1、2014 年福建省莆田市中考真题数学 一、精心选一选：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的 .答对的得 4 分，答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分 . 1.(4 分 )3 的相反数是 ( ) A. -3 B. - C. 3 D. 解析： 根据概念， 3 的相反数在 3 的前面加 -，则 3 的相反数是 -3. 答案： A. 2.(4 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a3 a2=a6 B. (2a)3=6a3 C. (a-b)2=a2-b2 D. 3a2-a2=2a2 解析： A、 a3 a2=a3+2=a5，故 A
2、 错误； B、 (2a)3=8a3，故 B 错误； C、 (a-b)2=a2-2ab+b2，故 C 错误； D、 3a2-a2=2a2，故 D 正确 . 答案： D. 3.(4 分 )如图图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故 A 选项不符合题意； B、 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故 B 选项符合题意； C、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故 C 选项不符合题意
3、； D、 此图形旋转 180 后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故 D 选项不符合题意 . 答案： B. 4.(4 分 )如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从物体左面看，第一层有 3 个正方形，第二层的中间有 1 个正方形 . 答案： C. 5.(4 分 )若 x、 y 满足方程组 ，则 x-y 的值等于 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 解析： ， - 得： 2x-2y=-2，则 x-y=-1， 答案： A. 6.(4 分 )在半径为 2 的圆中，弦 AB 的长为 2，则 的长等于 (
4、 ) A. B. C. D. 解析： 连接 OA、 OB， OA=OB=AB=2 ， AOB 是等边三角形， AOB=60 ， 的长为： = ， 答案： C. 7.(4 分 )如图，点 B 在 x 轴上， ABO=90 ， A=30 ， OA=4，将 OAB 饶点 O按顺时针方向旋转 120 得到 OAB ，则点 A 的坐标是 ( ) A. (2， -2 ) B. (2， -2 ) C. (2 ， -2) D. (2 ， -2) 解析： ABO=90 ， A=30 ， OA=4， AOB=60 ， OB= OA=2， AB= OB=2 ， A 点坐标为 (2， 2 )， OAB 绕点 O 按顺
5、时针方向旋转 120 得到 OAB ， AOA=120 ， OA=OA=4 ， AOB=60 ， 点 A 和点 A 关于 x 轴对称， 点 A 的坐标为 (2， -2 ). 答案： B. 8.(4 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=2，点 E 在边 AD 上， ABE=45 ， BE=DE，连接 BD，点P 在线段 DE 上，过点 P 作 PQBD 交 BE 于点 Q，连接 QD.设 PD=x， PQD 的面积为 y，则能表示 y 与 x 函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： ABE=45 ， A=90 ， ABE 是等腰直角三角形， AE=AB=2 ， BE=
6、 AB=2 ， BE=DE ， PD=x， PE=DE -PD=2 -x， PQBD ， BE=DE， QE=PE=2 -x， 又 ABE 是等腰直角三角形 (已证 )， 点 Q 到 AD 的距离 = (2 -x)=2- x， PQD 的面积 y= x(2- x)=- (x2-2 x+2)=- (x- )2+ ， 即 y=- (x- )2+ ， 纵观各选项，只有 C 选项符合 . 答案： C. 二、细心填一填：本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32 分 . 9.(4分 )我国的北斗卫星导航系统与美国的 GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达 36000
7、公里，将 36000 用科学记数法表示为 . 解析： 将 36000 用科学记数法表示为： 3.610 4. 答案： 3.610 4. 10.(4 分 )若正 n 边形的一个外角为 45 ，则 n= . 解析： n=36045=8 .所以 n 的值为 8. 答案： 8. 11.(4 分 )若关于 x 的一元二次方程 x2+3x+a=0 有一个根是 -1，则 a= . 解析： 关于 x 的一元二次方程 x2+3x+a=0 有一个根是 -1， (-1)2+3 (-1)+a=0，解得 a=2， 答案： 2. 12.(4 分 )在一个不透明的袋子中，装有大小、形状、质地等都相同的红色、黄色、白色小球各
