BF=CF ， BF=BF ， 而 BF+FC=4，即 2BF=4， 解得 BF=2. 故 BF 的长度是 或 2. 答案 ： 或 2. 二、 解答 题（满分 95 分 ） 16.（ 1）计算：（ +3 ） 0 | 2013|+ （ 2）已知 a2+2a= 1，求
9、 2a（ a+1）（ a+2）（ a 2）的值 . 解析： （ 1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，最后一项先利用二次根式的化简公式计算，再约分即可得到结果； （ 2） 所求式子第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式的值代入计算即可求出值 . 答案 ：（ 1）原式 =1 2013+8 =1 2013+1= 2011； （ 2）原式 =2a2+2a a2+4=a2+2a+4， a 2+2a= 1， 原式 = 1+4=3. 17.如图，在 ABC 中， AB=AC，点 D、 E、 F 分别是 ABC
10、三边的中点 . 求证：四边形 ADEF 是菱形 . 解析： 利用三角形中位线的性质得出 DE AC， EF AB，进而得出四边形 ADEF 为平行四边形 .，再利用 DE=EF即可得出答案 . 答案 ： D 、 E、 F 分别是 ABC 三边的中点， DE AC， EF AB， 四边形 ADEF 为平行四边形 . 又 AC=AB ， DE=EF . 四边形 ADEF 为菱形 . 18.（ 11 分）一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米 /时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 解析： 设江水流速为 v 千米 /时
11、，则顺水速 =静水速 +水流速，逆水速 =静水速水流速 .根据顺流航行 100 千米所用时间，与逆流航行 60 千米所用时间相等，列方程求解 . 答案 ： 设江水流速为 v 千米 /时，由题意得 ， 解得 v=5， 经检验 v=5 是方程的解 . 答：江水流速为 5 千米 /时 . 19.有一个袋中摸球的游戏 .设置了甲、乙两种不同的游戏规则： 甲规则： 乙规则： 第一次 第二次 红 1 红 2 黄 1 黄 2 红 1 （红 1，红 1） （红 2，红 1） （黄 1，红 1） 红 2 （红 1，红 2） （红 2，红 2） （黄 1， 红 2） （黄 2，红 2） 黄 1 （红 1，黄 1）
12、 （黄 1，黄 1） （黄 2，黄 1） 黄 2 （红 1，黄 2） （红 2，黄 2） （黄 1，黄 2） （黄 2，黄 2） 请根据以上信息回答下列问题： （ 1）袋中共有小球 个，在乙规则的表格中 表示 ， 表示 ； （ 2）甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后 （填 “ 放回 ” 或 “ 不放回 ” ），再随机摸出一个小球； （ 3）根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由 . 解析： （ 1）观察树状图与表格，即可得袋中共有小球 4 个，在乙规则的表格中 表示（红 2，黄 1）， 表示（黄2，红 1）； （ 2）由树状图可得甲的游戏规则是：随机摸出一个
13、小球后不放回，再随机摸出一个小球； （ 3）分别由树状图与表格，求得摸到颜色相同的小球的概率，比较大小，即可知哪一种可能性要大 . 答案 ： （ 1） 由树状图可得袋中共有 2 个红色小球与 2 个黄色小球， 袋中共有小球 4 个； 在乙规则的表格中 表示：（红 2，黄 1）； 表示（黄 2，红 1） . 答案 ： 4；（红 2，黄 1）；（黄 2，红 1）； （ 2）甲的游戏规则是：随机摸出 一个小球后 不放回（填 “ 放回 ” 或 “ 不放回 ” ），再随机摸出一个小球； 故答案为：不放回； （ 5 分） （ 3）乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大 . 理由： 在甲游戏规则中，从树形
14、图看出，所有可能出现的结果共有 12 种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有 4 种 . （ 6 分） P （颜色相同） = = . （ 7 分） 在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有 16 种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有 8 种 . （ 8 分） P （颜色相同） = = . （ 9 分） ， 乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大 . 20.如图，由 6 个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格 .小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点 .已知小矩形较短边长为 1， ABC 的顶点都在格点上 . （ 1）格点 E、 F 在 BC 边上，
