1、2014 年贵州省黔东南州中考真题数学 一、选择题：每个小题 4 分， 10个小题共 40 分 1.(4 分 ) =( ) A. 3 B. -3 C. D. - 解析 ：根据负数的绝对值是它的相反数，得： |- |= . 答案： C. 2.(4 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2 a3=a6 B. (a2)3=a6 C. (a+b)2=a2+b2 D. + = 解析 ： A、原式 =a5，错误； B、原式 =a6，正确； C、原式 =a2+b2+2ab，错误； D、原式不能合并，错误， 答案： B 3.(4 分 )如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，不能
2、判断四边形 ABCD是平行四边形的是 ( ) A. ABDC ， AD=BC B. ABDC ， ADBC C. AB=DC， AD=BC D. OA=OC， OB=OD 解析 ： A、 “ 一组对边平行，另一组对边相等 ” 是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意； B、根据 “ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ” 可判定四边形 ABCD 为平行四边形，故此选项不符合题意； C、根据 “ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ” 可判定四边形 ABCD 为平行四边形，故此选项不符合题意； D、根据 “ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ” 可判定四边形 ABCD 为平行四边形，故此
3、选项不符合题意； 答案： A. 4.(4 分 )掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是 ( ) A. 可能有 5 次正面朝上 B. 必有 5 次正面朝上 C. 掷 2 次必有 1 次正面朝上 D. 不可能 10 次正面朝上 解析 ： A、是随机事件，故 A 正确； B、不是必然事件，故 B 错误； C、不是必然事件，故 C 错误； D、是随机事件，故 D 错误； 答案： A. 5.(4 分 )如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE ，点 B的对应点 D恰好落在 BC 边上 .若 AC= ， B=60 ，则 CD 的长为 ( ) A. 0.5 B. 1.5
4、 C. D. 1 解析 ： B=60 ， C=90 -60=30 ， AC= ， AB= =1， BC=2AB=2 ， 由旋转的性质得， AB=AD， ABD 是等边三角形， BD=AB=1 ， CD=BC -BD=2-1=1. 答案： D. 6.(4 分 )如图，已知 O 的直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为点 E， ACD=22.5 ，若 CD=6cm，则 AB 的长为 ( ) A. 4cm B. 3 cm C. 2 cm D. 2 cm 解析 ： 连结 OA，如图， ACD=22.5 ， AOD=2ACD=45 ， O 的直径 CD 垂直于弦 AB， AE=BE ， OAE 为等腰直角三
5、角形， AE= OA， CD=6 ， OA=3 ， AE= ， AB=2AE=3 (cm). 答案： B. 7.(4分 )已知抛物线 y=x2-x-1与 x轴的一个交点为 (m， 0)，则代数式 m2-m+2014的值为 ( ) A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 解析 ： 抛物线 y=x2-x-1 与 x 轴的一个交点为 (m， 0)， m 2-m-1=0， 解得 m2-m=1.m 2-m+2014=1+2014=2015. 答案： D. 点评： 本题考查了抛物线与 x 轴的交点 .解题时，注意 “ 整体代入 ” 数学思想的应用，减 8.(4 分 )如图，正比例函
6、数 y=x 与反比例函数 y= 的图象相交于 A、 B 两点， BCx 轴于点 C，则 ABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 解析 ： 正比例函数 y=x 与反比例函数 y= 的图象相交于 A、 B 两点， 点 A 与点 B 关于原点对称， S AOC =SBOC ， BCx 轴， ABC 的面积 =2SBOC =2 |1|=1. 答案： A. 9.(4 分 )如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示，下列 4 个结论： abc 0； b a+c； 4a+2b+c 0； b 2-4ac 0 其中正确结论的有 ( ) A. B. C. D. 解析 ：
7、由二次函数的图象开口向上可得 a 0，根据二次函数的图象与 y 轴交于正半轴知： c 0，由对称轴直线 x=2，可得出 b 与 a 异号，即 b 0，则 abc 0，故 正确； 把 x=-1 代入 y=ax2+bx+c 得： y=a-b+c，由函数图象可以看出当 x=-1 时，二次函数的值为正，即 a+b+c 0，则 b a+c，故 选项正确； 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当 x=2 时，二次函数的值为负，即 4a+2b+c 0，故 选项错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点可以看出方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式 b2-4ac 0
8、，故 D 选项正确； 答案： B. 10.(4 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=8， BC=16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为 ( ) A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 解析 ： 设 BE=x，则 CE=BC-BE=16-x， 沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合， AE=CE=16 -x， 在 RtABE 中， AB2+BE2=AE2，即 82+x2=(16-x)2，解得 x=6， AE=16 -6=10， 由翻折的性质得， AEF=CEF ， 矩形 ABCD 的对边 ADBC ， AFE=CEF ， AEF=AFE ，