8、 1 个，从袋子中随机摸出一个小球，之后把小球放回袋子中并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是 . 解析： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，两次摸出的小球颜色相同的有 3 种情况， 两次摸出的小球颜色相同的概率是： = . 答案： . 13.(4 分 )在一次数学测试中，小明所在小组 6 人的成绩 (单位：分 )分别为 84、 79、 83、 87、77、 81，则这 6 人本次数学测试成绩的中位数是 . 解析： 把这组数据从小到大排列为： 77、 79、 81、 83、 84、 87，最中间两个数的平均数是：(81+83)2=82 ； 答案： 82. 14.(4
9、 分 )计算： = . 解析： = =a-2. 答案： a-2. 15.(4 分 )如图，菱形 ABCD 的边长为 4， BAD=120 ，点 E 是 AB 的中点，点 F是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值是 . 解析： 连接 DB， DE，设 DE 交 AC 于 M，连接 MB， DF，延长 BA， DHBA 于 H， 四边形 ABCD 是菱形， AC ， BD 互相垂直平分， 点 B 关于 AC 的对称点为 D， FD=FB ， FE+FB=FE+FDDE .只有当点 F 运动到点 M 时，取等号 (两点之间线段最短 )， ABD 中， AD=AB， DAB=120 ， HAD
10、=60 ， DHAB ， AH= AD， DH= AD， 菱形 ABCD 的边长为 4， E 为 AB 的中点， AE=2 ， AH=2， EH=4 ， DH=2 ， 在 RtEHD 中， DE= = =2 ， EF+BF 的最小值为 2 . 答案： 2 . 16.(4 分 )如图放置的 OAB 1， B 1A1B2， B 2A2B3， 都是边长为 2 的等边三角形，边 AO 在 y轴上，点 B1， B2， B3， 都在直线 y= x 上，则 A2014的坐标是 . 解析： 过 B1向 x 轴作垂线 B1C，垂足为 C， 由题意可得： A(0， 2)， AOA 1B1， B 1OC=30 ，
11、CO=OB 1cos30= ， B 1的横坐标为： ，则 A1的横坐标为： ， 连接 AA1，可知所有三角形顶点都在直线 AA1上， 点 B1， B2， B3， 都在直线 y= x 上， AO=2， 直线 AA1的解析式为： y= x+2， y= +2=3， A 1( ， 3)， 同理可得出： A2的横坐标为： 2 ， y= 2 +2=4， A 2(2 ， 4)， A 3(3 ， 5)， A 2014(2014 ， 2016). 答案： (2014 ， 2016). 三、耐心做一做：本大题共 9 小题，共 86 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.(8 分 )计算： -2s
12、in60+| - |. 解析： 先根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =3-2 + =3- + =3. 18.(8 分 )解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解析： 先去分母和去括号得到 6-3x4 -4x，然后移项后合并得到 x -2，再利用数轴表示解集 . 答案： 去分母得 3(2-x)4 (1-x)，去括号得 6-3x4 -4x，移项得 4x-3x4 -6，合并得 x -2，在数轴上表示为： . 19.(8 分 )某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类运动项目的喜爱情况，对九
13、年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最喜爱的一项运动项目，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，回答下列问题： (1)这次被抽查的学生有 人；请补全条形统计图； (2)在统计图 2 中， “ 乒乓球 ” 对应扇形的圆心角是 度； (3)若该校九年级共有 480 名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有 人 . 解析： (1)根据 C 类的人数是 9，所占的比例是 20%，据此即可求得总人数； (2)利用 360 乘以对应的比例即可求解； (3)利用总人数 480，乘以对应的比例即可 . 答案： (1)被抽查的学生数是： 915%=60 (人 )，
14、D 项的人数是： 60-21-24-9=6(人 )；条形统计图如图所示； (2)“ 乒乓球 ” 对应扇形的圆心角是： 360 =144 ； (3)480 =48(人 ). 故答案为： 60， 144， 48. 20.(8 分 )如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B， C 为圆心， BC长为半径画弧，两弧相交于点 A，连接 AB， AC， AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE， CE. (1)求证： BE=CE； (2)以点 E 为圆心， ED 长为半径画弧，分别交 BE， CE 于点 F， G.若 BC=4， EBD=30 ，求图中阴影部分 (扇形 )的面积 . 解析： (1