15、的值是 ； （ 2）按要求画图：找出格点 D，连接 CD，使 ACD=90 ； （ 3）在（ 2）的条件下，连接 AD，求 tanBAD 的值 . 解析： （ 1）根据图形即可得出 AF=2BE，代入求出即可； （ 2）根据图形找出 D 点即可； （ 3）求出 AB 和 BD 值，求出 ABD=90 ，根据锐角三角函数的定义求出即可 . 答案 ： （ 1）由图形可知： = = ， 答案 ： . （ 2）如图点 D， 连接 CD. （ 3）连接 BD， BED=90 ， BE=DE=1， EBD=EDB=45 ， BD= = = ， 由（ 1）可知 BF=AF=2，且 BFA=90 ， ABF=
16、BAF=45 ， AB= =2 ， ABD=ABF+FBD=45+45=90 . tanBAD= = = . 21.如图，半径为 2 的 E 交 x 轴于 A、 B，交 y轴于点 C、 D，直线 CF 交 x 轴负半轴于点 F，连接 EB、 EC.已知点 E的坐标为（ 1， 1）， OFC=30 . （ 1）求证：直线 CF 是 E 的切线； （ 2）求证： AB=CD； （ 3）求图中阴影部分的面积 . 解析： （ 1）首先过点 E 作 EGy 轴于点 G，由点 E 的坐标为（ 1， 1），可得 EG=1.继而可求得 ECG 的度数，又由OFC=30 ， FOC=90 ，可求得 FCE=OC
17、F+ECG=90 . （ 2）首先过点 E 作 EHx 轴于点 H，易证得 RtCEGRtBEH ，又由 EHAB ， EGCD ，则可证得 AB=CD； （ 3）连接 OE，可求得 OC= +1 与 OEB+OEC=210 ，继而可求得阴影部分的面积 . 答案 ： （ 1）过点 E 作 EGy 轴于点 G， 点 E 的坐标为（ 1， 1）， EG=1 . 在 RtCEG 中， sinECG= = ， ECG=30 . OFC=30 ， FOC=90 ， OCF=180 FOC OFC=60 . FCE=OCF+ECG=90 . 即 CFCE . 直线 CF 是 E 的切线 . （ 2）过点
18、E 作 EHx 轴于点 H， 点 E 的坐标为（ 1， 1）， EG=EH=1 . 在 RtCEG 与 RtBEH 中， ， RtCEGRtBEH （ HL） . CG=BH . EHAB ， EGCD ， AB=2BH ， CD=2CG. AB=CD . （ 3）连接 OE， 在 RtCEG 中， CG= = ， OC= +1. 同理： OB= +1. OG=EG ， OGE=90 ， EOG=OEG=45 . 又 OCE=30 ， OEC=180 EOG OCE=105 . 同理： OEB=105 . OEB+OEC=210 . S 阴影 = （ +1） 12= 1. 22.如图， RtA
19、BC 中， C=90 ， AC=BC=8， DE=2，线段 DE 在 AC 边上运动（端点 D 从点 A 开始），速度为每秒 1个单位，当端点 E 到达点 C 时运动停止 .F 为 DE 中点， MFDE 交 AB 于点 M， MNAC 交 BC 于点 N，连接 DM、 ME、 EN.设运动时间为 t 秒 . （ 1）求证：四边形 MFCN 是矩形； （ 2）设四边形 DENM 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；当 S 取最大值时，求 t 的值； （ 3）在运动过程中，若以 E、 M、 N 为顶点的三角形与 DEM 相似，求 t 的值 . 解析： （ 1）根据平行线的性质可以证得四
20、边形 MFCN 的三个角是直角，则可以证得是矩形； （ 2）利用 t 表示出 MN、 MF 的长，然后根据 S=SMDE +SMNE = DEMF+ MNMF 即可得到关于 t 的函数，利用函数的性质即可求解； （ 3）当 NMEDEM 时利用相似三角形的对应边的比相等即可求得 t 的值； 当 EMNDEM 时，根据相似三角形的对应边的比相等可以得到 = 即 EM2=NMDE.然后在 RtMEF 中利用勾股定理即可得到一个关于 t 的方程，从而求解 . 答案 ： （ 1） MFAC ， MFC =90 . MNAC ， MFC+FMN=180 . FMN=90 . C=90 ， 四边形 MFC