9、 AE=AF=10 ， 过点 E 作 EHAD 于 H， 则四边形 ABEH 是矩形， EH=AB=8 ， AH=BE=6， FH=AF -AH=10-6=4， 在 RtEFH 中， EF= = =4 . 答案： D. 二、填空题：每个小题 4 分， 6个小题共 24 分 11.(4 分 )cos60= . 解析 ： cos60= . 答案： 12.(4 分 )函数 y= 自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 有意义的条件是 x-10 ，解得 x1 ； 又分母不为 0， x-10 ，解得 x1.x 1. 答案： x 1. 13.(4 分 )因式分解： x3-5x2+6x= . 解析 ： x3
10、-5x2+6x=x(x2-5x+6)=x(x-3)(x-2). 答案： x(x-3)(x-2). 14.(4 分 )若一元二次方程 x2-x-1=0 的两根分别为 x1、 x2，则 + = . 解析 ： 一元二次方程 x2-x-1=0 的两根分别为 x1、 x2， x 1+x2=1， x1x2=-1， + = =-1. 答案： -1. 15.(4 分 )在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为 n，则 n 的最小值为 . 解析 ： 底层正方体最少的个数应是 3 个，第二层正方体最少的个数应该是 2 个，因此这个几何体最少有 5
11、个小正方体组成， 答案： 5. 16.(4 分 )在如图所示的平面直角坐标系中，点 P 是直线 y=x 上的动点， A(1， 0)， B(2， 0)是 x 轴上的两点，则 PA+PB 的最小值为 . 解析 ： 如图所示：作 A 点关于直线 y=x 的对称点 A ，连接 AB ，交直线 y=x于点 P， 此时 PA+PB 最小， 由题意可得出： OA=1 ， BO=2， PA=PA ， PA+PB=AB= = . 答案： . 三、解答题 :8 个小题，共 86分 17.(8 分 )计算： 2tan30 -|1- |+(2014- )0+ . 解析 ： 本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值
12、、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =2 -( -1)+1+ = - +1+1+ =2. 18.(8 分 )先化简，再求值： - ，其中 x= -4. 解析 ： 原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = - = - = ， 当 x= -4 时，原式 = = . 19.(10 分 )解不等式组 ，并写出它的非负整数解 . 解析 ： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的 x 的非负整数解即可 . 答案： ， 由 得， x
13、- ， 由 得， x ， 故此不等式组的解集为： - x ， 它的非负整数解为： 0， 1， 2， 3. 20.(12 分 )黔东南州某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下的女生频数分布表和如图所示的男生频数分布直方图： 根据图表解答下列问题： (1)在女生的频数分布表中， m= ， n= . (2)此次调查共抽取了多少名学生？ (3)此次抽样中，学习时间的中位数在哪个时间段？ (4)从学习时间在 120 150 分钟的 5 名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？ 解析 ： (1)根据第一段中有 4 人
14、，占 20%，即可求得女生的总人数，然后根据频率的计算公式求得 m、 n 的值； (2)把直方图中各组的人数相加就是男生的总人数，然后加上女生总人数即可； (3)求得每段中男女生的总数，然后根据中位数的定义即可判断； (4)利用列举法即可求解 . 答案： (1)女生的总数是： 420%=20( 人 )，则 m=2015%=3( 人 )， n= =0.3； (2)男生的总人数是： 6+5+12+4+3=30(人 )，则此次调查的总人数是： 30+20=50(人 )； (3)在第一阶段的人数是： 4+6=10(人 )， 第二阶段的人数是： 3+5=8(人 )， 第三阶段的人数是： 5+12=17(
15、人 )， 则中位数在的时间段是： 60t 90； (4)如图所示： 共有 20 种等可能的情况，则恰好抽到男女生各一名的概率是 = . 21.(12 分 )已知： AB 是 O 的直径，直线 CP 切 O 于点 C，过点 B 作 BDCP 于 D. (1)求证： ACBCDB ； (2)若 O 的半径为 1， BCP=30 ，求图中阴影部分的面积 . 解析 ： (1)由 CP 是 O 的切线，得出 BCD=BAC ， AB 是直径，得出 ACB=90 ，所以ACB=CDB=90 ，得出结论 ACBCDB ； (2)求出 OCB 是正三角形，阴影部分的面积 =S 扇形 OCB-SOCB = -
16、. 答案： (1)如图，连接 OC， 直线 CP 是 O 的切线， BCD+OCB=90 ， AB 是直径， ACB=90 ， ACO+OCB=90BCD=ACO ， 又 BAC=ACO ， BCD=BAC ， 又 BDCP CDB=90 ， ACB=CDB=90ACBCDB ； (2)如图，连接 OC， 直线 CP 是 O 的切线， BCP=30 ， COB=2BCP=60 ， OCB 是正三角形， O 的半径为 1， S OCB = ， S 扇形 OCB= = ， 故阴影部分的面积 =S 扇形 OCB-SOCB = - . 22.(10 分 )黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军
17、合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45 ，小军站在点 D 测得旗杆顶端 E 点的仰角为 30 ，已知小明和小军相距 (BD)6 米，小明的身高 (AB)1.5 米，小军的身高 (CD)1.75米，求旗杆的高 EF 的长 .(结果精确到 0.1，参考数据： 1.41 ， 1.73 ) 解析 ： 过点 A 作 AMEF 于 M，过点 C 作 CNEF 于 N，则 MN=0.25m.由小明站在 B 点测得旗杆顶端 E点的仰角为 45 ，可得 AEM 是等腰直角三角形，继而得出得出 AM=ME，设 AM=ME=xm，则 CN=(x+6)m， EN=(x-0.