15、)由点 D 是线段 BC 的中点得到 BD=CD，再由 AB=AC=BC 可判断 ABC 为等边三角形，于是得到 AD 为 BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得 BE=CE； (2)由 EB=EC，根据等腰三角形的性质得 EBC=ECB=30 ，则根据三角形内角和定理计算得 BEC=120 ，在 RtBDE 中， BD= BC=2， EBD=30 ，根据含 30 的直角三角形三边的关系得到 ED= BD= ，然后根据扇形的面积公式求解 . 答案： (1) 点 D 是线段 BC 的中点， BD=CD ， AB=AC=BC ， ABC 为等边三角形， AD 为 BC 的垂直平分线， BE
16、=CE ； (2)EB=EC ， EBC=ECB=30 ， BEC=120 ， 在 RtBDE 中， BD= BC=2， EBD=3 0 ， ED=BD tan30= BD= ， 阴影部分 (扇形 )的面积 = = . 21.(8 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 l与 x 轴相交于点 M，与 y 轴相交于点 N， RtMON的外心为点 A( ， -2)，反比例函数 y= (x 0)的图象过点 A. (1)求直线 l 的解析式； (2)在函数 y= (x 0)的图象上取异于点 A 的一点 B，作 BCx 轴于点 C，连接 OB 交直线 l于点 P.若 ONP 的面积是 OBC 面积的 3
17、倍，求点 P 的坐标 . 解析： (1)由 A 为直角三角形外心，得到 A 为斜边 MN 中点，根据 A 坐标确定出 M 与 N 坐标，设直线 l 解析式为 y=mx+n，将 M与 N 坐标代入求出 m与 n 的值，即可确定出直线 l 解析式； (2)将 A 坐标代入反比例解析式求出 k 的值，确定出反比例解析式，利用反比例函数 k 的意义求出 OBC 的面积，由 ONP 的面积是 OBC 面积的 3 倍求出 ONP 的面积，确定出 P 的横坐标，即可得出 P 坐标 . 答案： (1)RtMON 的外心为点 A( ， -2)， A 为 MN 中点，即 M(3， 0)， N(0， -4)， 设直
18、线 l 解析式为 y=mx+n，将 M 与 N 代入得： ，解得： m= ， n=-4，则直线 l解析式为 y= x-4. (2)将 A( ， -2)代入反比例解析式 y= 得： k=-3， 反比例解析式为 y=- ， B 为反比例函数图象上的点，且 BCx 轴， S OBC = ， S ONP =3SOBC ， S ONP = ， 设 P 横坐标为 a(a 0)， ON a= ，即 a= ，则 P 坐标为 ( ， -1). 22.(10 分 )如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的一点，过点 A 作 ADCD 于点 D，交 O 于点 E，且 = . (1)求证： CD 是 O 的切
19、线； (2)若 tanCAB= ， BC=3，求 DE 的长 . 解析： (1)连接 OC，由 = ，根据圆周角定理得 1=2 ，而 1=OCA ，则 2=OCA ，则可判断 OCAD ，由于 ADCD ，所以 OCCD ，然后根据切线的判定定理得到 CD 是 O 的切线； (2)连接 BE 交 OC 于 F，由 AB 是 O 的直径得 ACB=90 ，在 RtACB 中，根据正切的定义得 AC=4，再利用勾股定理计算出 AB=5，然后证明 RtABCRtACD ，利用相似比先计算出AD= ，再计算出 CD= ；根据垂径定理的推论由 = 得 OCBE ， BF=EF，于是可判断四边形 DEFC
20、 为矩形，所以 EF=CD=，则 BE=2EF= ，然后在 RtABE 中，利用勾股定理计算出 AE= ，再利用 DE=AD-AE 求解 . 答案： (1)连接 OC，如图， = ， 1=2 ， OC=OA ， 1=OCA ， 2=OCA ， OCAD ， ADCD ， OCCD ， CD 是 O 的切线； (2)连接 BE 交 OC 于 F，如图， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， 在 RtACB 中， tanCAB= = ，而 BC=3， AC=4 ， AB= =5， 1=2 ， RtABCRtACD ， = ，即 = ，解得 AD= ， = ，即 = ，解得 CD= ， = ，
21、OCBE ， BF=EF， 四边形 DEFC 为矩形， EF=CD= ， BE=2EF= ， AB 为直径， BEA=90 ， 在 RtABE 中， AE= = = ， DE=AD -AE= - = . 23.(10 分 )某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第 1 月至第 12 月，这种水果每千克售价 y1(元 )与销售时间第 x 月之间存在如图 1(一条线段 )的变化趋势，每千克成本y2(元 )与销售时间第 x 月满足函数关系式 y2=mx2-8mx+n，其变化趋势如图 2 所示 . (1)求 y2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解析：