21、N 是矩形 . （ 2）当运动时间为 t 秒时， AD=t， F 为 DE 的中点， DE=2， DF=EF= DE=1. AF=t+1 ， FC=8（ t+1） =7 t. 四边形 MFCN 是矩形， MN=FC=7 t. 又 AC=BC ， C=90 ， A=45 . 在 RtAMF 中， MF=AF=t+1， S=S MDE +SMNE = DEMF+ MNMF = 2 （ t+1） + （ 7 t）（ t+1） = t2+4t+ S= t2+4t+ = （ t 4） 2+ 当 t=4 时， S 有最大值 . （ 3） MNAC ， NME=DEM . 当 NMEDEM 时， = . =
22、1，解得： t=5. 当 EMNDEM 时， = . EM 2=NMDE. 在 RtMEF 中， ME2=EF2+MF2=1+（ t+1） 2， 1+ （ t+1） 2=2（ 7 t） . 解得： t1=2， t2= 6（不合题意，舍去） 综上所述，当 t 为 2 秒或 5 秒时，以 E、 M、 N为顶点的三角形与 DEM 相似 . 23.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）与 x 轴交于 A（ 1， 0）、 B（ 4， 0）两点，与 y 轴交于 C（ 0， 2），连接 AC、BC. （ 1）求抛物线解析式； （ 2） BC 的垂直平分线交抛物线于 D、 E 两点，求直线 DE
23、的解析式； （ 3）若点 P 在抛物线的对称轴上，且 CPB=CAB ，求出所有满足条件的 P 点坐标 . 解析： （ 1）将 A（ 1， 0）、 B（ 4， 0）、 C（ 0， 2）三点坐标代入抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）中，列方程组求 a、 b、c 的值即可； （ 2）如图 1，设 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 M，交 x 轴于 N，连接 CN，过点 M 作 MFx 轴于 F.可得 BMFBCO ，根据相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理可求直线 DE 上两点 M、 N 的坐标，再根据待定系数法可求 直线 DE 的解析式； （ 3） 如图 3，设直线 DE 交
24、抛物线对称轴于点 G，则点 G（ ， 2），以 G 为圆心， GA长为半径画圆交对称轴于点P1，以 N 为圆心， NB 长为半径的 N 与 G 关于直线 BC对称， N 交抛物线对称轴于点 P2，从而确定 P点坐标 . 答案 ： （ 1）由题意，得： 解得： . 故这个抛物线的解析式为 y= x2 x+2. （ 2）解法一： 如图 1，设 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 M，交 x轴于 N，连接 CN，过点 M作 MFx 轴于 F. BMFBCO ， = = = . B （ 4， 0）， C（ 0， 2）， CO=2 ， BO=4， MF=1 ， BF=2， M （ 2， 1） （ 5
25、 分） MN 是 BC 的垂直平分线， CN=BN ， 设 ON=x，则 CN=BN=4 x， 在 RtOCN 中， CN2=OC2+ON2， （ 4 x） 2=22+x2， 解得： x= ， N （ ， 0） . 设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，依题意，得： ， 解得： . 直线 DE 的解析式为 y=2x 3. 解法二： 如图 2，设 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 M，交 x轴于 N，连接 CN，过点 C作 CFx 轴交 DE于 F. MN 是 BC 的垂直平分线， CN=BN ， CM=BM. 设 ON=x，则 CN=BN=4 x， 在 RtOCN 中， CN2=OC2
26、+ON2， （ 4 x） 2=22+x2， 解得： x= ， N （ ， 0） . BN=4 = . CFx 轴， CFM=BNM . CMF=BMN ， CMFBMN . CF=BN . F （ ， 2） . 设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，依题意，得： ， 解得： . 直线 DE 的解析式为 y=2x 3. （ 3）由（ 1）得抛物线解析式为 y= x2 x+2， 它的对称轴为直线 x= . 如图 3，设直线 DE 交抛物线对称轴于点 G，则点 G（ ， 2）， 以 G 为圆心， GA 长为半径画圆交对称轴于点 P1， 则 CP 1B=CAB . GA= ， 点 P1的坐标为（ ， ） . 如图 4，由（ 2）得： BN= ， BN=BG ， G 、 N 关于直线 BC 对称 . 以 N 为圆心， NB 长为半径的 N 与 G 关于直线 BC 对称 . N 交抛物线对称轴于点 P2，则 CP 2B=CAB . 设对称轴与 x 轴交于点 H，则 NH= =1. HP 2= ， 点 P2的坐标为（ ， ） . 综上所述，当 P 点的坐标为（ ， ）或（ ， ）时， CPB=CAB .