18、25)m.在 RtCEN 中，由 tanECN= = ，代入 CN、 EN 解方程求出 x 的值，继而可求得旗杆的高 EF. 答案： 过点 A 作 AMEF 于 M，过点 C 作 CNEF 于 N， MN=0.25m ， EAM=45 ， AM=ME ， 设 AM=ME=xm，则 CN=(x+6)m， EN=(x-0.25)m， ECN=30 ， tanECN= = = ，解得： x8.8 ， 则 EF=EM+MF8.8+1.5=10.3(m). 答：旗杆的高 EF 为 10.3m. 23.(12 分 )黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知 5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进
19、价的和为 231 元， 2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元 . (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过 20 件，超出部分可以享受 7折优惠，若购进 x(x 0)件甲种玩具需要花费 y 元，请你求出 y 与 x 的函数关系式； (3)在 (2)的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过 20 件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱 . 解析 ： (1)设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y 元，根据 “5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 231 元，
20、 2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元 ” 列出方程组解决问题； (2)分情况：不大于 20 件；大于 20 件；分别列出函数关系式即可； (3)设购进玩具 x 件 (x 20)，分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题 . 答案： (1)设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y 元， 由题意得 ，解得 ， 答：件甲种玩具的进价是 30 元，每件乙种玩具的进价是 27 元； (2)当 0 x20 时， y=30x； 当 x 20 时， y=2030+(x -20)300.7=21x+180 ； (3)设购进玩具 x 件 (x 20)，则乙种玩具
21、消费 27x 元； 当 27x=21x+180，则 x=30 所以当购进玩具正好 30 件，选择购其中一种即可； 当 27x 21x+180，则 x 30 所以当购进玩具超过 30 件，选择购甲种玩具省钱； 当 27x 21x+180，则 x 30 所以当购进玩具少于 30 件，选择购乙种玩具省钱 . 24.(14 分 )如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a0 )相交于 A( ， )和 B(4， m)，点 P是线段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的
22、长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 . 解析 ： (1)已知 B(4， m)在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、 B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值 . (2)要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差 .可设出 P 点横坐标，根据直线 AB和抛物线的解析式表示出 P、 C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 PC 的最大值 . (3)根据直线 AB 的解析式，可求得直线 AC 的解析式 y=-
23、x+b，已知了点 A 的坐标，即可求得直线 AC 的解析式，联立抛物线的解析式，可求得 C 点的坐标； 答案： (1)B(4 ， m)在直线线 y=x+2 上， m=4+2=6 ， B(4 ， 6)， A( ， )、 B(4， 6)在抛物线 y=ax2+bx-4 上， ， c=6 ， a=2 ， b=-8， y=2x 2-8x+6. (2)设动点 P 的坐标为 (n， n+2)，则 C 点的坐标为 (n， 2n2-8n+6)， PC=(n+2) -(2n2-8n+6)， =-2n2+9n-4， =-2(n- )2+ ， PC 0， 当 n= 时，线段 PC 最大且为 . (3)当 PAC=90 时，设直线 AC 的解析式为 y=-x+b， 把 A( ， )代入得： =- +b，解得： b=3， 直线 AC 解析式： y=-x+3， 点 C 在抛物线上，设 C(m， 2m2-8m+6)，代入 y=-x+3 得： 2m2-8m+6=-m+3， 整理得： 2m2-7m+3=0，解得； m=3 或 m= (舍去 )P(3 ， 5)， 当 PCA=90 时，把 y= 代入 y=2x2-8x+6，得 x= ， x= 代入 y=x+2 得： y= ， P( ， )， 所以 P 的坐标为 (3， 5)或 ( ， ).