22、 (1)把函数图象经过的点 (3， 6)， (7， 7)代入函数解析式，解方程组求出 m、 n 的值，即可得解； (2)根据图 1 求出每千克的售价 y1与 x 的函数关系式，然后根据利润 =售价 -成本，得到利润与 x 的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可 . 答案： (1)由图可知， y2=mx2-8mx+n 经过点 (3， 6)， (7， 7)， ，解得 .y 2= x2-x+ (1x12 )； (2)设 y1=kx+b(k0 )， 由图可知，函数图象经过点 (4， 11)， (8， 10)， 则 ，解得 ， y 1=- x+12(1x12 )， 每千克所
23、获得利润 =(- x+12)-( x2-x+ )=- x+12- x2+x- =- x2+ x+ =-(x2-6x+9)+ + =- (x-3)2+ ， - 0， 当 x=3 时，所获得利润最大，最大为 元 . 答：第 3 月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是 元 /千克 . 24.(12 分 )如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 E 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A开始沿边 AB 向点 B 运动，动点 F 以每秒 2个单位长度的速度从点 B开始沿折线 BC-CD向点D 运动，动点 E 比动点 F 先出发 1 秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
24、设点 F 的运动时间为 t 秒 .(1)点 F 在边 BC 上 . 如图 1，连接 DE， AF，若 DEAF ，求 t 的值； 如图 2，连结 EF， DF，当 t 为何值时， EBF 与 DCF 相似？ (2)如图 3，若点 G 是边 AD 的中点， BG， EF 相交于点 O，试探究：是否存在在某一时刻 t，使得 = ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1) 利用正方形的性质及条件，得出 ABFDAE ，由 AE=BF 列式计算 . 利用 EBFDCF ，得出 = ，列出方程求解 . (2)0 t2 时如图 3，以点 B 为原点， BC为 x 轴， BA为 y
25、轴建立坐标系，先求出 EF 所在的直线和 BG 所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出 BG，运用 = ，求出点 O 的坐标，把 O 的坐标代入 EF 所在的直线函数关系式求解 . 当 t 2 时如 图 4，以点 B 为原点，BC 为 x 轴， BA 为 y 轴建立坐标系，先求出 EF所在的直线和 BG所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出 BG，运用 = ，求出点 O 的坐标，把 O 的坐标代入 EF 所在的直线函数关系式求解 . 答案： (1) 如图 1， DEAF ， AOE=90 ， BAF+AEO=90 ， ADE+AEO=90 ， BAF=ADE ， 又 四边形 ABCD 是正
26、方形， AB=AD ， ABF=DAE=90 ， 在 ABF 和 DAE 中， ， ABFDAE (ASA)AE=BF ， 1+t=2t ，解得 t=1. 如图 2， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=4 ， BF=2t ， AE=1+t， FC=4 -2t， BE=4-1-t=3-t， 当 EBFDCF 时， = ， = ，解得， t= ， t= (舍去 )， 故 t= . 当 EBFFCD 时， = ， = ， t 2-3t+3=0，方程没有实数根， 所以当 t= 时， EBF 与 DCF 相似 . (2)0 t2 时，如图 3，以点 B 为原点， BC 为 x 轴， BA为
27、 y轴建立坐标系， A 的坐标 (0， 4)， G 的坐标 (2， 4)， F 点的坐标 (2t， 0)， E 的坐标 (0， 3-t)， EF 所在的直线函数关系式是： y= x+3-t， BG 所在的直线函数关系式是： y=2x， BG= =2 ， = ， BO= ， OG= ， 设 O 的坐标为 (a， b)， ， 解得 ， O 的坐标为 ( ， ) 把 O 的坐标为 ( ， )代入 y= x+3-t，得 = +3-t， 解得， t= (舍去 )， t= ， 当 3t 2 时如图 4，以点 B 为原点 BC 为 x 轴， BA为 y轴建立坐标系， A 的坐标 (0， 4)， G 的坐标
