1、考研数学（数学二）-试卷 1 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为3.设 f(x)=2 x +3 x -2，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)是 x 等价无穷小B.f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小C.f(x)比 x 更高阶的无穷小D.f(x)是比 x 较低阶的无穷小4.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0( )（分
2、数：2.00）A.无实根B.有唯一实根C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根5.设 f(x)=x(1-x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，O)不是曲线 y=f(x)的拐点6.设函数 f(x)连续，F(u，v)= ，其中区域 D uv 为图中阴影部分， 则 （分数：2.00）A.vf(u 2 )B.C.vf(u)D.7.已知 y=x/ln
3、x 是微分方程 y “ (B)=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b09.设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)X=0 的基础解系为 1 ， 2 ，则 A 的属于 0 的全部特征向量为( )（分数：2.00）A. 1 和 2B. 1 或 2C.c 1 1 +c 2 2 (c 1 ，c 2 全不为零)D.c 1 1 +c 2 2 (c 1 ，c 2 不全为零)二、填空
4、题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 ，其中 f 可导，且 f “ (0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.z=arctan （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y “ +y=-2x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文
5、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， （分数：2.00）_20.没 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f “ (a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f “ (a)0（分数：2.00）_23.设 z=
6、f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_24.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_25.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 ，经正交变换 x=Py 化成 f=y 2 2 +2y 3 2 ，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 、（分数：2.00）_考研数学（数学二）-试卷 1 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.
7、00）_解析：2.当 x1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2B.等于 0C.为D.不存在但不为 解析：解析：3.设 f(x)=2 x +3 x -2，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)是 x 等价无穷小B.f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小 C.f(x)比 x 更高阶的无穷小D.f(x)是比 x 较低阶的无穷小解析：解析：因为4.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0( )（分数：2.00）A.无实根B.有唯一实根 C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根解析：解析：设 f(x)=x 5 +2ax 3 +3bx+4c 则 f “ (x
8、)=5x 4 +6ax 2 +3b=5(x 2 ) 2 +6a(x 2 )+3b 由于(6a) 2 -4*5*3b=12(3a 2 -5b)0，所以 f “ (x)=0 无实根 5.设 f(x)=x(1-x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，O)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：f(x)是(-，+)上的连续函数，在(-1/2，1/2
9、)内有表达式6.设函数 f(x)连续，F(u，v)= ，其中区域 D uv 为图中阴影部分， 则 （分数：2.00）A.vf(u 2 ) B.C.vf(u)D.解析：解析：在极坐标系下，7.已知 y=x/lnx 是微分方程 y “ (B)=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题设 y=x/lnx，则 同时由 ，与题设所给微分方程比较，知8.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：解析：由秩(A * )=1 知秩(A
10、)=3-1=2，则A=0 9.设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)X=0 的基础解系为 1 ， 2 ，则 A 的属于 0 的全部特征向量为( )（分数：2.00）A. 1 和 2B. 1 或 2C.c 1 1 +c 2 2 (c 1 ，c 2 全不为零)D.c 1 1 +c 2 2 (c 1 ，c 2 不全为零) 解析：解析：A 的属于 0 的全部特征向量为方程组(E-A)X=0 的通解，即 c 1 1 +c 2 2 (c 1 ，c 2 不全为零)应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
11、确答案：2/3）解析：解析：11.设 ，其中 f 可导，且 f “ (0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由于12.z=arctan （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+y+ 1/8）解析：解析：令 ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得14.微分方程 y “ +y=-2x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 cosx+C 2 sinx-2x）
12、解析：解析：方程 y “ +y=-2x 对应的齐次方程的特征方程为 2 +1=0，特征根为 1,2 =i，故对应的齐次方程通解为 C 1 cosx+C 2 sinx 因为 a=0 不是特征根，因此原方程的特解可设为 y * =Ax+B， 代人原方程得 A=-2，B=0所以原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx-2x15.若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为12、
13、13、14、15，从而 B -1 -E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1 -E=1*2*3*4=24三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查由重要极限 导出微分方程，再求解微分方程，由题设， )解析：20.没 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)的曲率半径，s
14、=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设， 且抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径为 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f “ (a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f “ (a)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：23.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00
15、）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法，得 )解析：24.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，方程组的系数矩阵为 A= 则A= =a+(n-1)b(a-b) n-1 当 ab 且 a+(n-1)b0，即 a(1-n)b 时，方程组仅有零解 当 a=b 时，对 A 可作初等行变换化为阶梯形 则不难求得原方程组的基础解系为 因此方程组的全部解是 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k 2 ，k n-1 ，为任意常数 当 a=(1-n)b 时，同样对 A 作初等行变换化为阶梯形 则可得此时基础解系为 )解析：25.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 ，经正交变换 x=Py 化成 f=y 2 2 +2y 3 2 ，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变换前后二次型的矩阵分别为 二次型可以写成 f=x T Ax 和 f=y T By，。由于 p T Ap=B，P 为正交矩阵，故 P -1 AP=B，因此E-A=E-B，即 )解析：