28、(2， 4)， F 点的坐标 (4， 2t-4)， E 的坐标 (0， 3-t)， EF 所在的直线函数关系式是： y= x+3-t， BG 所在的直线函数关系式是： y=2x， BG= =2 ， = ， BO= ， OG= ， 设 O 的坐标为 (a， b)， ， 解得 ， O 的坐标为 ( ， )， 把 O 的坐标为 ( ， )代入 y= x+3-t，得 = +3-t，解得： t= . 综上所述，存在 t= 或 t= ，使得 = . 25.(14 分 )如图，抛物线 C1： y=(x+m)2(m 为常数， m 0)，平移抛物线 y=-x2，使其顶点 D 在抛物线 C1位于 y 轴右侧的图象
29、上，得到抛物线 C2.抛物线 C2交 x轴于 A， B两点 (点 A在点 B的左侧 )，交 y 轴于点 C，设点 D 的横坐标为 a. (1)如图 1，若 m= . 当 OC=2 时，求抛物线 C2的解析式； 是否存在 a，使得线段 BC上有一点 P，满足点 B与点 C到直线 OP 的距离之和最大且 AP=BP？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； (2)如图 2，当 OB=2 -m(0 m )时，请直接写出到 ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标 (用含 m 的式子表示 ). 解析： (1) 首先写出平移后抛物线 C2的解析式 (含有未知数 a)，然后利用点 C(0， 2
30、)在 C2上，求出抛物线 C2的解析式； 认真审题，题中条件 “AP=BP” 意味着点 P 在对称轴上， “ 点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和最大 ” 意味着 OPBC .画出图形，如答图 1 所示，利用三角函数 (或相似 )，求出 a 的值； (2)解题要点有 3 个： i)判定 ABD 为等边三角形； ii)理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等； iii)满足条件的点有 4 个，即 ABD 形内 1 个 (内心 )，形外 3 个 .不要漏解 . 答案： (1)当 m= 时，抛物线 C1： y=(x+ )2. 抛物线 C2的顶点 D 在抛物线 C1上，且横坐
31、标为 a， D (a， (a+ )2). 抛物线 C2： y=-(x-a)2+(a+ )2 . OC=2 ， C (0， 2). 点 C 在抛物线 C2上， -(0-a)2+(a+ )2=2，解得： a= ，代入抛物线 C2： y=-(x-a)2+(a+ )2， 得抛物线 C2的解析式为： y=-x2+ x+2. 存在 a 使得点 P，满足点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和最大且 AP=BP； 在 式中，令 y=0，即： -(x-a)2+(a+ )2=0， 解得 x=2a+ 或 x=- ， B (2a+ ， 0)； 令 x=0，得： y=a+ ， C (0， a+ ). 设直线 BC
32、的解析式为 y=kx+b，则有： ，解得 ， 直线 BC 的解析式为： y=- x+(a+ ). 假设存在满足条件的 a 值 . AP=BP ， 点 P 在 AB 的垂直平分线上，即点 P 在 C2的对称轴上； 点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和 BC ，只有 OPBC 时等号成立， OPBC . 如答图 1 所示，设 C2对称轴 x=a(a 0)与 BC 交于点 P，与 x轴交于点 E， 则 OPBC ， OE=a. 点 P 在直线 BC 上， P (a， a+ )， PE= a+ . tanEOP=tanBCO= = =2， = =2，解得： a= . 存在 a= ，使得线段 BC
33、 上有一点 P，满足点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和最大且 AP=BP. (3) 抛物线 C2的顶点 D 在抛物线 C1上，且横坐标为 a， D (a， (a+m)2). 抛物线 C2： y=-(x-a)2+(a+m)2. 令 y=0，即 -(x-a)2+(a+m)2=0，解得： x1=2a+m， x2=-m， B (2a+m， 0). OB=2 -m， 2a+m=2 -m， a= -m.D ( -m， 3).AB=OB+OA=2 -m+m=2 . 如答图 2 所示，设对称轴与 x 轴交于点 E，则 DE=3， BE= AB= ， OE=OB-BE= -m. tanABD= = =
34、， ABD=60 . 又 AD=BD ， ABD 为等边三角形 . 作 ABD 的平分线，交 DE 于点 P1，则 P1E=BE tan30= =1， P 1( -m， 1)； 在 ABD 形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点 P2、 P3、 P4. 在 RtBEP 2中， P2E=BE tan60= =3， P 2( -m， -3)； 易知 ADP 3、 BDP 4均为等边三角形， DP 3=DP4=AB=2 ，且 P3P4x 轴 . P 3(- -m， 3)、 P4(3 -m， 3). 综上所述，到 ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有 4 个， 其坐标为： P1( -m， 1)， P2( -m， -3)， P3(- -m， 3)， P4(3 -m， 3).
